CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2009, том 52, №11__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.518.8
Ш.Абдулофизов
О СХОДИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.09.2009 г.)
В заметке [1] мы рассматривали линейные положительные операторы вида
п
S,(J■,x) = Ё №Л)ЧЛ(х), (1)
к=0
где
£пк = кп 41+г- - кп1)-1, (2)
Чкп(х) = с"[гп(1+х)П(1+-)-]к- --, (3)
п
Ё Укп(х)=1 (4)
к=0
Рациональные дроби (1) получаются из многочленов Бернштейна
В (/; ‘) = Ё/Гк ] О" (> - ‘ )п-к
к=0 V п )
заменой переменной г = (1 + г~')х(1 + х)-1 = д(х)/д(гп), |д(х) = —^- , где {ги} - положитель-
V 1 + х )
ная возрастающая неограниченная последовательность.
Пусть Ф - возрастающая на Я + [0;+да) функция; СФ - множество непрерывных на Я+ функций /, удовлетворяющих условию
тах | /(х) |< Ф(г).
0< х< г
В работе [1] было доказано, что если последовательность {гп} удовлетворяет условию
11т Ф(гп )ги2п 1 = 0,
то для / е СФ на всяком отрезке [0; А] последовательность £и (/; х) равномерно сходится к / и при А < гп справедлива оценка
1$, (/; х)-. / (х)|< Са{02.а (/ ;4щх))+Ф(г )(1+г„ )2 А (х)},
где юа (f ;5) - модуль непрерывности функции f на [0; а],
Dn(x) = x(rn - x)[n(1 + rn )]1 •
Здесь мы рассмотрим приближение функций двух переменных линейными положительными операторами двух переменных типа полиномов Бернштейна.
Пусть Ф* - возрастающая по каждой из переменных x и у функция, определенная на
R+ х R+ • СФ* (R + х R+ ) - множество непрерывных на R+ х R+ функций f, удовлетворяющих
условию
If (x; у) 1^Ф*(х У> (5)
Выберем {rn },{РОТ} - последовательности неограниченно возрастающих положительных чисел таких, чтобы выполнялись условия
lim ф* (rn, рт Уппх = 0, lim ф* (rn, рт )р2т m 1 = °- (6)
п^ю п^ю
Построим операторы следующего вида:
n т
Snm (f; X У) = SS f (4k , Л ml Жк (x) Pml (УХ (7)
k=0 l=0
где (x) определены в (3), %nk в (2). лmi и pml (у) определим аналогично из условия
^ = — , то есть Vml = lm 1(1 + Р- -lm l) \
9 (Рт ) т
Pm, = Ст[Рт (1+ У)] т[(1 + РтМ (Рт -У)^ • (8)
Благодаря (4), имеем
т
S Pml(У) =1 (9)
l=0
В работе [1] были получены следующие соотношения
n
S (^k - x)(1 + £* )-1 4nk (x) = 0, (10)
к =0
E (f* - x)2 Чк (x) £ (1 + r, )2 D, (x), (11)
к=0
E (£* - x)2 Чк (x) £ (1 + 2Ä)2 D, (x). (12)
4t £2 Ä
Из неравенств (10), (11) и (12) получаем
m
Z (4ml - У )(1 + 4 ml Г' Pml (У) = 0,
l=0
Z (4ml - У)2 Pml (У) < (1 + Pm )2 Dm (У), (13)
l=0
Z 4 - УPmi (У) £ (1 + 2S)2Dm (У), (14)
4ml<2B
где
Ді (У) = y(Pm - y)[m(1 + Pm F1 •
Обозначим через J A отрезок [0; A], а через JB отрезок [0; B], = J x JB • Функцию
a(Sx ,S2) = sup {|f (u, v) - f (x у)|}
( X У ),(u,v)^JAB
назовем модулем непрерывности функции f (x, у) в прямоугольнике = J x JB • Если функция f непрерывна на и co(8x,82) ее модуль непрерывности, то каковы бы ни были Л > 0 и ju> 0 (см.[2])
б)(Х81,^82) < (А + ^ + 1)^(£j,£2)• (15)
Теорема 1. Пусть / є СФ*(R +xR+), тогда на любом прямоугольнике [0; A]x[0;B] справедливо неравенство
I S„m (/;x, У) - f (x, У) I < Ca,B Ha,2B (f ^Dn (x) ^Dm (x) ))
+
+Ф* (гя ,Рт )(1+гп № (х)+Ф* (г„,ри 221+рт № (2, (16)
где со2А2В(61,62) - модуль непрерывности функции на 32А2в.
Таким образом, если выполняется равенство (7), то операторы (8) равномерно сходятся к / на любом замкнутом прямоугольнике ^в.
Доказательство. Из (4) и (9) получим
k=0 l=0
ZZVnk (x)Pml (У) = 1 (17)
Используя (7) и (17), имеем
I Sn,m (f; х, y) - f (x y) I < ZZI f (i>*, Лпа) - f (x, y) I qnk (x)pmi (y )■
k=о l=0
Разобьем двойную сумму на три части следующим образом:
n m n
ZZ = Z Z + Z Z+Z !■
k=0 l=0 ink <2A 4ml <2B ik >2A 4ml <2B k=0 4ml >2B
Следовательно, мы имеем
1 Sn,m (f; ^ y) - f (^ y) 1 < Z Z If (ink, 4ml) - f (x, y)| 4nk (X)Pml (y) +
ink < 2 A 4mi < 2 B
+ Z Z I f (i, 4ml ) - f (^ y) I 4rk (x)Pml (у ) +
ink > 2A 4ml < 2B n _____
+Z Z If(ink , 4 ml) - f(x, y)I 4nk (x)Pml (y) = U1 + u2 + ^ (18)
k=0 4ml > 2 B
ПРи ink < 2A 4ml < 2B, учитывая неравенство (15), имеем
I f (ink 4ml) - f (x, y) I < ®2A,2B (f^ink - x I , I 4ml - x I ) <
<
1 Mr* - X| , \ 4ml - X|
VD^ TDmcy)
®2A,2B ( /^vDn<x)^vDmcy) ]•
Тогда для u получим
u1 = Z Z If (i ,4ml ) - f (x, У)\ qnk (x)Pml (У) <
ink < 2A 4ml < 2B
<%A,2Bif;VDn(X)^VDmty)] Z Z A+%=+
V Jink < 2A 4ml < 2B yj Dn (x)
+4J )?* (x) Pml (y).
Следовательно, используя (4), (9) и (17), получим
U1 < ®2A,2B f f ^Dn (x) ^Dm (y) ] [ Z Z qnk (x)Pml (У) +
ink < 2 A 4ml < 2 B
+ T7^ Z Z \4k - X\9nk (x)Pml (У) +
у Dn (x) ink < 2 A 4ml < 2B
+ I 1 Z Z 4ml - y\4nk(x) Pml(У)] <
у/d: (y) 4i < 2 A 4ml < 2 B
<®2A,2B ff ;V Dn (f f f (У) ] [1 + / ^ . Z ^nk - xkrk (x) +
V yjDn (x) ink<2A
+ / 1 Z \4rnl - У I Pml(У)].
iDm (У) 4ml <2B
Применяя неравенство Коши-Буняковского к суммам в скобке и используя (12) и (14),
имеем
u1 <®2A,2B f ;V Dn (x) ,Vffff j(1 + (1 + 2^) + (1 + 2B)) =
= (3 + 2 A + 2B>2a,, b f ;•#№) ^fffy> ]■ (19)
Так как i - x > A при i > 2A и x < A, то, учитывая (5), (9) и (11), можем писать
U2 = Z Z If (ink , 4ml ) - f (^ y)I 4nk (x)Pml (У) <
irk > 2A 4ml < 2B
< 2ф* ,Pm ) Z (ink ,2 x) qnk (x) Z Pml (У) <
ii>2A A 4ml i2B
< 2A2 (Гг 2 )(1 + Гг )Dn (x). (20)
Так как цт1 - y > B при 4 > 2B и y < B, то, используя (5), (4) и (13), получим
U3 =Z Z If (ink 4 ) - f (X, У)\ 4nk ((x) P ml (У)
k=0 4ml > 2B
<2Ф'(Г„)І?*(X) І Лі00 <
к=0 Чт1 >2 В В
< 2В 2Ф*(г„2221+Р»22(2 (21)
Таким образом, неравенства (18),(19),(20) и (21) дают неравенство (16). Теорема доказана.
Ясно, что соответствующая теорема справедлива для функций „ переменных класса С Ф[( Я + )„ ].
n
Следствие. Если функция / удовлетворяет условию Липшица с показателями а; (:
I f(x', У") - f(x', У ) |< Мх\х" -1 +12" - у' 2,
(0 < “ < 1,0 < Р < 1, М > 0, М2 > 0), дао на любом прямоугольнике [0, А] х [0, В]
|5„ (}; х, .у)} (х, у)|< м,(1+1 )“(д„ (хЦ + м2(1+а )^(й,: (г2.
Теорема 2. £сли функция }(х, у) удовлетворяет условию типа Липшица
,,, ч , | и - x I I v - У
\ f (u, v) - f (x, У) \< Г: 7-------------------------Г + 2
(и + x)
(V + У)
(22)
0 < х < ^, , 0 < у < V < (0 < ^ < 1, 0 < р < 1, / > 0, /г > 0),
то на любом прямоугольнике [0, А]х[0, В] справедливо неравенство
|*„ (Г; х, у) - } (х, у)|</Г ^ 1“+/2 |Ч 0 + «.) Г
И
m
Доказательство. Учитывая (7),(17) и (22),
\ Sn (f; ^ У) - f U У) \< ZZ \ f (ink 4ml ) - f (^ У) \ qnk (x)Pml (У) <
(23)
k=0 l=0
n m f
<Z Z
k=0 l=0
|ink - x Г \ 4ml - У
V
21 (i - x )Г 2 +22(4ml + У )2 2
4nk (x)Pml (У) =
n m
= 2lZ Г Z Pml 2 + 2/Z 22 Z 222 2 2
k=0 (ink X) l=0 k =0 /=0 (4ml + J)
Отсюда, используя неравенство Гельдера, (4), (9), (11) и (13), получим
\ Sn(f; x у) - f (x, у) \< 2 Z Iink- x Г 2nk +
x k=0
+
/2
l//2 ------
y l=0
Z1 4ml - У 2 Pml (У) <
/1
„„Г 2
Г— 2
Z(i - x)2 2nk
k=0
+
/2
У
2-
Z (4ml - У)2 Pml (У)
l=0
2 2
<2— + /; — - (-— +
J (1 + rn )(rn - x)
+ J (1 + Pm )(Pm - У)
m
Отсюда получим (23). Теорема доказана.
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
Поступило 15.12.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абдулофизов Ш., Виденский В.С - XXXI Герценовские чтения. Нелинейный функциональный анализ. - Л., 1978, с.1-3.
2. Ипатов А.Ф. - Уч. записки Петрозаводского госуниверситета, 1955, т.4, вып.4, с.31-48.
ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯИ ДУТАГЙИРЁБАНДА БО ЁРИИ
Дар мак;ола теорема дар бораи наздикшавии операторной хаттии мусбат ба функсиях,ои дутагйирёбанда дар R+ х R+ исбот карда шудааст.
Sh.Abdulofizov
APPROXIMATION OF LINEAR POSITIVE OPERATORS FOR THE FUNCTIONS OF TWO-VARIABLE
In this article was proved the theorem on the approximation of linear operators for the functions of two-variable in the R+ х R+ interval.
Ш.Абдулофизов
ОПЕРАТОРХ,ОИ ХАТТИИ МУСБАТ
