О взаимосвязи двух классов решений уравнений Навье - Стокса. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 4, С. 52-62

УДК 517.633

О ВЗАИМОСВЯЗИ ДВУХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА. II1

В. Б. Левенштам

Статья дополняет работу автора [1], посвященную вопросам разрешимости начально-краевой задачи для уравнений Навье — Стокса с полиномиально зависящей от неизвестной (скорости) массовой силой. Здесь установлена локальная разрешимость указанной задачи в обобщенном смысле и изложено доказательство одной важной леммы из [1].

Ключевые слова: уравнения Навье — Стокса, локальная разрешимость, проектор Вейля.

Данная статья является продолжением статьи [1], но ее можно читать, по существу, независимо. Напомним, что в [1] рассматривается начально-краевая задача для уравнений Навье — Стокса с полиномиально зависящей от неизвестной (скорости) массовой силой. Там введены определения решения и обобщенного решения указанной задачи и получены условия, при которых обобщенное решение, если оно существует, является обычным решением. В настоящей, заключительной, части работы: 1) показано, что обобщенное решение данной задачи существует, по крайней мере, локально; 2) проведено доказательство важной леммы 1 статьи [1], которая впервые была сформулирована в работе И. Б. Симоненко [2], где лишь намечен путь ее доказательства. В [1] имеются ссылки (вместо доказательства леммы 1) на монографию И. Б. Симоненко [3] и заметку автора [4], а также замечание о том, что в монографии [3] доказательство для нашего случая (граница области д^ е С2) — неполное (оно полное для д^ £ С5, но переход к д^ £ С2 представлен лишь схематично). Ввиду труднодоступности сборника [4] мы воспроизводим здесь содержащееся в нем полное доказательство леммы сразу для д^ £ С2. Отметим еще, что 3) некоторые важные детали [1], которые используются и в данной статье, представлены здесь подробнее. Это также является целью данной заметки.

Результаты [1] и данной статьи потребовались автору для обоснования метода усреднения для уравнений Навье — Стокса с полиномиально зависящей от скорости массовой силой, содержащей высокочастотные слагаемые с большими амплитудами. Работа по обоснованию направлена в печать. Она, в свою очередь, примыкает к исследованиям автора (см., например, [5-10]) асимптотических свойств некоторых важных классов эволюционных уравнений в частных производных с большими высокочастотными слагаемыми.

© 2012 Левенштам В. Б.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Россий-

ской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 и 8210, и Российского фонда фундаментальных исследова-

ний, проект № 12-01-00402-а.

1°. Пусть П — ограниченная область евклидова пространства Ж3 с О2-гладкой границей дП, т — целое неотрицательное, п — натуральное, а V и Т — положительные числа. В цилиндре Q = П х [0, Т] рассмотрим начально-краевую задачу вида

£ - VА« + УР + (V, У)« = ^ (и,ж,4) + 6(«,ж,-£), ё1у V = 0, (1)

«|апх(о,т] =0, (2)

«(ж, 0) = «0(ж), ж е П, (3)

в которой неизвестными являются вектор-функция «(ж,£) и функция Р(ж,£) со значениями в Ж3 и Ж1 соответственно2, ш — большой параметр.

Будем предполагать, что вектор-функции aj(«,ж,£) и Ь^ж^) со значениями в Ж3 имеют следующую структуру:

% = %к, Ь = Ьк,

где ajk(^,ж,4) и Ьк(^,ж,4) являются однородными формами степени к относительно компонент вектора V. Таким образом, компоненты и Ь^ вектор-функций ajk и Ьк имеют вид:

|s|=k

ajfce(v,x,t) = V j (x,t)vs1 vsfv|3,

bfce(v,x,t) =22 be MK1 vS2v33.

|s|=k

Здесь s = (si, s2, s3), Sj = 0,1,...,k, |s| = si + s2 + s3, Vj (j = 1, 2, 3) — компоненты вектора v. Прежде чем ввести остальные ограничения на данные задачи (1)—(3), напомним определение известного банахова пространства, которое будет часто использоваться в дальнейшем.

Пусть —ж < a < b < и B — банахово пространство. Через C([a, b], B) обозначим банахово пространство непрерывных вектор-функций u : [a, b] ^ B с нормой

INIc([a,b],B) = тах ||u(t)Ив• Í6[a,b]

s s

Будем рассматривать данные a je(.,t) и b e( .,t) как вектор-функции от t со значениями в соответствующих банаховых пространствах и предполагать, что aje, b e £ C([0,T],L^(fi)), vo £ Sq0, q0 > max(3(m—1), 3). Здесь Sq0 = Sq0(fi) — известное в математической гидродинамике вещественное пространство соленоидальных векторов (см. [11, 12] и п. 2o ниже).

2°. Задачу (1)—(3) можно интерпретировать как математическое обобщение известной [11, 12] модели движения вязкой несжимаемой жидкости (v — скорость жидкости, P — давление в ней) в сосуде под действием массовой силы. Обобщенная массовая сила здесь представлена правой частью первого уравнения (1). Она помимо пространственных и временной переменных x, t зависит и от скорости v движения жидкости. Систему вида (1) мы, следуя работе [2], называем уравнениями Навье — Стокса.

Векторы пространства R будем считать вектор-столбцами.

Приведем некоторые результаты математической гидродинамики [11, 12], на которые будем опираться в дальнейшем.

Пусть М — множество непрерывно дифференцируемых в П соленоидальных (т. е. удовлетворяющих уравнению ё1у V = 0 в П) вектор-функций «(ж) с равной нулю на дП нормальной компонентой. Через Б?, д > 1, обозначим банахово пространство, являющееся замыканием множества М по норме Ь? = Ь? (П):

= / Кж)|?^ж

1/?

Е к (ж)12

?/2 х 1/? ^ж

Через О? обозначим банахово пространство, полученное замыканием множества градиентов гладких функций ^ по норме

=

J ^ж п

1/?

= 11^11

Пространство Ь? распадается в прямую сумму своих подпространств Б? и О?: Ь? — ® О?. Связанный с этим разложением проектор П : Ь? —^ Б? является ограниченным оператором, причем ортогональным в случае д = 2.

В пространстве Б? определен оператор А0 = — ^ПД с областью определения

^(Ао) =Б 2, являющейся замыканием по норме множества М. Оператор Ао замкнут, а —Ао порождает в Б? аналитическую полугруппу е-гАо, £ ^ 0. Более того, оператор А0 сильно позитивен (определение см. в [13, с. 298]), а потому определены его

о 2

дробные степени АО, 7 > 0 [13, формула (14.15)]. Через Ббудем обозначать банахо-

о

во пространство, элементы которого принадлежат области определения оператора Ад и

снабжены нормой ||и|| о27 = ||Ади||&9.

3о. Введем определения решения и обобщенного решения начально-краевой задачи

(1)-(3).

Решением задачи (1)-(3) назовем определенную в цилиндре Q трехмерную вещественную вектор-функцию «(ж, £), для которой найдется определенная в том же цилиндре скалярная вещественная функция Р(ж,£) такая, что при некотором д > 1 будут выполнены следующие условия:

1) вектор-функции Р(£) = «(•,£) и Р(£) = Р(•,£) являются непрерывными, как отображения V : [0,Т] — Б?, V : (0,Т] —Б;), Р : (0,Т] — Ш^П), и равенство (3) выполнено в ;

2) отображение V : (0, Т) — Б? непрерывно дифференцируемо и первое равенство (1) справедливо при всех £ £ (0, Т) в Б?;

3) второе равенство (1) при (ж,£) £ П х (0, Т] и равенство (2) выполняются в обычном классическом смысле.

Прежде чем сформулировать определение обобщенного решения задачи (1)-(3) опишем известную процедуру (см., например, [13]) перехода от задачи (1)-(3) к соответствующему интегральному уравнению. Предположим на некоторое время, что а^ £ С([0,Т], ) и пусть «(ж,£) — решение задачи (1)-(3), q > 3. Подействовав на уравнение (1) проектором П и обозначив «(£) = = «(•,£), «(0) = «(•, 0) = «0, перейдем от начально-краевой задачи (1)-(3) к задаче Коши в Б?0 для абстрактного параболического

уравнения:

г € (0,Т], и(0) = ио.

Из результатов [11, 13] теперь следует, что всякое решение и(-,г) задачи (1)-(3) удовлетворяет интегральному уравнению

í

и(г) = е-А°ио + 1 е-(*-т)Ао^(т),т] ^т = е-Моио + /0 = N(и)](г), (4)

о

где /0 понимается как предел в интеграла при Н ^ 0.

Действительно, из определения решения задачи (1)-(3) вытекает, что при любом Н € (0,Т) справедливо соотношение шг] € С([Н, Т],5д0). Отсюда согласно [13,

лемма 23.1] следует равенство

и(г) = е-(^)А0и(Н) + , г > Н. (5)

Далее, в силу неравенства Гельдера существует постоянная с > 0, при которой для всех к ^ т и и € С([0,Т], 5Ро) выполнены оценки

(и(г) -,г)||С ([0,ВД0/к) < ([0,ВД0),

НЬы (и(г),-,г)||с ([0 >Т ]>6р0/к )

Из этих оценок и оценок (9), (10) работы [1], следует существование такой константы С1 > 0, что при всех г € [0, Т] и Н1, Н2 € (0,г) справедливы неравенства

J е-(*-т)А0^[и(т),т, шт] ^т

= с1

112 Г

е-

и Ь-1

Ь2

/(г - т)

Ь.1

1 )2 - 3 (т—1) 2 90

3 (т— 1) — 1

2 90 2 Йт ( 1М|т([0>П5вд) + 1

1 — 3 (т—1)

- (г - Н2)2 2 ^0

МЬ([0,ТЬ6ВД) + 1) •

(6)

Учитывая определение решения задачи (1)-(3), сильную непрерывность полугруппы и неравенство (9) из [1], в (5) можно перейти к пределу при Н ^ 0 по норме , так что равенство (4) обосновано.

В пространстве С([0, Т], ) рассмотрим оператор N., который определен на вектор-функциях и(г) € С([0,Т],5?0 П ) и действует по правилу, предписанному правой частью равенства (4). Тот факт, что образ N. лежит в пространстве С([0, Т], ) вытекает из [13, лемма 23.1] и рассуждений данной статьи, использовавшихся при обосновании формулы (4). С помощью оценок (9), (10) из [1] и неравенства Гельдера устанавливается, что оператор N. непрерывен не только относительно аргумента V € С([0,Т],5ад), но

6.

и относительно параметров а^ £ С([0,Т), в связи с чем будем рассматривать его на всем пространстве С([0, Т], ) в условиях п. 1°.

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) на участке £ £ [0,Т] называется трехмерная вещественная вектор-функция «(¿) = «(-,£) £ С([0,Т],5ад), удовлетворяющая равенству v — N. (г>) = 0.

Предложение 1. Существует такое положительное число То ^ Т, что задача (1)—(3) имеет единственное обобщенное решение п(ж,£) £ С([0, Т0], ).

< Не нарушая общности, будем считать т ^ 2. Обозначим через Цо шар пространства с центром vо единичного радиуса. Пусть положительные числа Мо, М1, ¿о и

удовлетворяют при любых ад, ад, ад £ Цо следующим условиям:

Е 11П К ■) — 11с([о,Т]>5,0/т) ^ М1'

11П6оК ОНс([о,ЗД0/т) < М2'

Е ТТ / 2 \ 2 - / 1 \ 11

I П aj (ад, •) — адjадj — % (ад, •) + адjад

1^X3

с ([о,Т/т)

^ ^ ||ад — ад!

+ тах

90

П

6о(ад, ■, •) — 6о(го, ■, •)

с([о,т ],5Р0/т)

с([о,т

Здесь вектор аj(ад, ■, ■) получен из aj(ад, ■, ■) заменой функций а^(ж,£) на а ^(ж,£) £ С([0,Т],Ьте). Выберем теперь То £ (0,Т] столь малым, чтобы выполнялись неравен-

ства

(е- 0 — /Н

Iе

/М1 То1-в1 М2То

с([од0,иР0) < 2

1-02

\ 1 — в

+

1 — в2

<

¿1 То

1-в1

1 — в

+

1-02

1 — в2

<

2

где с — та же константа, что в оценках (9), (10) из [1], в1 = 3(т20-1) + 2, в2 = 3(т1-1). Отметим, что существование То, удовлетворяющего первому из этих неравенств, следует из сильной непрерывности полугруппы е-гА0. Обозначим теперь через V шар пространства С ([0,То ] , с центром vо единичного радиуса. Напомним, что обобщенным решением задачи (1)-(3) на временном участке £ £ [0, То] по определению является вектор-функция V £ С([0,То],5?0), удовлетворяющая при £ £ [0,То] интегральному уравнению

v(t) = е-гА0 Vо + / е-(г-т)А0п{ ^ а,-(V,-,т)

о

+ 6о(у, *, т) — = (v,a)](í).

(7)

Докажем, что оператор N преобразует шар V в себя и является сжимающим. В силу неравенств, выписанных в предыдущей части доказательства предложения, а также

1

1

2

1

с

г

12 12

оценок (9) при к = 0, (10) из [1] при всех V, V, V £ V, а, а, а £ С([0, ), £ £ [0,Т0],

имеем

ь

[Ж(V, а)] (¿) - V0 ¡1^ < ||(е-ьА0 - 1>о Ц^ + с^ [М1 (£ - т)-в1 + М2(£ - т)-в2]йт < 1, (8)

(V, а) - N(V, а) || „ < с

^вд

ь

/(; - т)

V |

^90

12 + 11 а — а |

I 2 ||т V! 0

)йт + I ¿2(£ - т)-в2|

21

V — v¡

'90/т

^т

о

(9)

+

С^2 1-в

с^1 Т 1 - в Т0

1-в1

12 1ц + ц 1ц 112цт

Г - Пс([0,Т0],Ьр0) + 11а - ЧС([0,То],ЬТО)1Г 11с([0,То],5в0)

т^1-в2 || 2 1 |

Т0 М2 11V - V

С([0,Т0],5Р0) ^ 2

|| 2 1| ^ - || V — V |

С([0,Т0],590)

21 + с1 ||а - а|

С([0,Т0],Ьх )'

Если V, а столь гладки, что выражение, заключенное в фигурной скобке в (7), принадлежит С ([0,Т0],5д0), то N (и, а) £ С ([0, Т0 ],5?0) (см., например, [13, лемма 2.3]). Продолжая V £ С([0, Т], ), а £ С([0, Т], ) нулем за боковую границу цилиндра Q и аппроксимируя эти продолжения гладкими по х средними по Соболеву в силу оценки (9) заключаем, что при V £ V, N (и, а) £ С ([0,Т0 ],5?0). Теперь из оценок (8), (9) следует, что N (V, а) в шаре V является сжатием, а потому задача (1)—(3) имеет в этом шаре обобщенное решение.

Единственность обобщенного решения доказывается аналогично. Конкретнее, если

V(¿), г = 1, 2, — два различных решения, то найдутся , ¿2 £ [0,Т0), < ¿2, такие, что

V(£1) = V(£1) = v1, V(¿) = V(¿), £ £ (£1,£2), ||V(¿) - v1||Sад ^ 1, £ £ [£1,£2]. Рассматривая теперь уравнение (7) с заменой v0 на V! на участке £ £ [£1, ¿2] и повторяя проведенные рассуждения, найдем такое Т1 £ (¿1, ¿2], что определенный правой частью этого уравнения оператор (см. N) в шаре V = {V : |Н|с([Ь1 ,Т1],590) ^ 1} является сжатием. Отсюда на основании принципа сжатых отображений приходим к противоречию с неединственностью решений. Предложение 1 полностью доказано. >

4°. В этом пункте сформулируем и докажем лемму 1 работы [1] (см. введение). Доказательство следует пути, указанному в [2], и базируется на результатах и методах работ [2, 3, 14].

Лемма 2. Для любых чисел ц £ (0,1] и д > 3 найдется число 7 = 7(д,ц) £ (0,1), при котором сужение проектора П на пространство вектор-функций С ^(П) является

ограниченным оператором из Св Б^7.

Непосредственному доказательству леммы предпошлем определения моментной и ап-проксимационной шкал, а также формулировку интерполяционной теоремы И. Б. Симо-ненко (см. [2, 3]).

Пусть В0, В, В1 — тройка банаховых пространств, причем имеют место непрерывные вложения В1 С В0, В С В0, пусть 70 > 0, 71 > 0, 70 + 71 = 1.

Пространство В аппроксимационно разделяет пространства В0 и В1 в отношении 70 : 71, если для каждого х £ В существует вектор-функция х(А), А £ [1, то), удовлетворяющая условиям:

ь

ь

оо

а) ж(А) е Bi;

б) Уж - ж(А)||в0 ^ сА-70||ж||в;

в) ||ж(А)||В1 ^ сА71 ||ж||в, где C — не зависящая от ж постоянная.

Пространство B моментно разделяет Bo и Bi в отношении 70 : 71, если Bi С Bo и для каждого ж е Bi выполняется оценка

||ж||в ^ с||ж||В0 ||ж||В

с независящей от ж постоянной с.

Теорема (Интерполяционная теорема И. Б. Симоненко). Пусть B0, B, B1, B0, B', Bi — банаховы пространства, причем B аппроксимационно разделяет Bo и Bi в отношении 7, B' моментно разделяет B0 и B' в отношении 7', причем 7 > 7'. Пусть A е Hom(B0, B0) и сужение A|B е Hom(Bi, B '). Тогда A|B е Hom(B, B').

Обозначим через Wq, q > 3, подпространство пространства Wq (П) трехмерных вектор-функций, определенных на П, соленоидальных и имеющих на S равную нулю нормальную компоненту:

Wq = {u е Wq(П) : div u = 0, u„|s = 0}. Предложение 2. Пространство Wq аппроксимационно разделяет пространства Sq

о2 и S,.

о2

< Отметим вначале, что имеют место вложения Sq С Sq и Wq С Sq. Первое из них очевидно, второе следует из [3, леммы 5.2]. Докажем теперь, что для тройки пространств

о2

Sq, Wqi, Sq выполнены, сформулированные в начале настоящего пункта, условия а)-в).

Пусть u е Wq. Тогда в силу леммы 6.2 монографии [12] существует векторное поле V0 на П такое, что

div v0 = 0, rot v0 = u, v0n|S = 0,

и выполнена оценка

||v0^(П) < (10)

где с не зависит от u.

Возьмем теперь произвольный кусок Si поверхности S, ограниченный контуром l. По формуле Стокса

J v0 dl = Jrotn v0 ds = J un ds = 0,

l S1 S1

где rotn v0 — нормальная составляющая вектора rot v0. Отсюда следует, что на поверхности S существует функция ^>(s) е C i (S) (s — локальные координаты поверхности) такая, что

Vs^ = V0.

Обозначим через р(ж) расстояние точки ж е П до S, а через nho, h0 > 0, — погранслой шириной h0 : П^0 = {ж е П : р(ж) < h0}. Число h0 будем считать столь малым, что нормали к S в П^0 не пересекаются. Пусть ^(т) — бесконечно дифференцируемая при т е [0, то) функция такая, что 0 ^ ^(т) ^ 1 и

1, 0 < т < 2,

^(т) = ,

0, т > 1

В погранслое введем криволинейные координаты (5,р), где 5(х) = (51,52) — точка поверхности Б, лежащая с х на одной нормали, р(х) — расстояние от х до 5. Определим функцию

Ф(х) = (^[5(х)]^[Р(х)/^0], х £ ,

\0, х £ .

Легко (например, с помощью теоремы о неявной вектор-функции) показать, что в нашем случае функции 5(х) и р(х) непрерывно дифференцируемы, поэтому Ф £ С 1(П). Покажем теперь, что справедливы соотношения

УФ(х0 ) = Уф(х0 )] = Vо [5(х0)], (11)

|УФ(х) - УФ(хо)| < с|х - хо||К||с(п), (12)

где х £ , х0 = (в(х), 0) £ Б и С — не зависящая от х и v0 постоянная. Для доказательства этих соотношений, не умаляя общности, предположим, что начало О декартовой системы координат Ох1х2х3 принадлежит Б, ось Ох3 направлена по внутренней нормали к Б и точки х, хо находятся в малой окрестности О, причем 51(х) = х1, ^(х) = х2. Отсюда легко получается представление

УФ(ж) = ( dSiVsi + dS;]

+ ф(ж)] ddp Vp(x) = V^[s(x)^[p(x)/hc ] + ф(ж)] Mp^ e[s(x)].

(13)

Здесь

ф(ж)] = 1,—V/V^VdsJ'Us;

и мы, не умаляя общности, предполагаем, что поверхность S в малой окрестности O представлена уравнением ж3 = f (ж1, ж2). Из (13) легко вытекают соотношения (11)-(12). Из (10), (12) и известной теоремы вложения С. Л. Соболева следует неравенство

|^Ф(ж) -V$(ao)|| < ср(ж)||и||^1,

где ж G , ж0 = (s(x), 0). Здесь и ниже c не зависит от ж, u. Определим на ^ векторное поле

v(x) = v0(x) — VФ(ж).

Проведем «срезку» и «сглаживание» этого векторного поля, следуя рассуждениям В. И. Юдовича в лемме 5.2 [11]. Пусть функция

Пь(ж) = 1 — ^[р(ж)/Д], ж G

Введем на ^ векторные поля

uh = nhu + Vnh х v, u = rot v, (14)

Uh,5 = J K(ж — y) Uh(y) dy = J K(ж — y) Uh(y) dy n R3

= rot J K(ж — y) nh(y) v(y) dy, ж G П,

Я3

где К5 — усредняющее по Соболеву ядро радиуса 6 < Л. Здесь пь, п и V (а значит и п^) считаются продолженными с П на Ж3 непрерывным образом. Для обоснования последнего равенства в (15) заметим, что для V при гладких vo и Ф оно очевидно, так как в этом случае согласно (14) п^ = го1(п^), для наших же V £ С(П) оно получается отсюда путем замыкания.

Обозначим для краткости п^ь2 через п^. Легко видеть, что для п^ выполняются условия а) и в) (А = Л-1). Для обоснования соотношения б) воспользуемся неравенством

1|п - пЛ^ ^ ||п - пьНь, + Щ - пЛ^.

В силу (10), (12) из [1] и теоремы вложения С. Л. Соболева имеет место оценка

|Кх)|| ^ ср(ж)||п||^1, X £ . (16)

Используя представление (14), неравенство ||Упь|| < с1Л-1, где с1 не зависит от Л, и оценку (16), получим:

||п - пл||ь, < ||1 - ПлНь, ||п|с + |IV!(ад < СЛ1/9||п|^,1 • (17)

Далее воспользуемся представлением

< - п^ = ^ КЛ2 (х - у)[пь (у)п(у) - пь (х)п(х)]

п (18) + (х - у)УПь(у) X V(у) - Упь X V = + ^2 + ^3-

п

Легко получаем оценки:

||^ С (||п||сЛ + ЦпЦст Л27) , (19)

где 0 < 7 < 1 - |,

(П2^) < сЛ1/|||п||^1, (20)

(пь) < сЛ1/| ||п|Ц1 • (21)

Из соотношений (17)—(21) и теоремы вложения С. Л. Соболева следует оценка

||п - < ||п|%1 ,

где в = тш(1/д, 27), с — не зависящая от п постоянная.

Итак, свойство б), а с ним и предложение полностью доказаны. >

о 25

< Доказательство леммы 1. Как известно [11, 13], пространство Б моментно

о 251

разделяет Б| и Б| , где 0 < 6 < 61 ^ 1, в отношении 51 : (1 - 57). Рассмотрим две тройки

^ о 2 о 25 о 2

пространств Б|, J| и Б|, Б| , Б|. Из предложения 2, первого предложения настоящего доказательства и интерполяционной теоремы И. Б. Симоненко следует существование такого числа 62 £ (0,1), что имеет место непрерывное вложение

о 2 52

С Б| . (22)

о 2

Обозначим через C банахово пространство, полученное замыканием финитных в Q

о 2

трехмерных вектор-функций по норме C2. Как известно, при u G C , справедливо представление

u = Пи + Пи ■ n|S = 0, div Пи = 0,

где w — решение задачи Неймана

о

Aw = div u, = 0.

du S

о 2 о 252

Отсюда с помощью известных априорных оценок следует, что П G Hom (C , Sq ). Поэтому в силу (22)

, о 2 о 252 \

П G Hom ( C , Sq J. (23)

Рассмотрим теперь еще две тройки пространств трехмерных вектор-функций: Lq,

о 2 о 25 о 252

Cß, C и Sq, Sq , Sq , где 0 < ö < ö2. Нетрудно показать, что Cß аппроксимационно

о2

разделяет Lq и C . Как отмечалось выше, П G Hom(Lq, Sq) (см. [11]). Отсюда, из (23) и

интерполяционной теоремы И. Б. Симоненко следует существование такого öo = öo(q,p), о 25о

что П|сm G Hom (C^,Sq ). >

Литература

1. Левенштам В. Б. О взаимосвязи двух классов решений уравнений Навье — Стокса // Владикавк. мат. журн.—2010.—Т. 12, вып 3.—С. 56-66.

2. Симоненко И. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сб.—1972.—Т. 87 (129), № 2.—С. 236-253.

3. Симоненко И. Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости.—Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1989.—112 с.

4. Левенштам В. Б. Одно свойство проектора П гидродинамики // Комплексный анализ, дифференциальные и интегральные уравнения.—Эллиста, 1990.—С. 89-96.

5. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34, № 2.—С. 92-109.

6. Левенштам В. Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции // Журн. вычислительной математики и мат. физики.—2000.—Т. 40, № 9.—С. 1416-1424.

7. Levenshtam V. B. Asymptotic integration on initial boundary problem for Navier-Stokes system with a rapidly oscillating mass force // Russian J. of Math. Physics.—2005.—Vol. 12, № 1.—P. 40-48.

8. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование параболических задач с большими высокочастотными слагаемыми // Сиб. мат. журн.—2005.—Т. 46, № 4.—С. 805-821.

9. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для дифференциальных уравнений, содержащих быстроосцилирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. мат.—2006.— Т. 70, № 2.—С. 25-56.

10. Левенштам В. Б. Некоторые вопросы теории усреднения параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Докл. АН.—2006.—Т. 411, № 3.—С. 302-305.

11. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости.—Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1984.—192 с.

12. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.—М.: Наука, 1970.—288 с.

13. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—М.: Наука, 1966.—500 с.

14. Быховский Э. Б.,Смирнов Н. В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по данной области // Тр. МИАН СССР.—1960.—Вып. 59.—С. 6-36.

Статья поступила 18 января 2012 г.

Левенштам Валерий Борисович Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, главный научный сотрудник отдела дифференц. уравнений РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: vleven@math.rsu.ru

ON CORRELATION OF TWO SOLUTION CLASSES FOR NAVIER-STOKES EQUATIONS. II

Levenshtam V. B.

This is a supplement to the author's work [1] devoted to the solvability of initial boundary value problem for the Navier-Stokes equations with mass force y depeding on unknown (speed) polynomially. In this paper local resolvability of the problem in the generalized sense is established and the proof of a key lemma in [1] is also given.

Key words: Navier-Stokes equations, local resolvability, a Veyl projection.