Почти контактные кэлеровы пространства, определяемые симплектической связностью над распределением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764

С. В. Галаев, Ю. В. Шевцова

ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ КЭЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ

НАД РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

На распределении контактной структуры с помощью продолженной спмплектпческой связности определяется (продолженная) почти контактная метрическая структура. Находятся условия, при которых полученная структура является почти контактной кэлеровой структурой.

Почти контактное метрическое пространство называется почти контактным кэлеровым пространством [1], если его фундаментальная форма замкнута и выполняется условие почти нормальности:

N + 2((п ◦ ф) ® у =0. (1)

Пусть теперь О - гладкое распределение контактной структуры (X, п, О). Дифференциальная 2-форма ш = (щ определяет на многообразии X допустимую симплектическую структуру [2].

В адаптированных координатах (см. [2]) ненулевые компоненты ее внешнего дифференциала имеют следующий вид: (шаьс = |(еашьс+ + въШса + еСШаь), (ШпаЬ = 1 дпШаЬ.

Внутреннюю линейную связность V (см. [1]) будем называть внутренней симплектической связностью, если Vxш(y, г) = 0, х,у,г € ГО. Ы-продолжеппую симметричную связность VN = ) будем на-

зывать N-продолженной симплектической связностью, если VNш = = 0. Последнее равенство сводится к двум равенствам: VNu(y,z) = = Vxu(y,z) = 0 VNш(у,г) = 0 Х,у,х € ГО Таким образом, N продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N такого, что

выполняется VNш(у, г) = = 0.

УУ, у ) =

Теорема 1. Пусть VN - произвольная N-продолженная связность без кручения. Рассмотрим тензоры и

^ш(уу,у) = ш(Щх,У),у),х,У,у € Г0,

VN ш(у,У) = ш(Ы2у,х). Тогда связность VN2, определяемая условиями

VN2 У = VN У + 1 Ыг(х,у) + 1 Ыг(у,х), (2)

V?2у = V*У + 2х,у е го, (3)

является N-продолженной симплектическои связностью.

Доказательство. Легко проверить, что - симметричная связность. Равенство V*2и(Х,у) = 0 можно проверить, используя (2). Используя (3), докажем равенство V*2и(Х,у) = 0. Имеем:

У2 и (X, у) = уи(Х, у) - и(У*2 X, у) - и (X, у у) = = Уи(х,у) - 2и(Щх,у) - 1 и(f,N2y) =

= уи(х,у) - 1 и(^х,у) + 1 и(^У,Х) =

= V*и(Х,у) - 2V*и(х,у) + 2V;?и(у,х) = 0.

Теорема доказана.

Будем считать, что на гладком многообразии X задана контактная структура (О,П, 0^,у) и внутренняя симметричная связность, совместимая с формой и = ¿п- На тотальном пространстве О векторного расслоения (О,п,Х) определим почти контактную метрическую структуру (О,д,3,п,О) где п = П ◦ п*, 3(Уа) = дп+а, 3(дп+а) = -Уа, 3{дп) = 0, д = иаъЗха ® @п+Ъ - иаЬвП+а ® ¿ХЪ + @п 0 @п, О = П-1(О), О = НО 0 У1 У О - вертикальное распределение на тотальном пространстве О, а НО - горизонтальное распределение, определяемое внутренней линейной связностью. Полем Риба для почти контактной метрической структуры (О,д, 3, п, О) является поле и = дп.

Теорема 2. Почти контактная метрическая структура

(О,д,3,п,О) почти нормальна тогда и только тогда, когда расО

Доказательство. Перепишем равенство (1) в новых обозначениях.

^ + 2(3п о 3) 0 и = 0.

В работе [2] было доказано, почти контактная структура является почти нормальной тогда и только тогда, когда Р о NJ = 0, где Р : ТО ^ О -проектор.

Проводя непосредственные вычисления, получаем следующие выра-

3

N (еа,еъ) = -ЯваЬсхп+с дп+е, 20

(дn+a, дп+Ь) = 2шьадп + ЯеаЬсХП+Сдп+в,

^ (£а,дп+ь)=0,

^ (ба,дп) = ^ (дп+а,дп) = -Хп+СРЪасдп+Ь.

Таким образом, почти контактная метрическая структура (О,д, З,п, О) почти нормальна тогда и только тогда, когда обращаются в нуль тензор кривизны Схоутена [2]:

Я(х,у)х = V¿Vyz - VуV- Vpх^у - Р[<<[х,у\х\ = 0.

Пусть теперь О(х,у) = д(х, Зу) - фундаментальная форма структуры (О,д, З,п,О). Вычислим ее внешний дифференциал.

Проводя необходимые вычисления, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: (О = 0 ^ (ш = 0. Таким образом, теорема 2 допускает следующее уточнение.

Теорема 3. Почти контактная метрическая структура (О,д,З,п,О) является почти контакт,ной кэлеровой структурой тогда и только тогда, когда распределение О является распределением, нулевой кривизны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев С. В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Изв. вузов. Сер. Математика. 2014. № 8. С. 42-52.

2. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многооб-разований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

ОЦЕНКИ ПОРЯДКА ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ КЛАССА ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим класс линейных положительных операторов с простым условием сходимости последовательности операторов к тождественному.

Определение 1. Будем говорить, что последовательности линейных положительных операторов принадлежит, классу W, если выполнены условия

(

Ьп(1; х) = 1 и — Ьп(1 (г); х) = nW(х) ъп((г - х)/(г); х), (1) где W(х) - аналитическая положительная функция.