О некоторых классах n-продолженных связностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

10, Бутерин С. А. Обратная спектральная задача восстановления оператора свертки, возмущенного одномерным оператором // Мат, заметки, 2006, Т. 80, вып. 5, С. 668-682.

УДК 514.764

С. В. Галаев

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ^-ПРОДОЛЖЕННЫХ

СВЯЗНОСТЕЙ

Пусть X - гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1 с заданной на нем почти контактной метрической структурой (^,£,П,д) [1]. Пусть, далее, V - внутренняя связность на X [1]. Продолженная связность [2] определяется внутренней связностью и эндоморфизмом N : О ^ О. В настоящей работе рассматриваются два случая построения продолженной связности. В первом случае мы рассматриваем продолженные связности, совместимые с допустимой симплектической структурой. Во втором - определяем вид эндоморфизма N для связности, возникающей на многообразии Кенмоцу.

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством некоторого векторного расслоения. В случае внутренней связности в качестве такого расслоения выступает распределение О. Говорят, что над распределением О задана связность, если распределение О = п—^О), где п : О ^ X - естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида О = НО 0 УО, где УО - вертикальное распределение на тотальном пространстве О.

Пусть V - внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением НО и N : О ^ О поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении (О,п,Х), определяемую разложением ТО = НО 0 УО, такую, что НО = НО0Span(й), где йх = е —(^г)', £ = дп, х Е О, ^х)' -вертикальный лифт. Относительно базиса (£а, дп, дп+а) [2] поле й получает следующее координатное представление: й = дп — Naжп+ьдп+а. Будем использовать следующее обозначение для ^продолженной связности: VN = (V, N). В двух частных случаях, когда N = 0 и N = г^р, будем писать соответственно V1 = (V, 0) и V'" = (V, V), где V- поле Лиувилля: V = жп+адп+а-

Пусть ш - допустимая симплектическая структура [3]. Внутреннюю линейную связность V будем называть внутренней симплектической

связностью, если у) = 0 X, у, г Е ГЛ. ^-продолженную сим-

метричную связность Vм = (У,Ж) будем называть N-продолженной симплектической связностью, если Vяи = 0. Последнее равенство сводится к двум равенствам: Vми (у, у) = V¿и(у, г) = 0 Vми (у, у) = 0, X, у, у Е ГЛ. Таким образом, ^продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N такого, что выполняется Vми (у, у) = 0.

Теорема 1. Пусть Vя - произвольнал N-продолженная связность без кручения. Рассмотрим тензоры N1 и N2, определяемые соответственно равенствами

vNи(у,у) = и(Щх,у),у),х,у,у Е

Vм и(у,у) = и(^у,у). Тогда связность Vм2, определяемая условиями

vN2 у = VN у + 1 N1(2?,$ + 1N1 (у, X), (1)

V*2у = ^у + 2N2:у, 2, у Е ГЛ, (2)

является N-продолженной симплектической связностью.

Доказательство. Легко проверить, что - симметричная связность. Равенство Vм2и(у у) = 0 можно проверить, используя (1) и следуя доказательству аналогичного утверждения для симплектиче-ских связностей (см., напр., [4]). Используя (2), докажем равенство Vм2и(х,у) = 0. Имеем

и(X, у) = Й?, У) - и^МX, у) - и(X, у) =

= V- 2и(N2X, у) - 1 ^^й =

= V- 1 u(N2X, у/) + 1 и(^2У, X) =

= ^ и (X, у) - 2 Vf и(^ у) + 2 ^ и (у, X) = 0,

что и доказывает теорему.

Теорема доказана.

Существует бесконечно много ^продолженных снмплектнческих связностей. Покажем, что каждую внутреннюю симплектическую связность можно продолжить бесчисленным множеством способов до N-продолженной симплектической связности. Действительно, пусть V

£

N

произвольная ^продолженная симплектическая связность. Легко убедиться, что связность V"1 такая, что V"1х = V"х+N2^, где шШ2х, у) =

С £ £

ш(^у, х), является ^продолженной снмплектнческой связностью. Причем, N = N + Щ.

Оснащение почти контактного метрического многообразия богатым набором тензорных структур влечет рассмотрение наряду со связностью Лови Чишггы других примечательных связностей. Мы остановимся здесь лишь па работе Бежанку [5], который определяет связность Vй на многообразии Сасаки с помощью формулы

VI = V ху — пй^ — пШ £ + (ш + с)(х,у)у

В адаптированных координатах отличными от нуля компонентами Г^ связности V1 являют ся Г|а = Гас = ! да((еьдс( + есдЬ( — По-

строенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем структура Сасаки. Действительно, так как V1 даь = дпдаъ, то метрич-ность связности Бежанку эквивалентна (почти) К-контактностн почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность V" с помощью равенства V" = VI1 у + п (X)Ny, где N - эндоморфизм из теоремы 2. Назовем введенную связность N-связностью. Отличными от нуля компонентами .Ж-связностн, самое большее, будут Г"Са = Гас = 2да((еьдс(+ +есдь( — е(дЬс) Г"Са = Кручение ^связности определяется равенством SN(х, у) = 2ш(х, у)£ + п(X)Ny — п(y)Nx. Непосредственными вычислениями в адаптированных координатах проверяется справедливость следующего утверждения: ^связность, определяемая ^продолженной метрической связностью, является метрической связностью.

Теорема 2. Допустимая дифференциальная 2-форма максимально-ш

только тогда, когда существует совместимая с ней симметричная связность Бежанку.

ш

достаточно положить в карте Дарбу коэффициенты искомой связности равными пулю. Пусть теперь V1 = (V, 0) - симметричная связность Бежанку, сохраняющая форму ш. Условие (шпаЬ = 1 дпшаЬ выполняется, так как N = 0. Далее, проводя циклическую перестановку индексов в равенстве еашЬс = Г>(с + Г(сшЬ( и складывая затем полученные равенства, получаем еашЬс + еьшса + есшаЬ = 0, что и доказывает теорему.

Теорема доказана.

Почти контактное метрическое пространство называется многообразием Кенмоцу [6], если выполняются условия dn = 0 d^ = 2n Л Известно (см. [6]), что почти контактное метрическое пространство является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется условие

= —n(yVX - д(X (3)

Равенство (3) влечет следующее равенство (см. [6]): L^g = 2(д—n0n)-Отсюда следует, что для многообразия Кенмоцу L|g(X, y) = 2д (X, y), X, y G ГЛ. Имеет место

Теорема 3. Если, VN - метрическая N-связность многообразия Кенмоцу, то д(X, y) = g(NX, y) X, у G ГЛ.

N

N VN = (V , v).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многооб-разований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

2. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2013. JVS 4. С. 1-9.

3. Галаев С. В., Гохмап А. В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне интегрируемым лежандровым слоением // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 22-25.

4. Gelfand I., Retakh V., Shubin М. Fedosov Manifolds // Advances in Mathematics. 1998. Vol. 136. № 1. P. 104-140.

5. Bejancu A. Kahler contact distributions // J. of Geometry and Physics. 2010. Vol. 60. P. 1958-1967.

6. Fitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania University of Brasov, Brasov : 2007. 160 p.

УДК 514.764

C.B. Галаев, А. В. Гохман

О ЛАГРАНЖЕВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ

На основе использования геометрической структуры распределения контактного метрического многообразия определяются дифференциальные операторы, которые приводят к уравнениям Лагранжа механической системы с неинтегрируемой линейной связью. Среди механических систем с неинтегрируемой линейной связью выделяются регулярные механические системы, для которых фундаментальная форма определяет