О задачах поиска на графах с противодействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

А. Б. Зеленевская, Н. Н. Петров

О ЗАДАЧАХ ПОИСКА НА ГРАФАХ С ПРОТИВОДЕЙСТВИЕМ

1. В статье рассматриваются новые задачи гарантированного поиска на графах. Ставится вопрос о нахождении минимальной численности группы преследователей, способной успешно (в том или ином смысле) завершить поиск "невидимого" убегающего. Задачи подобного рода впервые были поставлены в работах [1-2], в которых искомая величина получила название реберно-поискового числа. В работе [3] была предложена модификация задачи, в которой искомая характеристика графа была названа вершинно-поисковым числом. С тех пор за рубежом было выполнено большое число исследований, посвященных различным поисковым числам (см., например, библиографию в [4]). В России подобные исследования, насколько нам известно, проводились только в СПбГУ (на кафедре исследования операций) и в Сыктывкарском государственном университете, где работает выпускник этой кафедры П. А. Головач.

В работах [5-6] впервые были рассмотрены задачи поиска с "противодействием". Противодействие состоит в том, что убегающий при определенных условиях может вывести из строя одного из преследователей. При этом он (убегающий) обнаруживает себя, что дает группе преследователей важную информацию (точная постановка задачи приведена ниже). В работах [5-6] подробно обсуждаются важность, актуальность и трудность таких задач, а также содержатся теоремы о соответствующих поисковых числах для деревьев и п-дольных графов.

В настоящей статье рассматриваются циклы. Оказалось, что уже случай цикла является нетривиальным. В частности, обнаружен необычный эффект: для цикла с меньшим числом вершин может потребоваться большее число преследователей. Кроме того, в настоящей работе впервые рассматривается так называемый "шашечный" вариант. Дополнительное условие, определяющее этот вариант, состоит в том, что убегающий обязан "уничтожить" преследователя, если такая возможность ему предоставляется.

Статья организована следующим образом. Во втором пункте рассматриваются две постановки задачи гарантированного поиска с обязательным и необязательным противодействием. В этом пункте приводятся также необходимые определения. Третий пункт посвящен доказательству основной леммы. Пункты четыре и пять содержат основные теоремы для рассматриваемых задач. И, наконец, в пункте шесть получено полное решение задач для циклов.

2. Упомянутая выше задача поиска с противодействием ставится следующим образом. Местом действия является неориентированный связный граф G, не имеющий петель и кратных ребер и содержащий по крайней мере одно ребро. На этом графе рассматривается многошаговая игра преследования, участниками которой являются преследователи Р\,...,Рп и убегающий Е. Далее по понятным причинам предполагается, что п меньше числа вершин графа О. На каждом шаге игры все участники располагаются в вершинах графа О, при этом каждая вершина не может быть занята более чем одним участником. Ходом участника будем называть его переход в смежную вершину, который далее будем обозначать стрелкой Ходом команды преследователей является, по определению, ход ровно одного из ее участников. Команда преследователей и

© А. Б. Зеленевская, Н. Н. Петров, 2004

убегающий делают ходы по очереди (начинают преследователи), при этом, как следует из сказанного, ни одна из сторон не может "пропустить" ход. Каждый шаг в игре состоит из хода команды преследователей и ответного хода убегающего.

Начальные позиции и дальнейшие ходы выбираются участниками на основе поступающей им информации, о чем будет сказано ниже.

Если после хода одного из преследователей он окажется в вершине, занятой убегающим, то игра завершается в пользу преследователей (в этом случае будем говорить, что убегающий пойман). В свою очередь, если убегающий переходит в вершину, занятую преследователем, то этот преследователь снимается с графа, и преследование продолжается. Цель команды преследователей — поймать убегающего, цель убегающего— помешать этому. Если убегающий достигает своей цели, то будем говорить, что имеет место уклонение.

Переходим теперь к описанию информации, которую получают стороны в течение игры. Убегающему на каждом шаге сообщается полная информация о расположении преследователей; более того, предполагается, что ему до начала игры известно, как будут вести себя преследователи в каждом конкретном случае. Таким образом, в данной формализации речь идет о задаче гарантированного поиска.

Что касается преследователей, то на первом шаге начальное положение убегающего им не известно (они его "не видят"), он может находиться в любой вершине графа О, не занятой преследователями. На шаге с номером к ^ 2 преследователи получают информацию одного из следующих трех типов:

(1) на (к — 1)-м шаге убегающий был пойман, в этом случае игра завершается;

(2) на (к — 1)-м шаге убегающий снял одного из преследователей, занял его вершину и стал "видимым" (информацию о положении убегающего преследователи получают только после ходов "со снятием");

(3) на (к — 1)-м шаге непойманный убегающий сделал ход "без снятия".

Предполагается, что выбор хода командой преследователей на к-м шаге осуществляется на основе полученной информации и всей предыстории игры.

Позицией в рассматриваемой игре будем называть расстановку участников на графе (точнее, информацию о ней) вместе с предысторией.

Стратегией команды преследователей назовем тройку (т,Б,и), где т — выбранное преследователями число шагов в игре, $ — начальная расстановка, т. е. множество вершин, занятых преследователями перед первым шагом, и и — отображение, которое каждой позиции ставит в соответствие ход.

Стратегия называется выигрывающей, если она приводит к поимке при любом поведении убегающего, который, напомним, получает информацию об этой стратегии до начала игры. Наименьшую численность команды преследователей, обладающей выигрывающей стратегией, будем называть а-поисковым числом графа О и обозначать а(О).

Поставленную задачу гарантированного поиска на графе О будем обозначать через А(О). Далее будет рассмотрена также задача Ао(О) с "обязательным" противодействием, которая отличается от А(О) тем, что на поведение убегающего накладывается дополнительное условие. А именно, убегающий обязан снять преследователя с графа, если такая возможность ему предоставляется. Если таких преследователей несколько, то снять можно любого. Наименьшая численность команды преследователей, обладающей выигрывающей программой в задаче Ао(О), будем называть ао-поисковым числом и обозначать ао (О). Нетрудно видеть, что для любого графа О справедливо неравенство

а(О) ^ ао(О), которое выполняется всегда в силу того, что в игре Ао(О) убегающий находится в худшем положении, чем в игре А(О). Для некоторых графов величины а(О) и ао(О) могут сильно отличаться. Например, легко найти а и ао-поисковые числа для графа Кп, где Кп —полный граф с п вершинами. Их значения для п ^ 4 равны п — 2 и 2 соответственно.

Дадим основные определения.

Определение 1. Граф О будем называть циклом длины п и обозначать Сп, если степени всех его вершин равны 2.

Определение 2. Всех преследователей будем называть видимыми участниками. Убегающий считается видимым только после его хода со снятием.

Определение 3. Моментом (в некоторой стратегии ^) будем называть номер шага с указанием очередности хода.

Определение 4. Расстановкой в момент £ называется множество вершин цикла, занятых в этот момент видимыми участниками.

Определение 5. Двух видимых участников будем называть соседними в момент

если занятые ими вершины можно соединить путем, свободным от других видимых участников.

Определение 6. Четность видимого участника на цикле в момент £ означает четность суммы расстояний от этого участника до его видимых соседей в момент

Определение 7. Расстановку участников на цикле четной длины в момент £ назовем точной, если все участники в этот момент имеют одну и ту же четность. В противном случае расстановку участников назовем неточной.

Определение 8. Будем говорить, что в момент £ участник находится в изолированной вершине, если в этот момент ее смежные вершины свободны от преследователей.

3. В этом пункте доказывается важное вспомогательное утверждение. Для каждой стратегии $ команды Р введем в рассмотрение величину а(Б), равную максимальному расстоянию между соседними преследователями на цикле в расстановке после ее первого хода, сделанного в соответствии со стратегией ^.

Лемма. Пусть п ^ 5. Тогда в игре Ао(С2П) убегающий может обеспечить уклонение против любой стратегии $ четырех преследователей, для которых а(Б) ^ 4.

Доказательство:

Предположим, вопреки утверждению леммы, что существует выигрывающая стратегия $ команды Р, состоящей из четырех преследователей Р\, Р2, Р3, Р4, занумерованных в порядке их расположения на цикле ("направление" нумерации значения не имеет). Не ограничивая общности, можно считать, что $ — выигрывающая стратегия с наименьшим числом ходов. Покажем, однако, что убегающий, столкнувшись с такой стратегией, всегда может обеспечить уклонение. Поскольку рассматривается задача гарантированного поиска, можно считать, что перед выбором начальной позиции и своих дальнейших действий убегающий "просматривает" всю стратегию ^. Покажем, как он определяет свое поведение в зависимости от стратегии ^.

Легко проверить, что с каждым ходом команды Р расстановка меняется с точной на неточную и наоборот. Убедимся сначала, что убегающий всегда может снять одного из преследователей в неточной расстановке.

Пусть По —начальная расстановка в $ и П^, к ^ 1, —расстановка, получившаяся в результате использования стратегии $ после к-ого хода команды Р в полном составе. Рассмотрим сначала расстановку П\. Если она неточная, то в ней найдется изолированный преследователь, который может быть снят убегающим уже на первом ходу. В

самом деле, если изолированный преследователь находится в вершине V € Dl, то убегающему в начальный момент следует занять вершину V! € Бо, смежную с V, и сделать ход: V! ^ V.

Предположим теперь, что расстановка Б —точная. Обозначим через с! —максимальное расстояние между соседними преследователями в этой расстановке, т. е. с! = 7(^1) и пусть I — путь длины с!, соединяющий вершины, занятые этими преследователями. По условию с! ^ 4. Обозначим вершины пути I через vо, Vl,...,Vd и предположим, что вершины vо, Vd заняты в расстановке Б преследователями Р1, Р2 соответственно. Вершины цикла, следующие за Vd, будем обозначать через ^+1, ^+2, и т. д. Пусть ^о — множество всех вершин пути ¡, отстоящих от его концов на расстоянии не меньше 2. Поскольку с! ^ 4, то | ^о 1. Ограничим множество начальных позиций убегающего множеством Qо.

Обозначим через ¡и путь, соединяющий вершины, занятые Р1, Р2 в расстановке Би, и не содержащий других преследователей (¡1 = ¡), и пусть Qk — множество всех вершин пути ¡и, отличных от его концов. Пути ¡и и множества Qk вводятся для тех к ^ 1, для которых определены множества Б и.

Легко доказать следующий факт: если | Qо |> 1, то для каждой вершины и € Qk (к ^ 1), существует такое движение убегающего: ио ^ и1 ^ и2 ^ и1 ^ и, что щ € Q^ для г = 0,1, .., к — 1.

Всякое такое движение убегающего назовем допустимым. Таким образом, убегающий своим к-ым ходом может занять любую вершину множества Qk.

Рассмотрим сначала случай, когда в расстановке Б1 преследователи Р1 и Р2 изолированные. Пусть, для определенности, после второго хода Р в стратегии Б преследователь Р1 остается на месте, т. е. второй ход сделан другим преследователем. Если в расстановке Б2 преследователь Р1 остался изолированным, то убегающий может снять его на втором ходу, перемещаясь V2 ^ Vl ^ vо из выбранной в начальный момент вершины V2. Если же в расстановке Б2 преследователь Р1 оказался неизолированным (что возможно лишь в том случае, когда на втором ходу преследователь Р4 приблизился к Р1 на расстояние 1), то убегающий на втором ходу может снять (изолированного) преследователя Р2, выбрав в начальный момент вершину Vd-2 и двигаясь далее ^ Vd-l ^ Vd. Возможность каждого из указанных снятии обеспечивается неравенством с! ^ 4. Так как Б2 —неточная расстановка, в обоих случаях убегающий достигает цели.

Предположим теперь, что в расстановке Б1, по крайней мере, один из преследователей Р1, Р2 не является изолированным. В этом случае, как нетрудно видеть, с! ^ 5 и, следовательно, | Qо |> 1. Пусть, для определенности, Р1 стоит "рядом" с Р4. Если второй ход делает преследователь Р1: vо ^ Vl, то в расстановке Б2 он оказывается изолированным. Тогда убегающий снимает Р1 после vз ^ V2 ^ V1. Если же второй ход делает преследователь Р4, то убегающий снимает Р1 после V2 ^ V1 ^ vо.

Предположим теперь, что второй ход делает Р3. Тогда, в силу неточности Б2, преследователь Р2 в этой расстановке оказывается изолированным и может быть снят убегающим после ^-2 ^ Vd-l ^ Vd. Если же второй ход делает Р2 : Vd ^ Vd—l, то убегающий может его снять, выбрав в начальный момент вершину Vd-з и двигаясь Vd-з ^ Vd—2 ^ Vd-l. Нетрудно убедится, что все указанные выше движения убегающего являются допустимыми.

Таким образом, осталось рассмотреть следующий случай: на втором ходу Р2 переходит в вершину ^+1, становясь изолированным в расстановке Б2 (в силу ее неточности).

В этой ситуации убегающий не может снять ни одного преследователя, и, следовательно, он должен "просмотреть" 3 и 4 ходы команды Р в стратегии Б, после которых расстановка (П4) снова станет неточной.

Если третий ход делает преследователь Р\ или Р4, то в (точной) расстановке П3 оказываются два изолированных преследователя (Р1 и Р2). В этом случае убегающий достигает цели так же, как в аналогичной ситуации после первого хода команды Р. А именно, он снимает изолированного Р2 : «¿—з ^ 2 ^ 1 ^ ьа ^ «¿+1 (если четвертый ход сделал не Р2 и не Р3). Если же четвертый ход сделал Р2 или Рз, то Е снимает изолированного Р1 : «2 ^ «3 ^ «2 ^ VI ^ «о (если третий ход сделал Р4) или уз ^ «2 ^ уз ^ «2 ^ «1 (если третий ход сделал Р1). Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда третий ход делает преследователь Р2 или Р3. Пусть третий ход делает Р3. Тогда, если четвертый ход делает также Р3, то Р2 оказывается изолированным в П4 и, следовательно, может быть снят убегающим после з ^ «¿—2 ^ Уа—1 ^ «а ^ «¿+1. Если же четвертый ход делает Р1 или Р4, то Р1 оказывается изолированным в П4 и, следовательно, может быть снят убегающим после «2 ^ «3 ^ «2 ^ «1 ^ «о (если четвертый ход сделал Р4) или уз ^ «2 ^ «3 ^ «2 ^ «1 (если четвертый ход сделал Р1). Если же четвертый ход делает Р2 : «¿+1 ^ «а, то он оказывается изолированным в П4 и, следовательно, может быть снят убегающим после 2 ^ 3 ^ 2 ^ 1 ^ В случае, когда четвертый ход делает Р2 : «¿+1 ^ «¿+2, ни один из преследователей не может быть снят. Рассмотрим последний случай, когда третий ход делает Р2. Если четвертый ход делает Р1 или Р4, то Р1 оказывается изолированным в П4 и, следовательно, может быть снят убегающим после «2 ^ «3 ^ «2 ^ «1 ^ «о (если четвертый ход сделал Р4) или уз ^ «2 ^ «3 ^ «2 ^ «1 (если четвертый ход сделал Р1). Если четвертый ход делает Р3, то Р2 оказывается изолированным в П4 и, следовательно, может быть снят убегающим после 2 ^ «¿—з ^ «¿—2 ^ ^ «л (если третий ход сделал Р2: «¿+1 ^ ) или «й—2 ^ «й— 1 ^ «й ^ «¿+1 ^ «¿+2 (если третий ход сделал Р2: «¿+1 ^ «¿+2). Если же четвертый ход сделал также Р2, то у Е есть следующие четыре возможности.

(1) Р2 : «¿+1 ^ ^ в этом случае Р2 может быть снят убегающим после Е : «¿—3 ^ «д,—2 ^ «¿—3 ^ «д,—2 ^ «¿—1 («¿—3 е Q2).

(2) Р2 : «¿+1 ^ «¿+2 ^ «¿+1; в этом случае Р2 может быть снят убегающим после

Е : «¿—з ^ «¿—2 ^ «¿—1 ^ Ув, ^ «¿+1 («¿—1 е Q2).

(3) Р2 : «¿+1 ^ ^ «¿+1; такие ходы невозможны в выигрывающей стратегии с минимальным числом ходов.

(4) Р2 : «¿+1 ^ «¿+2 ^ «¿+з; в этом случае ни один из преследователей не может быть снят.

Нетрудно убедиться, что все указанные выше движения убегающего допустимы.

Таким образом, команде Р удается предотвратить снятие в (неточной) расстановке П4 только в случае 4 ив случае, когда третий ход делает Р3, а четвертый Р2 : «¿+1 ^ «¿+2. Однако ситуация, возникшая после четвертого хода команды преследователей в этих двух случаях, вполне аналогична ситуации после их второго хода, увеличилось лишь расстояние между преследователями Р1 и Р2.

При этом | Q4 |=| Q2 | + 2 или | Q4 |=| Q2 | + 1. Поэтому, "просматривая" 5 и 6 ходы команды Р, убегающий может выбрать свою траекторию аналогичным образом, за исключением случая, когда | Q6 |=| Q4 | + 2 или | Q6 | = | Q4 | + 1. В этом случае он "просматривает" 7 и 8 ходы команды Р и т. д. Поскольку расстояние между Р1 и Р2 не может все время возрастать, в некоторой неточной расстановке П2д один

из преследователей (скажем, Р2) будет снят, после чего расстановка П2Ч становиться "смешанной": одна из ее вершин оказывается занятой убегающим, а остальные три — преследователями Р1, Рз, Р4. Далее в игре при сохранении на графе этих четырех участников "расстановка" перед каждым ходом преследователей — неточная, а перед каждым ходом убегающего — точная. Кавычки в данном случае используются потому, что согластно определению 4 расстановка — это множество вершин, занятых только видимыми участниками, в то время как на следующем шаге после снятия убегающий снова становится невидимым. Для таких "расстановок" понятие точности и неточности определяются аналогично.

Покажем, как должен вести себя убегающий после снятия, чтобы избежать поимки. Если на каждом шаге убегающий может перейти в изолированную вершину, то уклонение очевидно. Предположим, что на т-м ходу Е не может этого сделать. Тогда возможно одно из двух:

а) Один из преследователей на т-м ходу приблизился к Е на расстояние 1. В этом случае убегающий снимает его на своем т-м ходу и снова становится изолированным.

б) Перед т-м ходом убегающего преследователи Р1 и Рз отстоят от Е на расстоянии 2. Расстановка точная и убегающий — четный участник (сумма расстояний от него до преследователей = 2), значит и преследователи также четные участники, причем расстояния между ними нечетные, а значит, никакие два преследователя не могут находиться в смежных вершинах. В этом случае действия убегающего зависят от (т + 1)-го хода преследователей. Напомним, что после своего т-го хода убегающий снова становится "невидимым", т. е. преследователи перед своим (т + 1)-м ходом не знают, куда перешел Е на предыдущем ходу. Однако стратегия Б (известная убегающему) в той позиции диктует преследователям единственный ход, информацию о котором убегающий может использовать при выборе своего т-го хода. Если (т + 1)-й ход делает преследователь Р1(Рз), то убегающий, двигаясь в направлении Рз(Р1), на (т + 1)-м ходу его снимает. Поскольку все преследователи были изолированными, то преследователь Рз(Р1) "не защищен". Если же (т + 1)-й ход делает преследователь Р4, то в получившейся расстановке хотя бы один из преследователей Р1, Рз оказывается изолированным. Его и снимает убегающий на своем (т + 1)-м ходу.

Оставшись против двух преследователей, убегающий придерживается той же тактики. Он либо занимает изолированную вершину, либо действует так же, как в случае а) или б). После "безнаказанного" снятия третьего преследователя уклонение становится очевидным.

Замечание.

Если численность команды преследователей (с начала игры) меньше четырех, то доказательство уклонения существенно упрощается1. Если, например, преследователей три и Vl, V2, vз —занятые ими в начальный момент вершины, то существует такая вершина и = VI, г = 1, 2, 3, что расстановка ^^^з^) является неточной и в этой расстановке вершина и изолирована. Выбрав в качестве начальной позиции вершину и, убегающий может обеспечить уклонение, действуя так, как указано выше.

4. Данный пункт содержит основную теорему для задачи Ао(О).

Теорема 1. ао(С*2П) = 5, если п ^ 7.

1 В общем случае ниоткуда не следует, что уклонение от к преследователей влечет за собой уклонение от 8 преследователей для в < к.

Доказательство:

Нетрудно убедиться, что при п ^ 7 для любой стратегии Б команды Р, состоящей из четырех преследователей, <(Б) ^ 4. Поэтому, в силу леммы, ни одна такая программа не является выигрывающей. Учитывая приведенное выше замечание, заключаем, что ао(^2„) > 5.

Чтобы доказать противоположное неравенство, опишем выигрывающую стратегию для пяти преследователей Р1,Р2,Рз,Р4,Рб. Рассмотрим путь в С*2„, состоящий из пяти вершин Vl,v2,vз,v4,v5, и в начальный момент поставим преследователя Р.. в вершину VI (г = 1..5). Пусть преследователь Р1 движется по циклу в направлении Р5. Далее ходы убегающего со снятием "защищенного" преследователя по очевидным причинам рассматриваться не будут. Тогда, если расстояние между вершиной Vl и начальной позицией убегающего нечетно, то преследователь Р1 должен поймать Е. В противном случае, убегающий снимает Р1 в некоторой вершине и цикла С*2П. Так как расстояние между Р2 и Р5 нечетное, эта вершина находится на нечетном расстоянии либо от Р2, либо от Р5. В случае, если расстояние между вершинами и и V2 нечетное, преследователь Р2 может поймать Е аналогично предыдущему. В противном случае, убегающий ловится преследователем Р5 .

5. Данный пункт содержит основную теорему для задачи Л(О).

Теорема 2. a(C,2n) = 5, если п ^ 5.

Доказательство:

Покажем, что для п ^ 5 величина а(С2П) ^ 5. Для этого рассмотрим произвольную стратегию Б команды Р, состоящей из преследователей Р1,Р2, Рз, Р4. Уклонение от меньшего числа преследователей следует из рассуждений Теоремы 1. Если <(Б) ^ 4, то, в силу леммы, ао(С2П) ^ 5 и, следовательно, а(С2П) ^ 5. Таким образом, осталось рассмотреть те стратегии Б, для которых <(Б) = 3 (неравенство <(Б) < 3 невозможно, так как п ^ 5). Такие стратегии могут существовать только при п = 5 или п = 6 (см. начало доказательства теоремы 1). Пусть Б — одна из них и Б —расстановка преследователей после их первого хода в стратегии Б. В этой расстановке найдется путь длины 3, концы которого заняты соседними преследователями. Более того, нетрудно видеть, что таких путей на цикле по крайней мере два. Обозначим через V0,V1,V2^з вершины этого пути, ни одна из "внутренних" вершин которого не принадлежит начальной расстановке преследователей. Остальные вершины цикла будем нумеровать в естественном порядке. Предположим, что в вершинах vо,vз находятся преследователи Р1, Р2 соответственно.

Покажем, что убегающий может снять одного из преследователей в неточной расстановке. Если Б —неточная расстановка, то хотя бы один из преследователей Р1, Р2 должен быть изолированным. Пусть таковым является преследователь Р1. Тогда Е снимает Р1 на втором же ходу: Vl ^ vо. Вершина Vl может быть выбрана убегающим в качестве начальной позиции, так как она не принадлежит начальной расстановке преследователей.

Предположим теперь, что Б —точная расстановка. Рассмотрим сначала случай, когда в расстановке Б оба преследователя Р1 и Р2 изолированные. Пусть, для определенности, после второго хода Р в стратегии Б преследователь Р1 остается на месте, т. е. второй ход сделан другим преследователем. Если в расстановке Б преследователь Р1 остался изолированным, то убегающий может снять его на втором ходу, перемещаясь V2 ^ Vl ^ vо из выбранной в начальный момент вершины V2. Если же в расстановке Б2 преследователь Р1 оказался неизолированным (что возможно лишь в том случае,

когда на втором ходу преследователь Р4 приблизился к Р1 на расстояние 1), то убегающий на втором ходу может снять (изолированного) преследователя Р2, выбрав в начальный момент вершину «1 и двигаясь далее «1 ^ «2 ^ «3. Возможность каждого из указанных снятий, следует из того, что ни одна из вершин «1, «2 не содержится в начальной расстановке команды Р. Так как П2 —неточная расстановка, в обоих случаях убегающий достигает цели.

Предположим, что в расстановке П1 по крайней мере один из преследователей Р1, Р2 не является изолированным. Это возможно, как нетрудно видеть, только при п = 5 (в противном случае а(П1) ^ 4). Пусть для определенности Р4 стоит "рядом" с Р1 в вершине Уд. Тогда Р3 находится в вершине «6. Напомним, что а (Б) = 3. Если второй ход делает не преследователь Р2, то убегающий, выбрав в начальный момент вершину «1, на втором ходу снимает изолированного Р2 в расстановке П2 (Е : «1 ^ «2 ^ уз). Если же второй ход делает преследователь Р2, то убегающий, в начальный момент, выбирает ту из вершин «4 и «8, которая не занята ни одним из преследователей в начальной расстановке. Тогда на втором ходу убегающий может снять изолированного Р3 либо после «4 ^ «5 ^ «6, либо после «8 ^ V7 ^ «6. Таким образом, во всех случаях убегающий может снять одного из преследователей в неточной расстановке. Далее доказательство завершается так же как в лемме.

Достаточность пяти преследователей доказывается так же, как в теореме 1.

6. Теоремы 1, 2, 3 и 4 дают полное решение задачи для цикла в игрых А(О) и Ао(О).

Теорема 3.

а(Сп) =2 для п = 3, 4.

а(Сп) =3 для п = 5.

а(Сп) =4 для 8 ^ п ^ 6 и для любого нечетного п ^ 9.

Доказательство:

Необходимость двух преследователей для п = 3 и 4 следует из того, что а(О) = 1 тогда и только тогда, когда О — граф типа К,п.

Достаточность двух преследователей доказывается следующим образом. Случай п = 3 очевиден, поэтому приведем доказательство для случая п = 4. Рассмотрим цикл длины четыре, вершины цикла занумеруем У1,...,у в произвольно выбранном направлении. Преследователи Р1 и Р2 становятся в вершины «1 и уз соответственно. Первым ходом команды преследователей будет ход Р2: уз ^ «2. Если убегающий находился в вершине «2, то он пойман и игра закончена, в противном случае он находился в вершине «4 и, либо перешел в вершину «1, сняв при этом Р1, либо перешел в свободную вершину уз . Второй ход команды преследователей зависит от информации полученной ими перед ходом. Если Р1 снят, то Р2: «2 ^ «1 и убегающий пойман, в противном случае Р2: «2 ^ «3 и, опять же, убегающий пойман.

Докажем необходимость трех преследователей для п = 5. Предположим, что два преследователя могут поймать убегающего на цикле длины пять. Вершины цикла занумеруем «1,...,У5 в произвольно выбранном направлении. Если после первого хода преследователи Р1 и Р2 оказались не в смежных вершинах (обозначим их «1 и уз соответственно), то убегающий в начальной расстановке становится в вершину «4 или «5, а именно в ту из них, которая будет свободной в начальной расстановке (если свободны обе, то в любую из них). Таким образом, убегающий снимает изолированного преследователя на своем первом ходу. Если же после первого хода преследователи оказались в смежных вершинах (обозначим их «1 и «2 соответственно), то на втором ходу либо

Р1: Vl ^ V5, либо Р2: V2 ^ vз. В зависимости от второго хода команды преследователей стратегия убегающего будет следующей: в первом случае Е: V4 ^ vз ^ V2, во втором— Е: V4 ^ V5 ^ V1. Легко убедиться, что один преследователь не может поймать изолированного убегающего.

Достаточность трех преследователей доказывается следующим образом. Преследователи Р1, Р2, Рз становятся в вершины Vl, V2 и V4 соответственно. Первым ходом команды преследователей будет ход Рз: V4 ^ vз, а дальше все так же, как и при доказательстве достаточности двух преследователей на цикле длины четыре.

Докажем необходимость четырех преследователей для п ^ 6. Предположим, что три преследователя могут поймать убегающего на цикле длины шесть или более. Вершины цикла занумеруем Vl ,...^6 и т. д. в произвольно выбранном направлении. Предположим, что после первого хода есть хотя бы один изолированный преследователь. Пусть он находится в вершине Vl, тогда убегающему в начальный момент следует занять вершину, смежную с Vl, и сделать ход из нее в Vl (если свободны были обе смежные вершины, то выбрать можно любую). Таким образом, убегающий снимает изолированного преследователя на своем первом ходу. Если же после первого хода оказалось, что три преследователя занимают вершины пути длины два (обозначим их Vl , V2 и vз соответственно), то на втором ходу либо Р1 : Vl ^ vn, либо Рз : vз ^ V4. В зависимости от второго хода команды преследователей тактика убегающего будет следующей: в первом случае Е: vn-2 ^ vn-l ^ vn, если вершина vn-2 была свободна в начальной расстановке и Е: vn ^ vn-l ^ vn в противном случае. Во втором случае Е: V6 ^ V5 ^ V4, если вершина V6 была свободна в начальной расстановке, и Е: V4 ^ V5 ^ V4 в противном случае. И, наконец, в силу леммы, оставшиеся два преследователя не смогут поймать изолированного убегающего. Здесь мы можем воспользоваться леммой, так как при доказательстве этого факта в лемме не использовалась четность и нечетность циклов.

Достаточность четырех преследователей для нечетных п ^ 7 доказывается также как и достаточность пяти преследователей в теореме 1. Осталось доказать достаточность для п = 6 и 8.В случае п = 6 преследователи Р1, Р2, Рз, Р4 занимают вершины Vl, V2, V4 и V6 соответственно и первым ходом Р4 : V6 ^ V5 .В этом случае либо убегающий пойман в вершине V5, либо первым ходом он будет обязан снять одного из преследователей и очевидным образом будет пойман командой преследователей на втором ходу. В случае п = 8 преследователи Р1, Р2, Рз, Р4 занимают вершины Vl, vз, V5 и V6 соответственно, и первым ходом Р4 : V6 ^ V7. В этом случае либо убегающий пойман в вершине V7, либо первым ходом он будет обязан снять одного из преследователей. Так как все преследователи расположены симметрично, то предположим, что убегающий снял Р1 в вершине V1. Тогда Р4 : V7 ^ V6 и после любого хода убегающего расстояние между убегающим и Р2 будет четное, а в этом случае поимка убегающего очевидна.

Теорема 4.

ао(п) =2 для п = 3,4.

ао(п) =3 для п = 5, 6.

ао(п) =4 для 12 ^ п ^ 7 и для любого нечетного п ^ 13.

Доказательство:

Необходимость двух преследователей для п = 3 и 4 следует из того, что ао(О) = 1 тогда и только тогда, когда О — граф типа К,п.

Достаточность двух преследователей доказывается следующим образом. Рассмотрим цикл длины четыре, вершины цикла занумеруем V1,...,V4 в произвольно выбранном

направлении. Преследователи Pi и P2 становятся в вершины Vi и V3 соответственно. Первым ходом команды преследователей будет ход P2: V3 ^ V2. Если убегающий находился в вершине V2, то он пойман и игра закончена, в противном случае он находился в вершине V4 и, по условию, был обязан перейти в вершину vi, сняв при этом Pi. Второй ход команды преследователей будет следующим: P2: V2 ^ Vi. Убегающий пойман, и значит, достаточность доказана.

Доказательство необходимости трех преследователей для n = 5 и 6 проводится аналогично доказательству необходимости трех преследователей для n = 5 в теореме 3.

Достаточность трех преследователей для n = 5 доказывается так же, как в теореме 3. Докажем достаточность трех преследователей для n = 6. Преследователи Pi, P2, P3 становятся в вершины Vi, V2 и V4 соответственно. Первым ходом команды преследователей будет ход P3: V4 ^ V3. Если убегающий в начальной расстановке находился в вершине V6, то на первом ходу он обязан снять неизолированного Pi и сразу же будет пойман сам. Предположим теперь, что после первого хода убегающего ни один из преследователей не снят, это означает, что в начальной расстановке убегающий находился в вершине V5. Вторым ходом команды преследователей будет ход P3: V3 ^ V4. Если первым ходом убегающий перешел в вершину V4, то он пойман, в противном случае очевидно, что убегающий находится в вершине V6, а значит, при своем ходе он будет обязан снять Pi в вершине Vi, после чего поимка убегающего становится очевидной.

Докажем необходимость четырех преследователей для n ^ 7. Предположим, что три преследователя могут поймать убегающего на цикле длины семь или более. Вершины цикла занумеруем Vi ,...,V7 и т. д. в произвольно выбранном направлении. Предположим, что после первого хода есть хотя бы один изолированный преследователь. Пусть он находится в вершине Vi , тогда убегающему в начальный момент следует занять вершину, смежную с Vi, и сделать ход из нее в Vi (если были свободны обе смежные вершины, то выбрать можно любую). Таким образом, убегающий снимает изолированного преследователя на своем первом ходу. Если же после первого хода оказалось, что три преследователя занимают вершины некоторого пути длины два (обозначим их Vi, V2 и V3 соответственно), то на втором ходу либо Pi: Vi ^ Vn, либо P3: V3 ^ V4. В зависимости от второго хода команды преследователей стратегия убегающего будет следующей: в первом случае E: Vn-2 ^ Vn-i ^ Vn, во втором случае E: V6 ^ V5 ^ V4. Легко убедиться, что оставшиеся два преследователя не смогут поймать изолированного убегающего.

Достаточность четырех преследователей для нечетных n ^ 7 доказывается так же, как и достаточность пяти преследователей в теореме 1. Осталось доказать достаточность для n = 8, 10 и 12. В случае n = 8 и 10 преследователи Pi, P2, P3, P4 занимают вершины Vi, V4, V5 и V7 соответственно и первым ходом P4 : V7 ^ v%. В этом случае либо убегающий пойман в вершине V8, либо первым ходом он будет обязан снять одного из преследователей и очевидным образом будет пойман командой преследователей на втором ходу. В случае n = 12 преследователи Pi, P2, P3, P4 занимают вершины Vi, V4, V7 и V9 соответственно и первым ходом P4 : V9 ^ Vio. В этом случае либо убегающий пойман в вершине Vio, либо первым ходом он будет обязан снять одного из преследователей. Так как все преследователи расположены симметрично, то предположим, что убегающий снял Pi в вершине Vi. Тогда P4 : Vio ^ v% ^ V7 и после любых двух ходов убегающего расстояние между убегающим и P2 будет четное, а в этом случае поимка убегающего очевидна.

Summary

A. B. Zelenevskaya, N. N. Petrov. On search problems in graphs with the counteraction.

A problem of guaranted search in a connected undirected graph with the counteraction is considered. "The counteraction" means possibility for the invisible evader to "kill" pursuers under certain conditions. The problem is to find "the search number" of the graph, i. e. the minimum number of pursuers having a winning strategy in the framework of the formalization considered. In the article two versions of the main problem are considered. In the first one the counteraction is obligatory: the evader must "kill" a pursuer at the first opportunity. In the second one the counteraction is not obligatory. In general, these problems are extremely difficult. As shown in the present paper even for cycles the solution is non-trivial. It reveals an unexpected phenomenon: for a cycle with the lesser number of vertices the search number may be greater.

Литература

1. Parsons T. D. Pursuit-evasion in a graph // Lectures notes in Math. 1978. v. 642. P. 426-441.

2. Петров Н. Н. Некоторые экстремальные задачи поиска на графах. // Диф. Уравнения. 1982. Т. 18, №8. C. 1345-1352.

3. Kirousis L.M., Papadimitriou C.H. Searching and Pebbling // Theor. Comp. Science. 1986. T. 474. C. 205-218.

4. Fomin F. V, Golovach P. A, Petrov N. N. Search problems on 1-skeletons of regular polyhedrons // Int. Journal or Math., Game Theory, and Algebra, vol. 7, h. 2/3, 1998. P. 102-111.

5. Капилевич В. О., Петров Н. Н. Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2003. Вып. 3 (№17). С. 31-37.

6. Петров Н. Н, Чуманова А. В. Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2003. Вып. 4 (№25). С. 51-57.

Статья поступила в редакцию 14 октября 2003 г.