CC BY
53
ОБЗОРНЫЕ СТАТЬИ
УДК 517.9
НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
С.А. Загребина
Неклассическими называют те модели математической физики, чьи представления в виде уравнений или систем уравнений в частных производных не укладываются в рамках одного из классических типов - эллиптического, параболического или гиперболического. Статья содержит обзор результатов автора в области неклассических моделей математической физики, для которых рассмотрены начально-конечные задачи, обобщающие условия Коши и Шоуолтера - Сидорова. Абстрактные результаты проиллюстрированы конкретными начально-конечными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных, возникающих в последнее время в приложениях, а именно, в теории фильтрации, гидродинамике и мезоскопической теории, и рассмотренных на множествах различной геометрической структуры.
Ключевые слова: неклассические модели математической физики, модель Плотникова, система Навье - Стокса, уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, (многоточечные) начально-конечны,е задачи, относительный спектр.
Введение
В настоящее время развитие современных высоких технологий приводит к необходимости исследования физических процессов, возникающих в инжиниринге. В связи с этим возникает необходимость построения адекватных математических моделей и их дальнейшее изучение. В данной статье предполагается рассмотреть следующие модели.
I. Пусть О С К” - ограниченная область с г раницей д О класс а СВ цилинд ре О х К+
рассмотрим модель Плотникова [1, 2]
9і(х, і) + і) = А9(х, і) + f (х, і), А^(х, і) + ац>(х, і) + рв(х, і) + д(х, і) = 0,
которая является линеаризацией в пуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода. Здесь Л Є М, а, в Є С. функции /ид отвечают внешнему воздействию на систему.
II. Пусть теперь О С Мга, п Є {2, 3} - ограниченная область с г раницей д О класс а С Система уравнений Навье - Стокса
моделирующая динамику вязкой несжимаемой жидкости, была получена в 1845 году. Здесь вектор-функция V = (У1,У2,... ,Уп), Ут = Ут(х,1) соответствует скорости жидкости, функция р = р(х, £) - давлению, пара метр V € К+ характеризует вязкость. За истекшее время
(0.1)
V = уУ2у — (у ■ V)у — Ур, V- V = 0,
(0.2)
уравнения (0.2) изучались в различных аспектах, наиболее глубокие их исследования изложены в [3, 4]. Однако до сих пор не решен вопрос о существовании сильных решений задачи Копти - Дирихле
моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещитшовато-пористой среде [5]. Здесь а и А - вещественные параметры, характеризующие среду; параметр а € К+, а параметр А может принимать и отрицательные значения, которые не противоречат физическому смыслу задачи [6], функция / = /(х) играет роль внешней нагрузки. Кроме того, это уравнение описывает течение жидкостей второго порядка [7], процесс теплопроводности с «двумя температурамп> [8], процесс влагопереноса в почве [9]. Необходимо отметить, что одномерное уравнение Бареттблатта - Желтова - Кочиттой является одномерным аналогом линеаризованной системы Осколкова [10, 11], описывающей динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина - Фойгта.
Пусть О = О(Ш; Е) - конечный связный ориентированный граф, где V = [Уг] - множество вершин, а Е = [Ej] - множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину ^ > 0 и шири ну dj > 0 На гра фе О нас будут интересовать задачи с краевыми
описывающих давление жидкости в случае, когда среда представляет собой связный пласт,
(концом) в вершине Уг. Условие (0.4) требует, чтобы все решения были непрерывными на вершинах графа; а (0.5) означает, что поток через каждую вершину должен равняться пулю - аналог условия Кирхгоффа. Если, к примеру, граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, то условия (0.4) отсутствуют, а условия (0.5) превращается в условие Нейматта.
В подходящих функциональных пространствах задачи (0.1); (0.2), (0.3); (0.4) - (0.6) редуцируются к линейному уравнению соболевского типа
Впервые уравнения, сводящиеся к виду (0.7), появились в работе А. Пуанкаре [12], одттако их систематическое изучение началось с работы С.Л. Соболева [13] (см. обстоятельный обзор
Целью нашего исследования является разрешимость для уравнения (0.7) так называемой начально-конечной задачи
у(х, 0) = у0(х), х Є О,
у(х,і) = 0, (х,і) Є дО х (0,Т)
для уравнений (0.2) при произвольном Т Є М+ и п = 3.
III. Уравнение Бареттблатта - Желтова - Кочиттой
(3)
(Л — А)щ = аАп + f
иІ (0, і) — ик(0, і) — um(lm, і) — Un(ln, і),
Е3, Ек Є Еа(Уг),Ет,Ек Є Еш(Уг);
(0.4)
(0.5)
Ез ЄЕа(Уі)
Ек £Е“ (У)
условиями для уравнении
ЛУ^і Ujxxt — аиухх,
(0.6)
имеющий слоистую структуру. Здесь через Еа(ш)(Уг) обозначено множество дуг с началом
Ьй = Ми + /.
(0.7)
в [14]).
Р(и(т?) — uj) =0, І = 0,n,
(0.8)
—то < а < т0 < т\ <т2 < ... < тп < Ь < +то, Pj - относительно спектральные проекторы (которые будут определены позднее). Заметим, что если п = 1, то (0.8) превратится в более простую задачу
Ргп(и(0) — ио) = 0, Р^п(п(т) — пт) = 0. (0.9)
История задачи (0.7), (0.9) начинается с одной стороны в [15], где она названа задачей Веригина, а с другой стороны и независимо - в [16], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов Ргп и Pfiп рассматриваются спектральные проекторы оператора Ь, причем Ь вдобавок предполагается самосопряженным. Напт подход основан па концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Свиридтоком [17], и развитой его учениками [18-20], в частности, В.Е. Федоровым. Кроме того, методы, предложенные Г.А. Свиридюком, стали фундаментом алгоритмов численного решения уравнений леоптьевского типа (т.е. конечномерных уравнений соболевского типа), которые в свою очередь сыграли важную роль в численных исследованиях экономических [21-23] и технических моделей [24, 25].
Первые результаты в этом направлении изложены в [26], где рассмотрен частный случай задачи (0.9) причем с более жесткими чем здесь условиями па Ь-спектр оператора М. В [27] рассмотрена задача (0.9), но для тех же условий на Ь-спектр оператора М, что и в [26], однако в этом случае отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях.
Необходимо отметить, что в настоящее время начально-конечные задачи для пекласси-ческих уравнений математической физики активно изучаются, в том числе и па множествах различной геометрической структуры [28-30]. Заметим еще, что если &^гп(М) = 0, то задача (0.9) превращается в задачу Шоуолтера - Сидорова [31] Р(и(0) — ио) = 0 и поэтому считается естественным обобщением последней [32], которая, в свою очередь, обобщает задачу Копти.
Статья кроме вводной части и списка литературы содержит семь параграфов. Первый
М ( Ь, р)
радиалеп [33]. В качестве конкретной интерпретации во втором параграфе статьи показывается однозначная разрешимость начально-конечной задачи (0.9) для системы уравнений (0.1). Частный случай этих результатов был получен в [34]. В-третьем параграфе рассмат-
( Ь, р) М
страктттые результаты проиллюстрированы конкретным примером, приведенным в четвертом параграфе. Здесь приведена теорема об однозначной разрешимости начально-конечной задачи для системы Навье - Стокса (0.2), (0.3) [36]. В пятом параграфе приводится обобщенная теорема о расщеплении, которая используется в шестом параграфе при доказательстве однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи (0.8) для уравнения ( Ь, р) М
раграфе рассматривается начально-конечная задача для уравнений Барепблатта - Желто-ва- Кочиттой па конечном связном ориентированном графе (задача (0.4) - (0.6)), результаты которой опубликованы в [38].
Наконец заметим, что все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении «спектрадьных вопросов> вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированны движением против часовой стрелки и ограничивают области, лежащие слева при таком движении.
1. Относительно сильно р-радиальный оператор
Пусть И и $ ~ банаховы пространства, операторы Ь € £(И; 3") (т.е. линеен и непрерывен) и М € С1 (И; $) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Обозначим через
рЬ(М) = [у € С : (уЬ — М)-1 € С($; И)}
Ь-резольвентное множество оператора М, аь(М) = С \ рь(М) - Ь-спектр оператора М, Я^М) = (уЬ — М)-1Ь - правую Ь-резольвенту оператора М, а через Ь^(М) = Ь(уЬ — М)-1 - левую.
Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радпален (терминология и результаты см. гл. 3 [17]). Известно, что при условии сильной (Ь, р)-радпальностп существует единица разрешающей полугруппы однородного уравнения (0.2), которая является проектором, расщепляющим И
Р = и0 = в- Нш и1, и = в- Нш ( к(р + 1) ЕьНр+1) (МЛ ( 1.
t——0+ к—у , £ у
Аналогично можно построить проектор для пространства $
Я = Ь0 = в- Иш ^*, ^ = в- Иш (кр + 1) Ьк(р+1) (М)) {Р+ 1.
t——0+ к—у , £ у
Введем в рассмотрение ядра кег и' = И0, кег Ь' = $0 и образы 1ши' = И1, тЬ' = $1 этих
полугрупп. В силу сильной (Ь, р)-радпальностп оператора М [39]
и0 ® и1 = и (д° ® $1 = $). (41)
Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на Ик (ёошМ П Ик), к = 0,1. И если оператор М сильно (Ь,р)-радпален, р € [0} и N то Ьк € С(Ик; $к) Мк € С 1(Ик; $к) к =
0,1, причем существует оператор М-1 € С(д°;И0). В случае сильной (Ь,р)-радиальности оператора М, р € [0} и N выполняется еще одно условие [40] -
существует оператор Ь— € С(Ъ1;И1). (42)
Наконец, введем еще одно важное условие -
Ь — спектр аь (М) оператора М представим в виде
аЬ(М) = а)гп(М) и а^(М^причем ) 43
содержится в ограниченной области О С С
с кусочно гладкой границей ^, гДе 7 П аь(М) = 0.
Построим относительно спектральный проектор
Р^'п = 2П / (М )dУ,
при этом в случае сильной (Ь,р)-радпадьностп опер атора М справа выполняется PfiпP =
РР^п = Р^п. Значит, в данном случае существует проектор Ргп = Р — Pfiп■ Положим
Ит(^п) 'lшPiп(fiп)^ Fiп(fiп) ^шЯт(^п) 1 И ЧврвЗ Ьin(fin) (.Мт(^п)) обозначим Сужение
оператора Ь (М) на подпространства И1п(^п) соответственно.
Итак, пусть выполнены условия (А1) - (АЗ), фиксируем т € М+, ЗД, ит € И.
Определение 1.2. Вектор-функцию и € С([0, т];И) П С 1((0,т);И), удовлетворяющую уравнению (0.7), назовем решением начально-конечной задачи (0.7), (0.9), если она удовлетворяет уравнению (0.7), и Нш Рп(и(,) — и(0)) = 0 Нш Pfin(u(t) — и(т)) = 0.
t—0+ %—т—
Имеет место следующая
Теорема 1.1. (Теорема о расщеплении) [17]
М ( Ь, р)
(г) операторы Ьп^п) € £(И1п№п); 3|п(^п))) причем существуют операторы Ь—^^ €
^(®т(^п); Игn(fin)) ’
(гг) операторы ММ^п) € L(и1n(fin); Fin(fin)^
Теорема 1.2. (г) семейство [Щп : , € М}, = и* является однопара-
И)гП£ЩгП)
метрической аналитической разрешающей группой однородного уравнения (0.2) аналитически продолжимой во всю комплексную плоскость, причем Р^п = и^п [17, гл. 3];
(гг) семейство [и*п : , > 0} и^п = и* является однопараметрической разре-
И1п^Ш
шающей сильно непрерывной полугруппой однородного уравнения (0.2), причем Рп = и0п =
в- Нш и*„ [17, гл. 31;
—0+ т 1 1
(ггг) семейство [Я^п : , € М},
Rfn = / (УLfin — Mfin) 1et*tdy, t Є R,
rfin
экспоненциально ограничено и аналитически продол/жимо во всю комплексную плоскость [20, гл. 2J;
(iv) семейство {R^ Є C(F'1n; И1n) : t > 0}
= s~ £“( (Lin— k(p + 1)Min) Li^ (Lin— k(p+1)Min) , Rin = s~ Am Rtn
экспоненциально ограничено и сильно непрерывно [20, гл. 2J.
М US. ,. Ж. г ч = RS+tr ^, R0 \ = L—1f. Qin(fin) [331.
' / fin(in) fin(in) fin(in) in(fin) in(fin)^in(fin) L J
Подействуем на уравнение (0.7) последовательно проекторами I — Q и Qin(fin) и сведем его к эквивалентной системе из трех независимых уравнений
Hii° = u0 + M—1f, (1.1)
U 1n SinU1n + Lin fin, (1.2)
U fin S finU fin + L—inf^^, (1.3)
где H = M—1Lo Є £(И°), нильпотентен степени p Є {0} U N Sin(fin) = L^f^Mnfn) Є ^^i^fin))’ причем спектр V(Sin(fin)) = ain(fin)(M) f = (I — Q)f fin(fin) = Qin(fin)fi U = (I — P )u’ U in (fin) = Pin(fin)u-
Теорема 1.3. [33] Пусть оператор M сильно (L,p)-paduaAeH, и часть спектра afin(M) ограничена. Тогда для любых векторов u0,ur Є И и любой вектор-функции f : [0,т] ^ F такой, ч то f0 Є СР+1((0,т); £0), f1n Є С ([0,т]; FtJ, fn Є С ([0,т]; Ffin)> существует
единственное решение и € С([0,т];И) П С1((0,т);И) задачи (0.7), (0.9), которое к тому же имеет вид
Р ,т Л пт
и(,) = — Е нМ—1 /0(,) + и1щ Ягга!1пШв + и— ит — ^ Я—^пШв. (1.4)
2. Линеаризованная система уравнений фазового поля
Пусть О С М” - ограниченная область с г раницей д О класс а СВ цилинд ре О х М рассмотрим модель Плотникова
—г(х, і) + ^(х, і) = А—(х, і) + /(ж, і), А^(х, і) + ар(х, і) + в—(х, і) + д(х, і) = 0,
(2.1)
д— д^
—— (х,і) + Х9(х,і) = 0, — (х,і) + А^>(х,і) = 0, (х,і) Є дО х М+. (2.2)
дп дії
Здесь искомыми функциями являются —(х, і), ф(х,і).
Редуцируем задачу (2.1), (2.2) к уравнению
Ьи = Ми + /. (2.3)
Для этого, сначала сделаем замены
—(х, і) + ^(х, і) = и(х, і), р(х, і) = у(х, і).
Тогда система (2.2) примет вид
щ(х, і) = Аи(х, і) — Ду(х, і) + /(х, і),
Ду(х, і) + (а — (З)у(х, і) + ви(х, і) + д(х, і) = 0,
(2.4)
ди ду _
— (х,і) + Хи(х,і) = 0, —(х,і) + Ау(х,і)=0, (х,і) Є дО х М+.
дп дп
Пусть 3" = и = (Ь2(О))2. Построим операторы
Ь = ( 0 °) Є аи*>• М =( ДІ (а — —Д + 0 ЄСІ(Н;3)'
причем кегЬ = {0} х Ь2(О), а
сІотМ = {(и, у) Є (Я2 (О))2 : ^д + А^и(х) = ^д + А^у(х) = 0,хЄ дО}.
дт
Пусть Лт = Ащ сІотЛ = {т Є Я2(О) : —— (х) + Ат(х) = 0, х Є дО}, тогда
дп
Л Є С 1(Ь2(О)). Через {^к : к Є М} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения {■, ■) в Ь2(О) собственные функции оператора Л, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Ак : к Є М} с учетом их кратности. Тогда Ь-спектр оператора М имеет вид
аь(М) = (цк = (а + Ак)Ак, к Є N \{1 : Аг = в — а}
[ а + Ак — в
Понятно, что для такого множества можно подобрать контур 7 € С, который бы удовлетворял условию (АЗ).
Лемма 2.1. [20] Пусть в — а € & (А). Тогда опера тор М сильн о (Ь, 0) -радиален. Построим проекторы
р.
р in
( Е (',Vk)Vk о ^
Re^k €vLn(M)
P(-,<Pk)<Pk в-a-Xk
\ Re^k&afn(M)
O
Pfi n ----
)
( E (-,Vk)vk о ^
Re^k&Vfin(M)
P(-,<Pk)lPk ^ в-a-Xk
\ ReVk£°fin(M)
O
pi будем искать решение начально-конечной задачи
Pin(u(0) - uo) - 0, Pfin(u(r) - uT) - 0
(2.5)
для системы (2.4). Простоты ради ограничимся случаем f = const и g = const.
Теорема 2.1. Пусть в — а -а 0 € a(A), и существуют такие \k, что Re^k € aLin(M). Тогда при любых u0 € domA, uT,f,g € L2(Q) существует единственное решение u € C1 ([0, т]; U) задачи (2.5) для системы (2-4), которое к тому же имеет вид
u(t)
v(t)
0
{g,Vk )vk +
\9,<Pk) ^ 8—a—
k=1
в—a—Xk
( e exp( til— A (uo^k )^k\
Re^k €°in(M)
в eXD( (a + Xk)Xk Л
E в-TX-’ ’ {«o,<Pk)vk
\ Re^k &abi(M)
+
/
+
( E exp({а+л— (t — TЛ u,Vk)Vk\
Re^k£&fin(M)
E
\ Re^k £°fin(M)
в exyj (t-T))
______в_
e—a—Xk
- {ut, Vk)vk
+
/
+
E
Re^k&vfn(M)
E
\ Re^k &&fn(M)
1 _ exp f(a+Xk)Xk t 1 exp ^ a+Xk-в t
1 _ exp f (a+Xk)Xk t 1 exp I a+Xk-в t
(P—a—Xk)(f,<Pk)—Xk (g,lPk) Xk(a+Xk)
в(в-a-Xk )(f,<Pk )+{g,<Pk)
Vk
E
Re^k&°fin(M)
E
у Re^k£Vfin(M)
1 — exp ((t — T) 'i - exp (k (t - т)
Xk(a+Xk )^-a-Xk) Vk
(l3—a—Xk ){f,(fik ) — Xk{g,lPk) Xk (a+Xk)
Vk
в^-a-Xk)(f,<Pk)+(9,<Pk) V Xk (a+Xk)(в—a—Xk) Vk
3. Относительно р-секториальный оператор
Пусть И и 3 - банаховы пространства, операторы Ь € £(И; 3") (т.е. линеен и непрерывен) и М € С 1(И; 3) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен), прпчем оператор М (Ь,р)-секторпален, р € {0} иМ (терминология и результаты см. гл. 3 [17]). Рассмотрим линейное однородное уравнение соболевского типа
Ьи = Ми. (3.1)
Тогда существуют вырожденные аналитические полугруппы операторов
иt = 2П I )Л" и р' = 2ПI Ь"М
определенные на пространствах И и 3 соответственно. Введем в рассмотрение ядра кег и' = Я0, кег Г' = 30 и образы іти' = И1, ітГ' = 31 этих полугрупп. Нетрудно показать, что И0 ф И1 = И ф И = И0 ф Я1, 30 Ф 31 = 30 ф 31 — 3° Ф 31 ■ Нам потребуется более сильное утверждение
И0 ф И1 = И (30 Ф 31 = 3), (В1)
которое имеет место либо в случае сильной (Ь, р)-секторпальностп оператора М справа (слева), р Є {0}иМ, либо рефлексивности пространства И (3) [40]- Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на Ик (ёошМ П Ик), к = 0,1. И если оператор М сильно (Ь,р)-секториален справа и слева, р Є {0} иМ, то Ьк Є С(Ик; 3к), Мк Є С1(Ик; 3к), к = 0,1, причем существует оператор М-1 Є С(3°; И0), а также прое ктор Р = в — ^1ш и * (Я = в — ^1ш Г *),
расщепляющий пространство И (3) согласно (В1), причем И1 = ішР (31 = іш^). Введем
еще одно условие -
существует оператор Ь-1 Є С(31;И1), (В2)
которое имеет место в случае сильной (Ь,р)-секториадьпости оператора М, р Є {0} и N.
( Ь, р) М
р Є {0} и N дает спльную (Ь,р)-секториадьпость оператора М справа (слева), р Є {0} иМ
( Ь, р)
М,р Є {0}иМ).
Наконец, введем еще одно важное условие -
Ь — спектр аь(М) оператора М представим в виде
аЬ(М) = а)іп(М) и а—(М^причем а)іп(М) (В3)
содержится в ограниченной области О С С с кусочно гладкой границей ^, причем ^ П аь(М) = %.
Построим относительно спектральный проектор [35]
( Ь, р) М
ва PfinP = PPfin = Pfin■ Значит, в данном случае существует проектор Рп = Р — Pfin■ Итак, пусть выполнены условия (В1) - (ВЗ), фиксируем т € М+, щ, ит € И, и для уравнения (3.1) рассмотрим начально-конечную задачу: найти вектор-функцию V € те(М+;И), удовлетворяющую уравнению (3.1) и условиям
Рп(и(0) — и0) = 0, Р^п(и(т) — ит) = 0. (3.2)
Тогда существует аналитическая группа {Щп : , € М}, где
и = 2ЫГК^(Ми%п = 2П1 /К^(М)е^‘
такие, что в — Нш иt = Р и и^п = Pfin. Построим аналитическую полугруппу {и1п : , € —0+ ■'
М+}, где и1п = и — Щп. Очевидно, в — ^11ш и1п = Рт. Положим 1ш Pin(fin) = Ц
1
іп(/іп)'
очевидно, И1 = И1п ф И}іп. Справедлива
Теорема 3.1. Пуст,ь оператор М (Ь,р)-секториален, р Є {0}иМ, и выполнены, условия (В1) - (ВЗ). Тогда при любых т Є М+, и0, ит Є И существует единственное решение задачи (3.1), (3.2), которое к тому же имеет вид и(і) = иі*пи0 + ит.
Тот факт, что вектор-функция u(t) — UinUo + Uf—uT удовлетворяет уравнению (3.1), проверяется непосредственно. Выполнение условия (3.2) следует ИЗ соотношений PinUfin —
о и PfinUjn — O, а также U-n — PinUjn — U-nPin и Ufin — PfinUfin — UfinPfin при всех t € R+ в случ ae U*n и при вс ex t € R в случ ae Ufin. Единственность решения вытекает из эквивалентности уравнения (3.1) системе уравнений
u 0, U 1n SinU1n, U fin S finu fin,
где Sin — L-^Min € Cl(U\n; Fjn) - секториальный оператор, Sfn — L-1nMfin € L(Ufin; Ffin); подпространства Fjn и Ffin строятся аналогично пространствам U1n и Ufin, только вместо полугруппы {U* : t € R+} и группы {Ufin : t € R} надо взять полугруппу {F* : t € R+} и
группу {Ffin : t € R}, где, соответственно.
F* — 2П / Ll(MFfin — 2^ / Ll(M)e^d^';
операторы Lin(fin) (Min(fin)) есть сужение операторов Li (Mi) на Д1^^) (domM nU!n(fin))-
4. Уравнение Навье - Стокса
Пусть Q С Rn, n — N\{1}, - ограниченная область с г раницей д Q класс a C. В цилиндре Q х R+ рассмотрим задачу Дирихле
v(x, t) — 0, (x, t) € дQ х R+
для системы уравнений Навье - Стокса
vt — vV2v - Vp, V- v — 0. (4.1)
Прежде чем редуцировать систему (4.1) к уравнению (3.1), представ»™ ее в виде
vt — vV2v - p, V(V-v) —0. (4.2)
Система (4.2) получена из (4.1) после замены Vp ^ p [41].
Для редукции уравнений (4.2) к уравнению (3.1) нам потребуются функциональные пространства из [42]. Пусть Н2 и H2 (Нст и НП) - подпространства соленоидальных и потен-
О
циальных вектор-функций пространства H2 — (W22(Q)n W2(Q))n (L2 — (L2(Q))n). Формулой A — diag {V2,..., V2} задается линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным отрицательным спектром a(A), сгущающимся лишь на -то. Обозначим через Аа(п) сужение опера тора A па Н2(ж).
Лемма 4.1. (теорема Солонникова - Воровича - Юдовича). Оператор Aa(n) €
С(Н?ап), Ша(ж)), причем a(Aa(n)) — a(A) и A — AaE + AnП.
Здесь через П € L(H2, НП) обозначен проектор вдоль Н2, E — I - П.
Лемма 4.2 (теорема Капитанского - Пилецкаса). Формулой B : u ^V(V- и) задается
оператор B € L(H2, НП), причем ker B — Н2.
Положим U — F = Н х НП х Нр, Нр — НП. Вектор и € U имеет вид и — (иа,иП,up).
Формулам»!
/ I O O \ / vAa O O \
L — O I O , M — O vAn -I
\ о о о / \ O B O )
задаются операторы Ь € £(И; 3) 1шЬ = Нст х НП х {0}, кег Ь = {0} х {0} х^и М €С1(И; 3)
ёош М = Н2 х Н2 х Нр. Итак, редукция уравнений (4.2) к уравнению (3.1) закончена. Лемма 4.3. [43]. При любых V € М+ оператор М сильно (Ь, 1)-секториален.
Построим подпространства И0 = 30 = {0} х НП х Нр, И1 = 31 = Н х {0} х {0}. Выполнение условий (В1) и (В2) очевидно, причем
М-1 =
где ВП - сужение оператора В на НП (из леммы 2 вытекает, что ВП : НП ^ НП - топлпнейный изоморфизм). Нетрудно также проверить, что
М-1Ьо =
-I
О о
ттильпотептпый оператор степени 1.
Спектр а(А) = {\к}, где \к € К_ - собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом их кратности, тогда аь(М) = {V_1\и}■ Понятно, что для такого множества можно подобрать контур 7 € С, который бы удовлетворял условию (ВЗ).
Теперь построим
и
(
\
Е
еиХк1{-,^к )<Рк
1Хк
(М)
\
/
Тогда в силу теоремы 3.1 и леммы 4.3 справедлива следующая
Теорема 4.1. [36] При любых V € М+, и0,иТ € И существует единственное решение задачи (3.2) для системы уравнений (4-2), причем это решение и = и(£) имеет вид
и& (^) — и1 ита + и2и0а, ип — 0 ир — 0-
I
V
5. Обобщенная теорема о расщеплении
Пусть И и 3 — банаховы пространства, операторы Ь € С(И; 3) (т.е. линеен и непрерывен) и М € С1 (И; 3) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Пусть относительный спектр оператора М аь(М) = ст^(М) и ст^(М), причем
а^(М) = Ф, существует замкнутый контур ^
Г С С, ограничивающий область V э а^(М), > (5-1)
такой, что V П (Г^(М) = Ф. )
Построим интегралы типа Ф. Рисса (понимаемые в смысле Риматта)
р = 2П^/е^(м)dУ, ® /Ь^(М)d^, (5-2)
г г
где Я^(М) (Ь£(М)) - правая (левая) Ь-резольвенты оператора М.
Лемма 5.1. Пусть аь(М) = а^(М) иа^(Ы), причем выполнено (5.1). Тогда, операторы Р : И ^ & и Я : 3 ^ 3" - проекторы.
Положим И0(30) = кег Р(кег Я), И1 (31 ) = 1шР(тЯ) и через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Ик (ёошМ П Ик), к = 0 1.
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия леммы, 5.1. Тогда (г) Ьк е£(Ик; 3к), к = 0 1;
(И) Мо е С1(И0; 30), М1 е ДИ1; 31)/
(т) существуют операторы Ь-1 е £(31;И1) и М-1 е £(30;И0).
Как известно, оба этих утверждения первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридток, правда, при более ограничительном условии, а именно:
аь(М) = 0, существует замкнутый контур Г С С, ограничивающий область V э аь(М)
Однако внимательный анализ его доказательств (см. [17], лемма 4.1.1 и теорема 4.1.1) показывает, что они годятся и в нашем случае.
П
— I I 7^(М), п е N причем а^1 3=0
существует замкнутый контур Г] С С,
Пусть аь(М) = |^) а^(М), п е М, причем а^(М) = 0,
ограничивающий область О] э а^(М), такой, что
V] П а^(М) = 0 и Бк П V = 0 при всех 3, к,1 = 1,п, к = I. /
Аналогично (5.2) построим интегралы
(5.4)
Р3 = 2П^/ГЯ^(М)dЦ', ^ Уг Ь№)^ 3 = 1,п. (5.5)
Лемма 5.3. [37] Пусть выполнены условия (5.Я), (5-4). Тогда операторы (г) Р] : И ^ И и Яз : 3 ^ 3-проекторы, 3 = 1, п;
(и) Рк Рг = О, Як Яг = О к, I = 1“п, к = I.
п п
(т) Р0 = Р — Р] и Я0 = Я — ^2 Я3 ~ проекторы.
3=1 3=1 ___
(Заметим, что здесь ради экономии места проекторы Р] и Яи 3 = 1,п, из (5.5), а РЯ
Положим И0(30) = кегР(кегЯ), И](3]) = 1шР](\шЯз), 3 = 0,п, и через Ь0 (М0) обозначим сужение оператора Ь (М) на И0 (ёошМ П И0), а через Ь13 (Му) обозначим сужение оператора Ь (М) на И1 (ёошМ П И]), 3 = 0,п.
Теорема 5.1. (Обобщенная теорема о расщеплении) [37] Пусть выполнены условия (1.3), (1.4). Тогда
(г) Ь0 е £(И0; 30), Ьц е £(И); 3}), 3 = 0^_
(И) М0 е С1(И0; 30), М13 е £(И1; 3)), 3 = 0,п;
(т) существуют операторы, Ь—1 е £(31;Щ), 3 = 0,п, и М-1 е £(30;И0).
6. Относительно ^-ограниченные операторы
Пусть И и 3 _ банаховы пространства, операторы Ь е £(И; 3) (т.е. линеен и непрерывен) и М е С 1(И; 3) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен), причем оператор М (Ь,р)-огранпчен, р е {0} и N (терминология и результаты см. гл. 5 [17]). Рассмотрим линейное
уравнение соболевского типа
Ьи = Ми. (6.1)
Решением и = и(£) уравнения (6.1) назовем вектор-функцию и е те(М;И), удовлетворяющую этому уравнению.
Определение 6.1. [17] Отображение и' е Сте(М; £(И)) назовем группой разрешающих операторов уравнения (2.1), если
(I) иги8 = и*+8 при всех в, £ е М;
(и) при всех V е И вектор-функ ция и = и * V есть решение уравнения (2.1).
В дальнейшем, следуя традиции, будем отождествлять группу разрешающих операторов уравнения (6.1) с ее графиком {и* : £ е М}, и в дальнейшем называть просто группой уравнения (6.1). Группу {и* : £ е М} уравнения (6.1) будем называть аналитической, если она аналитически продолжима во всю комплексную плоскость с сохранением свойства (1).
Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (5.Я), (5-4). Тогда существуют аналитические группы уравнения (6.1)
и * = 2П / К^(М )е^^^, и* = 2- J ВЦМ )e^td^,j = Т7п,
г г
причем
(г) и * и8 = и8и * = и3+8 при вс ех в, I е М, 3 = 1,п;
(И) ик и3 = Щик = О при вс ех в, £ е М, к I = 1,п, к = I.
п
и0* = и* — и *
0 =1
Далее возьмем вектор-функцию / е С^((а,Ь); 3) и рассмотрим линейное неоднородое уравнение соболевского типа
Ьг^ = Ми + /. (6.2)
Вектор-функцию и е С^((а,Ь);И), удовлетворяющую уравнению (6.2), назовем решением уравнения (6.2). Решение и = и(£), £ е (а, Ь) уравнения (6.2), удовлетворяющее условиям
Р](и(тз) — и з) = 0, 3 = 0п (6.3)
назовем решением многоточечной начально-конечной задачи для уравнения (6.2).
М ( Ь, р)
Тогда для любых / е С^((а,Ь); 3)) и3 е И, 3 = 0,п существует единственное решение задачи (6.2), (6.Я), которое к тому же имеет вид
Р п п „ *
и(Ь) = — £(М-1Ь0)яМ-1(1 — Я)/(%) + ^ и3~Тиз + £ / и*-8Ь-Яз/(в)dв.
д=0 3=0 3=0 •* Тз
7. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной на графе
Пусть О = О(Ш; Е) - конечный связный ориентированный граф, где V = {У,} - множество вершин, а Е = {Е3} - множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину
I 3 > 0 и шири ну d з > 0. На гра фе О нас будут интересовать задачи с краевыми
и 3 (0,£) — ик (0, £) — um(lm, £) — ип(1п1 £), (7 1)
Е], Ек е Еа(Уг),Ет,Ек е Еш(Уг); (7 1
^ ujx(0,t) 'У ' икх(1к}£) — 0; (7-2)
ЕкЄЕ^ (Уі)
ujxxt — аujxx■ (7-3)
Ез єЕа(Уі) ЕкЄЕ^(Уі)
условиями для уравнений
Введем множество
ЫС) — {д — (gl,g2,■■■,gj, ■ ■ ■) : gj Є Ь2(0)},
которое становится гильбертовым пространством со скалярным произведением
У
— Е^ / gj(х)^(х) Іх ■
Через И обозначим множество
Л?
Ез ее 0
И — {и — (иі,и2, ■ ■ ■ ,Щ,■ ■ ■ ) : щ Є №2,(0,Ц), и выполнено (7.2)} ■
Множество И является гильбертовым пространством со скалярным призведением и нормой
[и, V]— Е (и,*Мх) + и, Vjx (х)) Іх, ||и||И — £ (u2x(x) + и2(х)) Іх
ГЛ. и'.гС **
1
|И — £ І ,..2,
ЕзеЕ 0 Е3ее О
В силу теорем вложения Соболева пространство Ші(0,і,) состоит из абсолютно непрерывных функций, а, значит, пространство И корректно определено, плотно и компактно вложено вЬ2(С). Отождествим Ь2(С) со своим сопряженным и через 3 обозначим сопряженное относительно двойственности {■, ■) пространств о к И. Очевидно, 3 _ банахово пространство, причем вложение И ^ 3 компактно.
Формулой
{Аи^) — Е ((ujx(x)vjx(x) + ащ(х^3(х)) Іх,
Ез ЄЄ О
где а Є М+, и^ Є И, зададим оператор, определенный на пространстве И. Поскольку
\{Аи^)\ < СіЦЦиМи в силу неравенства Копти - Буттяковского и
с21М1я < {Аи,и) < СзЫи (7■4)
при всех и^ Є И и некоторых Ск Є М+, к — 1, 2, 3, то линейный оператор А : И ^ 3 непрерывен и иттъективетт. Кроме того, из первой оценки (7.4) вытекает сторъективттость сопряженного оператора А* : 3* ^ И*. В силу рефлексивности пространства И и самосопряженности оператора А получим, что оператор А Є £(И; 3) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора А-1 Є £(3;И). Поскольку вложение И ^ 3 компактно, то оператор А-1 Є £(3) является компактным. Значит, спектр оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +гс>.
Теперь фиксируем а Є М+ и Л Є Ми построим операторы
Ь — (Л — а)І + А, М — а(а1 — A)■
Из сказанного следует
Теорема 7.1. (см. напр. [44]). Операторы Ь,М € £(И; 3) причем спектр о(Ь) оператора Ь вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к —ж.
Из теоремы 7.1 вытекает, что оператор Ь-фредгольмов, пр ичем кег Ь = {0}, тел и 0 € а(Ь).
Лемма 7.1. (см. напр. [44]). Пусть параметры а,Л € М \{0}, тогда опера тор М (Ь, 0)-ограничен.
Пусть {Лк} - собственные значения оператора А, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности; а {^к} ~ соответствующие им ортонормироваппые в смысле Ь2(С) функции. По формулам (5.2) построим проекторы
( I, если 0 € а(Ь); ( I, если 0 € а(Ь);
Р = ] I — Е {',Рк }^к ^ и0€ а(Ь); Я = \ I — ^ {■ ,^к }^к, если 0 € а(Ь):
I \к=Х-а \ Хк=Х—а
(заметам, что несмотря па "похожесть" проекторы определены па разных пространствах) и разрешающую группу
ГС
и * = Е '^к1{- ,фк }<£к, к=1
где штрих у знака суммы означает отсутствие членов ряда с номерами к такими, что \к = Л — а; {',' }-скалярное произведение в Ь2(0). Ь-спектр оператора М имеет вид
^ (м >={11*=л-(“;+Лл!,) ■к € м}-
Выполнение условия (5.3) очевидно, выберем а^(М), з = 0,и, так, чтобы выполнялось условие (5.4) (попятно, что это можно сделать не одним способом). Построим проекторы
Р] = Е {', Vк}^к, 3 = М. (7.5)
^к)
Возьмем —ж < а < т0 < т\ < т2 < ... < тп < Ь < +ж, и] € и 3 = 0,и, / € Сгс((а, Ь); 3) и
рассмотрим задачу (6.2), (6.3), где И - функциональное банахово пространство с краевым условием (7.1), операторы Ь и М из (6.2), а проекторы Р^ 3 = 0,и, из (6.3).
В силу леммы 7.1 и теоремы 6.1 вытекает
Теорема 7.2. При любых Л € М, а € М\{0}, и] € И 3 = 0,и, многоточечная начальноконечная задача (6.3), (7.1), (7.2) для уравнений (7.3) имеет единственное решение и € СГс((а,Ь); И), которое к тому же имеет вид
п
и№ = Е Е ^){и3 ,^к}Рк.
]=0 Цк)
Автор выражает свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе, а так же М.А. Сагадеевой за плодотворные дискуссии.
Литература
1. Плотников, П.П. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.П. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифферент!,, уравнения. - 1993. -Т. 29, № 3. - С. 395-405.
2. Плотников, П.П. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.П. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. жури. - 2001. - Т. 42, № 3. -С. 651-669.
3. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961.
4. Темам, Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981.
о. Барепблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Барепблатт, К).П. Желтов, И.Н. Кочитта /7 Прикл. математика и механика.
- 1960. - Т. 24, .№ 5. - С. 58-73.
6. Руткас, А.Г. Задача Коши для уравнения A(x) + Bx(t) = f (t) / А.Г. Руткас // Дифферент],. уравнения. - 1975. - Т. 11, № 11. - С. 1996-2010.
7. Ting, T.W. Certain Non-Steady Flows of Second-Order Fluids / T.W. Ting /'/ Arch. Rat. Mech. Anal. - 1963. - V. 14, no. 1. - P. 28-57.
8. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.,J. Chen, M.E. Gurtin /7 Z. Angew. Math. Phvs. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
9. Hallaire, M. On a Theory of Moisture-Transfer ./' M. Hallaire /'/' Inst. Rech. Agronom. - 1964.
- No. 3. - P. 60-72.
10. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
11. Свиридток, Г. А. Фазовое пространство задачи Копти - Дирихле для одного ттеклассиче-ского уравнения / Г.А. Свиридток, А.В. Атткудиттов /'/' Дифферетщ. уравнения. - 2003. -Т. 39, № И. - С. 1556-1561.
12. Poincare, Н. Sur 1’equilibre d’une mass fluide animee d’un mouvement de rotation /
H. Poincare // Acta Math. - 1885. - V. 7. - P. 259-380.
13. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, серия «Математика:». - 1954. - Т. 18, вып. 1. - С. 3-50.
14. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriat.ive / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
15. Панков, А.А. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной / А.А. Панков, Т.Е. Панкова // Докл. Акад. ттаук Украины.
- 1993. - № 9. - С. 18-20.
16. Pyat.kov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems ./' S.G. Pyat.kov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2002.
17. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
18. Замыптляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка: моттогр. / А.А. Замыптляева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
19. Маттакова, Н.А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа: моттогр. / Н.А. Маттакова. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
20. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: моттогр. ./' М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
21. Келлер, А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леотттьев-ского типа / А.В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (241), вып. 7. - С. 40-46.
22. Свиридток, Г.А. Числеттттое решение систем уравнений леотттьевского типа / Г.А. Свиридток, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.
23. Свиридток, Г.А. Алгоритм решения задачи Копти для вырожденных литтейттых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридток, И.В. Бурлачко /'/' Жури, вычисл. математики и мат. физики. - 2003. -Т. 43, .№ И. - С. 1677-1683.
24. Shestakov, A.L. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - No. 17 (234), issue. 8. - P. 70-75.
25. Шестаков, А.Л. Числеттттое решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.
26. Свиридток, Г.А. Задача Веригитта для литтейттых уравнений соболевского типа с относительно р-секториальпыми операторами / Г. А. Свиридток, С. А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.
27. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина /'/ Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
28. Загребина, С.А. Начальтто-коттечттая задача для эволюционных уравнений соболевского типа тта графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1.
- С. 23-26.
29. Маттакова, Н.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / Н.А. Маттакова, А.Г. Дыльков // Весттт. Сам. гос. техтт. утт-та. Сер. Физ.-мат. ттауки. - Самара, 2011. - № 4 (25). - С. 18-24.
30. Замыптляева, А.А. Начальтто-коттечттая задача для неоднородного уравнения Бусси-ттеска - Лява / А.А. Замыптляева / / Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22-29.
31. Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров j j Мат. заметки. - 1984. - Т. 35, № 4. - С. 569-578.
32. Свиридток, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феттометт уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридток, С.А. Загребина // Изв. Иркут, гос. ун-та. Серия «Математика:».
- 2010. - Т. 3, .№ 1. - С. 104-125.
33. Загребина, С.А. Начальтто-коттечттая задача для уравнений соболевского типа с сильно ^,р)-радиальным оператором / С.А. Загребина // Мат. заметки ЯГУ. - Якутск, 2012.
- Т. 19, вып. 2. - С. 39-48.
34. Загребина, С. А. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно ^,р)-радиальным оператором / С. А. Загребина, М. А. Сагадеева // Вести. МаГУ. Серия «Математика». - Магнитогорск, 2006. - Вып. 9. - С. 17-27.
35. Загребина, С. А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригитта для литтейттых уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: тр. междунар. конф. «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложе-
»
Рос. Акад. паук, Сиб. отд., итт-т математики им. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 2007. -С. 150-157.
36. Загребитта, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребитта // Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (221), вып. 7. - С. 35-39.
37. Загребитта, С. А. Многоточечная ттачальтто-коттечттая задача для литтейттой модели Хоффа / С.А. Загребитта // Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 4-12.
38. Загребитта, С.А. Об одттой новой задаче для уравнений Бареттблатта - Желтова - Кочи-ной / С.А. Загребина, А.С. Конкина // Вести. МаГУ. Серия «Математика:». - Магнитогорск, 2012. - Вып. 14. - С. 67-77.
39. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12, вып. 3. - С. 173-200.
40. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Федоров // Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 89-99.
41. Загребитта, С.А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вести. МаГУ. Серия «Математика». - Магнитогорск, 2005. - Выи. 8.
- С. 74-86.
42. Свиридток, Г.А. Об одттой модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридток // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 1. - С. 62-70.
43. Свиридток, Г.А. Об относительно сильной р-секториальпости линейных операторов / Г.А. Свиридток, Г.А. Кузнецов // Докл. Акад. ттаук. - 1999. - Т. 365, № 6. - С. 736-738.
44. Свиридток, Г.А. Уравнения Бареттблатта - Желтова - Кочиттой тта графе / Г.А. Свири-
«»
Вып. 4. - С. 129-139.
Софья Александровна Загребитта, кандидат физико-математических ттаук, доцеттт, ка-«» ситет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].
Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,
2013, vol. 6, no. 2, pp. 5-24.
MSC 35K70, 60H30
The Initial-Finite Problems for Nonclassical Models of Mathematical Physics
S. A. Zagrebina, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]
C.A. 3arpe6nHa
The models of Mathematical Physics, whose representation in the form of equations or systems of partial differential equations do not fit one of the classical types such as elliptic, parabolic or hyperbolic, are called nonclassical. The article provides an overview of the author's results in the field of nonclassical models of Mathematical Physics for which the initial-finite problems, generalizing the Cauchy and Showalter, Sidorov conditions, are considered. Basic method for the research is the Sviridyuk relative spectrum theory. Abstract results are illustrated by the specific initial-finite problems for the equations and systems of equations in partial derivatives occurring in applications, namely, the theory of filtration, fluid dynamics and mesoscopic theory, considered on the sets of different geometrical structure.
Keywords: nonclassical models of Mathematical Physics, Plotnikov model, the Navier
- Stokes system, the Ba/renblatt - Zheltov - Kochina equation, the (multipoint) initial-finite problems, the relative spectrum.
References
1. Plotnikov P.I., St.arovoit.ov V.N. The Stefan Problem with Surface Tension as a Limit of the Phase Field Model. Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 3, pp. 395-405.
2. Plotnikov P.I., Klepacheva A.V. The Phase Field Equations and Gradient Flows of Marginal Functions. Siberian Mathematical Journal, 2001, vol. 42, no. 3, pp.551-567.
3. Ladyzhenskaya O.A. Mathematical Problems in the Dynamics of a Viscous Incompressible Fluid. Moscow, Nauka, 1970. (in Russian)
4. Teinam R. Navier—Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis. Amsterdam, N.-Y., Oxford, North Holland Publ. Co., 1979.
5. Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., Kochina I. N. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homogeneous Fluids in Fissurized Rocks. ,/. Applied Mathematics and Mechanics (PMM), 1960, vol. 24, no. 5, pp. 1286-1303.
6. Rutkas A.G. The Cauchy Problem for the Equations Ax'(t) + Bx(t) = f (t). Differential Equations, 1975, vol. 11, no. 11, pp. 1996-2010. (in Russian).
7. Ting T.W. Certain Non-Steady Flows of Second-Order Fluids. Arch. Exit. Mech. Anal., 1963, vol. 14, no. 1, pp. 28-57.
8. Chen P.J., Gurtin M.E. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures. Z. Angew. Math. Phys., 1968, vol. 19, pp. 614-627.
9. Hallaire M. On a Theory of Moisture-Transfer. Inst. Rech. Agronom., 1964, no. 3, pp. 60-72.
10. Oskolkov A.P. Nonlocal Problems for Some Class Nonlinear Operator Equations Arising in the Theory Sobolev Type Equations. Zap. Nauchn. Sem. LOMI. Problems in the theory of representations of algebras and groups. Part 2, Nauka, St. Petersburg, 1991, vol. 198, pp. 31-48. (in Russian).
11. Sviridyuk G.A., Ankudinov A.V. The Phase Space of the Cauchy - Dirichlet Problem for a Nonclassical Equation. Differential Equations, 2003, vol. 39, no. 11, pp. 1639-1644.
12. Poincare H. Sur 1’equilibre d’une mass fluide animee d’un mouvement de rotation. Acta Math., 1885, vol. 7, pp. 259-380.
13. Sobolev S.L. On a New Problem of Mathematical Physics. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1954, vol. 18, issue 1, pp. 3-50. (in Russian).
14. Demidenko G.V., L'spenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative. New York, Basel, Hong Kong, Marcel Dekker, Inc., 2003.
15. Pankov A.A., Pankova T.E. Nonlinear Evolution Equations with Irreversible Operator Coefficient for the Derivative. Dokl. Akad. Na.uk Ukraine, 1993, 110. 9, pp. 18-20.(in Russian)
16. Pyat.kov S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Kohl, Tokyo, VSP, 2002.
17. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, Kohl, Tokyo, VSP, 2003.
18. Zainyshlyaeva A. A. Linear Sobolev Type Equations of High Order. Chelyabinsk, Publ. Center of the South Ural State University, 2012. (in Russian)
19. Manakova N.A. Optimal Control Problem for the Sobolev Type Equations. Chelyabinsk, Publ. Center of the South Ural State University, 2012. (in Russian)
20. Sagadeeva M.A. Dichotomy of Solutions of Linear Sobolev Type Equations. Chelyabinsk, Publ. Center of the South Ural State University, 2012. (in Russian)
21. Keller A.V. The Algorithm for Solution of the Showalter - Sidorov Problem for Leont.ief
«
»
22. Sviridyuk G.A., Brychev S.V. Numerical Solution of Systems of Equations of Leont.ief Type. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2003, vol. 47, 110. 8, pp. 44-50.
23. Sviridyuk G.A., Buiiachko I.V. An Algorithm for Solving the Cauchy Problem for Degenerate Linear Systems of Ordinary Differential Equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2003, vol. 43, 110. 11, pp. 1613-1619.
24. Shestakov A.L., Sviridyuk G.A. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals.
«
»
25. Shestakov A.L., Keller A.V., Nazarova E.I. Numerical Solution of the Optimal Measurement Problem. Automation and Remote Control, 2012, vol. 73, 110. 1, pp. 97-104.
26. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. Verigin’s Problem for Linear Equations of the Sobolev Type with Relatively p-Sectorial Operators. Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 12, pp. 1745-1752.
27. Zagrebina S.A. On the Showalter - Sidorov Problem. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2007, vol. 51, 110. 3, pp. 19-24.
28. Zagrebina S.A., Solovyeva N.P. The Initial-Finish Problem for the Evolution of Sobolev-Type
«
»
Russian)
29. Manakova N.A., Dylkov A.G. On One Optimal Control Problem with a Penalty Functional in General Form. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya «»
30. Zainyshlyaeva A.A. The Initial-Finish Value Problem for Nonhomogenious Boussinesque -
«
»
31. Sidorov N.N. A Class of Degenerate Differential Equations with Convergence. Mathematical Notes, 1984, vol. 35, 110. 4, pp. 300-305.
32. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter - Sidorov Problem as Phenomena of the
«»
vol. 3, 110. 1, pp. 51-72. (in Russian)
33. Zagrebina S.A. The Initial-Finish Problem for Sobolev Type Equations with Strongly (L,p)-Radial Operator. Math. Notes of YSU, 2012, vol. 19, no. 2, pp. 39-48. (in Russian)
34. Zagrebina S.A., Sagadeeva M.A. The Generalized Showalter - Sidorov Problem for the Sobolev type Equations with strongly (L,p)-radial operator. Vestnik Magnitogorskogo gosudarstvennogo universiteta. Seria «Matematika» [Bulletin of Magnitogorsk State University. Series «Mathematics:»], 2006, issue 9, pp. 17-27. (in Russian)
35. Zagrebina S.A. The Showalter - Sidorov - Verigin Problem for the Linear Sobolev Type Equations. Neklassicheskie uravneniya rnaternaticheskoy fiziki [Nonclassical Mathematical Physics Equations], Novosibirsk, 2007, pp. 150-157. (in Russian)
36. Zagrebina S.A. The Initial-Finish Problem for the Navier - Stokes Linear System. Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer
»
37. Zagrebina S.A. The Multipoint Initial-Finish Problem for Hoff Linear Model. Bulletin of
«
»
38. Zagrebina S.A., Konkina A.S. On a New Problem for the Barenblatt - Zhelt.ov - Kochina
«»
«»
(in Russian)
39. Fedorov V.E. Degenerate Strongly Continuous Semigroups of Operators. St. Petersburg Mathematical Journal, 2001, vol. 12, issue 3, pp. 471-489.
40. Fedorov V.E About Some Relations in the Theory of Degenerate Operator Semigroups.
«
»
41. Zagrebina S.A. On the Existence and Stability of Solutions Navier - Stokes Equations.
«»
«»
42. Sviridyuk G.A. On a Model of the Dynamics of a Weakly Compressible Viscoelastic Fluid. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1994, vol. 38, no. 1, pp. 59-68.
43. Sviridyuk G.A., Kuznetsov G.A. Relatively Strongly p-Sectorial Linear Operators. Doklady Mathematics, 1999, vol. 59, issue 2, pp. 298-300.
44. Sviridyuk G.A., Shemetova V.V. The Barenblatt - Zhelt.ov - Kochina Equations on a Graph.
«»
«»
Russian)
Поступила в редакцию 12 марта 2018 г.
