CC BY
9
Наряду с уравнениями (1) с коэффициентамир^= 0,1, рассмотрим уравнения того же вида с коэффициентами р^-(),7з(•),,?' = 0,1, при тех же условиях склейки (2). Соответствующие данные рассеяния обозначим 3 .
Теорема 3. При выполнении условий Со,С\ из 3 = 3 следует, ро(жо) = ро(жо)7 7о(хо) = ^о(жо) для п.в. жо Е (0, то). Таким образом,, при, выполнении условии, Со,С\ данные рассеяния однозначно определяют, коэффициенты уравнения (1) на луче.
Работа выполнена при, финансовой поддержке Минобрнауки, РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проекты № 16-01-00015, № 15-0104864).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Юрко В. А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Мат. еб. 2000. Т. 191, № 10. С. 137-160.
2. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М, : Физматлит, 2007.
3. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев : Наук, думка, 1977.
УДК 517.95, 517.984
В. В. Корнев, А. П. Хромов
ОБ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим неоднородное волновое уравнение:
= - ^(х)и(х, *) +1 (х, *), (х, Ь) Е Я = [0,1] X [0, Т] (1)
при условиях
и(0,Ь) = и(1, Ь) = 0, (2)
и(ж, 0) = ^>(ж), и£(ж, 0) = 0. (3)
Считаем, что д(ж), ^(ж), /(ж,Ь) - комплекснозначные функции, причем д(ж) Е Ь[0,1], (р(ж) Е Ь2[0,1]. В работе [1] получен следующий результат: Теорема 1. Если /(ж, Ь) Е Ь2(Я), то ряд формального решения, задачи (1) - (3) по методу Фурье сходится почти всюду в Я к обобщенном,у решению этой задачи.
Следующая теорема позволяет перенести этот результат и на случай суммируемой функции /(х,Ь)\
Теорема 2. Если /(х,1) Е Ь(О) и д(х) = ^(х) = 07 то ряд формального решения задачи (1) - (3) по методу Фурье
ТО 1 ^
^ 1 f
u(x,t) = 2V^— an(r) sin nnx sin nn(t — r) dr (4)
n=i 0
сходится при, (x,t) E Q, и для его суммы справедлива формула
t x+t—T
u(x,t) = 1 j dr J Ф(п, r) dr¡, (5)
0 x—t+T
i
где an(r) = f f (£,r) sinnn^d^, Ф(п,г) - 2-периодическая по n на всей 0
оси, нечетная на [—1,1} и Ф(п, r) = f (n, r) при, n E [0,1]. Доказательство. Преобразуем ряд (4):
u(x,t) = Y i an(r)( — sin nnx sin nn(t — r) j dr =
\nn J
n=1 0
oo t ( x+t—t \
^^ / an(r) \ sinnnndn I dr.
n=1 0 V—t+T )
Следовательно, соотношение (4) можно записать в виде
u(x,t)= lim / (т) dr, (6)
N^TO J 0
x+t-т / N \
где (r) = f I J2 an(r) sin пщ) dr\.
x-t+т \n=1 /
Заметим, что ряд
ТО
) sinипц (7)
n=1
есть ряд Фурье функции 2Ф(п,т) то системе {cos nnr¡, sinnnr¡}(TO=0 на отрезке [— 1,1]. Тригонометрический ряд Фурье можно интегрировать
t
почленно [2, с. 123] по любому интервалу [a, b], т.е.
b
2
b ОО b
J -Ф(п,т) dn = ^^ ап(т)J sin nnndn.
n=l
a
Поэтому почти при всех т Е [0, t] существует предел
x+t—т
lim (т)= I -Ф(п,т) dn. (8)
N^to / 2
x—t+т
Убедимся, что в (6) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Для этого, полагая а = ж — Ь + т и Ь = ж + Ь — т, преобразуем ^ (т):
N b
(т) = ^^ ап(т) / sin nnndn =
n=l „
N / n
= V^ an (т) (--i (cos nnb — cos nna). (9)
V nn /
n=1 4 x
По теореме Лебега об интегрировании тригонометрических рядов Фурье [2, с. 122] ряд ( — ОпЛ / cos nnn сходится равномерно на всей оси
n=1 nn '
к функции
1
Ф1(п,т) = Фо(п,т) — - Фб(^,т) d£,
2
1
V
где Ф0(п, т) = If Ф(£, т) d£. 2о
По формуле Дирихле имеем
N п
£ (— опт) cos nnb = - / ф1 (П + b) dn(s) Ass (10)
n=1 „
—п
где (й) - ядро Дирихле.
Представляя функцию Ф1 стандартным образом в виде разности монотонных функций и применяя к интегралу в правой части (10) известную теорему о среднем, из формул (9), (10) с использованием неравен-
п
ства f Dn(s) ds < 2п получаем оценку
1
Hn(Т)| < cf lf (i,r)| dti,
0
где константа С зависит только от x и t.
Правая часть неравенства (11) является суммируемой на [0, t] функци-
Т
переходе получаем формулу (5). Теорема доказана.
Работа выполнена в рамках проект,ной части госзадания Минобр-науки, РФ (проект № 1.1520.20Ц К).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А. П., Корпев В. В. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения е суммируемым потенциалом // Докл. РАН, 2016, Т. 468, 5, С, 505-507,
2, Бари Н. К. Тригонометрические ряды, М, : Гос. изд-во физ.-мат, лит., 1961, УДК 517.95, 517.984
O.A. Королева
О СХОДИМОСТИ СРЕДНИХ РИССА РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой развивающееся направление, начало которого было положено в работах В. А. Стеклова, Е. Гобсона, А. Хаара для случая дифференциального оператора Штурма Лиушыля и Я. Д. Тамаркина, М. Стоуна для дифференциального оператора произвольного порядка с произвольными краевыми условиями, удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа. М. Стоун показал, что если краевые условие регулярны, то имеет место равносуммируемость на любом отрезке [а,Ь] С (0,1) средних Рисса порядка ( (( > 0)
где Я\ - резольвента оператора.
