О разрешимости одной нелокальной краевой задачи для системы уравнения Навье-Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА*)

С, Г, Пятков, М, В, Уварова

Введение

Рассмотрим некоторые нелокальные задачи для линейной системы уравнений Навье — Стокса

щ -Ди + УР = /, (М) е Я = С х(0,Т), (1)

и = 0, (2)

где О — ограниченная область в М" (п ^ 2). Краевые условия имеют вид

т

и\Б = 0, J и(т) ¿а(т) = и0, (3)

о

где Б = Г х (0, Т), Г = дО и а — некоторая вещественная функция ограниченной вариации. Отметим, что число работ, посвященных нелокальным задачам для параболических уравнений, довольно значительно, в связи с их многочисленными приложениями в механике, физике и других естественно-научных дисциплинах (см., например,

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)», мероприятие 2 (код проекта 3443), и гранта Министерства образования и науки РФ № 02.740.11.0609.

© 2010 Пятков С. Г., Уварова М. В.

[1-3]). Задача вида (1)-(3), в случае, когда а — функция скачков или кусочно-линейная функция, рассматривалась в работе [4], где поставлен вопрос о существовании обобщенных решений задачи. Аналогичные вопросы рассмотрены и для более сложных систем в [5]. Первая начально-краевая задача и задача Коши для системы (1), (2) хорошо изучены, в первую очередь в классических работах В. А. Солонникова (см., например, [6] и имеющуюся там библиографию). Результаты нашей работы основаны на общих теоремах о разрешимости операторно-дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Вспомогательные результаты

Символом Ь(Х,У) обозначаем пространство линейных непрерывных операторов, определенных на X со значениями в У (X, У — банаховы пространства). Если X = У, то полагаем Ь(Х, У) = Ь(Х). Для оператора Ь : X ^ X через а(Ь), р(Ь) обозначим спектр и резольвентное множество Ь соответственно и символом ^(Ь) — область определения оператора Ь. Тогда П(Ьк) — область определения к-й степени оператора Ь. Определим пространства (О, Т; Е) (Е — банахово пространство) как пространство сильно измеримых функций, определенных на отрезке [О, Т] со значениями в Е таких, что

т

11и11 ь г (о,Т-,е) = / ^ 1М*) У Е А < ж. о

В случае ^ = 0 обозначаем это пространство через Ьд(0, Т; Е). Обычным образом определяем пространства Соболева О) и пространства Бесова д(О) (см. [7]), а также их векторнозначные аналоги

О;Е) и , д(О;Е) [8]. Пусть и(Ь) € Ь, юс(0, Т;Е) [7]. Символами щ, и^ обозначаем обобщенные производные от функции и по переменной £ в смысле теории распределений 1-го и соответственно ^-го порядков.

Пусть Е — рефлексивное банахово пространство и Ь : Е ^ Е — замкнутый линейный оператор с плотной областью определения

Определение 1. Оператор Ь : Е ^ Е называется позитивным, если интервал (—те, 0] принадлежит резольвентному множеству рЬ) оператора Ь и существует число С такое, что

II(Ь — и)-1| < с/(1 + |*|) т е(—те,о].

Пусть для некоторого у е [0, 2п] оператор в-г^Ь позитивен в смысле определения 1. Назовем такое значение у допустимым. Символом (•, •} обозначаем отношение двойственности между Е и двойственным пространством Е*, а через Ь* — сопряженный оператор к Ь. Положим Як = Б(Ьк) (к > 0). Определение пространства Нк щи к < 0 приведено в [9, § 5]. В этом случае прострапство Нк совпадает с двойственным пространством к ,0((Ь*)-к) (Д((Ь*)-к) С Е*), норма в котором определяется равенством

п и \(и,^}\

\\и\\Нк = вир -.

ьЕВ((Ь*)-к) У^УЩЬ*)-^

Из определения легко установить, что эта норма совпадает с нормой ||Ьки|| = 11и|и пространство Нк может быть определено также как НЕ

интерполяции построим пространство В® = (Нт, Нк)д,ч,где 1 < ц < те, к < а < т и в = (см. свойства пространств В® в [7, § 1.14, 15.4]. Опишем свойства этих пространств.

Как вытекает из определения и интерполяционных свойств линейных операторов, оператор Ь является изоморфизмом В® на В®-1 и Нк па Нк-1 и, в частности, позитивен как оператор из Нк в Нк и из В® в В® (см. [7]).

Утверждение 1. Определение пространств В® корректно п не зависит от т, к. Пространство Нк при к > в плотно в В® при ц < те и в Н1 при I < к. Кроме того, выполняются следующие равенства:

(В5,В2)*,, = В<г' (Н^,В2)*,,= Bq, 0 е(0,1), (4)

где в = (1 — 0)в1 + 0в2 и 1 < цг < те (г = 0,1). Параметр в! во втором из этих равенств считается целым.

Доказательство. Первое равенство (4) — следствие теоремы из [7, § 1.15.4] (см. также [9,теорема 5.1]) и того факта, что Ь — изоморфизм В® на В®-1 и На на На-\. Второе — следствие представления

Ва° = (Яв1 , (1 - 01)81 + 0182 = 80, 01 е(0,1)

теоремы о реитерации [7, теорема 1.10.2].

Утверждение 2. Норма в пространстве В® при в > 0 эквивалентна норме

1МЫ; = Г-'-Цць + ге^г'Уь'пи^Е), (*)

где I > в — к, 0 < к < в, к, I £ М, а при в <0 — норме ||и||В| = \\Ь-ти\\вз+т (ш > —в). Нормы (*), отвечающие различным допустимым значениям у, эквивалентны.

§

§

и того факта, что пространства В®, отвечающие операторам е-г^Ь при различных у, совпадают.

Приведем некоторые определения.

Определение 2. Семейство операторов т с Ь(Х,У) (X, У — банаховы пространства) называется Е-ограниченным, если для некоторого д £ [ 1, го) и некоторой постоянной еч ^0 справедливо неравенство

N

^ ^ riTixi i=l

^ Cq

N

Е5

i=1

L„(0,1;X)

L„(0 ,1;Y)

для всех N, Ti,... ,TN G т и x, • • • ,xN G ^^e r^t) = sgnsin^nt) — функции Радемахера на отрезке [0,1] (см. [10]).

Наименьшая постоянная ^обозначается ч ерез Д(т). Эквивалентные определения Д-ограниченности могут быть найдены в [11—13]. Отметим, что условие Д-ограниченности не зависит от q.

Определение 3. Банахово пространство E называется UMD-пространством, если преобразование Гильберта

Pf= lim [ ÜQ-dt

e^qo J t - у

\t-y\>e

принадлежит классу М, Е)) для некоторого q € [ 1, те) (а значит,

и для всех) (см. свойства этих пространств, например, в [9]).

Рассмотрим следующие задачи:

т

щ - Ьп = /, J и(т)(г(т) = у, (5)

о

иг - Ьи = /, и|(=о = Щ, (6)

где оператор Ъ : Е ^ Е — замкнутый линейный неограниченный оператор такой, что для некоторого д € (п/2,п) имеем Бд = {г € С : | ащ,г| < д} С и

II(Ъ - Л)-1| < с/(1 + |Л|) УЛ € Бд. (А)

Положим 71 = {ге®д : г € (е, те)}, 72 = {ге-®д : г € (е, те)}, 7з = {ее®^ : |у| > д}, где параметр е выбран таким, что {г € С : |г| < е} С р(Ъ), 1в = 71 и 72 и 7з. Далее символами || • ||, || • ||д обозначаем нормы в Е и Ъд(0, Т; Е) соответственно. Иногда вместо условия (А) также используем более сильное условие:

Бд € и семейство

Л={Л(Ъ - Л- :Л € Бд} С Ъ(Е,Е) (В)

Д-ограннчено для некоторого 9 > ^.

Справедлива следующая теорема. Всюду далее считаем, что q € (1, те).

Теорема 1. Пусть / € Ъд(0, Т; Бщ € Б®+1 1 и выполнено

и

(6) такое, что и € ЭД^ (0, Т; Б®), и € Ъд(0, Т; Б®+1) и справедлива оценка

||и|Ц1(0,Т;Е|) + ||и||Ь,(0< С(||/^„(О,Т;Е|) + ||и0Н^ ^Е?1-1•

Доказательство. При в € (0,1) теорема вытекает из теоремы 4.15 в [14]. При в ф [в, в € (0,1), теорема является следствием этого результата и эквивалентности норм ||и||Е 3 и ||ЪI® ||Е з—з. Действительно, пусть V — решение задачи (6) с правой частью ЪМ / и начальными данными ЪМщ го класса , Т; Б®-п Ъд(0, Т;Б®+

(в — [в £ (0,1)). Тогда функция и = Ь-МV есть решение задачи (6) из нужного класса с данными /, Пусть в целое. Найдем дробные в!^: ^ < в < в2- По доказанному отображение сопоставляющее данным (щ, /) решение и задачи (6) и рассматриваемое как отображение из Ва<+1-1/ч х Ьд(0, Т; В*) = Хг (г = 1,2) в Ьд(0, Т; В^1) = У, непрерывно. Тогда 5 £ 5X £ Ь(Х2,У) и по теореме 1.3.3

в [7]

5|(х,х)в>Р £ Ь((ХьХ2)в,Р,(У,У)в,Р) (0 £ (ОД)).

Выбрав 0 £ (0,1) так, что — 0) + в20 = в, получим, что 5 — непрерывное отображение В®+1-1 /ч х Ьд(0, Т; В® ) в Ьд(0, Т; В®+1). Отметим, что (У, У) в,р = Ьд(0 , Т;В®+1) [7, теорема 1.1.2]. Поскольку постро-и

ственно из (6) получим, что иг £ Ьд(0,T;Bаq) и справедлива соответствующая оценка.

Следующая теорема вытекает из теоремы 3.2 в [15].

Теорема 2. Пусть Е — VМВ-пространство н выполнено условие (В). Тогда для любых функций / £ ^-^(0, Т;Е), щ £ Вд-1 /ч с р £ (1/д, 1] существует единственное решение задачи Кошн (6) такое, что и £ -м(0, Т; В(Ь)), иг £ Ьд,41-м(0, Т; Е).

В следующей теореме будем использовать условие

3<50 >0 ИА) | =

„Ат

¿ст(т)

> ¿о УА £ С \ . (С)

/

обобщение теоремы 5.4 из [16, гл. 1].

Теорема 3. Пусть / = 0, у £ В®+1 1 /ч (в £ М) и выполнены

0

0

(5) такое, что и £ , Т; ВП Ьд(0^В;^1). Решение и бесконечно дифференцируемо при £ > 0 и справедливы включения и^¿го £

ъ,(о,т;б;+> -1 г-5« € с([о,т];б;+1-1^-^о) при

¿о справедливы оценки

Ни0Их, ч(о,Т;Е < С||у||Ез+ 1-/ ^, й > -1Я

||и(<)Исо,т;е 1 -/«^ С||у|Е ^^-/ч, ¿о > о,

где С — некоторая постоянная, зависящая от г, ¿о И постоянной из (А).

Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 5.4 из [16, гл. 1]. Отличие в доказательстве состоит в том, что используется несколько другое представление решений задачи (5):

1 Г дг (Ъ - Л-Ъку

и = ^—: / е

■ (¿Л,

2пг У ^(Л)Лк

Те

где интегрирование ведется в положительном относительно области Бд направлении. Все оставшиеся рассуждения совпадают.

Следствие 1. Отображение

Т

щ = и(0) ^ у = J и(т) (г(т), о

где и — решение уравнения иг - Ъи = 0 как отображения из Б;+1 1 /з в Б;+1 1 /з, в € М, является изоморфизмом.

Доказательство. Пусть и0 = и(0) € Б®+1-1/з. По теореме 1 и € Ъ9(0, Т;Б;+1), иг € Ъд(0,Т;Б;) и, следовательно, после, может быть, исправления па множестве меры нуль и € С([0, Т]; Б;+1 1 /з) (это

Т

следствие теоремы 1.8.3 из [7]). Тогда интеграл / и(т)(г(т) нормально

о

я 1 1/ Т

сходится в Б; (т. е. сходится интеграл / ||и(т)||Ез+ 1-/ч (ст(т)) и,

Е

используя теорему 1, получим, Т

и(т)(г(т)

о

Т

■» + 1-/ ч

< ||и||с([о,Т];Е/ ч) Ут ^^ ^ с||ио|Е / ч'

где У5 ст(т) — полная вариация функции ст на промежутке [0, Т]. Обратное неравенство вытекает из теоремы 3 и теоремы 1.8.3 в [7].

2. Основные результаты

Теорема 4. Пусть Е — VМВ-пространство н выполнены усло-

0

0 го условия (В). Тогда для / £ Ьд,41-м(0,Т;Е), у £ В^-1 /з (р £ (1/д, 1]) существует единственное решение задачи (5) такое, что иг £

Ь,,41 -м(0,т;е), и £ Ь,,41 -40,т;в(ь)).

и и и

Где и — решение задачи (6) с щ = 0. Пусть / £ Ьд^-м(0, Т; Е). Тогда

и

такое, что иЬщ £ -^(0, Т;Е) и, следовательно, после, может быть, изменения на множестве меры нуль щ £ С^О, Вд 1 /ч) (см. [15,предложение 3.1; 7,теорема 1.8.3]. Отсюда вытекает, что

т

I и^)^) £ В%-1 /ч.

О

Функция и2 = и — щ есть решение задачи (5) с / = 0, где в качестве

т

функции у мы должны взять функцию уо = у — / щ(т) ¿<г(т). В силу

о

условий теоремы и доказанного имеем, что у о £ Вд 1 /з. Используя

и/

у = у такое, что и2Ьи2 £ Ьд(0, Т;Вд-1). Функция и2 бесконечно дифференцируема при £ > 0 и

щг, Ьщ £ Ь^0 (0,Т;Вд-1+й°), ¿0 > — 1 /д. (7)

В частности, при ¿о = 1 — Р получим, что и2г,Ьи2 £ (0, Т;В£).

Рассмотрим задачу

иг — Ьи = 0, и|г=о = и2(0). (8)

Как вытекает из теоремы 1.8.3 в [7], и2(0) £ Вд 1 /з. По теореме 2 существует единственное решение щ этой задачи такое, что щЬщ £ -40,Т;Е). В силу (7) щ¡,Ьщ £ -м(0,Т;В^) нри ¿0 = 1 — р.

В частности, поскольку В®1 С В®2, С В® при ^ > ^ и к > в соответственно, имеем «2и¿и, ¿и £ Ь«^ (О, Т; В-6) для всех е > 0. Покажем, что и2 = «2- Фиксируем е > 0 и рассмотрим оператор Ь как неограниченный оператор из В—66 в В—66 с областью определения В«+е. Оператор Ь обладает тем свойством, что £ р(Ь). Покажем, что если выполнено условие (В), то выполнено и условие (В), где пространство Е заменено произвольным пространством В® (нам необходимо рассмотреть случай в = —е). Тем самым покажем, что условие (В) выполнено

для оператора Ь : Вд 6

В- 6. Для всех Ах, ,..., А^ £ йд имеем

N

Е5

¿=1

¡(

Ь ,(0Д;Е)

N

(9)

Ь ,(0Д;Е)

где = АДЬ — А;)-1, £ Е (г = 1, 2,..., N. Постоянная е« не зависит от чисел А;, N и элементов Воспользуемся утверждением 2. Имеем (1 > в — к, к < в)

N

1 оо

м

О О

N

(Ь(Ь + ме;с0-1)1Ь^ -1

N

сю 1

¿м

м

м

о о

где у; = (Ь(Ь + — )'ЬкИз условия (В) вытекает, что последний интеграл оценивается через

е« / М

N

¿

Л^ = с%

, м «

N

¿=1

Здесь мы дважды воспользовались теоремой Фубини. Таким образом,

N

¿

^ еп

N

¿

9

9

и, значит, условие (В) выполнено. Применяя теорему 2, где Е = е, получим и = ¿2- Итак, и¿и € -^(0,Т;Е) при р £ (1/^,1]. Единственность решений очевидным образом вытекает из доказательства.

Перейдем к рассмотрению задачи (1)-(3). Пусть Ед,ст(С) — замыкание в норме Ед(С) гладких соленоидальных векторных полей с

о

компактным носителем. Положим Н = (С П ^С (под ^^(С), ^^ (С и т. д. понимаем пространства вектор-функций длины п, каждая координата которых принадлежит ^^(С), ^^(С) и т. д.). Рассмотрим оператор Стокса

Лд и = Р,Д и, £(Лд) = Н = Н П С, и = (и,..., и„),

где 1 < д < го, Рд — проектор Гельмгольца, С — ограниченная область в М" с границей класса С2. Итератор Рд сопоставляет функции / £ Ед(О) функцию Рд/ £ Ед,ЛС 113 разложения Вейля / = УР + Рд/ на потенциальную и соленоидальную составляющие. Имеем Рд £ Е(Ед(С)) (см. [17]). Погасим В£1<т(С) = {и £ Рдяд(С П Ед,ЛС) : м|г = 0 при в > 1/д, / (1х < оо при в = 1/</}, где р(ж) = сИв^ж, Г).

Нам понадобится следующе утверждение.

Теорема 5. (ДЛд), Ед,ЛС)) 1-«,д = С).

Доказательство. Первый результат, который мы будем использовать, это равенство

(Н, £д(С)) 1-я/2,д = |и £ С : и|г = 0 при в > 1/д,

(|и|д 1

/ — ¿X < (Ж при в = 1/д >. (10)

} Кх) )

о

В частности, при в < 1/д имеем (Н,Ед(С)) = С). В слу-

чае бесконечно дифференцируемых границ это равенство имеется в [7]. С

зованием разбиения единицы и распрямления границы. Это преобразование сохраняет класс Н и позволяет свести все рассмотрения к

известному случаю гладких границ. Как известно (см. [6] (п = 3), [18-20]), для всех / £ р(С) существует единственное решение задачи Стокса

из класса и £ р, р £ (С), /р^ж = 0. Обозначим через Д/ ре-

о

шение и этой задачи. Пусть Ьо« = Ди. Рассмотрим отображение Ри = Д(РдЬо«) = д^о«). Имеем р £ Ь(р,р,ст). Отображение р является проектором, отображающим пространство р на подпространство р• Действительно, очевидно, что ри = и для и £ р и тогда ДР«р(ДР«ри) = ДР«р^. Покажем, что отображение Ро допускает продолжение до оператора класса Ь(Ь«(С, Ьд,ст(С)). Пусть (•, •) — скалярное произведение в Ь(С). Возьмем и £ р, V £ Ьр,ст(С), 1/р+ 1/^=1. Имеем

о

Если V £ Ьр,ст(С), то существует единственное решение этой задачи («о,Р), удовлетворяющее оценке

Таким образом, Ди0 = V — УР, (и, Ь0Ар 1 = (и, Ди0) = (и, V — УР) и (Ри,^(и,» — УР) V« £ ЬР,ЛС.

Из этого равенства следует, что

Ди — Ур = /, сИу и = 0, и|г = 0

(Р«,-У) = (ДРдРи^) = (ДРдри, АрАр 1

= (АдДР«Ьи, А-1 V) = (ри, А-1 V) = (и, ЬА-1 Отображение А-1 V сопоставляет функции V решение задачи

Н«о 11^1 (о) + УУР 1к(о) < сН^Н^^о).

(11)

вир —- < вир ——-

еЬр,. 1М1ы<о 1М1г. ^о-,

вир

< 1Мк(о)(1 +с, (12)

где C — постоянная из (11). Имеем

\(Pqu,v)\ \(Р0и,у + 'ф)\

sup -—¡i-= sup —г-;:-

cELp,, ||v||Lp(G cELp,,>e(/-Pp)Lp(G ||v||Lp(G)

^^ К + 1 || ,1Q4

11 IIl,(g)' ( }

Здесь мы воспользовались тем, что разложение Lp(G) в сумму ЩРр) + Д(/ — Pp) прямое и, значит, справедливо неравенство

l|v+^||Lp(G > Ы1Мк(о + Н^Уь^G)) Vv е lPi<7(G, Ф е (I—LP(G,

где ¿о — некоторая положительная постоянная. Из (12), (13) получим, что справедлива оценка

HpuyL^G < ^MU^G•

Таким образом, проектор Po допускает расширение до отображения класса L(L,(G)). Воспользовавшись теоремой 1.17.1 в [7], получим утверждение.

Сформулируем основное утверждение.

Теорема 6. Пусть f е L,^-м(0, T L,(G)), ^ е B£-1/q (м е ( 1/q, 1])

и найдется е > 0 такое, что выполнено условие (С) для всех Л со свойством |п — arg Л| < е. Тогда существует единственное решение задачи

(1)-(3) такое, что u е L,,ti-M(0,T;L,(G)), u е L,^(О,T; W,(G)•

f

альную составляющие, сведем задачу к случаю f е L,,ti(0, T L,,CT(G)). Применяя проектор Гельмгольца, сведем задачу к задаче

ut — A,u = f, (x,i) е Q = G x(0,T), u е H1<7, (1)

T

u|s = 0, j u(r) d<r(r) = uo, (3)

о

В соответствии с результатами из [18-20] условие (В) выполнено. Применяя теорему 4 и используя теорему 5, получим требуемое.

Замечание 1. Утверждение теоремы 6 справедливо и для широкого класса неограниченных областей, описанных, например, в работах [18-20]. Однако в этом случае, вообще говоря, не выполнено условие (В). Оно выполнено лишь для оператора вида А« — 7/, где 7 — достаточно большая положительная постоянная. Поэтому дополнительно к условию (С) в этом случае придется потребовать, чтобы некоторый сектор вида £0 принадлежал р(А«).

Замечание 2. Теоремы 4, 6 обобщаются и на случай, когда условие (С) записывается в виде

3<5о>0: ИА)| =

Естественным образом в этом случае возникают дополнительные условия гладкости на данные у, /.

ЛИТЕРАТУРА

1. Agarwal R. P., Bobner М., Sbakbmurov V. В. Linear and nonlinear nonlocal boundary value problems for differential-operator equations // Appl. Anal. 2006. V. 85, № 6-7. P. 701-716.

2. Asbyralyev A. Nonlocal boundary-value problems for PDE: well-posedness / Global analysis and applied mathematics: Proc. the international workshop on global analysis. Ankara, Turkey, April 15-17, 2004. Melville, New York: Amer. In-t Physics, 2004. (AIP Conf. Proc.; 729. P. 325-331).

3. Кожанов А. If. Нелокальная но времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, №1. С. 51-60.

4. Шелухин В. В. Вариационный принцип в нелокальных по времени задачах линейных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, №2. С. 191-207.

5. Шелухин В. В. Задача о прогнозе температуры океана по средним данным за предшествующей период времени // Докл. РАН. 1992. Т. 324, № 4. С. 760-764.

6. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

7. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

8. Amann Н. Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary value problems. Function spaces, differential operators and nonlinear analysis // Teubner-Texte Math. 1993. V. 133. P. 9-126.

еЛтda(r)

> ¿0 |A|7 (7 <0) VA e C \ .

9. Grisvard P. Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications // J. Math. Pures Appl. 1966. V.45, N 2. P. 143-206.

10. Kunstman P. C., Weis L. Maximal Lp-regularity for Parabolic equations, Fourier vultiplier theorems and H~-functional calculus // Lect. Notes Math. 2004. V. 1855. P. 65-311.

11. Denk R., Hieber M., Priiss J. Optimal Lp- Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. Bd257, Heft 1. S.93-224.

12. Denk R., Krainer T. ß-boundedness, pseudodifferential operators, and maximal regularity for some classes of partial differential operators // Manuscripta Math. 2007. V. 124, N3. P. 319-342.

13. Denk R., Hieber M., Priiss J. ß-boundedness, Fourier multipliers, and problems of elliptic and parabolic type // Mem. Amer. Math. Soc. 2003. V. 166, N788.

14. da Prato G., Grisvard P. Sommes d'operateurs lineaires et equations différentielles operationneles // J. Math. Pures Appl. 1975. V. 54. P. 305-387.

15. Pruss J., Simonett G. Maximal regularity for evolution equations in weighted Lp-spaces 11 Arch. Math. 2004. V.82, P. 415-431.

16. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.

17. Solonnikov V. A. Lp-estimates for solutions to the initial boundary value problem for the generalized Stokes system in a bounded domain //J. Math. Sei. 2001. V. 105, N 5. P. 2248-2484.

18. Kaiton N., Kunstman P., Weis L. Perturbation and interpolation theorems for the H ^-calculus with applications to differential operators / / Math. Ann. 2006. V. 336, N 4. P. 747-801.

Lq

estimates and maximal Lp-regularity // Math. Ann. 2007. V. 339, N 4. P. 287316.

20. Abeis H. Bounded Iiaginary powers and H~-calculus of the stokes operator in unbounded domains. Progress in nonlinear differential equations and their applications. Basel: Birkhauser, 2005. V. 64. P. 1-15.

г. Ханты-Мансийск

30 марта 2010 г.