CC BY
42
УДК517.518.8
ПОЛОВИНКИНА Юлия Станиславовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 19 научных публикаций, в т.ч. 5 учебно-методических пособий, 1учебного пособия
ОБ ИТЕРАЦИИ СПЛАЙНОВ ПО МНОГОЧЛЕНАМ БЕРНШТЕЙНА
Для многочленов Бернштейна и ряда их обобщений известно, что порядок приближения ими функций, имеющих непрерывные производные выше второго порядка, не улучшается с увеличением порядка гладкости функции. В статье строятся сплайны по многочленам Бернштейна, применение к которым итерационного процесса позволяет построить операторы, скорость сходимости которых к порождающей функции улучшается с повышением ее гладкости.
Итерационный оператор, сплайн, многочлены Бернштейна
Введение. Линейные методы приближения являются одним из основных направлений теории аппроксимации функций. Известно, что аппроксимационные свойства линейных операторов во многом зависят от их положительности. Классическим частным случаем линейных положительных операторов (л.п.о.) являются многочлены Бернштейна, построенные для функций / е с[0;1]
в« (/; х ) = £/ (Уп ]р„к (х),
к-О
Рпк (*)= Скпхк (1 - ХУ~к •
Для гладкой функции операторы Вп осуществляют одновременное приближение функции и ее производных. Однако они обладают следующим недостатком. Е.В. Вороновской в [1] было доказано, что скорость приближения гладких функций многочленами Вп перестает улучшаться, как только функция будет иметь
производные выше второго порядка. В дальнейшем С.Н. Бернштейн в [2] доказал, что порядок приближения с помощью данных многочленов будет 0(п~1).
При изучении свойств операторов Вп и их обобщений возникает необходимость оценивать так называемые центральные моменты, которые являются значениями этих операторов для функций (t - х)v, v = 0,1,2К при фиксированном х. B.C. Виденский [3] и Т.П. Пендина [4] ввели понятие л.п.о. канонического порядка, центральные моменты которых характеризуются некоторой правильной скоростью убывания. Многочлены Бернштейна являются частным случаем л.п.о. канонического порядка. В работах различных математиков предпринимались попытки построить операторы, которые улучшали бы качество приближения гладких функций. В работах автора [5], [6] построены обобщения многочленов Бернштейна Un и их модификации,
которые реагируют на повышение гладкости приближаемой функции, тем самым улучшая качество ее приближения.
Принципиально другим подходом к решению проблемы сходимости л.п.о. является построение итерационного процесса. Для операторов Вп этот прием использовал М.Ш. Джамалов [7]. В [8] автором была исследована итерация обобщенных многочленов Бернштейна £Уи, ранее изученных в [6]. Кроме того, в [9] автором была также предложена конструкция, построенная на основе многочленов Бернштейна и являющаяся по своей сути сплайном, изучены основные аппроксимационные свойства этих сплайнов. В данной статье излагаются результаты, полученные в ходе изучения итерационного процесса по таким сплайнам. При этом показано, что скорость сходимости будет выше и по сравнению с исходными сплайнами, и чем при итерации классических многочленов Бернштейна, изученных в [7].
Итерация по сплайнам. Рассмотрим сплайны, построенные в работе [9] по многочленам Бернштейна. Пусть / е С[а;б]. Разделим отрезок [а;Ъ] точками а = х0 < х1 < К < хп = Ь на п равных промежутков 1т, где 1=[хд;х1], 1ш=(хш-1’хщ]» т = 2,П ■ На каждом отрезке [хт1;хт}, т = 1, п зададим смещенный оператор Бернштейна степени я. Для этого на каждом из отрезков [хт1;х^7 выберем ^+7 равноотстоящий узел
= хш-1 + — к> 8п = , к = 0,5.
5 П
Соответствующий многочлен Бернштейна имеет вид
в, (/; 4 ) =
Ъ - а
X / (&»* )р* (7-)’
к=0
Рік (Тш ) = (* - Хш-1 )к (Хш - ХУ~к • (!)
Введем оператор
вш (Л Х) = Т;В* (/; х; 1т )х(1т), (2)
где ХІ^т) - характеристическая функция промежутка I .
Оператор В является интерполяционным сплайном, Вш([;х1)=/(х1). Кроме того, В^ будет л.п.о., так как таковым является каждый из многочленов (1).
На каждом отрезке [хт ;храссмотрим центральные моменты оператора Бернштейна «Я (1т) = В, ф - х) “; х; 1т). Определим также центральные моменты оператора В как (Вт; х) = Вт ((/ - х)3; х). Ясно, что
8У(Вш;х) = ¿8,(1т)х(1т), у = 0,1,2,К. (3)
т-1
Для центральных моментов (3) в [9] доказана следующая оценка
к =■
Ь - а
у > 2. (4)
Там же доказана теорема о порядке приближения гладких функций с помощью таких сплайнов в терминах модуля непрерывности функции/(х).
Теорема 1. Пусть / є С(р) [а; Ь\, р > 2. Тогда
^к (Вт ’ Х) у-(к)
к=2
к!
<
р/
кР8/2
где К(р) - зависит только от р, ю(/; х) - модуль непрерывности.
Из этого утверждения и того, что, как получено в [9]
) = 0(/п,)0(.у ).
следует, что порядок приближения функций посредством операторов В существенно улучшается в сравнении с классическими многочленами Бернштейна, но наличие у функции производ-
ных выше второго порядка по-прежнему не влияет на качество ее приближения с помощью Вт. Для устранения данного недостатка будем рассматривать итерационный процесс по В.
Введем необходимые обозначения. Пусть I - единичный оператор на С[а;Ъ]. Рассмотрим т-кратное применение оператора (В -1). Искомый итерационный оператор имеет вид Впт ^ = = 1-(1-Вп)т, или иначе (1-В™) =(1-Вт)т/. Докажем основную аппроксимационную теорему для построенного итерационного оператора.
Теорема 2. Если / е С(2т) [а; Ь], т е N, то
с/-/=о(/п 2 я ж )/(2и)+о(уп 2т )0( ^/т).
Доказательство. Будем проводить методом математической индукции. Базис индукции при т=1 очевидным образом получается как следствие из теоремы 1. Далее допустим, что для / е С(2у) [а; Ъ], где у = 2, т -1, имеют место равенства
<*., - ')• / = «у » )0{у. 1/'« + „оу „ му, 1
При доказательстве индукционного шага будем опираться на разложение функции / е С(2т) [а;Ъ\ по степеням Тейлора, которое в принятых обозначениях имеет вид
(в„, -1)/=/ • +
♦Z-
v=2 + о
(2v -1)!
,(/; х),
(2v)!
Г
(5)
гДе Кп,2Л'х)=Вп/г2т’-х), г2тС[;1;х) = 0]:2п>(2)-~/2т)(х))(их)2т/(2т)!, точка 2 лежит между / их. Из неравенства (4) следует, что
S. (К) = о(Уп ,,) 0( у
Тогда
).
2
(6)
\Rnp(/;х) |< ф(/(h—jL).
hPs/2 ny/s
То есть при р=2т верно асимптотическое равенство
r«,2 J = о(уп 2т) o(ysт). (!)
Применим к (5) оператор (Bns-I)m~1. Это дает {Вт - Iff = (Вт -1) “-1 f' +
, УТ1 J S2v-l(Вт ; х) (2v-l)l ,
+ ^l (2v -1)! j J +
v=2
+
S p$T/(11+(/; x))- (8)
Так как /" е С(2т 2) [а;Ь], то по индукционному допущению имеем
/о Т\т~^{ ^ ) гп
ш ~ ^ —2!— =
= 0{у,ту )|)( ум у._, )/<» +
+ И-]) } =
=0(У„)0( у. )/<=-> + о(уп„му.).
Воспользуемся равенством (7), чтобы получить оценку последнего слагаемого в формуле (8). Тогда
(В,„ -1)"-■ К,1ш/ = о(Упг,) о(У„). (9)
Перейдем к рассмотрению суммы
/О Т\т-х \ » х) - (2у)]
<я" “1) щ. { | ■
v=2
При V = т имеем, что / е С(2т) [а;Ъ], поэтому можно воспользоваться теоремой типа Поповичиу, доказанной ранее в [9]. Запишем ее
в виде <В„ -1)/ <2"> = 0<у ) 0(у^).
Учитывая равенство (6) и то, что для всякой функции g е С[а; Ь]
В -І II е < 21
ПЗ О
(10)
получим
= 0(1
2т >~кУ т )(Вт - I) т-\Вш - I)/<2”>,
(К -ЛМ-1 f(2м) = °(/п-)°(Х"М11)
Покажем, что к оставшимся слагаемым в рассматриваемой сумме при у = 2, т -1 можно последовательно применить индукционное допущение для т -V -го оператора, теорему Поповичиуи неравенство (10). Действительно, в этом случае /(2у) є С(2т~2у) [а; Ъ\, поэтому
/(2у) = 0(уп 2т )0( у т) /(2т) + (*)
(вш -1)
т-у ^2V (Вт )
(2у)!
+ 0(Уп 2т )°(У5т ) п 2т ^ т
В силу непрерывности функций фту (х) имеем, что
(ДЮ - 1) (*) _ п( 1
2т т
п Б
= ОКУ 2 т )ОКУ„м ).
Используя данное равенство и оценку (10), получим
(Вт -1)-1 /(2г) - (ВЯ1 -1У~2(Вт -1)
(2у)!
т-у ^2у ^ (2у)
(2у)!
-/(2у\
у=2
(2у)!
(12)
= °(/п2т )°(/8 ш )■
В равенстве (8) осталось оценить еще одно слагаемое
/ и _ Т\ т-1 \ ' ^2у-1 ) г (2г-1)
^ ^ ^ (2у -1)! '
Как и в предыдущем случае, воспользуемся индукционным шагом. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, запишем, что
/г» т\т-у ^ 2г-1 ) /'(2у-1)
(г” _ 7 > 1 =
= Ку (*)
2ш-1 т '
П 5
Так как Хту (х) е С(1) [а;б], то по теореме типа Поповичиу
(дю - ^) ¿„у (*) _ ^1/ Лп,1
^2т„т
п 5
= ОК Уп2и).
Применяя полученные равенства и неравенство (10), получаем такую оценку необходимой нам суммы
(г” “1) (¡¡V -1) 7 =
і/=2
0(^^ 2И т ).
(13)
Объединим результаты (9), (11), (12) и (13). Это дает следующее равенство
{в„ -1)’/ =
=<ху„2-)°(У,- )/11"+»(У„'.-му.)•
Таким образом, теорема доказана.
Итак, видим, что т-кратная итерация операторов Вп1. для функции / е С(2т) [а; Ъ\ дает порядок приближения п ~2т $ ~т .То есть с увеличением гладкости функции качество ее приближения с помощью построенного итерационного оператора улучшается. Кроме того, считая, что 5 > 50 (/) и п ^ +да, получим, что скорость сходимости итерационного процесса по сплайнам Вп8. значительно выше, чем при итерации в случае классических многочленов Бернштейна.
Список литературы
1. Вороновская Е.В. Определение асимптотического вида приближения функций многочленами С.Н. Бернштейна. М., 1932. С. 79-85.
2. Бернштейн С.Н. Добавление к статье Е.В. Вороновской «Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С.Н.Бернштейна» II Соч. Т. 2. М., 1954.С. 155-158.
Ъ.ВиденскийВ.С. Многочлены Бернштейна. Л., 1990.
4. Пендина Т.П. О приближении дифференцируемых функций бернштейновскими модификациями некоторых положительных операторов II Применение функционального анализа в теории приближений: сб. науч. тр. Калинин, 1987. С. 72-80.
5. Половинкина Ю. С. О приближении непрерывных функций обобщениями многочленов Бернштейна II Деп. В ВИНИТИ, № 1493-В98. СПб., 1998.
6. Она же. Модификации обобщенных многочленов Бернштейна// Деп. В ВИНИТИ, № 1492-В98. СПб., 1998.
7. Джамалов М.Ш. К одной теореме Е.В. Вороновской II Операторы и их приложения: сб. науч. тр. Л., 1985. С. 22-27.
8. Половинкина Ю.С. Об итерации обобщенных многочленов Бернштейна// Вестн. Помор, ун-та. Сер. «Естеств. иточ. науки». 2004. Вып. 1(5). С. 84-87.
9. Она же. Приближение непрерывных функций сплайнами по многочленам Бернштейна II Деп. В ВИНИТИ, №1491-В98. СПб., 1998.
Polovinkina Yulia ON ITERATION OF SPLINES ON BERNSTEIN POLYNOMIALS
It is known for Bernstein polynomials and a number of their generalizations that their approximation order of functions having continuous derivatives above the second order does not improve with the increase in the order of function smoothness. Splines are built on Bernstein polynomials in the article. Application of the iteration process to them allows to build operators, convergence rate of which to the generating function improves with the increase in its smoothness.
Контактная информация: e-mail: julyast@yandex.ru
Рецензент - Зеелъ Э.О., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
