CC BY
11
УДК 517.51
Е. В. Гудошникова
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ ОПЕРАТОРОВ*
Рассмотрим следующую конструкцию.
По линейным положительным операторам [1], которые определены на ГО, х) для / : Я > К и являются обобщением ряда хорошо известных операторов, имеющим вид
'.<*.>-А
1-п У„(Х)
где ипк и», - функции, удовлетворяющие условиям:
1) ипк(х)>0, \>„{х) > 0 для х>0и уя(0) = 1;
СО
2) Х>я,* (*)"** = »ЛХ)>
к=о
3) ЬпЛ(х)-(-х)к
к =0 >'„(2х)
и К(х) к
4) для qn к (х) = —'-х выполняется соотношение
/ к - их
где м>(х) - дважды дифференцируемая функция, не имеющая нулей на (0,«0,
для / : Яг —> Я строятся операторы
¿„(/;*)= I '¿'(-1 )("ьКкп,т)-рп-к(хт),
к= 0 т=0
где р -к(х) = П^; 1 = 1 2п(х,1
" 1 уи(2|Л:|) т~тх + т2 -2 + /я3 -22+...+тг -2Г~', тк е {0;1} ; х = (х, );
*л.» = АН)™1 ^(-1)"' ), где к} е ЛГ0, п е ЛГ;
\ и п п '
(тк\ - т^к] +.....+тгкг.
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №04-01-00060).
39
Если в операторах Ьп в качестве исходных взять операторы Саса-Миракьяна, то при г = 1 получим операторы, введенные в рассмотрение Грофом [2]. Для произвольного г, для операторов, построенных также по операторам Саса-Миракьяна, в работах [3 - 5] доказаны теоремы, указывающие порядок приближения операторами Ьп непрерывных, дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций, а также доказывается теорема, являющаяся аналогом теоремы Вороновской [6].
В работе [6] приводятся аналогичные результаты для операторов в общем виде.
Из этих теорем видно, что порядок приближения операторами Ьп дифференцируемых функций по сути п~1 2, дважды дифференцируемых -п~\ и, как следует из теоремы типа Вороновской, порядок приближения для трижды и более раз дифференцируемых функций не улучшается. Таким образом, класс насыщения для рассматриваемых операторов — дважды дифференцируемые функции. Аналогичная ситуация имеет место и для исходных линейных положительных операторов.
Для р раз дифференцируемых функций рассмотрим операторы
Лл0(/;х) = Л„ = £„(/;*),
и для р>- 2
Л„,Д/;х) = 1„(/;*Ь £ Г—1-
к=2а=к а1!.....аг!
г
где Б" (х) = ¿„ (]~[ (г,- -х, )а",х), * берется по всем наборам целых не-
¡=1 а=к
отрицательных чисел а,, / = 1,...,г, таким, что а, +... + аг = к,
а'/
а о а( а,
сЬс, 1 ...ОХ,. '
Если взять г — 1, а вместо операторов Ьп операторы Бернштейна, то получим конструкцию, которая при р = 3 была указана самим Бернштей-ном, а для любого р построена и изучена В. С. Виденским [7].
Имеет место следующая
ТЕОРЕМА. Если функция /: Лг -> Я р раз дифференцируема, то
,=1 а=р где с(г; р) - константа, зависящая только от г и р,
со (/,й)= sup sup f(x + 8)-f(x)\, 0(/г) = [О,А1]х[ОЛ]х----х[О,/гг],
beQ(h)xsRr
h =
M /R*2)[ /|w(x,-)i V и' 'V и "••'•у и
Доказательство теоремы проводится по следующей схеме. Применяя формулу Тейлора, получаем неравенство
i'-<V V i=i А
где S« (X) = Ln(П С, - X,)"'; *); I а, = а ; \ = 5с + 8(* - *); 9 е [0;1 ].
Несложно показать, что 1-„(!к; х) —» хк, и, находя порядок этого приближе
ния, получаем оценку для выражения Б" (х)| . Аналогично, используя
дуль непрерывности, получаем оценку для последнего слагаемого в (*). И после этого доказательство теоремы завершаем но индукции.
мо-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коровкин П. П. Линейные положительные операторы и теория приближений. М„ 1959.
2. GrofJ. Függvenyapproximäco az egesz szameqyensen, sülyozott hatvänysorokkal // Mat. Lapok. 1977 - 1981. Vol. 29, № 1 - 3. P. 161 - 170.'
3. Гудошникова E. В. Приближение непрерывных функций многих переменных. Саратов, 2001. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 03.10.2001, № 2083-В2001.
4. Гудошникова Е. В. Аппроксимативные свойства многомерных аналогов операторов Саса-Миракьяна. Саратов, 2001. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 20.11.2001, № 2412-В2001.
5. Гудошникова Е. В. Приближение дифференцируемых функций многих переменных комбинациями многомерных ан&чогов операторов Саса-Миракьяна. Саратов, 2002. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 25.03.02, №530-В2002.
6. Гудошникова Е. В. Конструкции линейных операторов для функций многих переменных//Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-га, 2004. Вып. 6. С. 40 - 42.
7. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Л., 1990.
