Оценки порядка приближения и теоремы насыщения для класса операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

NJ(dn+a, dn+b) = 2Ubadn + ReabcXn+Cdn+e,

Nj (£a,dn+b)=0,

Nj (Sa,dn) = Nj (dn+a,dn) = -Xn+CPbacdn+b.

Таким образом, почти контактная метрическая структура (D,jj, J,fj, D) почти нормальна тогда и только тогда, когда обращаются в нуль тензор кривизны Схоутена [2]:

R(x,y)z = VxVyz - VyVxz - Vp^^z - P[Q[x,y\z\ = 0.

Пусть теперь Q(x,y) = g(x, Jy) - фундаментальная форма структуры (D,g, J,fj,D). Вычислим ее внешний дифференциал.

Проводя необходимые вычисления, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: dQ = 0 ^ du = 0. Таким образом, теорема 2 допускает следующее уточнение.

Теорема 3. Почти контактная метрическая структура (D,g,J,fj,D) является почти контакт,ной кэлеровой структурой

D

нулевой кривизны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев С. В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Изв. вузов. Сер. Математика. 2014. № 8. С. 42-52.

2. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многооб-разований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

ОЦЕНКИ ПОРЯДКА ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ КЛАССА ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим класс линейных положительных операторов с простым условием сходимости последовательности операторов к тождественному.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность линейных положительных операторов принадлежит, классу W, если выполнены условия

(

Ьп(1; х) = 1 и — Ьп(/(г); х) = nW(х) Ьп((г - х)/(г); х), (1) где W(х) - аналитическая положительная функция.

Примерами операторов класса W могут служить операторы Берн-штейна, Вейерштрасса, Сиси Мирикьяни. Баскакова.

Теорема 1. Пусть Ln(f; x) - линейные положительные операторы, класса W. Если f G C[a; b], то

|Ln(/; x) - f (x)| < ; -П) (l + V^}). (2)

Если f G C1 [a; b], то

\T (f \ ff M v(x) + VM

|Ln(f; x) - f (x)| < ^ f; -/=-. (3)

V Л/ == J V=

Если, f G C2 [a; b], то

|f) - f(x)| < и f -J=) ^ + ^^^^^, (4)

где V(x) - некоторая аналитическая функция, выражаемая через v(x). Если, f G C2 [a; b], то

lim =(Ln(f; x) - f (x)) = 1 f"(x)v(x). (5)

п^то \ /2

Доказательство. Взяв /(ж) = 1, из (1) получим £п(£; ж) — ж. Аналогично, взяв /(£) — получим Ьп(£2; ж) — ж2 + пщх). Таким образом, Ьп удовлетворяет теореме Коровкина, из которой следует утверждение (2).

Для / С С 1[0,1], применяя формулу Лагранжа, неравенство Коши^ Буняковского и свойства оператора Ьп7 получим

|ЬП(/(*); ж) - /(ж)| < ¿п(|/'(£) - /(ж)| - ж|; ж) < < Ьп ((1 + - ж|)|^ - ж|; ж) Тп) — — и(/'; ^) [Ьп(|^ - ж|; ж) + ^ПЬп((* - ж)2; ж)] < < ^ л/Ьп((г - ж)2; ж)Ьп(1; ж) + -^п^((£ - ж)2; ж)

_ (р 1 + ^(ж)

и (3) доказано.

Для / Е С2[0,1], применяя формулу Тейлора и проводя аналогичные рассуждения, получим утверждение (4) и неравенство

Ь„(/К); ж) - /(ж) - /"У

<

< 1 ^/ ^ ^М + УЙ /3^2(ж) + ^(жК2(ж) + ^2(ж)^//(ж)

< п V ' л/п/ \ 2 2 V п

Умножив последнее неравенство на п, замечаем, что правая часть стремится к пулю при п ^ то, значит, и левая часть стремится к нулю, откуда и следует последнее утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Как видно из неравенств (2)-(4) порядок приближения для дифференцируемых функций лучше, чем для непрерывных, а для дважды дифференцируемых - чем для дифференцируемых. А из соотношения (5), которое является аналогом теоремы Вороновской, следует, что при дальнейшем повышении гладкости функций порядок приближения уже не улучшается.

Поэтому возникает идея, используя линейные положительные операторы, построить последовательности, дающие более высокий порядок приближения для т раз дифференцируемых функций, чем исходные операторы. Ниже будет рассмотрена одна из таких конструкций.

Определение 2. Пусть т Е N / Е Ст[а; 6]. Ьп(/; ж) - последовательность операторов класса W. Положим

Мп,1 (/; ж) — Мп,2(/; ж) — Ьп(/; ж),

для т > 2

т-1 1

Мп,т(/; ж) — ¿п(/; ж) - ^ к!Ьп ((* - ж)к; ж) Мпт-к(/(к); ж).

к=2 '

Ьп

последовательность операторов была построена Виденским [1].'

Теорема 2. Для / Е Ст-1[а; 6], т Е N

|Мп,т(/; ж) - /(ж)| < ^Ат(ж)^^ " 1

?(т-1);

т-1 Ат(ж)^ I / ; ,

п"2"" V уп/

где Ат(ж) - аналитическая функция, заданная следующим образом:

А1(ж) — 2(1 + А2(ж) — 2(^(ж) +

для ш> 3

т—1

(х)Ат-к (х) 1 У*_1 (х)+ Ут (х)

Ат(х) = ь +

к=2

к! п[к (ш - 1)!

У1(х) =0,У2(х) = у(х),

ш3

/1 (

Ут(х) = у(х)[п[т-]-[т] —Ут-1 (х) + (ш - 1)Ут-2(х)

Ут (х) =

Ут(х), если ш четное,

\/У2т-2(х)у(х), если ш нечетное.

Доказательство. Из условий (1), применяя бином Ньютона к выражению (г - х)к, получаем

Ьп {(I - х)т+1; х)

т+1. _ 1)(х)

п

(.Ьп( (г - х)т; х) + шЬп( (г - х)т-1; х)

ку

Применяя метод математической индукции дляш > 2, получим оцен-

Ьп ((г - х) ; х) = гт+1] .

п[ 2 ]

Откуда, применяя неравенство Коши Буняковского. получим для ш>2

Ут (х)

Ьп (\г - х\т; х) < 1

П 2

Обозначим Ящт(/; х) = —-Ьп((/) - и (т)(х))(г - х)т; хУ где ^

ш!

лежит между г их. Тогда с учетом полученных выше неравенств несложно получить

1

1

№п,ти; х)\< -т— (У*(х) + У*^(х))и(и(т); -=).

п 2 ш!у у \/п

Применяя к разложению функции и(х) по формуле Тейлора опера-

Ьп

МпМ; х) - и(х) = 1 \и"(х) - Ьп(Г; х)} Ьп((г - х)2; х) + ЯпАи; х),

МпМ; х) - и(х) = 2 Г(х) - Ьп(Г; х) Ьп{(г - х)2; х) +

/'"(ж) - L„(/'"; ж) Ln ((i - ж)3; ж) + Д„,з(/; ж)

и, проводя соответствующие оценки и подстановки, получим утверждение теоремы для m = 3 и m = 4. Завершение доказательства проводится по индукции.

Теорема доказана.

Теорема 3. Для / G Cm[a; b], m G N

lim n[ 2 ] Mn,m(/; ж) - /(ж) =-, У,

п^то \ / ml

то есть порядок приближения операторами, Mn,m(/; ж) ие лучше, чем

[^ ]

П 2

Доказательство. Из определения оператора Мп,т и формулы Тейлора непосредственно следует, что

/ (т)(ж)

Mn,m(/; ж) - /(ж) - | -п

ml

Ln((i - ж)m; ж) =

m—1

k=2

Е^Ln((i - ж)к; ж) /(k)(ж) - Mn,m-k(/(k); ж) + Rn,m(/; ж). (6)

С учетом доказательства теоремы 2

m-1 1

fcV--С" ^."к):ж) -

k=2 1

m- 1

— ^ ^ 77 rfc+1l m-fc-1 ^ ( /

М(i - ж)к; ж) /(к)(ж) - Mn,m-k(/(r); ж) + Rn,m(/; ж)

<

k=2

|Vk(ж)| Am-k(ж)

LI [М1] m-k-

kl n[ 2 ] n 2

Vm(ж) + Vm +1(ж) f r(m)

--m-.-^ J ;

(m-1);

+

1

п 2 т! \ \/п,

что стремится к нулю при п ^ то. Следовательно, и правая часть равенства (6) стремится к пулю при п ^ то, то есть

[ m+1 ] - Т) [ 2 ]

lim n["+1 ](Mn,m(/; ж) - /(ж)) =

г^то \ /

/(m) (ж) vm^)

m+1 ] /(m)(ж)

— п 2 ^--—Ьп((£ - ж)т; ж — , ,

т! т!

что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Л. : Изд-во Ленингр. пед. ин-та, 1990. 64 с.