CC BY
9
УДК 517.95, 517.984
В. П. Курдюмов, А. П. Хромов
О РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
В [1] с использованием приема А. Н. Крылова ускорения сходимости рядов Фурье [2] и метода контурного интегрирования резольвенты оператора, порожденного спектральной задачей, соответствующей смешанной задаче для волнового уравнения, получено классическое решение задачи
д = д и(х2,-) - q(x)u(x,-),x е [0,1],т е го), (1) д-2 дх2
и(0,Т) = и(1, -) = 0, и(х, 0) = 0 , и(х, 0) = ф(х), (2)
где q(x) е С[0,1], комплекснозначна и
ф(х) е С:[0,1] ,ф(0) = ф(1) = 0, (3)
в которой условия (3) являются минимальными для существования решения.
Сейчас мы исследуем задачу (1)-(3) при ослаблении требований гладкости на ф(х). Аналогичное исследование для такой задачи, но с начальными условиями и(х, 0) = ^(х) ,щ(х, 0) = 0 при ослаблении минимальных требований на ^(х) проведено в [3].
1. Сначала предполагаем, что ф(х) е ^21[0,1] и ф(0) = ф(1) = = 0 [0,1] = {/(х)|/(х) абсолютно непрерывна на[0,1] иф'(х) е
е ^[0,1]}).
Формальное решение задачи представим в виде
и(х,Т) =
2пг
/
\л|=
где
+ Е
п>по,
I .
/
(Ялф) -—Р- = и0(х,Т) + и1(х,Т) (4) р
и0(х,Т) =
2пг
+ Е
п>по,
Ул|=г П>По 7п )
V0 (х, р) (ф, 22) 8111Р- ^Л, р
1
1
/ ч 1
Ui(X,t) =
/
2ni
+ S / [v (x, p) - v0 (x p)] ^ dA,
p
\|A|=r n>n Yn )
R\ = (L — AELy = —y" + q(x)y, y(0) = y(1) = 0 E - единич-
A v (x, p) v0 (x, p)
ны в [1], т. e. v (x, p) = Z2, Zj (x, p) (j = 1, 2) - решения уравнения y" — q(x)y + p2y = 0 с начальными условиями z1 (0,p) = z2 (0,p) = 1, z1 (0, p) = Z2 (0, p) = 0, v0 (x, p) = , z0 (x, p) = cos px, z0 =
Yn - образ в A-плоскости (A = p2, Rep > 0 окружноети {p | |p — nn| = = 5} (5 > 0 достаточно мало), содержащий внутри себя лишь одно из
L
n > n0; r > 0 фиксировано и таково, что контур |A| = r содержит
все собственные значения оператора L, не попавшие в Yn при n > n0; 1
(f,g) = S f (x) g (x) dx-0
x
Справедлива формула z2(x,p) = z0(x,p) + / K(x,t)z0(t, p) dr, где
2 0 2
K(x, r) непрерывно дифференцируема no x и r и K(x, 0) = 0 (формула
оператора преобразования [4, с. 17, 23]).
1
Лемма 1. Пусть ^1(x) = ^(x) +/ K(r, x)^(r) dr7 тогда
1
u0(x,t) = — (^(£), sin nn^) sin nnx sin nnt,
n=1
Лемма 2. Имеет место формула
х+Ь
Мо(х,^) = 1 У ) ¿Т,
х—Ь
где ^(х) Е [—А, А] прп любом А > 0 ^(х) = ^(х) прп х Е [0,1]; х) = — ?/(—х)7 ^(х + 2) = ^(х).
Лемма 3. Производные д ид°Хх,Ь) и д существуют почти всюду
п.в.) в QT = [0,1] х [—Т, Т] п для таких х, £
д 2ио (х,£) = д 2ио(х,£)
д^2 = дх ' ^ ^
Доказательство. По лемме 2 ^(ж) существует п.в. на (-га, го). Как и в [3, лемма 6] построим множество M = {ж |ж G [—A, A], ?//(ж)конечна} и множество M = {{£ь£2}|£г G M(i = 1,2)}. Тогда mesM = 2A, mes M = 4A2. Для произвольной {£ь£2} G M равенства ж + t = ^i, ж — t = <^2 однозначно определяют ж и t, для которых производные д существуют. А поскольку д U°XX,t) = 2 — V^fe) ?
d2uo(x,t) 1 \ j- d2u°(x,t) d2u°(x,t)
—^^ _ i „/, / _ i \ т0 дЛЯ таких ж и t —d°x2 = —dt2 ? T'6' П'В'
выполняется (6). Пусть теперь {ж,t} G Qt-
_ 2
на (т = [-А, А] х [-А, А] Тогда при достаточно большом А множество (т таково, что множество = {{6,6} I 6 = х + -,£2 = х - -, {х,-} е (т} с Значит (6) выполняется при п.в. х и - ИЗ (т-Из лемм 2 и 3 получается
Теорема 1. Функция и0(х,-) есть решение задачи (1)-(3) при q(x) = = 0 и ф1(х) вместо ф(х)7 когда уравнение (6) выполняется лишь п. в.
Лемма 4. Ряд и^х,-) допускает почленное дифференцирование дважды по х и Ь при х е [0,1} и - е (—го, го).
Из (4) с помощью теоремы 1 и леммы 4 получается Теорема 2. Функция и(х,-) есть решение задачи (1)-(3), когда уравнение (1) выполняется п. в.
2. Рассмотрим теперь задачу (1)-(3), когдаф(х) е Ь2[0,1]. Представление (4) сохраняется.
Лемма 5. Имеет место формула
и0(х, -) = 1 [Ф(х — -) — ф(х + -)] , 2
где Ф(х) е W21[—А, А] при любом А > 0 Ф'(х) = —ф1 (х) п.в. на [0,1]7 Ф(х) = Ф(—х), Ф(х + 2) = Ф(х).
Следствие. Имеет место формула
и0 (х, 0) = ф^х) п.в. па [0,1]. (6)
А>0
3, построить множество М, н0 Для функ цпн Ф'(х) вмест о ф'(х), и тогда для х е М из леммы 5 сразу следует (7).
и1 (х, -)
ференцированием по -, сходятся абсолютно и равномерно по х е [0,1] и- е [—Т,Т].
На основании этих фактов, теоремы равносходимости для операторов теоремы Карлесона получаем
Теорема 3. Рлс? и(х,£) решения задачи (1)-(3) сходится абсолют,но и равномерно по х Е [0,1] и £ Е [—Т, Т]7 удовлетворяет условиям (2), (3), когда иЬ(х, 0) = ^(х) выполняется п.в.
Пусть ^(х) Е ^^[0,1] и ^(0) = ^(1) = 0. Решение задачи (1)-(3) для такой ^(х) вместо ^(х), даваемое теоремой 2, обозначим м^(х,£).
Лемма 7. Имеет место оценка
тах |м^(х, £) — и(х, £)| < СТ — ^|| ,
Ят
где постоянная СТ зависит, только от Т, ||-|| - норма в Ь2[0,1].
Теорема 4. Если, — ^ 0 при Н ^ 0, то решение м^(х,£) сходится к и(х, £) из теоремы 3 равном,ерно вQт, т.е. и(х,£) б этом смысле является обобщенным решением задачи (1)-(3) при, любой ^(х) Е Ь2[0,1].
Работа выполнена в рамках проект,ной, части госзадания Минобр-науки, РФ (проект № 1.1520.20Ц К).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Курдюмов В. П., Хромов А. П. Обоснование метода Фурье для волнового уравнения при минимальных требованиях на исходные данные // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2015, Вып. 17, С, 32-36,
2, Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Л, : ГИТТЛ, 1950, 368 с,
3, Хромов А. П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения // ЖВМ и МФ. 2016. Т. 56, № 2. С. 239-251.
4, Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувиля и их приложения. Киев : Наук, думка, 1977. 392 с,
УДК 517.518
А. В. Макаров, С. И. Дудов
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
Рассматривается задача по равномерному на отрезке приближению непрерывной двумерной вектор-функции двумерной вектор-функцией, компонентами которой являются алгебраические полиномы. Показано, что по крайней мере одно из решений задачи может быть получено через решение двух задач чебышевского приближения непрерывных функций алгебраическими полиномами. Получен критерий единственности решения задачи.
