CC BY
20
Почти контактное метрическое пространство называется многообразием Кенмоцу [6], если выполняются условия dn = 0 dQ = 2n Л Q. Известно (см. [6]), что почти контактное метрическое пространство является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется условие
= —n(yVx — 9(x, (3)
Равенство (3) влечет следующее равенство (см. [6]): Lgg = 2(g—n0n)-Отсюда следует, что для многообразия Кенмоцу L^g(x, y) = 29 (x, y), x,y £ ГD. Имеет место
Теорема 3. Если VN - метрическая N-связность многообразия Кенмоцу, то 9(x,y) = cj(Nx,y), x,y £ rD.
N
N VN = (V , v).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многооб-разований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.
2, Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Сер, Математика, 2013, 4, С, 1-9,
3, Галаев С. В., Гохмап А. В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне интегрируемым лежандровым слоением // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014, Вып. 16, С, 22-25,
4, Gelfand I., Retakh V., Shubin М. Fedosov Manifolds // Advances in Mathematics, 1998. Vol. 136. № 1. P. 104-140.
5. Bejancu A. Kahler contact distributions // J. of Geometry and Physics. 2010, Vol, 60. P. 1958-1967.
6. Fitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania University of Brasov, Brasov : 2007. 160 p.
УДК 514.764
C.B. Галаев, А. В. Гохман
О ЛАГРАНЖЕВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ
На основе использования геометрической структуры распределения контактного метрического многообразия определяются дифференциальные операторы, которые приводят к уравнениям Лагранжа механической системы с неинтегрируемой линейной связью. Среди механических систем с неинтегрируемой линейной связью выделяются регулярные механические системы, для которых фундаментальная форма определяет
допустимую симплектическую форму распределения продолженной почти контактной метрической структуры. Вводится понятие динамической системы. Формулируются теоремы, утверждающие, что динамическая система, соответствующая механической системе, является полупульверизацией, а также, что динамическая система механической системы с однородной кинетической энергией совпадает с пульверизацией.
Пусть X - гладкое многообразие нечетной размерности и, ГTX -Ож(Х) модуль гладких векторных полей па X. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса Предположим, что па многообразии X задана контактная метрическая структура (^,£,П,д)•
Карту К(ха) (а, в, у = 1,..., и, а, Ь, с, е = 1,..., и — 1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению Б, если Б^ = = йрап(дХп) [1, 2]. Пусть Р : TX ^ Б проектор, определяемый разложением TX = Б©Б^, и К(ха) - адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему Б Б = врап(еа).
Тензорное поле £ тип а (р, д), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению Б), если £ _ полилинейное отображение £ : Г(Б)Р © Г(Б*)Р ^ ^(X), где ^(X) -кольцо гладких функций на X.
Говорят, что над распределением Б задана связность, если распределение Б = п— ^Б), где п : Б ^ X - естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида Б = НБ © У Б, где У Б - вертикальное распределение па тотальном пространстве Б. Введем на Б структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте К(ха) на многообразии X сверхкарту К(ха, хп+а) та многообразии Б, где (хп+а) - координаты допустимого вектора в базисе еа = да — ГПдп. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта Са(ха, хп+а) такого, что НБ = 5рап(гГа), где га = да — ГПдп — Съадп+ъ. Связность над распределением определяется внутренней линейной связностью следующим образом Са(ха, хп+а) = Гас(ха)хп+с.
Введем понятие Х-продолженной связности. Зададим векторное поле и на многообразии Б, имеющее следующее координатное представление и = дп — Хахп+6дп+а, где эндоморфизм N : Б ^ Б может быть выбран произвольно. Х-продолженная связность осуществляет параллельный перенос допустимого вектора вдоль произвольных кривых многообразия X и может быть применима к любому допустимому тензорному полю. В частности, применение Х-продолженной связности к (до-
д
описание: Уадье = еадЬс — ^д^ — Гасд&^ Vng6c = дад&с — —
Пусть, далее, О - допустимая замкнутая внешняя 2-форма максимального ранга, например, — фундаментальная форма структуры. В общем случае О = ш. Будем называть О допустимой симплектической структурой. Под контактным гамильтоновым векторным полем, ассоциированным с функцией / в [3] понималось единственное векторное полем, удовлетворяющее равенствам ¿«п = / ¿«ш = (7/)п — Рассмотрим более общий случай, заменяя форму ш = ¿п на произвольную допустимую
О
О
ра, / - гладкая функция на многообразии X. Тогда, существует, единственное векторное поле и = маеа + мпдп такое, что 1. ¿«п = /
¿иО = (Л )п — /.
Искомое векторное поле однозначно определяется равенством
и = Оас(е/)еа + /дп. (1)
Векторное поле м назовем обобщенной гамильтоновой системой, а первое слагаемое в правой части (1) - допустимой обобщенной гамильтоновой системой с гамильтонианом /. Векторное поле 5 € Г!) па многообразии назовем полупульверизацией на многообразии X, если выполняется условие п*(5#) = V, V € Б.
Полупульверизацию 5 будем называть пульверизацией,, если она удовлетворяет дополнительному условию [(7, 5 = где (7 = хп+адп+а -
Б
Теорема 2. Внутренняя связность определяет, пульверизацию 5, координатное представление которой имеет вид: 5 = хп+а5а7 гс^е 7а = = да — Гпдп — Габхп+Ьдп+с.
Для определения необходимых в дальнейшем операторов, действующих па многообразии Б, воспользуемся Х-продолженной метрической связностью, автоматически возникающей на многообразии с почти контактной метрической структурой. В этом случае на многообразии Б возникает поле базисов (7а = да — Гпдп — Гасхп+сдп+ь, и = дп—Х6ахп+ьдп+а, дп+а), которому соответствует поле кобазисов (¿ха, Оп = = ¿хп+Гп^ха, Оп+а = ¿хп+а+Гасхп+с^хь+Х6ахп+Ь^хп). Вертикальный эндоморфизм У : ТБ ^ ТБ определим следующем образом: У(7а) = дп+а, У(дп+а) = У(м) = О. Вертикальное дифференцирование ¿у алгебры дифференциальных форм локально определяется формулами ¿у/ = О, ¿V(¿ха) = ¿у(Оп) = О ¿у(Оп+а) = ¿ха.
Коммутатор dv = [iv ,d] является антидифференцированием степени 1 и называется вертикальным антидифференцированием,.
Механической системой с нулевой внешней силой будем называть пару M = (X, T), где X - многообразие с контактной метрической структурой, T - гладкая функция па распределении D. Будем называть X конфигурационным многообразием, D - фазовым пространством, aT-кинетической энергией. Замкнутая форма Q = ddvT называется фун-
M
M
мы на распределении D является допустимой симплектической формой. Векторное поле x назовем динамической системой, соответствующей механической системе M, если x - допустимая обобщенная гамнльтонова система с гамильтонианом T — CT. Справедливость следующей теоремы проверяется непосредственными вычислениями.
Теорема 3. Динамическая система, соответствующая механиче-MX
X
(D,^,C,n,9,X) определяется механическая система с кинетической энергией T = 2gabxn+axn+b. Такую механическую систему будем называть контактной метрической механической системой
Теорема 4. Динамическая система контактной метрической механической системы M = (X, T) совпадает с пульверизацией.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многооб-разований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.
2. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
3. Pitis G. Hamiltonian Fields and Energy in Contact Manifolds // International Journal of Geom. Methods in Modern Physics. 2008. Vol. 5, iss. 1. P. 63-77.
