Приближение дифференцируемых функций модификациями операторов баскакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА 2. LeNR( 1) тогда и только тогда, когда Д12 jntl * 0 и выполняется какое-либо одно из следующих условий:

(1) 6, =е2 =... = em+I =0, Qm+1 *0, в„

(2) е„ =е, = ...=em =о, 0т+1 *о, е,,., *о,

где

0, =а, -sla„-s3all_l-...-sm_lam+3, 02 =а2 -s,a, -s2an -...- sm^an+4„.., 9П =ап ~ -i2°n-2 " --'т-10т+г, Sj eC, im_,

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы М Наука, 1969

2 Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр семин им И Г. Петровского М Изд-во Моек ун-та, 1983 Т. 9 С. 190-229

3 Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Исследования по теории операторов. Уфа, 1988 С 182 -193

С. П. Сидоров

УДК 517.51

ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ МОДИФИКАЦИЯМИ ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА*

Обозначим X = [0,1], || • || будет означать равномерную норму в

ОД, |/Ц = sup |/(х)|.

хеХ

Пусть {/-л}лг1 - последовательность линейных положительных операторов В.А Баскакова [1]:

r-О г\ \п)

где у(х) =

Фя(*) =

/(■*). хе X, <=0й

(1 + рх) р, р* 0, p-z-1, е-", р = 0.

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 99-01-01120, и частичной поддержке программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123

Известно [1], что порядок приближения дифференцируемых функций такими операторами не может быть выше, чем л-1. Вместе с тем, как впервые заметил С.Н. Бернштейн [2], конечные линейные комбинации линейных положительных операторов могут иметь более высокий порядок приближения на классе дифференцируемых функций.

В настоящей статье исследуется асимптотический вид приближения дифференцируемых функций некоторыми линейными операторами, представляющими собой линейные комбинации операторов В.А. Баскакова, с использованием идей С.Н. Бернштейна [2], П Бутцера [3], В В Тихомирова [4].

Фиксируем к, ре N, с,с/ е К Обозначим а = а(п) = 1/(сп + с/).

Рассмотрим последовательность линейных операторов {$„кр}„2/с, определенных в С(Х), задаваемых следующим образом:

* рт = ТЬ}"\п,к) 4+(у+1)п/«, / е С(Х), 1=0

где

6Ш(М) = JLL1 + <Д Ь\\п,к) = i + а,

^(i.,*)»-—¿¿'""(я,*), Р* 2,

рп

г ,

Ь\р\п,к)= — + 1 ^^(«.Ьл)- —^-"(я,^, j-\,...,р-\.

рп

к + п

/

рп

Ь^(п,к)=к + П{Р + 1)Ь^-\П,к + п), р> 2. рп h

В работе [5] показано, что для всякой / еС(Х) равномерно по -с е X будет lim S„ к J\x) = f(x).

n-> 00 'г

Покажем, что операторы Snkp на классе 2/?-раз непрерывно дифференцируемых функций имеют порядок приближения п~р.

Следующее утверждение проверяется с использованием метода математической индукции

ЛЕММА. Для операторов Sn к р справедливо следующее реккурент-ное представление по р:

■WM = [~Г +1 + «)^+2„/W - + а) Lk+nf(x), (1)

ТЕОРЕМА. Пусть 5 е N фиксировано. Если/ е С2р*2*(Х), то

г=/>+1у=г

где Ккг) р- некоторые действительные числа, не зависящие от п, ЛД*) - некоторые непрерывные на X функции, не зависящие от п ; р„ 4 р(х)-» 0 равномерно относительно х на X при я-»оо Доказательство. Обозначим

АпХ1 = +1 + Лк + 2л)—1 - Г + аЪ + ,

\k+n i Ап.к.р = -- + 1

Ап,к+п,р-\--Ап,к,р-\.

/7/1 ; рп

Следующие равенства устанавливаются в [6] индукцией с использованием формулы бинома Ньютона:

1)Л„,*,р=0, г = 0,1,...,/? - 2; /)-1 OD

2) I К/с.р-и.р "''• i=p+1

Г СО

3) Ап.к.р = 2 Kk r i р п~', г = р,р + \,..„

|=Г+1

где Kkr ¡ р есть некоторые действительные числа, не зависящие от л . Так как / е C2í'+2í(A'), то согласно [1]

LJ(x) = f{x) + ZV« • + ■ Pn(x), (3)

r = l

где ЛДд:) - некоторые непрерывные на .V функции, не зависящие от п ; р„(х) —> 0 равномерно относительно д: на ЛГ при я-> оо.

После подстановки (3) в (1) и (2), с учетом равенств 1) - 3), мы получаем утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Баскаков В.А Пример последовательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл АН СССР 1957. Т. 113, № 2 С. 249-251.

2 Бернштейн С.Н. Добавление к статье Е В Вороновской "Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С Н Бернштейна" // Докл АН СССР 1932 Т. 4 С 86-92

3 Bulzer P L Linear combinations of Bernstein polynomials // Cañad J Math 1953 Vol. 5, № 4 P 559-567.

4. Тихомиров H.H. Об аппроксимации функций с заданной скоростью сходимо-сти // Изв вузов Сер Математика 1976 № 10. С. 113 - 115.

5 Сидоров С.П. Приближение непрерывных функций модификациями операторов Баскакова // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании Тр междунар науч конф Саратов-Энгельс, 2002 С. 280-281

6 Сидоров С.П. Конструкции операторов класса Sm и их аппроксимативные свойства Саратов, 1992 29 с Деп в ВИНИТИ 14.12 92, № 3530 - В92

УДК 517.52

Г. А. Сорокин

О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ ОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ

В данной статье излагается метод суммирования расходящихся рядов и формула, устраняющая явление Гиббса. При этом применяется

ТЕОРЕМА 1. Пусть {ап} и {/>„}- произвольные последовательности действительных или комплексных чисел, удовлетворяющие условиям:

а„- Ь„ *■ 0 при п = 1,2,..., lim--— = 0. Тогда если ряд в левой части ра-

венства

IX =

Л = 1

>а-Ь„

а\ - Ь1 Л=]

_^л±!

o„h„

л л

(1)

" /

сходится, то это равенство справедливо.

Действительно, правая часть (1) равна

а, -b,

-I

1 П=1

л +1

Зп+1 -¿л+1

а\ - - ¿1 л=1

+ 2Х = 2>„

Я=1

Полагая в (1) Ьп = Хап, где к * 1 и не зависит от л , получим формулу

5>л =

_ "1

1

1-Х

¿(а„+1 -Ха„),

(2)

опубликованную в [1, с.35].

Эту формулу мы применим при исследовании явления Гиббса. Ограничимся случаем, когда

71

л=1 2л-1

л

2

при 0 < х < я,

при -ж < х < 0, при х = О, п.