CC BY
33
С. С. Волосивец, Т. В. Лихачева. Некоторые вопросы приближения полиномами
To Chang Theorem
S. Yu. Antonov1, A. V. Antonova2
1 Antonov Stepan Yuryevich, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnosel’skaya st., 420066, Kazan, Russia, antonovst-vm @ rambler. ru
2Antonova Alina Vladimirovna, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnosel’skaya st., 420066, Kazan, Russia, antonovakazan @ rambler. ru
Multilinear polynomials H(x,y) and R(x,y), the sum of which is the Chang polynomial F(x,y) have been introduced in this paper. It has been proved by mathematical induction method that each of them is a consequence of the standard polynomial S- (x). In particular it has been shown that the double Capelli polynomial of add degree C2m-i (x, y) is also a consequence of the polynomial S—(x,y). The minimal degree of the polynomial C2m-i(x,y) in which it is a polynomial identity of matrix algebra Mn (F) has been also found in the paper. The results obtained are the transfer of Chang’s results over to the double Capelli polynomials of add degree.
Keywords: T-ideal, standard polynomial, Capelli polynomial.
References
1. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 104, no. 3, pp. 707-710.
2. Pierce R. Associative Algebras. New York,
Springer-Verlag, 1982, 542 p.
3. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 4, pp. 449-463.
4. Antonov S. Yu. The least degree of identities in the subspace M[m,k (F) of the matrix superalgebra M (m’k) (F). Russian Math. [Izvestiya VUZ. Matematika], 2012, iss. 56, no. 11, pp. 1-16. DOI: 10.3103/S1066369X12110011.
5. Domokos M. A generalization of a theorem of Chang. Commun. Algebra, 1995, vol. 23, no. 12, pp. 4333-4342.
УДК 517.518
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОЛИНОМАМИ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Lp
С. С. Волосивец1, Т. В. Лихачева2
1 Волосивец Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Лихачева Татьяна Владимировна, старший специалист, филиал АО «Неофлекс Консалтинг» в г. Саратов, [email protected]
В настоящей статье изучается приближение полиномами Виленкина в весовых пространствах Lp. Авторы доказывают результат типа Бутцера-Шерера об эквиалентности между порядком наилучшего приближения функции f и порядком возрастания обобщенных производных, а также аппроксимативными свойствами полинома наилучшего приближения tn(f). Даны некоторые приложения к приближению линейными средними рядов Фурье-Виленкина.
Ключевые слова: система Виленкина, наилучшее приближение, обобщенная производная, средние Зигмунда-Рисса.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-251 -258
ВВЕДЕНИЕ
Пусть P = {pj }°=1 с N, причем 2 < pj < N для всех j е N. По определению Z(pj) =
= {0,1,... ,pj — 1}, mo = 1 и mn = p1 .. .pn для n е N. Каждое число x е [0,1) имеет разложение
x = Y1 xj j ’ xjе Z(pj)-
j=1
© Волосивец С. С., Лихачева Т. В., 2015
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3
Это разложение единственно, если для x = k/mn, 0 < k < mn, мы берем разложение с конечным числом Xj = 0. Каждое число k G Z+ может быть записано единственным образом в виде
Ж
k = ^ kj mj—1, kj G Z(pj). (2)
j=i
Если x и y представлены в виде (1), то по определению x® y = z = Y zjm-1, Zj G Z(pj), Zj = Xj + yj
j=i
(mod pj). Аналогично определяется x 0 y. Для данного x G [0,1) с разложением (1) and k G Z+ c
разложением (2) полагаем xk (x) = exp
2 ni
Ж
E xj kj /Pj j=i
. Система {xk}Ж=0, называемая мульти-
пликативной, или системой Виленкина, является ортонормированной и полной в L1 [0,1] (см. [1, § 1.5]), причем при k < mn функции xk(x) постоянны на j := [(j — 1)/mn, j/mn), n G Z+, 1 0 j 0 mn. Множество всех j обозначим через П. Введем коэффициенты Фурье по системе {xk}Ж=0 формулой
л 1 ____ n —1 л
f(k) = f0 f (t)xk(t) dt, k G Z+, и частичные суммы Фурье равенством Sn(f)(x) = Y f(k)xk(x),
k=о
n G N.
Пусть 1 < p < то. Положительная измеримая на [0,1) (т. е. весовая) функция w(x) принадлежит классу Макенхаупта Ap, если
|I I
—1
w(x) dx ) ( |I| 1 w 1/(p 1) (x) dx
p-1
0 C < то
I
I
(3)
для всех I g П (|I| означает меру Лебега множества I).
Через Lw [0,1), где 1 0 p < то и w(x) — весовая функция, обозначим банахово простран-
а.1 \ 1/p
0 |f (x)|pw(x) dxl . Как обычно,
Pn = {f G L1 [0,1) : f (k) = 0, k ® n}, En(f )p,w = inf{||f — tn||p,W : tn G Pn}, n G N. При w(x) = 1
получаем классическое пространство Lp[0,1) c нормой || • ||p. С помощью неравенства Гельдера легко показывается, что LW [0,1) с L1 [0,1) при 1 <p< то и w G Ap. Будем говорить, что существует
Ж
P-производная f[r] функции f G LW [0,1) порядка r > 0 (в LW [0,1)), если ряд ^ jrf (j)xj является
j=0
Ж
рядом Фурье функции f[r] G LW [0,1). Это условие равносильно тому, что ряд ^ jrf (j)xj сходится в
j=0
LW[0,1) к f[r| (см. [3]).
В работе [4] был установлен ряд теорем о приближениях по системе {xk}Ж=0 в LW[0,1), являющихся аналогами результатов о приближении тригонометрическими полиномами в весовых пространствах (см. [5-7]).
Теорема А. 1. Пусть 1 < p < то, w G Ap, r G N u для f G Lvw[0,1) существует f[r| G Lvw[0,1). Тогда En(f)p,w 0 Cn—r||f[r]Hp,w.
2. Пусть 1 < p < то, w G Ap, r G N u tn G Pn. Тогда ||tn] ||p,W 0 C(p, w)||tn||p,W.
Теорема В. Пусть 1 < p < то, y = min(2,p), w G Ap, r G N u f G LW [0,1). Лели сходится ряд
Ж
Y krY—1EY (f)p,w, то существует f[r] G LW [0,1) и при этом
k=1 k
Vy'
En (f[r| )p,w 0 c ( nrEn (f )p,w + £ krY—1EY (/)p,
\k=n+1
Пусть 1 < p < то, w G Ap, r G N и WrLW[0,1) состоит из функций g G LW[0,1), для которых существует g[r| G LW[0,1), c полунормой ||g[r] ||p,W. Рассмотрим K-функционал
Kr(f,t) = Kr(f, t,LW[0,1), WrLW[0,1)) = inf{||f — g||p,W + t|g[r| |p,W : g G WrLW[0,1)}.
Ж
252
Научный отдел
С. С. Волосивец, Т. В. Лихачева. Некоторые вопросы приближения полиномами
Обычный модуль непрерывности в Lp[0,1) = Lp[0,1) вида ш* (f, 5) = sup ||/(•©h)—f (•)|p,i в весо-
0^h<6
вом пространстве не является адекватной характеристикой функции из-за отсутствия инвариантности нормы || •Цр,™ относительно обобщенного сдвига. Но с помощью величины Kr (f, t, Lp [0,1), WrLp [0,1)) можно записать аналоги классических теорем Д. Джексона и С. Н. Бернштейна (см. [8, § 5.1 и § 6.1]).
Теорема С (см. [4]). Пусть 1 < p < ж, w е Ap, r е N и у = min(p, 2). Тогда для всех f е Lp [0,1) и n е N справедливы неравенства
En(f)p,w < CKr (f,n-r)
и
Kr(f, n-r) < Cn-r( £[k'rEk(f)pw]Yk-1
\k = 1
Далее, пусть w(t) возрастает и непрерывна на [0,1] и ш(0) = 0 (обозначение ш е Ф). Если
f е Lp[0,1) и Kr(f, n-r) = O(w(n-1)), n е N, то будем писать f е Hp,™, при r = 1 будем пи-
сать f е Я,™.
Целью нашей работы является получение условий, эквивалентных соотношению En(f)p,w = = O(n-r-a), n е N, в терминах обобщенных производных, полиномов наилучшего приближения и K-функционала Kr(f, t). Тригонометрический аналог этого результата см. в [9, теорема 2.2]. В невесовом случае для системы Уолша (частный случай системы {xk}^=0 при pi = 2) см. [10, теорема 4.4]. Кроме того, даны приложения теорем А-С к приближениям линейными средними рядов Фурье по системе {xk}£=0 в пространстве Lp [0,1).
1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Теорема 1. Пусть 1 < p < ж, w е Ap, r е N, 0 < а < r, f е Lp [0,1) и полином tn(f) е Pn
таков, что ||f — tn(f )||p,w = En(f )p,w, n е N. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) En(f )p,w = O(n-r-a), n е N; ’
2) существует f[r] е Lp [0,1) и Kr(f[r] ,n-r) = O(n-a), n е N;
3) для всех s е [0,r] П Z существует f[s| е Lp [0,1) и справедливо соотношение
fw— 4s| (f )|p,w = o(ns-r-a),
n е N;
4) lltif1 (f) ||p,w = O(ns-r-a), n е N, где s е N, s > r + a.
Если вместо 0 < a < r потребовать a > 0, то утверждения 1), 3) и 4) эквивалентны.
Доказательство. Установим 1) ^ 4). Пусть mk < n < mk+1 и s > r + a. В силу части 2) теоремы А и условия 1) имеем:
II t'Sf )iip,w ^ II4s|(/) — t[st (f )iu + E litis1. (f) — 4sL (mu <
i=1
< C1 ^nS ||tn (f) — tmfc (f )|p,w + ^ mS ||tmi (f) — tm;_i (f )|p,^ <
< 2C^nSEmfc (f )p,w + ^ msEmi_i (f )p,wj < C2 ^nsm-r-a + ^ msm-_rfaj < C3ns
Здесь использовано неравенство вида
k
1^т, (f) — tSi_i (f )|p,w < ||tmi (f) — f ||p,w + ||f — tSi_i (f ) ||p,w < 2Em2_i (f)
7p,w
(4)
ограниченность отношений n/mk и mi/mi-1, в > 0, k е N.
а также хорошо известное соотношение ^ me < C4mf,
i=1 i k
k
Математика
253
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3
Докажем, что 4) влечет 1). Пусть снова mk ^ n < mk+1- В силу полуэддитивности наилучшего приближения по функции находим, что
En (/)p,w ^ Emk (/)p,w ^ Emk (/ — t'mk+i (/))p,w + Emk (tmk+i )p,w = Emk+i (/)p,w + Emk (tmk+i )p,w •
Записывая аналогичные неравенства
Emk+i-1 (/)p,w — Emk+i (/)p,w ^ Emk+i-1 (tmk+i (/))p,w
и складывая их по i ^ 1 с учетом того, что lim Emk (/)p,w = 0, получаем:
Emk (/)p,w ^ Emk+i-1 (tmk+i (/))p,w •
i = 1
Согласно части 1) теоремы А и условию 4) для некоторого s > r + a
Emk+i-i (tmk+i (/))p,w ^ C5 mk+i-lltUk+i (/) 11 p,w ^ C6 mk+
— r —a
i
(5)
OO e e
Подставляя последнее неравенство в (5) и используя известное неравенство J2 m—e < C7m—e, в > 0,
k £ N, находим, что
j=k
En (/)p,w < Emk (/)p,w < Csmfcr a < C9n
n £ N.
Для доказательства импликации 3) ^ 1) сначала подставим в неравенство части 1) теоремы А функцию / - tn(/), где tn(/) £ Pn, (C)|r] = An и An £ Pn удовлетворяет равенству ||/|r] - An ||p,w =
= En(/|r] )p,w, и получим
En (/)p,w = En (/ - tn )p,w < C10 n—r ||/|r] - An ||p,w = C10 n—r En (/|r])
p,w ‘
(6)
Из условия 3) при s = r следует, что En(/[r] )p,w ^ C11 n—a, n £ N, поэтому условие 1) вытекает из (6).
Установим, что 1) влечет 3). Пусть s £ [1,r] П N .В силу неравенства (4) и части 2) теоремы А имеем при l > k:
tm(/)-tm(/)ip,w< e nt'mi(/)-tm'-i(/)iu»<
i=k + 1
^ C1^ m|Em,-1 (/)p,w ^ C1^ mj-1r—a ^ C^mJ
i=k + 1
i = k + 1
Из последнего неравенства вытекает фундаментальность последовательности {tlmk (/)}O=1 в Lw [0,1) и сходимость этой последовательности к некоторой функции а в Lw [0,1). Так как tmk (/) - / в
Lw [0,1) и тем более в L1 [0,1), то lim tmk (/)(n) = /(n), n £ Z+, и аналогично lim tm]k (/)(n) = A(n),
k^O k^O
n £ Z+. Но tfcl (/)(n) = nstmk (/)(n), n £ Z+, и поэтому A(n) = ns/(n), n £ Z+, т. е. существует
/|s] = a £ Lw [0,1). Далее, если mk < n < mk+1, то
is] (/) - t!m]k+i (/)iip,w < C15 ns En (/)p,w < C16n
s —r —a
n £ N,
откуда следует, что lim ||tn](/) - /|s] ||pw = 0. Теперь, используя снова (4) и часть 2) теоремы А, имеем:
4’](/) - /|s
p,w
< ||tn*] (/) - *и
mk+
O
1 (/)|p,w +
i=k+1
t!mi (/) - timLi (/)|
p,w
254
Научный отдел
С. С. Волосивец, Т. В. Лихачева. Некоторые вопросы приближения полиномами
^ C17 n’n-r-“ + Y, т?+1 m,"r"4 < C18ns
i = k+1
При s = 0 условие 3) сразу следует из условия 1).
Ж
Докажем, что 1) ^ 2). Так как ряд kr-1 fc-(r+a)Y сходится при a > 0, по теореме В выводим
существование f[r], причем
k=1
En (f[r| )p,w < Ci9 | П Теперь по теореме С находим, что
/ ж \1/7'
Г_Г”а + \ J2 k~ai-М C20n~a, n G N.
\k=n+1
Kr(f[r|,n-r) < C21 n-r ^^(krk-a)Yk-1 j < C22n-rnr-a = C22n
ж
В последнем неравенстве необходимо, чтобы (r — a)7 — 1 > -1, т. е. r > а. Предыдущие утверждения верны и без этого ограничения. Обратное утверждение, 2) ^ 1), вытекает из (6) и первого неравенства теоремы С. Теорема доказана.
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СРЕДНИМИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ
n — 1
Теорема 2. Пусть 1 < p < ж, w g Ap, f g LW [0,1), r g N и Zrn(f) = (1 — kr/nr)f(k)xk (x).
k=0
Тогда |f — Zn(f)|U < CKr(f,n-r).
Доказательство. Известно, что при выполнении условий теоремы справедливо неравенство ||Sn(f)||p,w < C1\\f ||p,w (см. [3]), откуда стандартным образом выводится неравенство
f — Sn(f )|p,w < (C1 + 1)En(f )p,w, n g N.
Имеем:
\f — Zn(/)IU <\f — Sn(f)\p,„ + ||s„(f) — Zn(f)\p,„ < ^ (C1 + 1)En(f)p,w + n-r||snr](f)|p,w =: I1 + I2.
Из теоремы С вытекает оценка I1 < C2Kr (f, n r). Пусть e > 0 и g g WrLpw [0,1) такова, что
Kr(f, n-r) ^ If — g|p,w + n-r||g[r| ||p,w — e.
Тогда в силу части 2) теоремы А и упомянутого выше результата из [3] выводим оценку
I2 = n-r ||SW (f) ||p,w < n-r |SW (f — g) ||p,w + n-r |SW (g) ||p,w <
< C3 n r nr ||f — g||p,w + n r || Sn (g[r| )|p,w < C4 (||f — g|p,w + n
-Г |g[r]
|p,w
) < C4(Kr(f,n-r)+ e).
В силу произвольности e > 0 получаем I2 ^ C4Kr(f,n r). Объединяя оценки I1 и I2, доказываем
неравенство теоремы. Теорема доказана.
n
Следствие 1. Пусть 1 < p < ж, w g Ap, f g LW [0,1) и an(f) = Sk (f )/n. Тогда
k=1
||f — ^n (f) ||p,w < CK1 (f,n 1).
Следующие две теоремы являются весовыми аналогами результатов из [11]. Будем писать ш G В1, если ш G Ф и справедливо неравенство kw(k-1) < Clw(l-1) при k,l G N, k < l.
Математика
255
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3
Теорема 3. Пусть 1 < p < ж, w е Ap, ш е В1 и f е HPw (т. е. K(f, n 1) = 0(ш(п 1)), n е N).
p
Пусть двойная последовательность {ank }^°k=1 удовлетворяет условиям
n-1
|ank an >k+^ A Kann, n е N
n ank = 1 , (7)
k=1
n е N. (8)
k=1
n
Тогда для линейных средних Tn(f) = ankSk(f) верно неравенство
k=1
-1
Ilf - Tn(f)||p, w A Cnannw(n ), n е N. Доказательство. В силу условия (7) имеем:
n n n
Tn(f) - f = ^2 ank Sk(f) -^2 ankf = ^2 ank (sk(f) - f).
k=1 k=1 k=1
Применяя преобразование Абеля и следствие 1, находим, что
n-1
^(a„t - a„,k+1 )k(ak(f) - f) + na„,„,(an(f) - f)
I/- T„ (f )||p,w =
n- 1
A ^ ^ |ank an,k+1 1 k || ^k (f) f ||p,w + nann || ^n (f) f ||p,w A
1
A I ^ |ank - an,k+1 |кш(к-1) + nannш(п-1 ) .
k=1
k=1
A
p,w
k=1
Используя условие ш е В1 и неравенство (8), получаем ||f - Tn(f)||p,w A C2nannш(п-1). Теорема доказана.
Следствие 2. Если выполнены все условия теоремы 3, кроме (8), и последовательность {ank}n=1 возрастает по k при фиксированном n е N, то
||f - Tn(f)||p,w A Cnannш(п-1 ), n е N.
Следствие 3. Если выполнены все условия теоремы 3 и, кроме того, последователь-
ность {nann}^=1 ограничена, то
НУ - Tn(f )|p,w A Сш(п-1 ), n е N.
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3, кроме (8), которое заменено на
n- 1
У ^ |an,k an,k +1 1 A Kan, 1, n е N.
(9)
k=1
-1
Тогда ||f - Tn(f)||p,w A Cnan1 ш(п 1), n е N.
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3 в силу неравенства (9) и условия ш е В1 имеем:
n-1
'-n (f ) ||p,w A C
|f - Tn(f)||p,w A C^£ |ank - an,k+1 |кш(к 1) + nan„w(n 1 )j A
A C2(nan,1 ш(п 1) + nan, 1 ш(п 1)).
(10)
n-1
Но благодаря (9) справедливо также неравенство X] (an,k+1 - an,k) A Kan,1, откуда ann A (K + 1)an1.
k=1
Из последнего неравенства и (10) следует неравенство теоремы. Теорема доказана.
и
256
Научный отдел
С. С. Волосивец, Т. В. Лихачева. Некоторые вопросы приближения полиномами
Следствие 4. Пусть выполнены все условия теоремы 4, кроме (9), и последовательность {ank}П=1 убывает по k для любого n е N. Тогда ||/ — Tn(f )||p,w < Cnan1w(n-1), n e N.
Следствие 5. Пусть выполнены все условия теоремы 4 и nan1 = 0(1), n е N. Тогда ||f — Tn(f)||р,„ ^ Cw(n-1), n е N.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00238).
Библиографический список
1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М. : Наука, 1987. 344 с.
2. Muckenhoupt В. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 165. P. 207-226.
3. Young W. S. Weighted norm inequalities for Vilenkin - Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 340, № 1. P. 273-291.
4. Волосивец С. С. Приближение полиномами по мультипликативным системам в весовых пространствах Lp // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56, № 1. С. 82-93.
5. Ку N. X. On approximation by trigonometric polynomials in LU-spaces // Studia Sci. Math. Hungar. 1993. Vol. 28. P. 183-188.
6. Ку N. X. Moduli of mean smoothness and approximation with Ap weights // Annales Univ. Sci.
Budapest. Eotvos Sect. Math. 1997. Vol. 40. P. 37-48.
7. Kokilashvili V., Yildirir Y. E. On the approximation in weighted Lebesgue spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2007. Vol. 143. P. 103-113.
8. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. : Физматгиз, 1960. 624 с.
9. Butzer Р. L., Scherer К. On the fundamental approximation theorems of D. Jackson, S. N. Bernstein and theorems of M. Zamansky and S. B. Steckin // Aequationes Math. 1969. Vol. 3. P. 170-185.
10. Butzer Р. L., Wagner H. J. On dyadic analysis based on the pointwise dyadic derivative // Analysis Math. 1975. Vol. 1, № 3. P. 171-196.
11. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier - Vilenkin series in Holder and Lp norm // East J. Approximations. 2009. Vol. 15, № 3. P. 143-158.
Several Questions of Approximation by Polynomials with Respect to Multiplicative Systems
in Weighted Lp Spaces
S. S. Volosivets1, T. V. Likhacheva2
1 Volosivets Sergey Sergeevich, Saratov State University, 83, Astrahanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected] 2Likhacheva Tatiana Vladimirovna, Neoflex Consulting Company Branch in Saratov, 66, Atkarskaya st., 410078, Saratov, Russia, [email protected]
In this paper we study approximation by Vilenkin polynomials in weighted Lp spaces. We prove the Butzer - Scherer type result on equivalence between the rate of best approximation of a function f and the growth of generalized derivatives and approximating properties of the best approximation polynomial tn (f). Some applications to the approximation by linear means of the Fourier -Vilenkin series are given.
Keywords: Vilenkin system, best approximation, generalized derivative, Zygmund - Riesz means.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238).
References
1. Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh series and transforms. Theory and applications. Dordrecht, Kluwer, 1991.
2. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 165, pp. 207-226.
3. Young W. S. Weighted norm inequalities for
Vilenkin - Fourier series. Trans. Amer. Math. Soc., 1993, vol. 340, no. 1, pp. 273-291.
4. Volosivets S. S. Approximation by polynomials with respect to multiplicative systems in weighted Lp spaces. Siberian Math. J., 2015, vol. 56, no. 1, pp. 82-93.
5. Ky N. X. On approximation by trigonometric
Математика
257
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3
polynomials in Lp-spaces. Stadia Sci. Math. Hangar., 1993, vol. 28, pp. 183-188.
6. Ky N. X. Moduli of mean smoothness and approximation with Ap weights. Annales Univ. Sci. Budapest Eotvos Sect. Math., 1997, vol. 40, pp. 37-48.
7. Kokilashvili V., Yildirir Y. E. On the approximation in weighted Lebesgue spaces. Proc. A. Raxmadxe Math. Inst., 2007, vol. 143, pp. 103-113.
8. Timan A.F. Theory of approximation of functions of a real variable. New York, MacMillan, 1963.
9. Butzer P. L., Scherer K. On the fundamental approximation theorems of D. Jackson, S. N. Bernstein and theorems of M. Zamansky and S. B. Steckin. Aeqaationes Math., 1969, vol. 3, pp. 170-185.
10. Butzer P. L., Wagner H. J. On dyadic analysis based on the pointwise dyadic derivative. Analysis Math., 1975, vol. 1, no. 3, pp. 171-196.
11. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier - Vilenkin series in Holder and Lp norm. East J. Approximations, 2009, vol. 15, no. 3, pp. 143-158.
УДК 514.76
ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА С N-СВЯЗНОСТЬЮ
С. В. Галаев
Галаев Сергей Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
На многообразии с почти контактной метрической структурой (р, f, п, д, X, D) и эндоморфизмом N : D ^ D вводится понятие N-связности VN. Находятся условия, при которых N-связность совместима с почти контактной метрической структурой: VNп = VNд = VNf = 0. Исследуются отношения между связностью Леви-Чивиты, связностью Схоу-тена-ван Кампена и N-связностью. С помощью N-связности находятся условия, при которых почти контактная метрическая структура является почти контактной кэлеровой структурой.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, N-связность, связность Схоутена-ван Кампена, тензор кривизны N-связности, почти контактные кэлеровы пространства.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-258-264
ВВЕДЕНИЕ
Начало теории метрически аффинных пространств — (псевдо) римановых многообразий, наделенных линейной связностью с ненулевым кручением — было положено Э. Картаном (E. Cartan) в 1922 г. [1]. Наибольшим интересом среди метрических связностей с кручением пользуется полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено К. Яно (K. Yano) в работе [2]. Четвертьсимметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом (S. Golab) [3]. В работе [4] определяется связность, специально приспособленная к решению задач неголономной геометрии и названная позже связностью Схоутена-ван Кампена. В. В. Вагнер [5] использует связность Схоутена-ван Кампена для построения теории кривизны неголономного многообразия коразмерности 1. Определяемая при этом связность Вагнера, как показано в настоящей работе, является связностью в векторном расслоении, естественным образом возникающем на неголономном многообразии. Мы вводим новый тип линейной связности с кручением, которая определяется на многообразии с почти контактной метрической структурой (p,£,n,g,X,D) и эндоморфизмом N : D ^ D. При надлежащем выборе эндоморфизма N построенная нами связность (названная в работе N-связностью) совпадает со связностью Вагнера.
Работа построена следующим образом. В параграфе 1 содержатся основные сведения о почти контактных метрических пространствах. В параграфе 2дается определение N-связности. Находятся условия метричности N-связности. Исследуются отношения между связностью Леви-Чивиты, связностью Схоутена-ван Кампена и N-связностью. В частности, показывается, что N-связность является более общей связностью, чем связность Схоутена-ван Кампена. Более подробные сведения о связности Схоутена-ван Кампена содержатся в работе [4]. В параграфе 3.находится выражение для тензора кривизны N-связности. В параграфе 4N-связность рассматривается на многообразиях с почти контактной кэлеровой структурой и на многообразиях Кенмоцу.
© Галаев С. В., 2015
