CC BY
35
УДК 517.977
В. О. Капилевич, Н. Н. Петров
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 3 (№17)
ЗАДАЧИ ПОИСКА НА ГРАФАХ С ПРОТИВОДЕЙСТВИЕМ*
1. Настоящая работа является продолжением исследований, проводимых в СПбГУ по проблемам гарантированного поиска на графах. Некоторые из полученных в этом направлении результатов приведены в обзоре [1]. В работах, упомянутых в этом обзоре, ставится задача о нахождении минимальной численности группы преследователей, способной успешно (в том или ином смысле) завершить поиск. Важность и актуальность задач подобного рода обусловлены многочисленными приложениями (см. [1]). Среди них достаточно назвать построение моделей борьбы с компьютерным вирусом с помощью так называемых «программ-вакцин» и вычисление основных характеристик графов, возникающих в теории сверхбольших интегральных схем (СБИС).
В настоящей работе рассматриваются новые задачи поиска на графах, главной особенностью которых является активное противодействие убегающего команде преследователей, стремящейся его обнаружить. Противодействие состоит в том, что при определенных условиях убегающий может уничтожить одного из участников группы поиска, после чего преследование продолжается в уменьшенном составе. В момент уничтожения преследователя убегающий обнаруживает себя, что является своеобразной информационной компенсацией за «потерю бойца». Таким образом, в статье обсуждается одна из моделей конфликтного поиска с учётом «засад» и возможных потерь в команде преследователей.
Переходим к описанию этой модели. Местом действия является неориентированный связный граф О, содержащий по крайней мере одно ребро и не имеющий ни петель, ни кратных ребер. На этом графе рассматривается многошаговая игра преследования, участниками которой являются преследователи Р\...Рп и убегающий Е. Далее по понятным причинам предполагается, что п < |УО|. На каждом шаге игры все участники располагаются в вершинах графа О, при этом каждая вершина может быть занята не более чем одним участником. Ходом участника будем называть его переход в одну из смежных вершин. Ходом команды преследователей является, по определению, ход ровно одного из ее участников. Команда преследователей и убегающий делают ходы по очереди (начинают преследователи), при этом, как следует из сказанного, ни одна из сторон не может «пропустить ход». Каждый шаг в игре состоит из хода команды преследователей и «ответного» хода убегающего. Начальные позиции и дальнейшие ходы выбираются участниками на основе поступающей им информации, о чем будет сказано ниже.
Если после хода одного из преследователей он окажется в вершине, занятной убегающим, то игра завершается в пользу преследователей (в этом случае будем говорить, что убегающий пойман). В свою очередь, если убегающий переходит в вершину, занятую преследователем, то этот преследователь снимается с графа, и игра продолжается. Цель команды преследователей — поймать убегающего, цель убегающего — помешать этому.
Переходим теперь к описанию информации, которую получают стороны в течение игры. Убегающему на каждом шаге сообщается полная информация о расположении
* Работа частично поддержана РФФИ (грант 01-01-00235).
© В. О. Капилевич, Н. Н. Петров, 2003
преследователей; более того, предполагается, что он до начала игры получает информацию о выбранной ими стратегии (соответствующее определение приводится ниже). Таким образом, в данной формализации речь идет о задаче гарантированного поиска. Что касается преследователей, то на первом шаге начальное положение убегающего им не известно (они его «не видят»), он может находиться в любой вершине графа О, не занятой преследователями. На шаге с номером к > 2 преследователи получают информацию одного из следующих трех видов:
1) на (к — 1 )-ом шаге убегающий был пойман, в этом случае игра завершается;
2) на (к — 1 )-ом шаге убегающий снял одного из преследователей, занял его вершину и стал «видимым» для преследователей (информацию о положении убегающего преследователи получают только после хода «со снятием»);
3) на (к — 1 )-ом шаге непойманный убегающий сделал ход «без снятия».
Предполагается, что выбор хода команды преследователей на к-ом шаге осуществляется на основе полученной ими информации и всей «предыстории» игры.
Позицией в рассматриваемой игре будем называть расстановку участников на графе (точнее, информацию о ней) вместе с предысторией. Аналогичное определение используется в шахматном кодексе: в понятие позиции включается не только расположение фигур, но и некоторые элементы предыстории, разрешающие или запрещающие рокировку или взятие «на проходе». Стратегией команды преследователей назовем тройку (т, и), где т — выбранное преследователями число ходов в игре, Б — начальная расстановка, т. е. множество вершин, занятых преследователями перед первым шагом, и и — отображение, которое каждой позиции ставит в соответствие ход.
Формальное определение стратегии в шахматах аналогично. Отличие лишь в том, что число ходов в партии не ограничено и начальная расстановка фиксирована.
Стратегия называется выигрывающей, если она приводит к поимке при любом поведении убегающего. Наименьшую численность команды преследователей, обладающей выигрывающей стратегией, будем называть а-поисковым числом графа О и обозначать а(О).
2. Изучение а-поисковых чисел предпринимается впервые. Задача нахождения этой характеристики для произвольного графа оказалась весьма трудной, и в настоящее время ее решение удалось получить лишь в исключительных случаях. Можно доказать, например, что если п > 4, то а(Кп) = п — 2, где Кп —полный граф с п вершинами. Легко находятся а-поисковые числа всех путей, их возможные значения 1, 2, 3. Однако уже случай циклов оказывается нетривиальным. Выяснилось, что с уменьшением числа ребер в цикле а-поисковое число может увеличиваться. Это и другие нарушения «монотонности» а-поискового числа существенно отличают его от ранее известных поисковых чисел (таких, как пз(О), вз(О) и т.д. ), которым посвящены многочисленные работы (см., например, библиографию в [1]). Упомянутые выше результаты будут подробно изложены в последующих публикациях.
Отметим еще одну особенность рассматриваемой формализации. Пока не удается доказать в полной общности следующий «очевидный» факт.
Утверждение 1: Бсли некоторая команда преследователей имеет выигрывающую стратегию, то выигрывающую стратегию имеет и любая команда преследователей большей численности.
Продемонстрируем трудности, возникающие при доказательстве Утверждения 1. Пусть О — путь длины 5 с вершинами 1, 2, 3, 4, 5, 6, занумерованными в естественном порядке. Опишем выигрывающую стратегию команды из трех преследователей Р\,Р2,Рз. Расставим их в начальный момент в вершинах 2, 3, 4 соответственно, и пусть
первый ход делает Р3: 4 ^ 5. Если ответным ходом Е снимает Р\, то на следующем ходу он ловится преследователем Р2. Если же Е снимает Рз, то преследователь Р\ делает «выжидательный» ход: 2 ^ 1, и затем Р2 начинает движение в направлении вершины 6, что неизбежно приводит к поимке Е.
При добавлении еще одного преследователя неясно, куда его поставить и как использовать «старую» выигрывающую стратегию. Если, например, поставить Р1 в вершину 1, то убегающий, занявший в начальный момент вершину 6, не только уклоняется от поимки, но и снимает всех преследователей (если стратегия Р достаточно «длинная»).
В настоящей работе рассматриваются деревья с «малыми» а-поисковыми числами и дается их характеризация. Полученная теорема позволяет вычислить а-поисковое число любого дерева, имеющего единственную вершину степени больше двух.
3. Напомним необходимые определения.
Будем говорить, что граф О содержит граф Н, если Н является частью О, т.е. УН С УО и ЕН С ЕО. Для всякого множества Т С У О символом О\Т обозначается граф, полученный удалением из О всех вершин Т вместе со всеми инцидентными им ребрами. Тройку вершин графа О назовем реберной, если она содержит ребро. Будем говорить, что реберная тройка Т особая, если граф О\Т пустой (т. е. не содержит ребер), и неособая в противном случае.
Имеет место
Теорема 1: Пусть О — дерево, содержащее более одного ребра. Тогда следующие утверждения эквивалентны: ^ а (О) > 3
И) О содержит одно из следующих деревьев:
О1: 1 2 3 4 5 6 7
0-0-0-0-0-0-0 О2 : 1 Оз: 7 8
0 0 0 / | \ | |
02 03 04 0-0-0-0-0-0 | | | 1 2 3 4 5 6
0 0 0 5 6 7
т) каждая реберная тройка неособая.
Доказательство импликации г) ^ ггг).
Предположим, что в G существует особая тройка Т = {и, VI, «2}, где VI,«2 —смежные вершины. Покажем, что в этом случае существует выигрывающая стратегия для команды, состоящей из двух преследователей Р1 и Р2. В самом деле, поставим в начальный момент преследователя Р1 в вершину и, а преследователя Р2 в ту из вершин «1,«2, которая располагается от и на четном расстоянии (будем считать, что такой вершиной является «1), и первым ходом переместим Р2 из «1 в «2. После ответного хода убегающего преследователи получают информацию одного из следующих трех типов:
1) убегающий пойман, и в этом случае все ясно;
2) убегающий снял одного из преследователей;
3) непойманный убегающий сделал ход без снятия.
В последнем случае нетрудно убедиться, что после ответного хода Е должен находиться в вершине «1 (в противном случае тройка Т оказывается неособой), и вторым
ходом Р2 ловит Е, возвращаясь в VI.
Осталось рассмотреть случай 2. Пусть Ь — путь минимальной длины, содержащий Т. Его длина не превосходит трех, и каждая вершина графа О, не лежащая на Ь, инцидентна одной из вершин множества Т (так как О\Т — пустой граф). Перед вторым ходом убегающий и оставшийся на графе преследователь находятся на нечетном расстоянии друг от друга, и далее четность этой величины меняется после каждого хода любого из участников. С помощью соображений четности нетрудно убедиться, что, следуя вдоль пути Ь в направлении убегающего, преследователь неизбежно ловит Е. Таким образом, если а(О) > 3, то особых троек в О существовать не может.
Доказательство импликации гг) ^ г).
Нетрудно убедиться, что ни один из графов О\, О2, О3 не содержит особой тройки, а, значит, и граф О ее не содержит. Покажем, что в этом случае двух преследователей недостаточно. Предположим противное, и пусть Б — выигрывающая стратегия для преследователей Р\ и Р2. В соответствии с этой стратегией в начальный момент Р\ и Р2 занимают вершины и, VI соответственно, и первым ходом Р2 переходит из VI в некоторую вершину V2. Так как тройка Т = неособая, то в графе О существует ребро в, концы которого гш\,гЮ2 не принадлежат Т.
Убегающий в начальный момент занимает одну из вершин и>1, ■, исходя из следующих соображений. Поскольку стратегия Б выигрывающая, должен существовать такой номер к > 2, что после к-го хода преследователей один из них (скажем, Р\) впервые попадает на ребро е. Для определенности будем считать, что на к-ом ходу Р\ переходит в и>1 из некоторой вершины Если в этот момент расстояние между и Р2 четное, то убегающий выбирает в начальный момент ту из вершин и>1, ■, двигаясь из которой (не покидая ребра е) он перед своим к-ым ходом оказывается в вершине и>2. На к-ом ходу убегающий снимает Р\, после чего (в силу соображений четности) оказывается в полной безопасности.
Если же после к-го хода преследователей, планируемого в стратегии Б, расстояние между Р\ и Р2 нечетное, то убегающий выбирает ту из вершин и)\, и>2, двигаясь из которой (не покидая ребра е) он перед своим (к — 1)-ым ходом оказывается в вершине ■¡VI. Снимая своим (к — 1)-ым ходом преследователя в вершине убегающий снова оказывается в полной безопасности, так как в этот момент расстояние между Р\ и Е четное. Следовательно, а(О) > 3.
Доказательство импликации ггг) ^ гг).
Так как дерево О содержит более одного ребра, то по крайней мере одна реберная тройка существует.
Пусть А — множество всех невисячих вершин дерева О. Их число |А| не менее четырех. В самом деле, если |А| < 3, то в О существует особая тройка, что невозможно. Назовем вершину множества А простой, если она инцидентна не более чем двум невисячим ребрам, и сложной —в противном случае. Если в А существует по крайней мере одна сложная вершина, то О содержит О2.
Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда все вершины множества А простые. В этом случае нетрудно убедиться, что каждая вершина множества А смежна либо одной, либо двум вершинам из А (в противном случае, в А найдется сложная вершина). Отсюда следует, что вершины множества А порождают путь, и это позволяет перенумеровать их в естественном порядке.
Предположим сначала, что | А1 = 4. Тогда каждая вершина множества А инцидентна по крайней мере одному висячему ребру. Для вершин 1 и 4 это утверждение очевидно, а для вершин 2 и 3 следует из того, что тройки {1, 3, 4} и {1, 2,4} неособые. Отсюда
заключаем, что О содержит Оз.
Если же |А| > 5, то дерево О, очевидно, содержит О1, что и завершает доказательство теоремы 1.
Без труда доказываются следующие два утверждения:
Теорема 2: Пусть О — произвольный граф. Тогда а(О) = 1 в том и только в том случае, когда О изоморфен К1п. Напомним, что К1,п - это двудольный граф с (п+1)-ой вершиной, одна из которых (X) смежна п висячим (х1, ..хп).
Если О изоморфен К1,п, то выигрывающая стратегия единственного преследователя состоит в следующем. В начальный момент он занимает вершину X и на первом ходу переходит в одну из висячих вершин х1, ...,хп. Если на первом ходу преследователь не ловит Е, то ловит на втором, возвращаясь в вершину X.
Если а(О) = 1, то первый ход преследователя в произвольной выигрывающей стратегии должен быть из некоторой вершины X в одну из висячих вершин (иначе он будет снят убегающим). Вторым ходом преследователь вынужден вернуться в X. Если граф не изоморфен К1п, то убегающий своим первым ходом может занять вершину, смежную X, и на втором ходу снять преследователя.
Теорема 3. Пусть О — дерево, имеющее более одного ребра. Тогда а(О) = 2 в том и только в том случае, когда О не изоморфен К1п и в О существует по крайней мере одна особая тройка.
4. В качестве приложения теоремы 1 рассмотрим задачу о нахождении а-поискового числа дерева, имеющего только одну вершину степени больше двух.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть О — дерево, у которого существует только одна вершина А степени большей двух. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
) а (О) < 2;
гг) вершине А инцидентны не более чем два невисячих ребра и в дереве О не более трех вершин степени 2;
т) в дереве О существует не более двух вершин степени 2 или существует такое п > 7, что граф О изоморфен одному из следующих деревьев:
Оп,1 : 1 2 3 4 5 6
0 -0 - 0 -0/ 0 ' 1 ' | -0 \ \
0 0 ... 0
7 8 п
Оп,2 : 1 2 3 4 5 6
0 -0 - 0 -0- 0 -0
/ | \ 0 0 ... 0
7 8 п
Доказательство импликации гг) ^ г).
Если предположить, что а(О) > 3, то по теореме 1 граф О должен содержать одно из деревьев О1,О2, О3. Нетрудно видеть, однако, что ни одно из этих деревьев не может быть частью О. В самом деле, О не может содержать О1, так как в О1 пять вершин степени 2, и, следовательно, в О таких вершин по крайней мере 4. Граф О не может содержать Оз, так как в дереве Оз две вершины степени 3. И, наконец, О не может
содержать О2, так как в О2 вершине степени 3 инцидентны 3 невисячих ребра. Стало быть, а(О) < 2.
Доказательство импликации г) ^ ггг).
В силу теоремы 1 граф О не может содержать ни О\, ни О2, ни О3. Предположим, что в дереве О существует более двух вершин степени 2. Тогда, поскольку О не содержит О\, то диаметр О равен 5. Рассмотрим путь Ь в О длины 5, содержащий вершины 1, 2, 3, 4, 5, 6, занумерованные (с любого конца) в естественном порядке. Вершина А, очевидно, принадлежащая Ь, имеет номер 2, 3, 4 или 5 (так как О не содержит О\). Если А совпадает с вершиной 5 (или 2), то все инцидентные ей ребра, не принадлежащие Ь, висячие, так как в противном случае О содержит О\. В этой ситуации граф О изоморфен одному из деревьев серии Оп, 1. Если же А совпадает с вершиной 4 (или 3), то все инцидентные ей ребра, не принадлежащие Ь, висячие, так как в противном случае О содержит О2. В этой ситуации О изоморфно одному из деревьев серии Оп, 2.
Доказательство импликации ггг) ^ г).
Если в дереве О не более двух вершин степени 2, то утверждение очевидно, так как в этом случае вершине А не могут быть инцидентны более чем два невисячих ребра. Если дерево О изоморфно одному из графов серии Оп, 1, то вершине А инцидентно только одно невисячее ребро и О содержит три вершины степени 2. Если же О изоморфно одному из графов серии Оп, 2, то вершине А инцидентны два невисячих ребра ив О содержатся 3 вершины степени 2. Таким образом, утверждение гг) справедливо во всех случаях. Теорема 4 доказана.
Следующие два утверждения вместе с теоремой 4 позволяют определить а-поисковое число любого дерева, имеющего единственную вершину степени больше двух.
Теорема 5. Пусть дерево О удовлетворяет условию теоремы 4- Тогда а(О)=1 в том и только в том случае, когда О не имеет вершин степени 2.
Теорема 6. Для каждого дерева О, удовлетворяющего условию теоремы 4, а(О) < 3.
Теорема 5 является простым следствием теоремы 2. Докажем теорему 6. Для этого опишем выигрывающую стратегию для трех преследователей. Пусть Ь1, ...,Ь^, к > 3, все пути в О, начала которых совпадают с вершиной А, а концы являются висячими вершинами. Обозначим через /1, ...,/и их длины, занумерованные в порядке невозрастания.
Предположим сначала, что /^ = 1 для ] = 2,..., к. Если /1 < 4, то из теоремы 4 следует, что а(О) < 2. Поэтому будем предполагать, что /1 > 5. Поместим преследователя Р1 в вершину А, Р2 в вершину пути Ь1, смежную с А, и Р3 в вершину Ь1, отстоящую от А на расстоянии 2. Первый ход делает преследователь Р3. Если ответным ходом убегающий снимает Р1, то его ловит Р2. В противном случае Р3 продолжает движение в направлении Е, который, как следует из сказанного, должен находиться на Ь1. Далее возможно одно из трех.
1. Р3 ловит Е, и в этом случае все ясно.
2. Е снимает Р3, и в этот момент расстояние между ним и Р2 нечетное; тогда Р2 движется в направлении Б ив силу соображений четности ловит его.
3. Е снимает Р3, и в этот момент расстояние между ним и Р2 четное (такая ситуация может возникнуть уже после первого хода Е); тогда преследователь Р1 делает «выжидательный» ход (отступая, например, на вершину пути Ь2), а затем Р2 ловит Е, как и в случае 2.
Предположим теперь, что /2 > 2. Поместим Р1 в вершину А, Р2 в вершину пути Ь1 , смежную с А, и Р3 в вершину пути Ь2, смежную с А. Пусть убегающий в начальный
момент занимает вершину B G Li. Стратегия преследователей состоит в последовательной «проверке путей» Li...Lk. Сначала, как и выше, проверяется путь Li. Если i = 1, то либо Pi, либо P2 ловит E. Если же i = 1, то P2 доходит до конца пути L\ и возвращается в первоначальное положение. Аналогичным образом проверяется путь L2. Будем считать, что li > 2, так как в противном случае убегающий ловится уже на втором ходу. Таким образом, достаточно проверить только те пути, длины которых больше 1. Опишем, как осуществляется переход преследователей на один из таких путей (скажем, на L3). Из первоначальной расстановки преследователь переходит в смежную вершину, лежащую на пути L3. Если ответный ход убегающего «без снятия», то P3 переходит в A, и дело сводится к уже рассмотренной ситуации. Если убегающий снимает Pi, то P3 переходит в смежную вершину, отличную от A. В этот момент (при ходе убегающего) расстояние между E и P2 оказывается четным, и P2, двигаясь в направлении E, ловит его. Ясно, что описанная выше процедура «проверки» во всех случаях приводит к поимке убегающего.
Summary
Kapilevich V. O., Petrov N. N. Search problems on graphs with counteraction. Some new search problems on graphs are considered. The main feature of the setting is active actions of the invisible evader who can under appropriate conditions "kill" pursuers. The problem is to find the minimum number of pursuers having a winning strategy. On the paper this value is found for some classes of trees.
Литература
1. Fomin F. V., Golovach P. A., Petrov N. N. Search problems on 1-skeletons of regular polyhedrons // Int. J. of Math., Game Theory, and Algebra. Vol. 7/ № 2/3. 1998. P. 102-111.
Статья поступила в редакцию 13 февраля 2003 г.
