CC BY
51
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2008, том 51, №4_____________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Ш.Абдулофизов
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ОБОБЩЕННЫМИ ПОЛИНОМАМИ ТИПА МНОГОЧЛЕНОВ БЕРНШТЕЙНА НА ПОЛУОСИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 04.03.2008 г.)
1. В заметке [1] Г.Х.Киров рассматривал полиномы типа Бернштейна порядка (п, г) для функции / еСг[0,1], г = 0,1,2,... следующего вида
f(i) k_ J п
k=0 z=0
Известно, что многочлены Бернштейна
п ik\
k х —
V nj
ҐпЛ
\k;
xk(\-x)n~k. (1.1)
W;*) = x/ - cknxk{\-xrk (1.2)
k=0 \n)
равномерно сходятся к функции f є С[0,1]; положим
^(1 -хТ*= су (і-ху*= рЛ{х\
кЬ
тогда
k=0
Если в (1.1) г = 0, то получим (1.2). Для обобщенных многочленов Бернштейна (1.1) имеют место следующие теоремы
Теорема А. Пусть /еСг[0,1], г = 0,1,2,... и Bnr(f;x) ее полиномы Бернштейна порядка (п, г). Тогда имеет место неравенство
_г _ 1
15„,г(/;*)-/(*) \^Ko(r)n ~2o){fr\nj),
где К0(г) - постоянная, зависящая только от г .
Теорема В. Пусть /єСг+2[0,1], г = 0,1,2,... и Bnr(f;x) - обобщенные полиномы Бернштейна порядка (п, г) для f. Тогда для всякого х є [0,1] имеет место следующая асимптотическая формула
т) / х \ х/ \ (-1)ГУ(Г+1)(х)^г+1 (х)
в„,у-,х)=/(*)+' ’¡г+^;„г' ’+ дмПадд
(г + 2)\пп1 ,,!*■ ’
где
п
^т(х) = ^(к-пх)трл{х), т = 0,1,2,.
к=0
ИтР„,г =°-
2. В заметке [2] мы построили линейные положительные операторы вида
п
«,(/;*) = 1/(£,)<?,, м. (2.1)
к=0
%пк=кпХ\+г^-кп1у\ (2.2)
Я*(*) = Сп Ф + х) ” О + Ох к(гп-хТк, (2.3)
Ё^(*) = 1- (2-4)
к=0
Линейные положительные операторы (2.1) получаются из многочленов Бернштейна
” ГкЛ „ч Л /А:4
где
Д,(/;') = £/ - л,(0 = 1/ - су (1-0
¿=о Vй У
п—к
заменой переменной
^а+^мх+х)-1, и
где {ги} - положительная возрастающая неограниченная последовательность.
Пусть Ф - возрастающая на Я+ функция
СФ(Я+)= /еС(^+):тах|/(х)|<Ф(гп) .
О <х<г„
В [2] доказано, что если {ги} удовлетворяет условию
и
Нт Ф(/;)/; п =0,
п—> со
то для / еСФ(7?+) на всяком отрезке [0,^4] последовательность 8п(/;х) равномерно сходится к / и при А<гп справедлива оценка
где соа (/;£)- модуль непрерывности функции / на [0, а\,
£>„(х) = х(гп - х)п1 (1 + гпу1 < —
3. В этой заметке мы, исходя из линейных положительных операторов (2.1), для функций /(г) е СФ(7?+), / = 0,1,2,... построим полиномы порядка (п, г)
к=0 г=0
пи
й
(х-^пкУчЛх1
(3.1)
где с/п1. (х) имеют вид (2.3), а спк имеют вид (2.2). При г = 0 мы получим операторы (2.1). Через (2„у(х) обозначим моменты
П
Оп,у (х) = £ (£а - ХУ Чл (*)• (3.2)
к=0
Для многочленов Бернштейна (1.2), чтобы найти моменты 4-го порядка, мы дифференцируем
^ п
(1.3) 4 раза, получим Рпк(Х)=1
\к=0
к V , ч Зґ2(1-02 ґ(1-0(1-6^ + 6ґ2)
и—* Р*®=- '
*=<Лл
п
п
Отсюда
к=о\П ) п
Используя (*) и (2.2), получим
гг
I
Следовательно,
/ \ 4
к=0
1 + £
Vі +ГП
I0
И
/
п
Ё (£* - х)4 Чпк О) ^10гп (! + *)'
4/1 , ,.\4п 2'
(3.3)
к=О
Для %пк < 2А имеем
Е ^л~х)4ЧЛх)^Щ1 + 2А)\1 + х)
, ,л4и-2_
Теперь получим соотношения для (3.2) при V - 2г и V -2г + 2. Мы используем неравенство, которое было получено в [3](см.стр.27, формулу (5.10)) для центральных моментов
"( 1г V
—* р^х
к=о\П )
то есть
П
где К(т) зависит только от т . Если т = 2г, тогда
Используя (*) и (2.2), мы имеем
8Аг)\<К{2г)п\
\2г
^И,2г(0 = Е------------1 Р*Ц) =
к=0\п )
\-2 г
■(1 + дс)
Отсюда получим
Г \2г г„
(1 + *)2гА:(2/->Г
Следовательно,
£(4»-.*)2'ьС*)£(1+*г'К(2 г)г_
2 /7 Г.
к=0
(3.4)
Для ^ < 2^4 имеем
?2
Е (¿»-х)2’?л(.ї)<(1 + .ї)!’(1 + 2^)2’Х(2г>Г’. (3.5)
4^2 Л
Таким же образом для т = 2г+ 2 получим
п
£ (£, -*)2"!?*« * (1 + *}2"!*(2г + 2УГгп-{"'\
к=0
Е (5*-х)2г+2ЧпАх) ^ (1 + х)2г+2К{1г + 2)(1 + 2^)2г+2ич''+1). (3.6)
Теорема 1. Пусть /(г)єСФ(і?+), г = 0,1,2,... г/ г(/;х)-полином порядка (п,г) для функции /. Тогда имеет место неравенство
Г ^_Л
V ' 4п;
где соа(/; 8) -модуль непрерывности / на [0 ,а], С0(А,г)~ зависит только от А и г.
Доказательство. Пусть г-1,2,3,... (при г = 0 получим (2.1)). Напишем видоизмененную формулу Тейлора в виде
ы Й
+ <Г^,)' 1'(1->Г1[/м(^+»(^-^))-/<,)(^)]‘*- (3.8)
(г-1)! г» ь
Используя (2.4) и (3.1), мы можем написать
п Г ^ И .
я», (/;х) - /(*) = Ё Е —-¡г~ (х ~ £* )г ^ (х) - Ё я*)я* (х)-
к=0 2=0 к=0
Отсюда, учитывая (3.8), имеем
8пЛ/;х)-Дх) =
п г /■(0/г \ и [ г /’(О/е л
»ЕЕ^-^^-бЛ^-Е Е^-г^-о' +
£=0 2=0 £=0 2=0 ^
{х(г':^ {о -/г' [/<г,(&,.+их- ^»- /"■’(с)] лЦ„„«
Отсюда имеем
£ Ё |17^Г ^ к"’ «•* + К* )| Л и* « = 2, + X,, (3.9)
где
Ъ = I Ц-^г/(1-'ГЧ/(г,(#*+^-&))-/1г>(^)|<* «*(*)•
Используя определения модуля непрерывности и свойство
ю(/-,£5)<(\ + £)а)(/-,5),
получим
Е1- Е ^Ц-^г/а-'ГЧ, /(г);*1*-£*\л\чЛх)^
Ь*2А { (г-1)! ^ ]
1
£пк-2А
(г-1)!
пк I &*2А
о
V ’л/йу
<* г ?*(*) =
£„¿<2 А
(г-1)!
2 А
Г ЛГ).1_Л V ’>/йу
1 /---- | £• , 1
- + л/и|*-£*| —---------
г г(г +1)
'ЧАХ) =
= -^2 г!
4п
Е 1-*-^г^(*)+^: Е !*-&* г1 ?»*(*)
,<2 А
г +1
,<2Л
Применяя неравенство Коши-Буняковского и учитывая (3.5) и (3.6), получим
^1 — . ®2 А
г\
г лг).А_л
V ’ >/и У
IЕ (х-^пк)2Гс1пк(х)\ Е ?,*(*) +
+Щ ІЕ (х~^*)2г+2чЛх) ІЕ ?*(*)
Г + ІУ)^А УІЄЇҐ2А _
г.
/
и.
V V" У
4п,
д/(\ + х)2гК(2г)(\ + 2А)2гп
+ -
•\/Й
г+ 1
7(1 + х)2г+2К(2г + 2)(1 + 2Л)2г+2и“(г+1)
- К*А(г)П*С02А /{г)\^г=
\ ып;
(3.10)
Теперь оценим Х2.
При ^>2^4 и х<^1 мы получим Е,пк-х> А, (^'пк-х)2>А2, тогда, используя
/(г) є СФ(І?+), мы можем написать
е2 = Е {Ц-%г'/(‘-'Г1+^-^))-/<':,(^)к4?,.«
#„*>2Л [ (/ 1)! о )
<
< 2Ф(Г») Ук; Г/¿Г _ХЛ2
Л2(г-1)!Ду
1 г-1 ,
І-ґ сії
Чпк(Х)
<
й Щ ЕI £* - ■* Г (£* - *)2 Чпк (*)■
Л Г- к=0
Используя неравенство Коши-Буняковского, (3.3) и (3.4), имеем
Е,<
2Ф(г„)
Ё (£* - ХУГ Чпк (*) • ,Ё (£* - *)4 Чл (х) <
£=0
<^^-^1 + х)1гК(2гУ;'П-г-фОгХ1 + х)4»Г2 =
К(2г) >;>/І0г„2я+І <XДг)я_нФ(г„)г,
Л г!
г+2
(3.11)
Из неравенств (3.9), (3.10) и (3.11) получим (3.7)
Кг (/; *) - Д*)| ^ со (4 Ф~" I ^ /(г); ■-7=]+ф^»“1 [ •
V
л/Й.
Г
0
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если функция /(г)(х) равномерно непрерывна на полуоси К = [0,+оо), тогда имеет место неравенство
4п.
Хорогский государственный Поступило 04.03.2008 г.
университет им. М.Назаршоева
ЛИТЕРАТУРА
1. Kirov G.H. - Math.Balkan., 1992, vol.6, 2, p.147-153.
2. Абдулофизов Ш.,Виденский В.С. - XXXI Герценовские чтения. Нелинейный функциональный анализ, Л., 1978, с.1-3.
3. Виденский В.С. - Многочлены Бернштейна. Л.: ЛГПИ, 1990, с.27.
Ш.Абдулофизов
НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ БО ЁРИИ ПОЛИНОМ^ОИ УМУМИКАРДАШУДАИ НАМУДИ БИСЁРАЪЗОГИ^ОИ БЕРНШТЕЙН ДАР НИМТИРИ АДАДЙ
Дар мак;ола полиномх,ои умумикардашудаи нав дар нимтири ададй додашуда, тартиб до да шудаанд. Ба воситаи ин полиномх,о класси функсиях,ои СФ(И') наздик карда мешаванд.
Sh.Abdulofizov
APPROXIMATION OF FUNCTIONS WITH GENERALIZED POLYNOMIALS TYPE OF BERNSTEIN POLYNOMIALS AT SEMI-AXES
In this article composed a new generalized polynomials in predetermined semi-axes. Therewith these polynomials approximated class functions CO(i?+).
