О монотонности поискового числа в задаче Головача Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.977,519.173

О МОНОТОННОСТИ ПОИСКОВОГО ЧИСЛА В ЗАДАЧЕ ГОЛОВАЧА*

Т. В. Абрамовская1, Н. Н. Петров2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирантка, tanya.abramovskaya@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, nikolai.petrov@pobox.spbu.ru

Введение. В статье рассматривается задача е-поиска. В первом пункте доказано одно достаточное условие монотонности (точные определения даны во введении ниже) е-поискового числа для произвольных графов, во втором этот результат уточняется для графов более специального вида. Последний пункт посвящён построению функции Головача для почти полных графов, т. е. графов, отличающихся от полных одним ребром.

Задача е-поиска ставится следующим образом. В трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается связный топологический граф с рёбрами, представляющими собой конечнозвенные ломанные, которые могут пересекаться только в вершинах. На графе находятся преследователи Р1 ,...,Рк и убегающий Е. Предполагается, что игроки обладают простыми движениями:

(Д): ±г=щ, г е 1, к,

(Е): у = ио,

причём граф является для всех участников фазовым ограничением. Допустимыми управлениями игроков являются кусочно постоянные функции, заданные на произвольных замкнутых временных отрезках [0,Т].

На графе введена метрика р — длина кратчайшего по евклидовой норме пути, соединяющего две точки и целиком лежащего в графе. Команда преследователей пытается поймать невидимого убегающего, которому выбранная ими программа действий становится известной «до начала поиска». Считается, что убегающий пойман

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант №2010-1.1-111-128-033).

© Т.В.Абрамовская, Н.Н.Петров, 2011

преследователем, если оба участника находятся на расстоянии, не превосходящем заданного неотрицательного числа є. Задача е-поиска состоит в том, чтобы для каждого топологического графа найти є-поисковое число, т. е. наименьшее число преследователей, необходимое для успешного завершения е-поиска. Функция, которая каждому є сопоставляет е-поисковое число з£(О), называется функцией Головача.

Отметим, что в первоначальной постановке задачи е-поиска (см. [1]) введено ограничение на максимальную скорость преследователей. Здесь будет удобней рассмотрение сколь угодно быстрых преследователей. В силу полной осведомлённости убегающего, а также отсутствия ограничений на его скорость нетрудно видеть, что эти постановки эквивалентны в том смысле, что для произвольного графа вид функции Головача не зависит от ограничений на скорость преследователей.

Будем называть е-поисковое число монотонным для связного подграфа Н графа

О, если выполнено неравенство з£(Н) < з£(О).

В условии поточечной поимки указанное неравенство, очевидно, выполняется для каждого подграфа произвольного графа. Монотонность е-поискового числа при любом неотрицательном е доказана для случая деревьев в [2].

1. Монотонность е-поискового числа. Хорошо известно, что в общем случае е-поисковое число не является монотонным. Например, для куба С с рёбрами единичной длины зз(С) = 1, но если обозначить через Z самый длинный цикл в С (его длина равна 8), то зз ^) = 2 (так как для поимки на Z одному преследователю необходимо обладать радиусом поимки равным 4).

Более того, может возникать немонотонность со сколь угодно большим ростом е-поискового числа для подграфа. Покажем это в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Для любого натурального т существуют граф О, его связный подграф Н и положительное число е такие, что з£(Н) — з£(О) > т.

Доказательство. Пусть Кп — полный граф с рёбрами единичной длины. Известно (см. [3]), что з£(Кп) = п для всех 0 < е < 0.25. Рассмотрим теперь вершину V, не принадлежащую множеству вершин УКп графа Кп, соединим V со всеми вершинами УКп ребром длины 5 < 0.25, получившийся граф обозначим через КП+1. Нетрудно видеть, что з$(Кп+і) = 2, в то время как з$(Кп) = п. □

Нижеследующая теорема и замечание к ней проливают свет на одну из причин немонотонности функции Головача.

Теорема 2. Пусть О — граф, I — длина наименьшего ребра О, Н — произвольный связный подграф О. Тогда для 0 < е <1/2 выполнено неравенство

зо(е) > зн(е).

Доказательство. Зафиксируем произвольное 0 < е < 1/2. Рассмотрим программу П для к = за(е) преследователей, определённую на [0,Т] и выигрывающую на О с радиусом поимки е. Далее строится выигрывающая программа П' для к преследователей на Н с радиусом поимки е.

Рассмотрим произвольного преследователя Р*, і Є 1 ,к, ж*—его траектория в программе П. Построим траекторию г-го преследователя хі в программе П'. Опуская формальности, опишем необходимые изменения: все передвижения по подграфу Н будут сохраняться; в моменты, когда Рі покидает подграф, но продолжает контролировать некоторое множество на нём, движения преследователя заменяются стоянием в точке на Н, ближайшей к позиции преследователя в П. В остальное время, когда

РI не контролирует никакое подмножество на Н, г-й преследователь в П' совершает переходы по подграфу Н с нужной скоростью (которая может быть сколь угодно велика), чтобы обеспечить непрерывность траектории.

Пусть

о < < ь- <4 < ь- <...<т < ьт < т

суть все такие моменты времени, что для любого j = 1,ш и для всех Г €

преследователь Р.. е-близок к подграфу Н, а именно,

р(х., Н) = штр(х.(т), Ь) < е. ъеи

В течение промежутка времени [Ь+,Ь-], ] € {1,..., т}, преследователь Р. может покидать подграф Н несколько раз. Рассмотрим следующий достаточно общий случай: пусть < Ь1 < Ь2 < Ь-, где для всех т € [Ь+,Ь1) и (Ь2,Ь-] выполнено х.(т) € Н;

для остальных т € [Ь1 ,Ь2] выполнено х.(т) € Н.

В силу выбора е (меньше половины длины наименьшего ребра) для всех т € [Ь+,Ь1) существует единственная точка а € Н такая, что р(х.(т),Н) = р(х.(т),а). В силу непрерывности х. верно а = х.(Ь1). Положим

х.(т) = х.(г1) Ут € [г+,г1).

Движения преследователя по графу Н непосредственно дублируются в программе П':

х.(т)= х.(т) Ут € [Ь1,Ь2].

В силу непрерывности х. и выбора е для всех т € (Ь2,Ь-] выполнено штр(х.(т),Ь) =

•* ЪЕИ

р(х.(т),х.(Ь2)). Тогда положим

х'г(т)= х.(Ь2) Ут € (Ь2,Ь-].

Определим траекторию х. в интервал времени [Ь-,Ь++1], ] = 1,...,т — 1, следующим образом: Р. перемещается из х.(Ь-) в точку х[(Ь++1) по кратчайшему пути, лежащему в Н, за время Ь++1 — Ь-.

Если > 0, тогда

'4(т)= х.(Ь+) Ут € М^.

Если Ьт <Т, тогда

х'г(т ) = хЧ (Ьш) Ут € (Ьт,Т].

Аналогично траектории определяются для всех преследователей Р1 ,...,Рк.

Предположим, что так построенная программа П' не является выигрывающей на Н для к преследователей с радиусом поимки е. Тогда существует заданное на [0,Т] уклонение у убегающего на Н от поимки преследователями, использующими программу П'. Эта же траектория на графе О позволит убегающему избежать поимки к преследователями, действующими по программе П и обладающими радиусом е. Действительно, убегающий в процессе уклонения не покидает подграф Н. В каждый момент времени убегающий не будет пойман преследователем, находящимся на подграфе Н, так как эти действия преследователей дублируются в программе П'. Он не будет пойман преследователем, не являющимся е-близким к Н по определению е-близости, и не будет пойман е-близким к Н преследователем, так как убегающий

отдалён от ближайшей к позиции этого преследователя точки подграфа Н (занимаемой преследоватлем в программе П') на расстояние, превосходящее е.

Значит, П' является выигрывающей на Н для к преследователей с радиусом поимки е. □

Замечание. Оценка радиуса поимки в условии теоремы является точной. Рассмотрим следующий граф О: пусть две вершины а, Ь находятся на расстоянии 1 друг от друга. От а к Ь идут также три непересекающиеся (кроме как в а, Ь) цепи, содержащие по одной промежуточной вершине, длина каждого ребра цепи больше 2 (см. рис. 1).

С Н

Рис. 1.

Тогда два преследователя на О могут поймать убегающего с радиусом поимки 0.5: один из преследователей занимает середину ребра (а,Ь), а второй очищает соединяющие их цепи, т. е. во.ъ(О) < 2 (на самом деле, неравенство выполняется как равенство).

Рассмотрим подграф Н, полученный из О удалением одного ребра (а,Ь). Как было показано П. А. Головачом [1], е-поисковое число совпадает с поисковым числом (0-поисковым числом) графа для всех радиусов поимки, меньших четверти длины кратчайшего ребра. Нетрудно видеть, что во(Н) = 3, значит, во.5(Н) = 3.

2. Случай полного подграфа. Результат теоремы 2 может быть улучшен для некоторых графов, содержащих полный подграф.

Теорема 3. Пусть граф О с рёбрами единичной длины содержит в качестве подграфа полный граф Кп. Тогда для 0 < е < 1 выполнено неравенство

аа(є) > вкп(е).

Доказательство. Пусть подграф Н графа О является полным графом с п вершинами. Тогда любые две вершины а, Ь графа Н смежны. В силу отсутствия кратных рёбер цепи, соединяющие а и Ь и отличные от ребра (а, Ь), состоят не менее чем из двух рёбер, значит, имеют длину не менее 2.

Рассмотрим произвольное 0 < є < 1. Пусть в некоторой программе П преследователь Рі обладает траекторией Хі, и р(хі(і),Н) < є в некоторый момент і. В силу сказанного выше выбор ближайшей к хі (і) точки подграфа Н однозначен. Построение выигрывающей программы на Н с радиусом є по программе, выигрывающей на О с тем же радиусом, производится так же, как в доказательстве теоремы 2. □

3. Функция Головача для почти полных графов. Далее, Кп — полный граф с рёбрами единичной длины. Пусть граф К'п, п > 3, получен из графа Кп удалением

произвольного ребра так, что вершины V и V графа К'п не смежны. Граф К'п будем называть почти полным графом, т. е. графом, отличающимся от полного одним ребром.

Функция Головача для КЗ, как нетрудно видеть, тождественно равна 1.

Для графа К4 функция Головача выглядит следующим образом:

'3, 0 < £ < 0.5,

^К'А) = 1‘2, 0.5 < £ < 1.5,

1, 1.5 < £.

Действительно, поимка одним преследователем с радиусом, меньшим 1.5, невозможна в силу наличия простого цикла длины 3. Далее, К4 содержит Кз в качестве подграфа, значит, по теореме 3, вк^ (0, 5) > вк3 (0, 5) = 2. Выигрывающие программы двух и трёх преследователей с радиусами 0.5 и 0 соответственно очевидны.

Для образованных указанным образом графов с большим числом вершин верна следующая

Теорема 4. Для п > 5 функция Головача графа К'п совпадает с функцией Головача

Доказательство. Напомним общий вид функции Головача для полных графов:

$е(Кп) -- <

п 0 < є < 0.25,

п — 1, 0.25 < є < 0.5,

Г£1, 0.5 < є < 1,

2, 1 < є < 1.5,

1, 1.5 < є.

Подграф Н графа КП, порождённый множеством вершин УКП \^}, является полным графом с п — 1 вершинами. Тогда, по теореме 3, вк'п (£) > вкп-1 (£) для всех £ < 1. Докажем обратные неравенства для радиусов поимки, в которых функция Головача будет разрывна: для п — 1, п — 2 и \(п — 1)/2\ преследователей построим выигрывающие программы на К'п с радиусами поимки 0, 0.25 и 0.5 соответственно.

1. Программа для п — 1 преследователей с нулевым радиусом поимки. Вершине V инцидентны п — 2 ребра, преследователи Р\,..., Рп_2 переходят из вершины V в смежные с ней вершины — таким образом очищены все инцидентные V рёбра, и преследователями заняты все вершины подграфа Н, кроме V1. Преследователь Рп_ очищает

а Кп — 1 •

все рёбра, соединяющие вершины множества УН\^}, после этого преследователи Рі,..., Рп—2 переходят в вершину V по инцидентным ей рёбрам.

2. Программа для п — 2 преследователей с радиусом поимки 0.25. Преследователи Рі,...,Рп-2 переходят из вершины V в смежные ей вершины. Понятно, что пара преследователей, смещаясь на четверть ребра по направлению друг к другу, очищает ребро. Так могут быть очищены все рёбра, соединяющие вершины множества УН\ {V} после этого преследователи Рі, ..., Рп— 2 переходят в вершину Vі по инцидентным ей рёбрам.

3. Программа для \(п — 1)/2\ преследователей с радиусом поимки 0.5. Рассмотрим отдельно случаи чётного и нечётного п.

Пусть п — 21 +1, тогда нами рассматривается команда из I преследователей. Вершине V инцидентны 21 — 1 рёбер, вершины, смежные с V, обозначим через аі, ..., а,2—і (см. рис. 3). Вершины аі,..., а,2—і попарно смежны, так как аі Є Н для любого і.

"2|

Рис. 3.

Преследователи Рі, і — 1,...,1 — 1, занимают середины рёбер (аі,аі+—і) (будем обозначать середину ребра е через 1/2е). Преследователь Рі очищает все рёбра, инцидентные любой паре вершин из набора аі,..., а2—2, все вершины которого контролируются остальными преследователями. Далее, Рі переходит в вершину аі, и через вершину V последовательно для і — 2,...21 — 1 доходит до 1/‘2(о, а^), очищая все рёбра, инцидентные V. Затем Рі переходит в вершину а2і—і, через вершину а2і—і доходит до 1/2(а2і—і, аі), . .., 1/2(а,2і—і, а2—2) и снова через вершину а2і—і переходит в вершину Vі — так все рёбра, инцидентные а2—і, очищены. Вершина Vі смежна с вершинами аі,..., а2—і, и все эти рёбра преследователь Рі очищает переходами до середины ребра. На этом поиск завершается.

Для чётного п — 21, число инцидентных V рёбер равно 21 — 2, и рассматривается команда всё так же I преследователей. Преследователи Рі, і — 1,...,1 — 1, занимают середины рёбер 1/2(аі,аі+і—і), таким образом, все смежные V вершины находятся под контролем преследователей Рі ,...,Р—і. Преследователь Рі очищает все рёбра, инцидентные V, и все рёбра, смежные любой паре вершин из набора аі,...,а2—2. Далее, Рі очищает все рёбра, инцидентные Vі.

Таким образом, показано, что в точке 0.25 функция Головача для К| имеет единичный скачок, а в точке 0.5 — нетривиальный разрыв. В силу теоремы 3 Йкп(є) — вкп-і (є) — \(п — 1)/2\ для всех 0.5 < є < 1. Проверим, что два преследователя ловят убегающего с радиусом поимки 1, и что одного преследователя недостаточно для поимки с радиусом 1.5.

Граф К| содержит простой цикл длины длины 3, поэтому, если радиус поимки є < 1.5, нетрудно построить уклонение убегающего на К| от поимки одним преследователем. Один преследователь с радиусом 1.5 ловит убегающего, стоя в вершине, отличной от V и Vі.

Выигрывающая программа двух преследователей на К і с радиусом поимки 1 следующая: Рі занимает вершину V, Р2 занимает вершину Vі, после этого неочищенными остаются рёбра графа, не инцидентные ни V, ни Vі; Рі остаётся в вершине V, контролируя таким образом все вершины, кроме Vі, Р2 очищает соединяющие их рёбра. Таким образом, вк^ (є) — 2 при 1 < є < 1.5. □

Литература

1. Головач П. А. Об одной экстремальной задаче поиска на графах // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1990. Вып. 3. №15. С. 16-21.

2. Абрамовская Т. В., Петров Н. Н. О некоторых задачах гарантированного поиска на графах // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 2. С. 64—70.

3. Головач П. А., Петров Н.Н., Фомин Ф. В. Поиск на графах // Труды института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6. №1. С. 39-54.

Статья поступила в редакцию 4 апреля 2011 г.