CC BY
27
Н. Н. Петров, М. А. Тетерятникова
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ПОИСКА НА ГРАФАХ С ПРОТИВОДЕЙСТВИЕМ
1. Статья посвящена некоторым задачам гарантированного поиска на графах, в которых минимизируется численность группы поиска, способной обеспечить поимку невидимого убегающего. Важность и актуальность задач подобного рода отмечена в обзоре [1], который содержит достаточно полную библиографию по этому вопросу.
В настоящей работе рассматривается сравнительно новый класс задач поиска на графах, главной особенностью которых является активное противодействие убегающего. Противодействие заключается в том, что при определенных условиях убегающий может уничтожить одного из участников группы поиска, после чего преследование продолжается в уменьшенном составе.
В момент уничтожения преследователя убегающий обнаруживает себя, что дает группе поиска важную информацию для корректировки своих дальнейших действий.
Таким образом, в статье обсуждается одна из моделей конфликтного поиска с учетом «засад» и возможных потерь в команде преследователей. Точная постановка задачи приведена в работах [2-4].
Напомним основные моменты упомянутой формализации. Местом действия является неориентированный связный граф О, не имеющий петель и кратных ребер и содержащий по крайней мере одно ребро. На этом графе рассматривается многошаговая игра поиска, участниками которой являются преследователи Р\, ..., Рп и убегающий Е. На каждом шаге игры все участники располагаются в вершинах графа О, при этом каждая вершина не может быть занята более чем одним участником. Ходом участника будем называть его переход в смежную вершину, который далее будем обозначать стрелкой (^). Ходом команды преследователей является, по определению, ход ровно одного из ее участников. Команда преследователей и убегающий делают ходы по очереди (начинают преследователи). Каждый шаг в игре состоит из хода команды преследователей и ответного хода убегающего.
Если после хода одного из преследователей он окажется в вершине, занятой убегающим, то игра завершается в пользу преследователей (в этом случае будем говорить, что убегающий пойман). В свою очередь, если убегающий переходит в вершину, занятую преследователем, то этот преследователь снимается с графа, и преследование продолжается. Цель команды преследователей — поймать убегающего, цель убегающего — помешать этому. Если убегающий достигает своей цели, то говорят, что имеет место уклонение.
Начальные позиции и дальнейшие ходы выбираются участниками на основе поступающей им информации, которую кратко можно описать следующим образом (точные определения «информированности» участников и их допустимых стратегий см. в [2-4]). Группа поиска получает полную информацию о положении убегающего только после его хода со снятием. При этом, при выборе своего очередного хода они могут использовать информацию о всей «предыстории» игры. Убегающему же до начала игры сообщается выбранная преследователями стратегия. Таким образом, в данной формализации речь идет о задаче гарантированного поиска.
© Н. Н. Петров, М. А. Тетерятникова, 2004
Стратегия называется выигрывающей, если она приводит к поимке при любом поведении убегающего. Наименьшая численность команды преследователей, обладающей выигрывающей стратегией, называется а-поисковым числом и обозначается а(О).
Отметим одну особенность рассматриваемой формализации. Пока не удается доказать следующее «правдоподобное» утверждение: если к преследователей имеют выигрывающую программу, то она существует и для любой команды из (к + 1) преследователя. Поэтому для доказательства неравенства а(О) > к необходимо доказывать уклонение от I преследователей для всех I < к.
В настоящей работе получена характеризация всех графов, имеющих а-поисковое число п—1 или п — 2, где п — число вершин графа О. Дается также характеризация всех графов с поисковым числом п — 3 в предположении, что мощность так называемого особого множества вершин (определение этого множества дано в конце пункта 3) не превосходит двух.
2. Напомним некоторые обозначения.
Все включения типа А С В нестрогие, т. е. допускают равенство. УО (ЕО) —множество всех вершин (ребер) графа О. Вершина графа О называется висячей, если ее степень равна 1.
Граф Е называется подграфом графа О, если УЕ С У О и ЕЕ С ЕО. В этом случае будем говорить, что граф О содержит Е. Через degFV обозначается степень вершины
V Є У О в подграфе Е, deg v=degGv .
Через О[М] обозначается подграф графа О, порожденный множеством вершин М С УО, а через О \ М — граф, полученный удалением из О всех вершин из М вместе со всеми инцидентными ребрами, т. е. О \ М = О[УО — М]. Здесь и далее А — В означает теоретико-множественную разность множеств А и В, т. е. множество всех элементов А, не принадлежащих В.
Окружением вершины V называется множество смежных V вершин.
Изолированная вершина — вершина, окружением которой является пустое множество.
Символ О = 0 означает, что граф О пустой, т. е. не имеет ни одного ребра.
Под паросочетанием в настоящей работе понимается произвольное подмножество попарно несмежных ребер.
\М\ —мощность множества М.
Кп — полный граф с п вершинами.
К1п — связный граф с п +1 вершинами, п из которых висячие.
Сп —цикл с п вершинами.
Далее в статье используются теоремы, доказанные в [3] и [4]. Приведем их формулировки в том виде, в каком они будут использованы в настоящей работе:
Теорема 1 ([3]). Пусть в графе О существует множество вершин М С УО, для которого выполнены следующие четыре условия:
(1) О \ М = 0,
(2) \М\ > 3,
(3) подграф Е = О[М] не имеет изолированных вершин,
(4) множество ребер ЕЕ графа Е не является паросочетанием в О.
Тогда а(О) < \М\ — 1.
Теорема 2 ([3]). Пусть Е — подграф О и с! := тіп degF и. Тогда а (О) > с! — 1.
иЕУ С
Теорема 3 ([3]). а(Кп) = п — 2 для п > 4.
Теорема 4 ([4]). а(Сп) = 2, п = 3, 4, а(Сп) = 3, п = 5,
а(Сп) =4, 6 < п < 8 и для любого нечетного п > 9, а(Сп) = 5, для любого четного п > 10.
3. В этом пункте дается характеризация всех графов, имеющих а-поисковое число (п — 1) или (п — 2), где п — число вершин графа О.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть п = \УО\>5, О = Сп, О = Кп. Тогда а(О) < п — 3.
Доказательство. По теореме 1 достаточно построить множество М С У О, для которого выполнены условия (1)-(4) теоремы.
Будем рассматривать множества М вида М = У О — {и, V}, где и, V —несмежные вершины графа О. Это обеспечит выполнение условий (1), (2).
Если О имеет висячую вершину и, смежную вершине иі, то легко строится связное множество вершин М, \М\ = \УО\ — 2, содержащее иі, но не содержащее и и одну из не смежных с ней вершин V, которая не является разделяющей (точкой сочленения). Связность этого множества обеспечивает выполнение условий (3), (4).
Предположим теперь, что О не имеет висячих вершин, но имеет вершину V степени два, смежную вершинам VI, V2. Так как О = Сп, то можно считать, что одна из этих вершин (скажем, V2) имеет степень не меньше трех. Вершина VI имеет степень не меньше двух. Обозначим через v2, v2/ вершины, смежные V2, отличные от V, а через го\ — смежную VI вершину, отличную от V.
Рассмотрим сначала случай, когда среди вершин , v2, v2/ существуют две несмежные вершины. Если найдется вершина V Є УО, такая что V смежна только этим двум вершинам, то в качестве и и V выберем вершины V и и>/ .В противном случае в качестве и и V выберем упомянутые выше две несмежные вершины.
Пусть теперь вершины V/, v2, v2/ попарно смежны. Так как deg V2 > 3, то из двух вершин v2, v2/ хотя бы одна отлична от Vі. Будем считать, что это вершина v2. Если при этом v2/ тоже отлична от Vі и v2 смежна Vі, а v2/ не смежна Vі, то в качестве и и V возьмем V и v2/. Если v2/ совпадает с Vі, то в качестве и и V возьмем V и одну из вершин множества У О — {т, V і^2^2}. Во всех остальных случаях в качестве и и V выберем V и ^.
В каждом из указанных выше случаев положим М = У О — {и, V}. Тогда нетрудно проверить, что условия (1)—(4) теоремы 1 выполнены.
Осталось рассмотреть случай, когда deg Ь > 3 для всех Ь Є У О. Тогда, если существуют две несмежные вершины степени три, то в качестве и и V выберем эти две вершины. Если же несмежных вершин степени три нет, то в качестве и, V можно взять любую пару несмежных вершин. Так как О = Кп, такая пара обязательно найдется. Теорема доказана.
Используя теорему 5, докажем следующие два утверждения.
Теорема 6. Пусть п = \У О\> 4. Тогда а(О) < п — 2. а (О) = п — 2 тогда и только тогда, когда О удовлетворяет одному из трех условий:
1. п = 4, О = К і з,
2. п = 5 или п = 6, О = Сп,
3. О = Кп, п > 4.
Доказательство. Согласно теореме 5, если п > 5, О = Сп, О = Кп, то а(О) < п — 3. Значит, для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай, когда О = Сп или О = Кп, п > 5, а также случай, когда О — произвольный граф, п = 4.
Если О = Кп, то по теореме 3 а(Кп) = п — 2, п > 4.
Если О = Сп, то по теореме 4
а(Сп) = 3, п = 5,
а(Сп) =4, 6 < п < 8 и для любого нечетного п > 9,
а(Сп) = 5 для любого четного п > 10.
Предположим теперь, что О — произвольный граф, п = 4.
Тогда а(О) = 1 только в случае О = К\з. Иначе а(О) > 2.
С другой стороны, для О = К13 при п = 4 а(О) < 2. Для доказательства этого
неравенства согласно теореме 1 достаточно построить множество М С УО, \М\ = 3,
для которого выполнены условия (1)-(4) теоремы.
В качестве множества М рассмотрим множество вида М = У О — {и}, где и — вершина минимальной степени в О. Если вершин минимальной степени в О несколько, то в качестве и можно взять любую из них. Тогда легко видеть, что для М выполнены все условия (1)-(4) теоремы 1.
Таким образом, при п = 4, О = К13, верно равенство а(О) = п—2. Теорема доказана.
Замечание. а(О) = п — 2 также при п = 3, но лишь в том случае, когда О = К12.
Теорема 7. Пусть п = \УО\ > 2. Тогда а(О) < п — 1.
а(О) = п — 1 тогда и только тогда, когда О имеет единственное ребро или О = С3.
Доказательство. Неравенство а(О) < п — 1 для любого графа О с п вершинами при п > 2 очевидно: поимка Е осуществляется на первом ходу преследователей.
В случае п > 4 согласно теореме 6 а(О) < п — 2. Следовательно, для доказательства второй части теоремы достаточно рассмотреть случай, когда п = 2 или п = 3.
Если п = 2, то О — граф, содержащий одно ребро. В этом случае а(О) = 1 = п — 1.
Если п = 3, то верно одно из двух: либо О = Сз, и тогда а(О) = 2 = п — 1, либо О — путь длины два, и тогда а(О) = 1 = п — 2.
Таким образом, а(О) = п — 1 тогда и только тогда, когда О имеет единственное ребро или О = С3. Теорема доказана.
Предположим, О — граф с п вершинами.
Множество У = {V € У О \ deg V < п — 3} назовем особым множеством вершин графа О.
Введем обозначение У := У О — У.
4. В этом пункте дается характеризация всех графов с поисковым числом (п — 3) в предположении, что мощность особого множества вершин У не превосходит двух.
I. \У\ = 0.
Получим значение а-поискового числа. При этом, поскольку случай полного графа был рассмотрен ранее, будем предполагать, что О = Кп, т. е. в У О существует вершина
V, степень которой равна п — 2.
Теорема 8. Пусть п = \УО\ >5, О = Кп, \У\ = 0. Тогда а(О) = п — 3.
Доказательство. Так как любая вершина графа О имеет степень не меньше, чем п — 2, то согласно теореме 2 а(О) > п — 3.
С другой стороны, поскольку О не является ни полным графом, ни циклом, согласно теореме 5 а(О) < п — 3.
Значит, а(О) = п — 3.
Теорему 8 можно переформулировать следующим образом:
Если О = Кп (п > 5) в О отсутствует к ребер, образующих паросочетание, то а (О) = п — 3.
II. \У\ = 1. Будем считать, что У = {V!}.
Теорема 9. Пусть п = \УО\ >5, \У\ = 1. Тогда а(О) = п — 3.
Доказательство. Так как степень Vl не превосходит п — 3, существуют вершины v1, V", не смежные Vl. Кроме того, поскольку общее число вершин графа не меньше пяти, в множестве вершин У О существует вершина V степени п — 2 или больше.
Для доказательства равенства а(О) = п — 3 докажем два неравенства:
1. а(О) < п — 3.
Это неравенство является непосредственным следствием теоремы 5, так как О не является ни полным графом, ни циклом.
2. а(О) > п — 3.
Здесь возможны следующие варианты:
(a) deg v1 = 1.
Обозначим через иі вершину, смежную Vl. В этом случае легко убедиться, что любая вершина У О, кроме Vl и иі, имеет степень п — 2.
deg и і = п — 1. Это равенство объясняется смежностью вершин и і и Vl, а также тем, что все вершины множества У О — ^і У иі) имеют степень п — 2 и единственная не смежная им вершина — V! (не иі).
Рассмотрим подграф О/ = О [У]. Любая вершина V подграфа О/ имеет степень п — 2 в О/. Следовательно, по теореме 2 а(О) > п — 3.
(b) deg V;! > 2
Предъявим стратегию Е, с помощью которой он уклоняется от п — 4 преследователей.
В начальный момент имеется по крайней мере три свободные вершины в У. Е встает в одну из них, которая не будет занята преследователем после первого хода. Этой вершине смежны по крайней мере две свободные вершины. Е переходит в одну из них, которая не будет занята преследователем на следующем шаге. При этом, по возможности, Е снова встает в вершину У. Тогда следующий шаг он совершает по аналогии с предыдущим. Если таким образом он переходит из одной вершины У в другую, то преследователи не ловят Е.
Пусть в некоторый момент у убегающего Е в вершине Ь Є У нет возможности перейти в другую вершину У , не будучи пойманным на следующем шаге. Назовем эту ситуацию ситуацией А.
Ситуация А означает, что в действительности deg Ь = п — 2, причем не смежной Ь вершиной является некоторая другая вершина Ь/ Є У (не вершина Vl). При этом из п — 3 вершин, смежных Ь в У, только одна вершина свободна и она будет занята преследователем на следующем шаге.
Тогда Е из вершины Ь переходит в Vl. Далее после очередного хода преследователей Vl будут смежны по крайней мере две свободные вершины. Действительно, так как Ь/ не смежна Ь, то Ь/ свободна от преследователей. Значит, Vl смежна двум свободным вершинам: і и Ь/. Е перейдет в ту из этих вершин, которая будет свободна от
преследователей после их следующего хода. Это вершина из У. Далее все повторяется аналогично: каждый новый шаг Е, по возможности, делает в вершину У и только в случае возникновения ситуации А переходит в вершину V 1. При этом он уклоняется от поимки. В случае меньшего числа преследователей уклонение очевидно.
Таким образом, а(О) > п — 3.
Равенство а(О) = п — 3 доказано. Теорема доказана.
III. \У\ = 2. Будем считать, что У = {V 1^2}.
Для доказательства следующего утверждения определим граф О*: \УО* \ = 6, deg VI = deg V2 = 3, степень любой вершины множества У равна четырем.
Теорема 10. Пусть п = \УО\ > 6, У = ^1^2}, вершины VI, V2 не смежны, О = О*. Тогда а (О) < п — 4.
Доказательство. Так как п > 6, то кроме вершин V!, V2, в графе О существует еще по крайней мере четыре вершины.
Так как степени вершин Vl, V2 не превосходят п — 3, то существуют вершина , не смежная V1, и вершина v2, не смежная V2. Если степень Vl не превосходит п — 4, то существует также vз = , не смежная Vl и, если степень V2 не превосходит п — 4,
то существует V4 = гю2, не смежная V2. Вершины , vз и v2, V4 попарно различны, так как каждая из этих вершин имеет степень п — 2 и, следовательно, может быть не смежна только одной вершине. По этой же причине , vз смежны вершинам множества У О — ^1}, v2, V4 смежны У О — ^2}.
Будем считать, что если deg Vl = п — 3, то vз смежна Vl, если deg V2 = п — 3, то V4 смежна V2.
Предъявим выигрывающую стратегию команды преследователей численностью п — 4. Для этого обозначим через и1, и2 две смежные вершины графа О, отличные от V1, V2, , v2. В условиях теоремы такие две вершины всегда существуют.
Действительно, если п > 7, то это утверждение очевидно. Если п = 6, то Vз и V4 смежны, так как иначе О = О* , что исключается одним из условий теоремы. Тогда М1 = vз, и2 = V4. Вершины М1, и2 смежны 'а'-у, v2.
Рассмотрим сначала случай, когда deg Vl = deg V2 = п — 3.
В начальный момент преследователи занимают вершины (УО — {v!, v2 ,^^2, м2}). Поскольку убегающему заранее известна выбранная преследователями стратегия, будем считать, что он не делает заведомо плохих ходов: не занимает вершину, на которую следующим ходом переходит преследователь, не снимает «защищенного» преследователя и не занимает вершину, из которой он на следующем ходу будет вынужден сделать это, если есть другие, безопасные ходы.Таким образом, можно считать, что на каждом шаге преследователи получают информацию только о том, что непойманный убегающий сделал ход без снятия. Тогда стратегия преследователей может быть определена следующей последовательностью ходов: Vl —> v2 —> и,2 —> —> и,2 —> v2.
Следует заметить, что все преследователи «защищают» друг друга на протяжении всей игры.
Действительно, преследователь в и1 и «активный» преследователь, совершающий перемещения согласно стратегии преследователей (назовем его Р1), после первого хода постоянно находятся в смежных вершинах (так как м1, м2, , v2 попарно смежны).
Остальные преследователи занимают вершины У и, следовательно, в каждый момент игры вершина любого из этих преследователей смежна хотя бы одной из вершин: и1 или вершине, занятой Р1.
Через ИI обозначим множество свободных от преследователей вершин, в которых может находиться убегающий после своего хода на шаге с номером г.
Тогда стратегия преследователей выглядит следующим образом:
1: Р1 : V1 —> v2, И = {и2,и,2^1, Vl},
2: Р1 : v2 —> м2, И2 = {v,l, v2,v2},
3: Р1 : м2 —> '^1, Из = {м2, Vl},
4: Р1 : V' —> м2, И4 = {v2},
5: Р1 : м2 —> v2.
Очевидно, Е будет пойман. Следовательно, в случае, когда deg Vl = deg V2 = п — 3, п — 4 преследователя ловят Е.
Если теперь степень хотя бы одной из вершин V1, V2 меньше, чем п — 3, то используя ту же стратегию, что и выше, преследователи также поймают Е.
Действительно, как и прежде, в любой момент игры преследователи «защищают» друг друга. Вершины, между которыми совершает перемещения Ро, смежны при любой степени вершин V1, V2. Единственное изменение, происходящее при уменьшении степени вершин V1, V2, —это уменьшение числа возможностей уклонения Е от преследователей.
Таким образом, и в этом случае Е будет пойман командой п — 4 преследователей. Теорема доказана.
В теореме 10 исключается случай О = О*, когда \УО\ = 6, degvl = degV2 = 3, степень любой вершины множества У равна четырем. Этот случай рассматривается в следующей теореме.
Теорема 11. Пусть п = \УО\, У = ^1, V2}, вершины V1, V2 не смежны и выполнено одно из двух условий:
1) п = 5,
2) п = 6, <1вдVl = <1вдV2 = 3, степень любой вершины множества У равна 4.
Тогда а(О) = п — 3.
Доказательство. 1. Очевидно, что при п = 5 (п — 4=1) преследователь не ловит Е; п — 3 = 2 преследователя ловят Е согласно теореме 5.
2. Для доказательства равенства а(О) = п — 3 докажем два неравенства.
1. а(О) < п — 3 = 3
Неравенство выполнено ввиду теоремы 5.
2. а(О) > п — 3 = 3
Докажем это.
По условию п =6, значит, \У\ = 4. Так как степень вершин Vl, V2 равна трем, то существует единственная вершина , не смежная Vl, и единственная вершина v2, не смежная V2. Оставшиеся две вершины О обозначим через vз, V4. Степень любой вершины множества У равна четырем, значит, смежна всем вершинам О, кроме Vl, v2 смежна всем вершинам О, кроме V2. Вершины vз, V4 оказываются смежными Vl, V2, v1, v2, следовательно, они не смежны друг другу, так как иначе их степень была бы равна пяти.
Докажем, что в этом случае п — 4 = 2 преследователя не ловят Е. Предъявим стратегию Е, с помощью которой он уклоняется от двух преследователей. В начальный момент имеется по крайней мере две свободные вершины в У. Е встает в ту из них, которая не будет занята преследователем после первого хода. Этой вершине смежны по крайней мере две свободные вершины. Е переходит в одну из них, которая не будет
занята преследователем на следующем шаге, или снимает незащищенного преследователя. При этом, по возможности, Е снова встает в вершину У. Тогда следующий шаг он совершает по аналогии с предыдущим. Если таким образом он переходит из одной вершины У в другую, то преследователи не ловят Е.
Пусть на к-м шаге у убегающего Е, находящегося в вершине Ь Є У, нет возможности перейти в другую вершину У, не будучи пойманным на следующем шаге. В силу симметрии достаточно рассмотреть два случая: а) Ь = V/, Ь) Ь = vз.
В случае а) преследователи должны занимать вершины vз, v2 ^4, v2), и их (к + 1)-й ход должен быть: v2 —> V4 V —> vз). В этом случае на к-м ходу Е переходит в V2 и на (к + 1 )-м ходу снимает преследователя, находящегося в вершине vз.
В случае Ь) легко убедиться, что преследователи после их (к + 1)-го хода должны занимать две из трех вершин V/, v2, V4. Если этими вершинами являются v2, V4 (V /, V4), то на к-ом ходу Е переходит в вершину V2 (V і). Если упомянутыми вершинами являются V/, v2, то на к-м ходу убегающий может перейти в любую из вершин Vі, V2.
Нетрудно убедиться, что во всех случаях своим (к + 1)-м ходом Е может занять свободную вершину из У, которая останется свободной после (к + 2)-го хода преследователей.
Таким образом, неравенство а(О) > п — 3 = 3 доказано.
Следовательно, а(О) = п — 3. Теорема доказана.
Теорема 12. Если п = \УО\ > 7, У = {V і^}, то а (О) = п — 3 тогда и только тогда, когда Vі, V2 смежны.
Доказательство.
Необходимость. Покажем сначала, что если п > 7, а(О) = п — 3, то Vі, V2 смежны.
Это сразу же следует из теоремы 10, которую при п > 7 можно сформулировать следующим образом:
Пусть п = \УО\ >7, У = {V і, V2}, вершины V і, V2 не смежны. Тогда а (О) < п — 4.
Достаточность. Покажем теперь, что если вершины Vі, V2 смежны, п > 7, то а(О) = п — 3.
Так как степени вершин Vі, V2 не превосходят п — 3, то существуют две вершины V/, V", не смежные Vі , и две вершины v2, v2/, не смежные V2 . Вершины V/, V" и v2, v2/ попарно различны, так как каждая из этих вершин имеет степень п — 2 и, следовательно, может быть не смежна только одной вершине. По этой же причине V/, V" смежны вершинам множества У О — {V і}, а вершины v2, v2/ смежны вершинам множества У О — {V2}.
Для доказательства равенства а(О) = п — 3 докажем два неравенства.
1. а(О) < п — 3.
Это неравенство является непосредственным следствием теоремы 5.
2. а(О) > п — 3.
Заметим, что deg Vі > 3 и deg V2 > 3.
Предъявим стратегию Е, с помощью которой он уклоняется от п — 4 преследователей. В начальный момент имеется по крайней мере две свободные вершины, принадлежащие множеству У. Е встает в ту из них, которая не будет занята преследователем после первого хода. Этой вершине смежны по крайней мере две свободные вершины. Е переходит в одну из них, которая не будет занята преследователем на следующем шаге. При этом, по возможности, Е снова встает в вершину У. Тогда следующий шаг он совершает по аналогии с предыдущим. Если таким образом он переходит из одной вершины У в другую, то преследователи не ловят Е.
Пусть на к-м шаге Е, находящийся в некоторой вершине Ь Є У, не может перейти в другую вершину У, не будучи пойманным на (к + 1)-м шаге и вынужден занять одну из свободных вершин множества У (скажем Vі). Нетрудно видеть, что по крайней мере одна такая вершина должна существовать. Покажем, однако, что после (к + 1)-го хода преследователей вершина Vі будет смежна двум свободным вершинам.
Введем обозначение Т = N(Ь) р| У. Нетрудно убедиться, что в условиях теоремы возможно одно из двух:
1. \Т\ = п — 3, 2. \Т\ = п — 4.
В первом случае после к-го хода преследователей они должны занимать п — 4 вершины из множества Т, причем на (к + 1)-м ходу один из преследователей переходит в «оставшуюся» вершину этого множества. В этом случае после (к + 1)-го хода преследователей вершина Vі будет смежна свободным вершинам Ь и V2.
Во втором случае должна существовать вершина Ь/ Є У, Ь/ = Ь, не смежная Ь. Предположим сначала, что после к-го хода преследователей все вершины множества Т заняты преследователями. Тогда нетрудно убедиться, что после их (к + 1)-го хода вершине Vі будут смежны две свободные вершины из множества {Ь, Ь/, V2 } (вершина Ь/, очевидно, смежна Vі, поскольку она не смежна Ь).
Осталось рассмотреть случай, когда после к-го хода преследователей все, кроме одной, вершины множества Т заняты преследователями и оставшуюся вершину Т занимает один из преследователей на (к + 1)-м ходу. В этом случае после (к + 1)-го хода преследователей вершина Vі будет смежна свободной вершине Ь и вершинам V2, Ь/, хотя бы одна из которых свободна.
Следовательно, Vі будут смежны как минимум две свободные вершины. Е перейдет в ту из них, которая будет свободна от преследователей после их следующего хода. При этом, по возможности, Е встает в вершину множества У. Тогда дальше все повторяется аналогично: Е, по возможности, переходит в вершину У/ либо, если такой возможности нет, в одну из вершин У, где у него будет возможность перейти дальше в одну из двух свободных вершин, уклоняясь тем самым от поимки.
Предположим, на 1-м шаге у Е нет возможности перейти из Vі в вершину множества У, не будучи пойманным на следующем шаге. Это значит, что из всех вершин У, смежных Vі, только одна вершина свободна и она будет занята преследователем на (I + 1)-м ходу. Тогда Е переходит из Vі в V2. Покажем, что после (I + 1)-го хода преследователей V2 будет смежна двум свободным вершинам.
Пусть V —вершина У, не смежная Vі и свободная от преследователей. Нетрудно видеть, что такая вершина (очевидно, смежная V2) должна существовать. Таким образом, после (I + 1)-го хода преследователей V2 смежна двум свободным вершинам: Vі и V.
Далее из V2 Е перходит в ту из этих вершин, которая будет свободна от преследователей после их следующего хода. При этом, по возможности, Е встает в вершину У. Далее все повторяется аналогично: Е переходит в вершину У или, если нет такой возможности, — в одну из двух вершин У. При этом он уклоняется от поимки. В случае меньшего числа преследователей уклонение очевидно.
Следовательно, а(О) > п — 3. Таким образом, равенство а(О) = п — 3 доказано.
Замечание. Если Vі, V2 смежны и п = 6 (п < 6 в этих условиях быть не может), то а(О) = п — 3.
В этом случае «проходит» доказательство достаточности, приведенное в теореме для случая п > 7.
Однако условие n > 7 в теореме существенно ввиду теоремы 11, где a(G) = n — 3 при несмежных вершинах vi,V2 и общем количестве вершин в графе n = 5 и n = 6.
Summary
N. N. Petrov, M. A. Teteryatnikova. On some problems of the search on graphs with the counteraction.
The article is devoted to a problem of the guaranteed search on graphs where the number of the searching group capable to catch the invisible evader is minimized. The particular feature of the problem is the active counteraction of the evader. The formulating of the problem and some difficulties related to its solving are presented.
The description of all graphs with а-searching number equal to n — 1 or n — 2 is given (n is the number of vertices of G). The description of all graphs with а-searching number equal to n — 3 under the assumption that the cardinality of the so-called singular vertex set is not more than two is also obtaned.
Литература
1. Fomin F. V., Golovach P. A., Petrov N. N. Search problems on 1-skeletons of regular polyhedrons // Int. Journal of Math., Game Theory, and Algebra, vol. 7, h. 2/3, 1998. P. 102-111.
2. Капилевич В. О., Петров Н. Н. Задачи поиска на графах с противодействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 3. (№17). С. 31-37.
3. Петров Н.Н., Чуманова A. В. О некоторых проблемах поиска с противодействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 4. (№25). С. 51-57.
4. Зеленевская А. Б., Петров Н.Н. О задачах поиска на графах с противодействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 23-33.
Статья поступила в редакцию 19 июня 2004 г.
