О некоторых проблемах поиска с противодействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

Н. Н. Петров, А. В. Чуманова

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ ПОИСКА С ПРОТИВОДЕЙСТВИЕМ

1. Статья посвящена некоторым задачам гарантированного поиска на графах, в которых минимизируется численность группы поиска, способной обеспечить поимку невидимого убегающего. Важность и актуальность задач подобного рода отмечена в обзоре [1], который содержит достаточно полную библиографию по этому вопросу.

В настоящей работе рассматриваются новые задачи поиска на графах, главной особенностью которых является активное противодействие убегающего. Противодействие заключается в том, что при определенных условиях убегающий может уничтожить одного из участников группы поиска, после чего преследование продолжается в уменьшенном составе.

В момент уничтожения преследователя убегающий обнаруживает себя, что дает группе поиска важную информацию для корректировки своих дальнейших действий.

Таким образом, в статье обсуждается одна из моделей конфликтного поиска с учетом «засад» и возможных потерь в команде преследователей.

Переходим к описанию этой модели. Местом действия является неориентированный связный граф О, не имеющий петель и кратных ребер и содержащий по крайней мере одно ребро. На этом графе рассматривается многошаговая игра преследования, участниками которой являются преследователи Р\, ..., Рп и убегающий Е. Далее по понятным причинам предполагается, что п меньше числа вершин графа О. На каждом шаге игры все участники располагаются в вершинах графа О, при этом каждая вершина не может быть занята более чем одним участником. Ходом участника будем называть его переход в смежную вершину, который далее будем обозначать стрелкой (^). Ходом команды преследователей является, по определению, ход ровно одного из ее участников. Команда преследователей и убегающий делают ходы по очереди (начинают преследователи), при этом, как следует из сказанного, ни одна из сторон не может «пропустить» ход. Каждый шаг в игре состоит из хода команды преследователей и ответного хода убегающего. Начальные позиции и дальнейшие ходы выбираются участниками на основе поступающей им информации, о чем будет сказано ниже.

Если после хода одного из преследователей, он окажется в вершине, занятой убегающим, то игра завершается в пользу преследователей (в этом случае будем говорить, что убегающий пойман). В свою очередь, если убегающий переходит в вершину, занятую преследователем, то этот преследователь снимается с графа, и преследование продолжается. Цель команды преследователей — поймать убегающего, цель убегающего — помешать этому. Если убегающий достигает своей цели, то будем говорить, что имеет место уклонение.

Переходим теперь к описанию информации, которую получают стороны в течение игры. Убегающему на каждом шаге сообщается полная информация о расположении преследователей; более того, предполагается, что ему до начала игры известно, как будут вести себя преследователи в каждом конкретном случае. Таким образом, в данной формализации речь идет о задаче гарантированного поиска.

Что касается преследователей, то на первом шаге начальное положение убегающего им неизвестно (они его «не видят»), он может находиться в любой вершине графа

© Н. Н. Петров, А. В. Чуманова, 2003

G, не занятой преследователями. На шаге с номером к > 2 преследователи получают информацию одного из следующих трех типов:

1. На (к — 1)-ом шаге убегающий был пойман, в этом случае игра завершается.

II. На (к — 1)-ом шаге убегающий снял одного из преследователей, занял его вершину и стал «видимым» (информацию о положении убегающего преследователи получают только после ходов «со снятием»).

III. На (к — 1)-ом шаге непойманный убегающий сделал ход «без снятия».

Предполагается, что выбор хода командой преследователей на к-ом шаге осуществляется на основе полученной информации и всей «предыстории» игры.

Позицией в рассматриваемой игре будем называть расстановку участников на графе (точнее, информацию о ней) вместе с предысторией.

Стратегией команды преследователей назовем тройку (т, 5, и), где т — выбранное преследователями число шагов в игре, 5 — начальная расстановка, т. е. множество вершин, занятых преследователями перед первым шагом, и и — отображение, которое каждой позиции ставит в соответствие ход.

Стратегия называется выигрывающей, если она приводит к поимке при любом поведении убегающего, который, напомним, получает информацию об этой стратегии до начала игры. Наименьшую численность команды преследователей, обладающей выигрывающей стратегией, будем называть а-поисковым числом графа G и обозначать а(С).

Иногда задача поиска будет рассматриваться при дополнительном условии на т (число ходов в стратегии).

Наименьшую численность команды преследователей, обеспечивающей поимку не позднее т-го шага, будем называть ат-поисковым числом и обозначать ат(0).

2. Изучение а-поисковых чисел предпринимается впервые. Задача нахождения этой характеристики для произвольного графа оказалась весьма трудной, и в настоящее время ее решение удалось получить лишь в некоторых специальных случаях. Нетрудно доказать, например, следующее утверждение: а(0)=1, если и только если граф G типа К\п (стандартное определение этого графа дано в пункте 3). Легко находятся а-поисковые числа всех путей, их возможные значения 1, 2, 3. Однако уже случай цикла оказывается нетривиальным. Оказалось, что с уменьшением числа ребер в цикле а-поисковое число может увеличиться. Это и другие нарушения «монотонности» а-поискового числа существенно отличают его от ранее известных поисковых чисел, которым посвящены многочисленные работы (см., например, библиографию в [1]). Упомянутые результаты будут подробно изложены в последующих публикациях.

Отметим еще одну особенность рассматриваемой формализации. Пока не удается доказать в полной общности следующий «очевидный» факт: если некоторая команда преследователей имеет выигрывающую стратегию, то выигрывающую стратегию имеет и любая команда большей численности. Основная трудность заключается в том, что при добавлении еще одного преследователя не ясно, как использовать «старую» выигрывающую стратегию. Поэтому для доказательства неравенства а(О) > к необходимо убедиться в возможности уклонения от I преследователей, где I — произвольное натуральное число, не превосходящее (к — 1).

В настоящей работе дано полное решение задачи об а2-поисковом числе, получены оценки для а(О) сверху и снизу и на их основе найдены а-поисковые числа для некоторых классов графов.

3. Напомним некоторые обозначения.

Все включения типа Л С Б нестрогие, т. е. допускают равенство. У О (БО) — множество всех вершин (ребер) графа О. Вершина графа О называется висячей, если ее степень равна 1. Ребро графа О называется висячим, если оно инцидентно висячей вершине.

Граф F называется подграфом графа G, если У Б С У О и ББ С БО. В этом случае будем говорить, что граф G содержит F. Через degFV обозначается степень вершины V Є У О в подграфе F, degv=degGv .

Через О[М] обозначается подграф графа О, порожденный множеством вершин М С УО, а через О \ М — граф, полученный удалением из О всех вершин из М вместе со всеми инцидентными ребрами, т. е. О \ М = О[УО — М]. Здесь и далее Л — Б означает теоретико-множественную разность множеств Л и Б, т. е. множество всех элементов Л, не принадлежащих Б.

Символ О = 0 означает, что граф О пустой, т. е. не имеет ни одного ребра.

Под паросочетанием в настоящей работе понимается произвольное подмножество попарно несмежных ребер.

\М\ — мощность множества М.

Кп — полный граф с п вершинами.

Кіп — связный граф с (п +1) вершинами, п из которых висячие.

4. В этом пункте дается решение задачи об а2-поисковом числе.

Будем говорить, что множество М С У О обладает свойством Л, если граф Б := О[М] не имеет изолированых вершин (т. е. множество ББ является реберным покрытием графа Б) и имеет место по крайней мере одно из следующих двух утверждений:

1. ББ не является паросочетанием в О;

2. ББ содержит висячие (в О) ребра.

Введем в рассмотрение следующий класс:

Ш :={ М С У О : М обладает свойством Л, \М \ >3, О \ М = 0 }.

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть в графе О существует множество вершин М Є Ш. Тогда а.2(О) < \М\ — 1.

Доказательство. Опишем выигрывающую (двухходовую) стратегию команды преследователей численностью \М\ — 1. В начальный момент они занимают все вершины М, кроме одной (V), и один из преследователей на первом ходу переходит в V из некоторой вершины и Є М : и —> V. Покажем, как выбираются вершины и, V.

Если ББ, где Б = О[М], является паросочетанием, то в качестве V берется висячая (в О) вершина из М, а в качестве и — вершина, смежная с ней.

Если же ББ не является паросочетанием, то в М найдется вершина (назовем ее м), инцидентная по крайней мере двум ребрам из Б. Пусть в М существует вершина и>і, висячая в Б и смежная м Тогда в качестве и берется вершина мі, а в качестве V — вершина м Если же такой вершины нет, то в качестве и выбирается вершина м, ав качестве V — любая вершина из М, смежная м Нетрудно видеть, что во всех случаях после первого хода преследователей ни один из них не может быть «безнаказанно» снят.

Если убегающий не ловится на первом ходу (т. е. перед выбором второго хода преследователи получили информацию типа II или типа III), то (поскольку О \ М = 0)

ответным ходом Б должен войти в М. Он либо снимает одного из преследователей и ловится на следующем ходу, либо занимает вершину и, о чем преследователи узнают, получив информацию типа III. Тогда Б ловится на втором шаге ходом: V —> и.

Теорема 2. Пусть О не является графом типа Кіп. Тогда а.2(О) = тіи^ \М\ — 1.

Доказательство. Пусть 5 — выигрывающая (двухходовая) стратегия для а.2(О) преследователей. Обозначим через Мо множество начальных позиций преследователей, дополненное вершиной м, занятой преследователем (скажем, Рі) после первого хода. Покажем, что М0 Є Ш.

Так как О не является графом типа Кіп, то \Мо\ = а2(О) + 1 > 3. Легко видеть, что О \ Мо = 0 , так как в противном случае в графе О \ Мо найдется ребро {и, V}, один из концов которого (скажем, и) остается незанятым после второго хода преследователей. Тогда убегающий занимает в начальный момент вершину V и на первом ходу переходит в и, что позволяет ему избежать поимки в два хода. Покажем, наконец, что Мо обладает свойством Л. Мо не может содержать изолированных вершин, так как в противном случае убегающий на первом ходу может безнаказанно снять преследователя, находящегося в этой вершине. Предположим теперь, что множество ББ, где Б := О[Мо], является паросочетанием в О и не имеет висячих (в О) ребер. Тогда, как нетрудно убедиться, вершина м оказывается смежной с некоторой вершиной мі Є У О — Мо. Если убегающий в начальный момент займет эту вершину, то он на первом ходу может безнаказанно снять преследователя Рі . Таким образом, доказано, что Мо Є Ш и, следовательно,

тіп \ М\ — 1 < \ Мо\ — 1 = а2(О).

М е^^ -

Противоположное неравенство следует из теоремы 1.

Перейдем теперь к формулировке достаточных условий уклонения.

Теорема 3. Пусть т — натуральное число, Б — подграф О и каждое множество М С УБ, \ М \ > т, обладает следующем свойством: Б [М] не имеет изолированных вершин, а каждая его висячая вершина смежна такой вершине из М, окружение которой (в О) целиком лежит в М. Тогда а(О) > \ У Б \ — т +1.

Доказательство. Покажем, что убегающий всегда может обеспечить уклонение «без снятия» от команды преследователей численностью г < \ У Б \ — т. Рассмотрим произвольную стратегию 5 этой команды, обозначим через Пі множество вершин, занятых преследователями после их і-го хода, так что \ Пі \ = г для і = 0,1,...,1, где I — число ходов в стратегии 5. Нетрудно убедиться, что множества Пі := У Б—Пі непусты для і = 0, 1, ...,1, поскольку \ У Б \ — г > т.

Так как |Пі \ > т, то в силу условия теоремы каждая вершина из Пі смежна по крайней мере двум вершинам этого множества или внутренней вершине этого множества, окружение которой (в О) принадлежит Пі. Поэтому, если убегающий после і-го хода преследователей находится в вершине и єПі, то на і-м ходу он может перейти в некоторую вершину V Є Пі+і. Следовательно, выбрав произвольную вершину из По, убегающий может обеспечить уклонение, не покидая графа Б.

В общем случае условие теоремы 3 труднопроверяемо. Более удобное (но и более сильное) условие содержится в следующем утверждении.

Теорема 4. Пусть Б — подграф О и ! := тіп degFи. Тогда а(О) > ! — 1.

пеУ С

Хотя это утверждение легко доказывается непосредственно, покажем, что оно вытекает из теоремы 3 и, стало быть, ничего нового не содержит. Для этого воспользуемся теоремой 3 при т = | У Б| — й+ 2. Пусть М — произвольное подмножество У Б, | М| > т, и и — любая вершина из М. Имеем

degF и = г + degH и,

где Н = Б[М], а г — число вершин из дополнения М до УБ, смежных с и. Так как, очевидно, г < \УБ| — М|, то

degHи = degFи — г > й + М| — [УБ| > й + т — [УБ| = 2.

Таким образом, условие теоремы 3 выполнено и, следовательно,

а(О) > \УБ| —т +1 = й — 1.

Теоремы 1 и 3 позволяют найти а-поисковые числа всех полных графов.

Теорема 5. а(К2) = 1, а(К3) = 2, а(Кп) = п — 2 для п > 4.

В доказательстве нуждается лишь случай п > 4. Пусть М — множество всех вершин графа Кп, кроме одной. Нетрудно убедиться, что М принадлежит классу Ш в Кп и, стало быть, по теореме 1 а(Кп) < п — 2. С другой стороны, по теореме 3 при Б = Кп получаем а(Кп) > п — 2.

5. В этом пункте предполагается, что О является п-дольным полным графом. Удобно считать, что все его вершины правильно раскрашены в п цветов, а классы «цветности» пронумерованы в порядке возрастания их мощности: |М1| < ... < |Мп|. Обозначим

п— 1

через М := и М;.

;=1

С учетом этих обозначений сформулируем следущее утверждение.

Теорема 6. Пусть О — полный п-дольный граф. Тогда

1) если п = 2, а (О) = М^;

2) если п = 3 и |M2І = 1, то а(О) = 2;

3) если п = 3 и |M2І > 2, то а(О) = М| — 1;

4) если п = 4, то а(О) = М| — 1.

Доказательство. Рассмотрим случай п = 2.

Если |М1| = 1, то, очевидно, а(О) = 1. Если же |М1| > 2, то нетрудно убедиться, что множество М1 и {и}, где и € М2, принадлежит классу Ш в О и, следовательно, по теореме 1 а(О) < М^. Противоположное неравенство вытекает из теоремы 3 (но не из теоремы 4) при Б = О. В самом деле положим т = |M2І + 1. Так как любое множество М' С УО, М^ > т, имеет точки в обеих долях, то условие теоремы 3 выполнено и, следовательно,

а(О) > \УО| —т +1 = М^.

Рассмотрим случай п = 3 и |М2| = 1. Нетрудно убедиться, что множество вершин

М = {и1, и2, из}, где и; € М;, г = 1, 2, 3, принадлежит классу Ш в О и, следовательно,

а(О) < 2. Ясно, что строгое неравенство невозможно.

В оставшихся случаях используем теорему 1 и теорему 4. Нетрудно убедиться, что множество М принадлежит классу Ш в О и, стало быть, а(О) < М| — 1.

С другой стороны, минимальную степень в О имеют вершины из Мп и эта степень равна МI Отсюда по теореме 4 а(О) > М| — 1.

6. В этом пункте доказываем одно обобщение теоремы 6.

Теорема 7. Пусть граф G содержит полный n-дольный граф F с классами цветности Mi,... ,Mn, n > 4, занумерованными в порядке возрастания их мощности, Ti — число вершин в Mi, смежных по крайней мере одной вершине из G \ VF = 0,

i = 1.. .n, вершины VG \ VF — висячие в G и то := min ri < 2 (можно считать,

\Mi\ = \Mn\

n— i

что т0 = тп). Тогда a(G) = \M\ — 1, где M = У Mi.

i=1

Граф, о котором идет речь в теореме 7, устроен следующим образом: каждая вершина множества M инцидентна любому числу висячих ребер, в то время как в множестве Mn таких вершин не более одной. Заметим сразу, что неравенство a(G) > \M\ — 1 является очевидным следствием теоремы 4. Если же тп = 0, то противоположное неравенство доказывается так же, как в теореме 6. Поэтому далее будем предполагать, что тп = 1. Пусть и — единственная вершина Mn, смежная l висячим вершинам ui,...,u\. Из дальнейшего будет видно, что число висячих вершин, смежных и, роли не играет. Поэтому будем предполагать, что l = 1. Опишем теперь выигрывающую стратегию для \M\ — 1 преследователей. В начальный момент они занимают все вершины множества M, кроме одной (скажем, w). Поскольку убегающему заранее известна выбранная преследователями стратегия, будем считать, что он не делает заведомо плохих ходов: не занимает вершину, на которую следующим ходом переходит преследователь, не снимает «защищенного» преследователя и не занимает вершину, из которой он на следующем ходу будет вынужден сделать это, если есть другие, безопасные ходы. Таким образом, можно считать, что на каждом шаге преследователи получают информацию только III типа. Тогда стратегия преследователей может быть определена следующей последовательностью ходов:

v —— w —— v —— и —— v —— w.

Здесь v — вершина, которую в начальный момент момент занимал преследователь, сделавший первый ход (он же выполняет и все остальные). В качестве v может быть выбрана произвольная вершина из M \ {w}.

Покажем, что эта стратегия выигрывающая. Перед выбором второго хода преследователям становится ясно, что убегающий может находиться либо в вершине и, либо в v, либо в ui. Информация, полученная на третьем шаге, позволяет заключить, что убегающий может занимать либо вершину и, либо ui, либо w. На четвертом шаге выясняется, что второй ход убегающего мог быть только такой: u — w.

На третьем ходу убегающий мог перейти либо в v, либо в некоторую вершину vi G Mn, отличную от u.

На пятом шаге преследователям становится ясно, что E перешел именно в vi, откуда на четвертом ходу он мог перейти только в вершину w. Таким образом, пятый ход преследователей приводит к поимке.

Замечание. В теореме 6 по существу доказана следующая оценка: a$(G) < \M\ — 1.

Summary

Petrov N. N., Chumanova A. V. On some problems of the search with counteraction.

The article is devoted to the problem of the guaranteed search on graphs where the number of the searching group capable to catch the invisible evader is minimized. The particular feature of the problem is an active counteraction of the evader. The formulating of the problem and some difficulties connected to solving are signed.

The complete solution of 2-step catching problem is given. The upper and lower bounds for the а-searching number are also obtained. This leads to finding of the а-searching number for some concrete graph classes. Namely, the complete graphs, the complete те-partite graphs and «almost complete» те-partite graphs are considered.

Литература

1. Fomin F. V., Golovach P. A., Petrov N. N. Search problems on 1-skeletons of regular polyhedrons // Int. Journal or Math., Game Theory, and Algebra, vol.7, N. 2/3, 1998. p. 102-111.

Статья поступила в редакцию 19 июня 2003 г.