Приближение функций многих переменных линейными комбинациями операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ ОПЕРАТОРОВ*

Рассмотрим следующую конструкцию.

По линейным положительным операторам [1], которые определены на ГО, х) для / : Я > К и являются обобщением ряда хорошо известных операторов, имеющим вид

'.<*.>-А

1-п У„(Х)

где ипк и», - функции, удовлетворяющие условиям:

1) ипк(х)>0, \>„{х) > 0 для х>0и уя(0) = 1;

СО

2) Х>я,* (*)"** = »ЛХ)>

к=о

3) ЬпЛ(х)-(-х)к

к =0 >'„(2х)

и К(х) к

4) для qn к (х) = —'-х выполняется соотношение

/ к - их

где м>(х) - дважды дифференцируемая функция, не имеющая нулей на (0,«0,

для / : Яг —> Я строятся операторы

¿„(/;*)= I '¿'(-1 )("ьКкп,т)-рп-к(хт),

к= 0 т=0

где р -к(х) = П^; 1 = 1 2п(х,1

" 1 уи(2|Л:|) т~тх + т2 -2 + /я3 -22+...+тг -2Г~', тк е {0;1} ; х = (х, );

*л.» = АН)™1 ^(-1)"' ), где к} е ЛГ0, п е ЛГ;

\ и п п '

(тк\ - т^к] +.....+тгкг.

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №04-01-00060).

39

Если в операторах Ьп в качестве исходных взять операторы Саса-Миракьяна, то при г = 1 получим операторы, введенные в рассмотрение Грофом [2]. Для произвольного г, для операторов, построенных также по операторам Саса-Миракьяна, в работах [3 - 5] доказаны теоремы, указывающие порядок приближения операторами Ьп непрерывных, дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций, а также доказывается теорема, являющаяся аналогом теоремы Вороновской [6].

В работе [6] приводятся аналогичные результаты для операторов в общем виде.

Из этих теорем видно, что порядок приближения операторами Ьп дифференцируемых функций по сути п~1 2, дважды дифференцируемых -п~\ и, как следует из теоремы типа Вороновской, порядок приближения для трижды и более раз дифференцируемых функций не улучшается. Таким образом, класс насыщения для рассматриваемых операторов — дважды дифференцируемые функции. Аналогичная ситуация имеет место и для исходных линейных положительных операторов.

Для р раз дифференцируемых функций рассмотрим операторы

Лл0(/;х) = Л„ = £„(/;*),

и для р>- 2

Л„,Д/;х) = 1„(/;*Ь £ Г—1-

к=2а=к а1!.....аг!

г

где Б" (х) = ¿„ (]~[ (г,- -х, )а",х), * берется по всем наборам целых не-

¡=1 а=к

отрицательных чисел а,, / = 1,...,г, таким, что а, +... + аг = к,

а'/

а о а( а,

сЬс, 1 ...ОХ,. '

Если взять г — 1, а вместо операторов Ьп операторы Бернштейна, то получим конструкцию, которая при р = 3 была указана самим Бернштей-ном, а для любого р построена и изучена В. С. Виденским [7].

Имеет место следующая

ТЕОРЕМА. Если функция /: Лг -> Я р раз дифференцируема, то

,=1 а=р где с(г; р) - константа, зависящая только от г и р,

со (/,й)= sup sup f(x + 8)-f(x)\, 0(/г) = [О,А1]х[ОЛ]х----х[О,/гг],

beQ(h)xsRr

h =

M /R*2)[ /|w(x,-)i V и' 'V и "••'•у и

Доказательство теоремы проводится по следующей схеме. Применяя формулу Тейлора, получаем неравенство

i'-<V V i=i А

где S« (X) = Ln(П С, - X,)"'; *); I а, = а ; \ = 5с + 8(* - *); 9 е [0;1 ].

Несложно показать, что 1-„(!к; х) —» хк, и, находя порядок этого приближе

ния, получаем оценку для выражения Б" (х)| . Аналогично, используя

дуль непрерывности, получаем оценку для последнего слагаемого в (*). И после этого доказательство теоремы завершаем но индукции.

мо-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коровкин П. П. Линейные положительные операторы и теория приближений. М„ 1959.

2. GrofJ. Függvenyapproximäco az egesz szameqyensen, sülyozott hatvänysorokkal // Mat. Lapok. 1977 - 1981. Vol. 29, № 1 - 3. P. 161 - 170.'

3. Гудошникова E. В. Приближение непрерывных функций многих переменных. Саратов, 2001. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 03.10.2001, № 2083-В2001.

4. Гудошникова Е. В. Аппроксимативные свойства многомерных аналогов операторов Саса-Миракьяна. Саратов, 2001. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 20.11.2001, № 2412-В2001.

5. Гудошникова Е. В. Приближение дифференцируемых функций многих переменных комбинациями многомерных ан&чогов операторов Саса-Миракьяна. Саратов, 2002. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 25.03.02, №530-В2002.

6. Гудошникова Е. В. Конструкции линейных операторов для функций многих переменных//Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-га, 2004. Вып. 6. С. 40 - 42.

7. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Л., 1990.