Теорема насыщения для класса операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ения.

Теорема 2. Пусть 1 i,..., 1 m - допустимые гамильтоно-вы системы. Тогда существует такая внутренняя симплектиче-ская связность V, относительно которой распределение Lx = = Span(— 1(x),..., 1 m(x)) параллельно.

Доказательство. Выполняя в каждом пространстве Dx процесс ор-тогонализацнп Грамма^Шмпдта относительно допустимой метрики, получим ортонормированный базис 1 i,..., 2m такой, что g (l- a, b) = = const, u(lta, b) = const. Осталось определить связность V, полагая

V-11 = (llVa)11 a, 11 = Va~l a-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трофимов В. В. О связностях абсолютного параллелизма на еимплектичееком многообразии // УМН 1993. Т. 48, № 1. С. 191-192.

2. Трофимов В. В. Индекс Маелова лагранжевых подмногообразий еимплектиче-еких многообразий // Тр. еемин. по вект. и тенз. анализу. 1988. Вып. 23. С. 190-194.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М, : Наука, 1979.

4. Воуег С. Completelv integrable contact Hamiltonian systems and toric contact structures on S2?S3 // SIGMA Symmetry Integrabilitv Geom. Methods Appl. 2011. Vol, 7. Paper 058, 22 pp. 53Dxx (37Jxx).

5. Khesin В., Tabachnikov S. Contact complete integrabilitv // Eegul. Chaotie Dvn, 2010. Vol. 15, № 4-5. P. 504-520.

6. Libermann P. Legendre Foliations on Contact Manifolds // Differential Geom. Appl., 1991, vol. 1, pp. 57-76.

7. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

8. Галаев С. В., Гохмап А. В., Хромов А. П. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика : Сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 28-31.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

ТЕОРЕМА НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ КЛАССА ОПЕРАТОРОВ

В работах [1, 2] была рассмотрена следующая последовательность операторов:

Ln (f; x) =

1

00

g(z(x))n

k=о 25

k

n

®k,

z (x) ■ф(z(x))

k

где д(г) и ф(г) аналитические в круге | < а, принимающие положительные значения на [0; а] такие, что на [0; а] жф'(ж) < ф(ж) и числа

ао,п = д(0)п и ак,п =

1 а

и-1

к! а^-1

д(г)п ф(*)к

, к = 1, то

2=0

неотрицательны, а г (ж) - функция, обратная к функции

ж(г) =

г) - гф/(г) д(г) '

Частными случаями операторов Ьп являются многие хорошо известные операторы, например, операторы Сиси Мирикьяни. Баскакова, Ка-талана. Кроме того несложно указать пары функций д и ф с требуемыми свойствами и получить новые последовательности операторов.

Было показано, что ж(г) монотонна на [0; а], ¿/(ж) > 0 д'(г) > 0 и получен следующий результат.

жд( ж)

Теорема 1. Обозначим ^(ж) = \ \ -Тогда для / е С [0; ж(а)]

г (ж)д (ж)

|Ьп(/; ж) - /(ж)| < 2и(/;

'■и(ж)

п

для / е С 1[0; ж (а)]

|Ьп(/; ж) - /(ж)| < 2\!^

п

'г>(ж)

п

для / е С2[0; ж (а)]

|Ьп(/; ж) - /(ж)| <

^(ж)

ч/ )+и/'

и

V (ж) -и(ж)

Ьп(/; ж) - /(ж) Ц/";

2п

п

^(ж)

п

Из теоремы 1 видно, что порядок приближения операторами Ьп улучшается при переходе от класса непрерывных функций к дифференцируемым и от дифференцируемых к дважды дифференцируемым, но не дальше, и порядок приближения V раз дифференцируемых функций при V > 2 теть 1/п.

Для V раз дифференцируемых функций (V > 2) в работах [3-4] была рассмотрена последовательность операторов

V-1 1

М^(/; ж) = Ьп(/; ж) - ^ -¿п((* - ж)и; ж)Мп^-и(/(к); ж),

к=2 !

Мп,1(/; ж) = Мп,2 (/; ж) = Ьп(/; ж)

и для них доказана следующая теорема.

Теорема 2. Если функция / V раз дифференцируема (V > 2); то

(/; ж) - /(ж)| < п-^и(/("-1); -=V,(ж),

п

г<?е (ж) - функция, которая может быть выражена через V(ж).

Продолжая дальнейшее исследование операторов Мп^, установим следующий факт.

Теорема 3. Если функция / V раз дифференцир уема (V > 2); то

Мп,(/; ж) - /(ж) - /М(ж)Д,(ж)|< п-2*(/^(ж),

г<?е v(ж) то ;же7 "¿то и в теореме 1, ^ (ж) - функция, которая может

быть выражена через v(ж); в (ж) = 0, в2(ж) = ^гг(ж), для V > 2

2!

1 1

^(ж) = V!^п^(ж) ^ ^ —!(ж)^-к(ж) ! к=2 !

и

Бпк(ж) = £п((* - ж)к; ж).

Доказательство. Для V = 2 утверждение доказано в работе [3]. Для V = 3, разложив /(£) по формуле Тейлора и применив к этому разложению оператор Ьп, получаем

Мп,з(/; ж) - /(ж) - ////(ж)вз(ж) < 2 /''(ж) - Ьп/ ж) ^(ж)

+

1

+6

М[////(£) - ////(ж)](^ - ж)3; ж)

<

и, используя результаты из [1-4], получаем, что

<

п-2 и ////;

'V (ж)

п

' чэ \/ (ж^ (ж) (ж) 1

V (ж)2 + -—4- Д v у + у 7

6д/п

пз

где и>2(ж) = г>(ж), для V > 3 то^(х) = ^ж), (х)

Следовательно, для V = 3 утверждение теоремы выполнено. Для V > 3, проведя аналогичные рассуждения, получим

Wk (x)

nk —1 '

(f; x) - f (x) - f (v)(x)ßv(x)

<

v-1

k=2

(v-k)

< E f(k) (x) - Mn,v-4f (k)(x); x) + (f(k) (x))(vßv-k(x) Sn,k(x)

+

1

+Vi!

M [f(v^) - f(v) (x)](t - x)v; x)

<

< n-2w(f(v)-/v(x)

n

v-1 W„,v-k(x) v(x) , W„*v(x)

£

k=2

k! nk/2-1 + nv/2-1

что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Следствие, lim nv+i|Mnv(f; x) - f (x)| = 07 если f имеет,

n—TO 1 ' 1

более, чем v производных.

Доказательство. Пусть f имеет v + 1 производную. Тогда

Mn,v(f; x) - f (x) - f(v) (x)ßv(x)

<

< n-^ Iif(v+1)||гАМ

Wn,v-2 (x) + Wn,v (x)

2

n

/2-1

l- v+i

^ lim n 2

n— 2

Mn,v(f; x) - f (x) - f(v)(x)ßv(x) =0

При v = 3 n2ß2(x) =

n2 S„,3(x) _

6 6

= 1 v(x)v'(x) ^ 0. Поэтому

n + ßv (x)

Wv (x)

v- 1

v-1 £

Wk (x)ßv-k (x)

v1

I V—i /_J 7 I k— V —3

v! n 2 k=2 k! nk 2 2

O(i)

= o(i) -£ = O(1)

1 n n 2 1

k=2

откуда и следует доказываемое утверждение. Следствие доказано.

Таким образом порядок приближения оператором класса функций, имеющих V + 1 производную, не может быть лучше, чем п-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гудошникова Е. В. Конструкция линейных положительных операторов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 20-22.

2. Гудошникова Е. В. Конструкции ЛПО и их аппроксимативные свойства, // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С. 18-20.

3. Гудошникова Е. В. Порядок приближения дифференцируемых функций классом линейных операторов. // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 19-21.

4. Гудошникова Е. В. Приближения классом линейных операторов. // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 17-20.

УДК 51-77

С. В. Иванилова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА, ФИНАНСИРУЮЩЕГО ИННОВАЦИОННУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

В статье будут рассмотрены основные существующие модели денежного потока в финансировании инновационной деятельности, а также их модернизация с учетом стадий жизненного цикла базисных инноваций.

Инновация - это процесс вложения средств не только в разработку новой техники, технологии и научные исследования, но и во внедрение в производство и в коммерциализацию инноваций.

Для финансирования инновационной деятельности необходимо сформировать нетипичный денежный поток, в котором притоки и оттоки денежных средств будут дозированными и для снижения рисков - многоканальными.

Если финансирование инновационной деятельности характеризуется тем, что за этапом первоначального инвестирования капитала, т. е. оттока денежных средств, следуют длительные поступления, т. е. приток денежных средств, то такой денежный поток будет называться релевантным (рис. 1 ,а), [1, 2]. Если отток и приток денежных средств в потоке чередуются неоднократно, то такой денежный поток будет являться нерелевантным (рис. 1,6), что выражается формулой

= Хтах СОв^ + <£о), (1)

где х _ величина чистого денежного потока в момент времени Хтах _

2пп

максимальное значение денежного потока; ш = -у— частота смены при-

п