CC BY
30
УДК 537.86
НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ НАВЬЕ - СТОКСА
С. А. Загребина
THE INITIAL-FINISH PROBLEM FOR THE NAVIER -STOKES LINEAR SYSTEM
S.A. Zagrebina
Установлена однозначная разрешимость начально-конечной задачи для линейной системы Навье - Стокса.
Ключевые слова: относительно р-секториалъные операторы,
начально-конечная задача, линейная система Навье - Стокса.
The unique solvability of the initial-finish problem for the Navier - Stokes linear system is established.
Keywords: relatively p-sectorial operators, the initial-finish problem, the Navier - Stokes linear system.
Введение
Пусть Я и 3 - банаховы пространства, операторы L Є £(11; 5) (т.е. линеен и непрерывен) и М Є CZ(il;3”) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Рассмотрим линейное уравнение соболевского типа
Lu = Ми. (0.1)
Пусть вдобавок оператор М (і,р)-секториален, р Є {0}UN (терминология и результаты см. гл. З [1]), тогда существуют вырожденные аналитические полугруппы операторов
и‘ = 2^/лі<м)Л,д и F‘= ir,
определенные на пространствах Я и $ соответственно. Введем в рассмотрение ядра ker U’ = Я0, ker F' = и образы imU' = Я1, imF' = этих полугрупп. Нетрудно показать, что Я0 ® Я1 _ до 0 ді = Я0 ® Я1, S’0 ® З1 = З-0 ® З1 = 3° ® З1. Нам потребуется более сильное утверждение
Я°®ЯХ=Я (5°®^ = ff), (А1)
которое имеет место либо в случае сильной (L, р)-секториальнос:ти оператора М справа
(слева), р Є {0} UN, либо рефлексивности пространства Я (5) [2]. Обозначим через (Mk)
сужение оператора L (М) на ЯА: (domМ П Я*), к — 0,1. И если оператор М сильно (L,p)-
секториален справа и слева, р Є {0} U N, то Є С(ІХк\$к), Mk 6 СІ(ІХк; $к), к = 0,1, причем
существует оператор М^1 Є >£2(5°; Я0), а также проектор Р — s — lim Ut. Q — s — lim Fl)
t—>-0+ t—^0-f-
расщепляющий пространство Я (3") согласно (Al), причем Я1 = imP (З1 = irnQ). Введем еще одно условие -
существует оператор Lj-1 Є ¿(У1;Я1), (А2)
которое имеет место в случае сильной (L,p)-секториальности оператора М, р G {0} UN. (Кстати, в [3] показано, что (Al) вместе с условием (L, р)-секториальности оператора М, р G {0} U N, дает сильную (L.р) -секториал ьность оператора М справа (слева), р G {0} U N, а если к ним добавить условие (А2), то получим сильную (L. р) -секториал ьность оператора М, р G {0} UN).
Наконец, введем еще одно важное условие -
L — спектр aL(M) оператора М представим в виде aL (М) = afin (М) U ag (М), причем afin (М) содержится в ограниченной области D С С с кусочно гладкой границей 7, причем 7 П aL(M) = 0.
Построим относительно спектральный проектор [4]
Pfin = -^;J RÏMdft,
причем оказывается, что при условии сильной (£,р)-секториальности оператора М справа PfinP = PPfin — Pfin■ Значит, в данном случае существует проектор Ргп = Р — Рцп. Итак, пусть выполнены условия (А1) - (A3), фиксируем г G R+, щ, ит G Я, и для уравнения (0.1) рассмотрим начально-конечную задачу: найти вектор-функцию v G С00(М+;Я), удовлетворяющую уравнению (0.1) и условиям
Pin{u(0) - щ) = о, Pfin(u(T) - ит) = 0. (0.2)
Заметим, что если ajin(M) = 0, то задача (0.2) превращается в задачу Шоуолтера - Сидорова Р(и(0) — и.о) = 0 и поэтому считается естественным обобщением последней [5].
В настоящее время активно изучаются начально-конечные задачи для неклассических уравнений математической физики [6 - 9]. Нашей целью является постановка начальноконечной задачи для классической линейной системы уравнений Навье - Стокса и нахождение ее решения. Правда, рассмотреть эту систему нам придется несколько с иной, чем предложенная в классических монографиях [10, 11], точки зрения. Наш подход, основанный на [12], был развит в [13, 14].
1. Абстрактная схема
Пусть Я и 3 ~ банаховы пространства; операторы L G С(Я; $), М £ С/(Я; 3), причем оператор М (L.р)-секториален, р G {0} U N, и выполнены условия (А1) - (A3). Тогда существуют аналитические полугруппа {¡7* : t G М+} и группа {Ujin : i G 1}, где
ut = éijr uhn = éif7
такие, что s — lim U1 = P и UQ[in = Pfin. Построим аналитическую полугруппу {U-n : t G ¿—>0+ ^
M+}, где Ujn = U1 - Ujin. Очевидно, s - Дт Ujn = Pin. Положим imPin(/in) = Щп{цпу
очевидно, Я1 = Я|п ©Яljin. Справедлива
Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, p G {0} U N, и выполнены условия (Al) - (A3). Тогда при любых t G М+, щ, ит G Я существует единственное решение задачи (0.1), (0.2), которое к тому же имеет вид u(t) = 11*пщ + и^иТ.
Тот факт, что вектор-функция u(t) = UjnUQ + Uj^uT удовлетворяет уравнению (0.1), проверяется непосредственно. Выполнение условия (0.2) следует из соотношений
О и PfinU¡n = О, а также U¡n = PinU¡n = U¡nPin и U)in = PfinUjin = UlfmPfm при всех t G E+ в случае U¡n и при всех t G К в случае Ujin. Единственность решения вытекает из эквивалентности уравнения (0.1) системе уравнений
U 0, ‘Újjj SinUin, ^ fin
где Sin = L^Min G - секториальный оператор, Sfin = L~¡¡nMíin G ;£},„);
подпространства $jn и $ßn строятся аналогично пространствам íl|n и Я^п, только вместо полугруппы {U1 : í G К+} и группы {Щт : t £ Е} надо взять полугруппу {Fb : t G М+} и группу {Fjin : t G R}, где соответственно,
F‘ = ¿í /г I Ч(мк‘*к
операторы {Min^fin)) есть сужение операторов Li (Mi) на (dom Mniljn(/in)).
2. Конкретная интерпретация
Пусть Пс1п, n = N\{l},- ограниченная область с границей дО, класса С°°. В цилиндре О х Е+ рассмотрим задачу Дирихле
v(x,t) = 0, (ж, t) G с?!Г2 х Е+
для системы уравнений
vt = uV2v — Vp, V • v = 0, (2.1)
которая моделирует в линейном приближении динамику вязкой несжимаемой жидкости. Прежде чем редуцировать систему (2.1) к уравнению (0.1), представим ее в виде
vt = uV2v — р, V(V-v)=0. (2.2)
Система (2.2) получена из (2.1) после замены Vp —> р [14].
Для редукции уравнений (2.2) к уравнению (0.1) нам потребуются функциональные
пространства из [12]. Пусть nlj (Но- и Н7Г) - подпространства соленоидальных и потен-
циальных вектор-функций пространства Н2 = (И/,22(^)П w\(Q))n (L2 = (L2(ü))n). Формулой А = diag {V2,..., V2} задается линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным отрицательным спектром а(А), сгущающимся лишь на — оо. Обозначим через ^о-(тг) сужение оператора А на Н2 ^.
Лемма 1 (теорема Солонникова - Воровича - Юдовича). Оператор Аа^ G £(На(1г)’Щ*))’ причем а(А^) = сг(А) и А — Аа£ + АпП.
Здесь через П G £(Н2,Н2) обозначен проектор вдоль Н2, Е = I — П.
Лемма 2 (теорема Капитанского - Пилецкаса). Формулой В : и -> V(V • и) задается оператор В G £(H2,H^), причем ker В = Н2.
Положим il = g" = Но- х Ия- х Нр, Нр = Н^-. Вектор и G ÍI имеет вид и = (иа,иж,ир). Формулами
/ I О О \ ( vAa О О \
L= О I О , М = О иАж -I \ О О О / Vo во)
задаются операторы L G £(ií; tf), imL = Но- хН^х {0}, ker L = {0} х {0} х Нр и М G £7(11; 3), dom М = х Н^ х Нр. Итак, редукция уравнений (2.2) к уравнению (0.1) закончена.
Лемма 3 [13]. При любых V £ 1К+ оператор М сильно (Ь,1)-секториален.
Построим подпространства Я0 = 3ю = {0} х х Нр, Я1 = 5г1 = х {0} х {0}. Выполнение условий (А1) и (А2) очевидно, причем
м:
о в-1
-I иАжВ~1
где В7г - сужение оператора В на (из леммы 2 вытекает, что Вж : - топлинейный
изоморфизм). Нетрудно также проверить, что
м0-% =
нильпотентный оператор степени 1.
Спектр а (А) = {А*;}, где А & £ М_ - собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом их кратности, тогда сг1(М) = {г^—1А^}. Понятно, что для такого множества можно подобрать контур 7 € С, который бы удовлетворял условию (АЗ).
Теперь построим
( О <П> \
rjt
in(fin)
?UXkt{-,<Pk)<Pk
-гА кЄ(ть
in(fin)
(M)
О О
\ о о о у
Тогда в силу теоремы 1 и леммы 3 справедлива следующая
Теорема 2. При любых V £ М+, щ,иТ £ И существует единственное решение задачи (0.2) для системы уравнений (2.2), причем это решение и = и(¿) имеет вид
ua(t) = U
t—T
иТ
-Ь С^иоїт) 'U’tï — 0, Up — 0*
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе.
Литература
1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.
2. Федоров, B.E. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т.12, вып. 3. - С. 173 - 200.
3. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Федоров // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - Челябинск, 2008. - №15 (115), вып. 1. - С. 89 - 99.
4. Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.B. Келлер. - Челябинск, 1997.
5. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика.
- Иркутск, 2010. - Т. 3, №1. - С. 51 - 72.
6. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: сб. тр. междунар. конф. «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И.Н. Векуа. - Новосибирск, 2007.
- С. 150 - 157.
7. Загребина, C.A. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - Челябинск, 2008. - №15 (115), вып. 1. -С. 23-26.
8. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, A.B. Юзеева // Известия Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика.
- Иркутск, 2010. - Т. 3, №2. - С. 85 - 95.
9. Манакова, H.A. Оптимальное управление решениями одной неклассической задачи для линейной модели Хоффа / H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвящ. 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. - Якутск, 2010. - Ч. 1. - С. 67 - 70.
10. Ладыженская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / O.A. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961.
11. Темам, Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981.
12. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №1. - С. 62 - 70.
13. Свиридюк, Г.А. Об относительно сильной р-секториальности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Докл. Акад. наук. - 1999. - Т. 365, №6. - С. 736 - 738.
14. Загребина, С.А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. -С. 74 - 86.
Загребина Софья Александровна, кандидат физико-математических наук, кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, [email protected].
Поступила в редакцию 20 ноября 2010 г.
