О взаимосвязи двух классов решений уравнений Навье -- Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 3, С. 56-66

УДК 517.633

О ВЗАИМОСВЯЗИ ДВУХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА1

В. Б. Левенштам

В работе рассмотрена начально-краевая задача для уравнений Навье — Стокса с полиномиально зависящей от неизвестной (скорости) массовой силой. Введены определения ее решения и обобщенного решения. Получены условия, при которых обобщенное решение является решением.

Ключевые слова: уравнения Навье — Стокса, решение, обобщенное решение.

В работе рассматривается начально-краевая задача для эволюционной системы дифференциальных уравнений, которую мы, следуя некоторым авторам (см., например, [1]), называем уравнениями Навье — Стокса. В отличие от традиционных уравнений Навье — Стокса (см., например, [2, с. 172]) здесь роль массовой силы играет выражение (правая часть уравнения (1), см. ниже), которое зависит не только от независимых переменных пространства-времени х, Ь, но и от неизвестной вектор-функции — скорости v. В работе вводятся определения решения указанной задачи и ее обобщенного решения. При этом решение, разумеется, является и обобщенным решением. Доказано, что при достаточной гладкости данных задачи верно и обратное: обобщенное решение является ее решением. Используемые здесь определения решения и обобщенного решения естественным образом возникли при обосновании автором метода усреднения для уравнений Навье — Стокса, когда массовая сила содержит зависящие от скорости течения жидкости высокочастотные слагаемые с большими амплитудами. Представленные в работе результаты имеют, на наш взгляд, и самостоятельный интерес. Близкие рассуждения в краткой форме излагались в [3, доказательство п. 2 теоремы], где исследовалась задача о конвекции жидкости.

1. Пусть П — ограниченная область евклидова пространства Ж3 с С2-гладкой границей дП, т — целое неотрицательное, п — натуральное, V и Т — положительные числа. В цилиндре Q = П х [0, Т] рассмотрим начально-краевую задачу вида

в которой неизвестными являются вектор-функция v(x,t) и функция Р(х,Ь) со значениями в Ж3 и Ж1 соответственно.

© 2010 Левенштам В. Б.

дv д

(1)

V = 0,

На пх(о,т| = v(x, 0) = v0(x),

(2)

(3)

(4)

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00287.

1

Отметим, что слагаемое (v, V) v = vj dav = ^3=1 dj (vj v) в силу (2) можно

было бы отнести к следующему слагаемому уравнения (1), но в этом случае стала бы менее наглядной связь (1) с уравнениями Навье — Стокса в их традиционной форме, когда правая часть (1) имеет вид f (x,t).

Прежде чем описать ограничения на входящие в уравнения (1), (4) вектор-функции, введем ряд банаховых пространств. Условимся при этом одним и тем же символом, скажем, B обозначать как соответствующее банахово пространство скалярных функций, так и банахово пространство трехмерных вектор-функций u с компонентами uj Е B и нормой ||u||b = max ||uj ||в • Символом C ([0,т ],B), где B — вещественное банахово пространство, будем обозначать банахово пространство непрерывных функций (вектор-функций) u : [0,T] ^ B с max-нормой. Символом Sq, q > 1, обозначим банахово пространство, являющееся замыканием по норме Lq = Lq (О) множества вещественных трехмерных непрерывно дифференцируемых в О соленоидальных (div v = 0) вектор-функций v с

равной нулю на д О нормальной компонентой. Символом S 2, q > 1, обозначим замыкание по норме Wq2 = W2(0) множества заданных в О гладких финитных вещественных трехмерных вектор-функций.

Будем предполагать, что вектор-функции aj(v,x,t) и b(v,x,t) со значениями в R3 имеют следующую структуру

aj = Y1 ajk, b = Y1 bk,

O^k^m 0

где (ijk и bk являются однородными формами степени k относительно v Е R3, т. е. их компоненты ajki и bki, i = 1, 2, 3, имеют вид:

ajki(v,x,t) = ^ asjki(x,t) vj1 vs22 v33, bki(v,x,t) = ^ bjk(x,t) vj1 v|2 v33 •

|s|=k |s|=k

Здесь s = (si, S2, S3), Si = 1, • • •, k, |s| = Si + S2 + S3, vi, i = 1, 2, 3, — компоненты вектора v, а вещественные функции ajki,bki Е C([0, T], L^(O)), v0 Е Sq0, q0 > max (3(m — 1), 3).

Введем определения решения и обобщенного решения начально-краевой задачи (1)-(4).

Решением задачи (1)-(4) назовем определенную в цилиндре Q трехмерную вещественную вектор-функцию v(x,t), для которой найдется определенная в том же цилиндре скалярная вещественная функция P(x, t) такая, что при некотором q > 1 будут выполнены следующие условия:

1) вектор-функции v(t) = v(-,t) и -P(t) = P(-,t) являются непрерывными, как отоб-

О

ражения: v : [0,T] ^ Sq, v : (0,T] ^S2, P : (0,T] ^ Wq(0), и равенство (4) выполнено в Sq;

2) отображение v : (0,T) ^ Sq непрерывно дифференцируемо и равенство (1) справедливо при всех t Е (0,T) в Sq;

3) равенство (2) при (x, t) Е О х (0, T] и равенство (3) выполняются в обычном классическом смысле.

Прежде чем сформулировать определение обобщенного решения задачи (1)-(4), опишем известную процедуру (см., например, [4]) перехода от задачи (1)-(4) к соответствующему интегральному уравнению. Предварительно напомним некоторые определения и вспомогательные результаты.

Пусть П : Ьд ^ , д > 1, — известный (см., например, [2] или [5, с. 58]) в математической гидродинамике проектор, а Ао = — vПД — действующий в оператор с областью

о

определения ^(Ао) =52. Хорошо известно (см., например, [5]), что оператор Ао — замкнут, а —Ао порождает в аналитическую полугруппу е-гА°, Ь ^ 0. Более того, оператор Ао сильно позитивен [4, 5], а потому определены его дробные степени Ао, 7 > 0. Через

5027 будем обозначать банахово пространство, элементы которого принадлежат области определения оператора Ад и снабжены нормой ||и|| о27 = ||АдиЦ^. Отметим еще извест-

51 о

ные [4, 5] равенства:

я

(5)

(6)

d

^e-iAo u = Aoe

-tAo

u g sq

dt

Aoe-tAo u = e-tAo Aou, u G S

В работе будут использоваться следующие известные важные оценки.

Предложение (см. [4-6]). Для любых q ^ r > 1, в = 3 (i — i) < i и ^ G [f, п) найдется такая постоянная с, что при всех u G Lr, | arg A| ^ ^ и t, ti ,¿2 G [0, T], ti < tf, выполняются неравенства:

(AI + Ao)-i П u\\W* < c(1 + |A|)e-i+2 ||uyLr, k = 0,1,

q

(AI + Ao) П

du dx,

< c(1 + |A|)e-2 ||u|Lr, j = 1,2,3,

e-tAo П u \ \ Wk < ct-e-2 11u| Lr, k = 0,1,

W q

e-tAo П

du дж,

^ ct-e-2 ||u|Lr, j = 1, 2, 3,

|A« e-tAo Пu\\Lq < ct-e-a|u|Lr,

A« [e-i2Ao — e-tlAo] П u [e-i2Ao — etlAo ]П u

< C(t2 — ti)Mt-e-a-M|u|Lr ,

k < c(t2 — ti)-%e 2 ßMbr, k = 0,1,

W k r

Wq

du -в___

< C(t2 — ti)-% 2

e-t2Ao — e-ilA4 П

du dxi

N-^-в-2-M,

u|Lr.

(7)

(8) (9)

(10)

(11) (12)

(13)

(14)

Оценки (7) при к = 0 и (8) установлены в [5, лемма 4.1, теоремы 6.1, 6.2]. Неравенства (9) при к = 0 и (10) выводятся из (7) при к = 0 и (8) с использованием интегрального представления полугруппы через резольвенту порождающего оператора [4, с. 269]:

e-tAo = — i eAi(AI + Ao)-idA. 2пг J

arg

При д = г оценка (11) установлена в [4, теорема 14.11], а оценка (12) выведена из последней в [6, лемма 3.1]. При д = г дополнительно нужно учесть (9) при к = 0. Неравенства (13) при к = 1 и (14) выводятся из (9) при к = 1 и (10) так же, как (12) в [6]. Отметим, наконец, что оценки (7), (9) и (13) при к = 1 являются простыми следствиями

L

q

L

q

L

q

L

q

оценок (8), (10) и (14) соответственно. Так, например, (7) вытекает из (8) и свойства самосопряженности (А/ + Ао)-1 в Й2 [5] на основании следующей цепочки соотношений:

/д [ д — (А/ + Ао)-1П и(ж) «(ж) ^ж = и(ж) (А/ + Ао)-1П—- «(ж) ^ж ^ дxi } дж»

< 11и|

(А/ + Ао)-1П

ди дж»

< с( 1 + |А|)

е-2

Ищьа

где 1 + = 1, 1 + Г =1, и, V — гладкие финитные в П вектор-функции.

Предположим на некоторое время, что а^» £ С ([0, Т], , и пусть «(ж, 4) — решение задачи (1)-(4), д > 3. Подействовав на уравнение (1) пректором П и обозначив «(4) = П «(•,£) = «(•,£), «(0) = «(•, 0) = «о, перейдем от начально-краевой задачи (1)-(4) к задаче Коши в БР0 для абстрактного параболического уравнения:

^ , т-т

— + Ао« = П

д

дж

- («,

¿=1

= Пф^«^) = ф(М), 4 £ (0,Т],

«(0) = «о.

Из результатов [4, 5] теперь следует, что всякое решение «(•,£) задачи (1)—(4) удовлетворяет интегральному уравнению

= е-*Ао

I

«о + I е-(*-т)Аоф [«(т),т] ^т = [Ж(«)] (4).

(15)

Обозначив через А набор функций а^», г,,?' = 1, 2, 3, к = 0,..., т, |в| = к, положим N(«) = ^У(А, «). Из оценок (9), (10) и неравенства Гельдера легко следует непрерывность оператора N : С([0,Т],£те) х С([0,Т],йРо) ^ С([0,Т],йРо), где ро то же, что и выше. В связи с этим вернемся к исходным предположениям относительно функций и от оператора N(«) перейдем к его замыканию по (А,«), сохраняя за последним прежнее обозначение. Проведенные рассуждения приводят к следующему определению.

Обобщенным решением задачи (1)-(4) назовем вектор-функцию удовлетворяющую равенству

« - N(«) = 0.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть дополнительно к указанным выше условиям выполнены следующие: при некотором а £ (0,1) а*ы £ С ([0,Т],С 1+а(^)), £ С ([0, Т], Са(П)Ы, г,^ = 1, 2, 3, |в| = к, к = 0,..., т. Тогда всякое обобщенное решение задачи (1)—(4) является ее решением.

Доказательство теоремы изложено в следующем пункте.

3. Для доказательства теоремы нам понадобятся четыре дополнительных вспомогательных утверждения, которые сформулируем в виде лемм.

Лемма 1. Для любых чисел ^ £ (0,1] и д > 3 найдется число 7 = 7(5,^) £ (0,1), при котором сужение проектора П на пространство вектор-функций С^(П) является

ограниченным оператором из С ^(П) в й 27.

V

Лемма 1 сформулирована в работе [1]. Один вариант ее доказательства (полного для дП £ С5 и схема для дП € С2) изложен в [6], другой (полное доказательство сразу для дП £ С2) — в [7].

Лемма 2. Пусть £ € [0, 2], д > 1, 5 € (0,1] и 5 > | + 2д. Тогда имеет место непрерывное вложение о

527 с С*(П).

Лемма 2 вытекает из интерполяционной теоремы И. Б. Симоненко (см. [1], [6, §4]), примененной к двум тройкам банаховых пространств и оператору вложения. Одна тройка — , 525, 52; другая — Ьд(П), С^(П), ^2(П). При этом учитывается, что пространство С^(П) моментно разделяет пространства Ьд(П) и ^2(П) в отношении у—^, где т = | + ,

а пространство 525, 5 € (0,1), аппроксимационно разделяет пространства и 5 2 в отношении у—. Первый из этих фактов представлен известным неравенством моментов (см., например, [4, с. 327, (16.35)]), а второй устанавливается с помощью [4, лемма 14.1] с

о 25 1

использованием аппроксимации элемента х €5^ вектор-функцией ^(А) = А(А/+Ао) х,

А € (0, то) [6, с. 49].

Лемма 3. Пусть 0 <71 <72 < у, 71 + 72 > 2 • Тогда действующие в пространстве , д > 1, линейные операторы В = А-71 Пд— А-72, j = 1, 2, 3, с областью определения

о ,

^(В) =5 2 допускают расширения по непрерывности до ограниченных линейных операторов, действующих в пространстве . Таким образом, сохраняя за расширениями прежние обозначения, имеем при некоторой постоянной с > 0 для всех ^ € неравенства

д < с|Мк, j = 1,2,3. (16)

A-Y1П A-Y2p

A П dxAo Р

< Поскольку линеал S 2 плотен в пространстве Sq, то равенства (16) достаточно уста-

о

новить при всех p GS2, что мы и сделаем. При этом, не нарушая общности рассуждений, будем считать j = 1. Согласно интегральному представлению отрицательной дробной степени оператора Ao имеем [4]:

со

d ,-Y2 sinП72 d f Yn, т . N i о2

Jp = —A 72p = —/ s -72(sI + Ao)- Vds, p gs2-

o

Покажем, что операцию дифференцирования можно внести под знак интеграла. Для этого рассмотрим последовательность

n

Jn p = Sin_nY2 у s - Y2 (s/ + Ao)- Vds, p gS 2, n = 1, 2,...,

1

n

и отвечающие интегралам Jnp последовательности интегральных сумм Римана ^nm p, m = 1, 2,... Последние (с учетом замкнутости оператора Ao в Sq и оценки (7) при r — q, k = 0) выберем так, что будет выполнено соотношение

lim

^Tp - ^ I s -Y2 (s/ + Ao)-1 pds

= 0, p GS2- (17)

o

q

с

Далее, учтем, что интеграл

/ 5-72 д^ (*/ + Ао)-1<^ = У з-72 дж! А-1 (в/ + Ао )-1Ао р(5

сходится абсолютно в . Отсюда, в силу (17) и ограниченности оператора д^ в W( следует, что

/р = / (5/ + Ао)^^

п ) дж1

а потому

Д-71 Д-72р

Ао П дж1Ао ^

1 д 1 ◦

Г715-72 (4/ + Ао)-1П —(,§/ + Ао)-1 рйя^ = Кр, р £Б

П2 у у » « V- ■ -о) Пдж1+ Ао) оо

Поскольку интеграл Кр по квадранту 5, 4 ^ 0 абсолютно сходится, то разобьем его на два: один — по треугольнику 5 ^ 4, другой — по треугольнику 5 > 4. В первом из них сделаем замену 5 = 4и, во втором — 4 = 5и. Получим:

Кр =

зтптп^ /¿1-71-72(4/ + А,)-1

[ и-72П-^- (4и/ + АоЫ 1р^и У дж14 у

(И

о

+У5

о

те 1

1-71-72

I 51-71-72 У и-71 (5и/ + АоЫ-1 (и оо

(18)

п И5/ + АоЫ 1р(4-

Из представления (18) и оценок (7) при д = г следует требуемое неравенство (16). > Лемма 4. Для всех вектор-функций р £ W(г1, д > 2, справедливы равенства

дд

П— р(ж)=П— П р(ж), г = 1, 2, 3. (19)

дж» дж»

< Согласно [6, лемма 5.2] справедливо представление

Пр = р — Vф,

(20)

где функция ф £ W):2(П) — решение задачи

Дф = р, дф дп

рп

дП

дП

те

те

те

те те

те

1

X

Здесь п — внутренняя нормаль к границе дП. Покажем теперь, что для функции ф справедливы равенства

д

П—Уф = 0, г = 1, 2, 3. (21)

дх»

Поскольку П — ортогональный в Ь2(П) проектор на 52, а множество гладких соленои-дальных исчезающих на дП вектор-функций а(х) плотно в ^ [5, лемма 5.2], то равенства (21) вытекают из очевидных тождеств

г д [ да(х) [ д

-—Уф(х) а(х) ^х = ф(х^у —— ^х = ф(х)-—diу а(х) ^х = 0,

„/ дхг „/ дхг „/ дхг

П П П

г = 1, 2, 3. Тождества (19) следуют теперь из (20), (21). >

Перейдем к непосредственному доказательству теоремы. Пусть вектор-функция v(•,t) = v(t), Ь € [0,Т], является обобщенным решением задачи (1)-(4), т. е.

v € С([0,Т],5д0), (22)

и удовлетворяет уравнению (15). Докажем вначале, что при любом фиксированном 5 €

(0,Т)

О

v G C ^,T],S^J . (23)

Доказательство (23) осуществим в несколько этапов. При этом в равенстве (15) вместо выражения будем рассматривать лишь одно его слагаемое — gfi ai(v,t); дока-

зательство (23) в присутствии остальных слагаемых совершенно аналогично, но существенно более громоздко. Итак, будем исходить из соотношения

t

v(t)= e-tAo vo + f e-(t-T)Ao n-^ai(v(r),-,r) dr = /(v,i). (24)

J СЖ1

o

При этом в силу структуры вектор-функции ai(v, -,т), соотношения (22) и неравенства Гельдера имеем

a(-,r) = ai(v(r),-,т) G C ([0, T], L^/m) • (25)

Зафиксируем число Yo G ^0,1 — . С помощью операции усреднения по Стеклову

по вектор-функции ai(x,T) построим семейство гладких по x вектор-функций ae(x,T), е > 0, таких, что

lim ||a£(,r) — a(-,r)yc[o,T](Lqo/m) = 0 (26)

В силу замкнутости в Sqo оператора A^0 имеем

t

AYo/е(v,t) = AY0e-tAovo + / AY0 e-e-V Ao П-^ae(-,r) dr.

J dxi

o

Отсюда в силу оценок (10) и (11) находим

max II A0oI(ve, t) N „

ts[5/4,T] 0 llSqo

T

1

< c*-7Ivolsqo + cj(t — T)-Y0-e-2 dT jjae(■,т)NcM,i>o/m) (27)

IC([0,T Ь^/^

o

^ ci + C2 jjae

где в = 3(-01)) с, ci, с2 = const, не зависящие от е. Из оценок (11), (12), (10) аналогичным образом следует, что

AY0/е(М) G C([5/4,Т],5ад). (28)

В силу (24)—(28), замкнутости оператора A0 и того факта, что равномерный предел v(t) непрерывных вектор-функций v£(t) = I£(v,t) также непрерывен, получаем

t

д

v e—С1

AY0v(t) = AY0e-tAov0 + J AY0e-(t-T)AПai(v(r), -,t,wt) dr G C([5/4,T],S«>)• (29)

Отсюда согласно лемме 2 (так как 1 — ^^т-1) > при до > 3т) следует, что при некотором ао > 0 решения « £ С ([5/4, Т], Сао(П)). Поэтому вектор-функция

а1(-,4) £ С ([5/4, Т], Са1 (П)Ы , а1 = ш1п(а,ао), (30)

где а — то же число, что в формулировке теоремы. Следовательно, в силу леммы 1 при некотором 71 £ (0,1)

ПаЫ) £ С ([5/4, Т], Б2о70 • (31)

Исходя из соотношения (31), докажем теперь, что

« £ Срдт]^). (32)

Для этого проведем некоторые дополнительные построения. Пусть По С Ж3 — область, содержащая П, внешние нормали к границе дП которой не пересекаются в По. Для вектор-функции а(ж,4) при каждом 4 £ [0,Т] путем зеркального отображения относительно границы дП построим продолжение 2 а(ж, 4) на область По. Легко видеть, что при 4 £ [5/4,Т], а(ж,4) £ Са1 (П). Усредняя а(ж,4) по Стеклову с усредняющим ядром г£(ж) при малых е > 0, определим семейство гладких по ж вектор-функций

а£(ж,£) = У ге(ж - y) a(y,t) dy, t G [0,T].

' £

П

При этом, как известно, для некоторой не зависящей от е, 4 постоянной с > 0 имеет место неравенство

(И^Ис^ (П) ^ ^К^Нс^ ^ 4 £ [5/4,ТЬ

а также справедливо предельное равенство

£Шо — а(^, Ис([5/4,Т],С(П)) =

Из этих соотношений, очевидно, следует равенство

£—>0

Имеем также

1—по ||а£(-, t) - a(-,i)^C([5/4)T])Cа2) =0, a G (0,ai). (33)

£—п |a£(-,t) - a(-,t)|c([5/4,T],Lq0/m) = 0 (34)

2 При £ € [0, 5/3] зеркально отображается любой представитель класса эквивалентности а(-, £); можно было бы а(-,1) продолжить нулем в область По \ П.

Переобозначим теперь правую часть равенства (24):

I КЬ) = / (М), (35)

и рассмотрим при Ь € [| 5, Т] выражения

5/4

£ ^™ = д^vо + / е--Ао) (е-Па6¿т * о (36)

+ / (дХте-*"-^ (а72е-НТ^ ^А-72П^А-7^ А71 П а6 ¿т, г = 1,2,3.

5/4

Здесь 0 < 11 — 71 <72 < 1, причем 71 — столь малое положительное число, что в силу леммы 1 имеет место непрерывное вложение:

ПСа1 (П) с52071. (37)

Отметим, что внесение операции д§т под знаки интегралов в (36) легко обосновать, используя в представлении (19) для J(ае,Ь) (см. (35)) интегральные суммы Римана и замкнутость операций обобщенного дифференцирования. Отметим еще, что в представлении (36) учтена лемма 4. Из равенства (36) в силу оценок (9), (10), леммы 3 и соотношения (37) следуют неравенства

тах *е[5/2,т ]

дх-J ^

< с5 2

+ С5" ^ (Ь — Т)-^¿ТК "С([о, 5/4], Ьдо/т)

о (38)

í

+ С^ / (Ь — Т)-2_72 ¿Т||а£^С([5/4,Т], С«1 (П)) 5/2

< С1 + С2 У«6 Ус([о, 5/4], Ь?0/т) + С3 ||а1с([5/4,Т],Са1 (П))

где с, С1, С2, С3 — не зависящие от е константы. Из представления (35) и оценок (9), (13) (14) следует, что

_д

дх

J(а6,Ь) € С ([5/2,Т],Ьдо). (39)

В силу соотношений (24), (33)—(38) справедливо (32), а, значит,

д

— «Ы) € С ([5/2,Т],Ь,о/т) , г = 1,2,3. (40)

Перепишем теперь равенство (19) при Ь > 5 в виде

5/2

v(t) = е-Ао vо + I е- VАо е-тгАо П-^а^т + / е-(1-т)Ао П-^а^т.

} дх1 } дх1

о 5/2

í

Из оценок (10)-(14) и соотношений (25), (40) следует, что

« £ С ([ 4 5,Т ] ) ,

где 7 £ (0,1), так что 7 может быть сколь угодно близким к единице. По лемме 2 отсюда следует существование такого числа £ > 1, что

« £ С ([35,Т] , С*) ,

а, значит, в силу леммы 1

ПаМ) £ С ([45,Т] ^2о£) (41)

при некотором е > 0.

Для завершения доказательства соотношения (23) воспользуемся представлением

45 *

-д , Г -(*-т)4„„ д , .3

т т д í д 3

е-—Ао е 2Ао П -—- а (т + / е-(*-т)Ао П-^а(т, 4> 3 5.

дж1 ) дж1 4

3 5

Из него, оценок (10)-(14) и соотношений (25), (41) следует (23).

Докажем теперь, что при любых 5 > 0 обобщенное решение « : [0, Т] ^ Бдо дифференцируемо по 4 при 4 > 0 и при этом

£ С[5,Т](5до). (42)

Будем исходить из соотношения (23), которое ввиду произвольности 5 > 0 перепишем в виде ( )

« £ С ([5/2, Т], Б2о) . (43)

Отсюда на основании эквивалентности норм в пространствах Б2о и W2о (в силу неравен-

о

ства коэрцитивности [5]) и известной теоремы о непрерывности вложения W2о С С 1+°2, 1 < а2 < до, следует, что

ф1(«(4),4) £ С ([5/2, Т], Саз), аз =ш1п(а2,а). (44)

Отсюда по лемме 1 следует существование такого 73 > 0, что

ф(«(4),4) = Пф1(«(4),4) £ С ([5/2, Т], Б2о73) . (45)

Перепишем теперь равенство (24) при 4 > 5 в виде

5/2 *

«(4) = е-Ао«о +У е-Ао(*-т)ф(«(т), т) (т + ^ е-Ао(*-т)ф(«(т), т) (т. о 5/2

Последнее, на основании равенств (4), (5), соотношения (45) и неравенств (11), (12), непрерывно дифференцируемо, так что

5/2

dV = Aoe-iA°vo + У Aoe-Ao(i-r)^(v(r),т) dr o

t

+ / A0-73e-Ao(t-T)A73^(v(r),т) dr + ^(v(r),r) G C([£,T],Sq0).

(46)

5/2

Из соотношений (22), (43) и (46) легко следует, что вектор-функция v(x,t) является решением задачи (1)—(4) в смысле данного в начале п. 2 определения. (При этом УР выражается через v посредством соотношения (1).) Теорема полностью доказана. >

Литература

1. Симоненко И. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сб.—1972.—Т. 87, № 2.—С. 236-253.

2. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.—М.: Наука, 1970.—288 с.

3. Левенштам В. Б. Метод усреднения в задаче конвекции при высокочастотных наклонных вибрациях // Сиб. мат. журн.—1996.—Т. 37, № 5.—С. 1103-1116.

4. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—М.: Наука, 1966.—499 с.

5. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1984.—192 с.

6. Симоненко И. Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1989.— 112 с.

7. Левенштам В. Б. Одно свойство проектора П гидродинамики // Комплексный анализ, дифференциальные и интегральные уравнения.—Элиста, 1990.—С. 89-96.

Статья поступила 14 сентября 2009 г.

Левенштам Валерий Борисович Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ведущий научный сотрудник лаб. математической физики РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: vleven@math.rsu.ru

ON CORRELATION OF TWO SOLUTION CLASSES OF NAVIER - STOKES EQUATION

Levenshtam V. B.

We consider an initial boundary value problem for Navier — Stokes equation with mass power polinomial depend on unknown (velocity). We introduce for it the definitions of solution and generalized solution and we derive the conditions, under with a generalized solution is a solution.

Key words: Navier — Stokes equation, solution, generalized solution.