CC BY
26
УДК 517.9
НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФЕ
С. А. Загребина, Н.П. Соловьева
Статья посвящена изучению однозначной разрешимости начальноконечной задачи для эволюционных линейных уравнений соболевского типа на конечном связном ориентированном графе.
Ключевые слова: эволюционные линейные уравнения соболевского типа, начально-конечная задача, относительно р-секториальные операторы, связный ориентированный граф
Пусть Я и 5" - банаховы пространства; оператор L Е £(Д; $) (т.е. линеен и непрерывен), а оператор М € Cl(ii]$) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Введем в рассмотрение L-резолъвентное множество pL(М) = {fj, € С : (fj,L — М)~г € £(#511)} и L-спектр aL(М) = С \ pL(M) оператора М [1]. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. [1] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален справа и слева. Тогда су-
ществуют проекторы Р € jC(U) и Q € £(#) такие, что операторы L € £(kerP;kerQ) Г) £(imP; imQ) и М G С/(ker Р; ker Q) П Ci(imP; imQ).
Замечание 1. Теорема 1 верна и в случае (L, р)-секториальности оператора М, но при дополнительном требовании рефлексивности пространств И и # (теорема Яги - Федорова).
Теорема 2. [2] Пусть аь{М) = а^п(М) U aTeJx(M), причем а^п(М) содержится в ограниченной области (2 С С с кусочно гладкой границей дП и dVt Паь(М) = 0. Тогда существуют проекторы Pin Е £(И) и Qin Е £(3") такие, что операторы L 6 £(ker Дп; ker Qin) П C(imPin;imQin) и М € Cl (ker Ргп; ker Qin )Г\С1 (imPin; imQin).
Проекторы Pin и Qin имеют вид
рт = ¿т jf Д£(М)ф, Qin = ^ J
где контур 7 = dil.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теорем 1 и 2. Тогда Р%пР = PPin = Pin и QinQ =
QQm = Qin-
Положим Рех = Р — Pin, в силу следствия 1 Рех Е £(it) - проектор. Возьмем Т Е R+, щ, ит € И и рассмотрим задачу
РехЫО) ~ и0) = 0, Pin(u(T) - иТ) = 0 (1)
для линейного уравнения соболевского типа
Lu = Mu + /. (2)
Серия <Математическое моделирование и программирование:», вып. 1 23
Вектор-функцию и Е С'1((0, Т);Я) П С([0,Т];11), удовлетворяющую уравнению (2), назовем его решением; решение и = u(t) уравнения (2) назовем решением задачи (1), (2), если
lim Pex(u(t) — мп) = 0 и lim Pin(u(t) — ит) = 0.
*->о+ t-лТ-
Теорема 3. [3] Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, выполнены условия Д° ф Я1 = Я, #° Ф 5-1 = $ и условия теоремы 2, существует оператор L^1 Е £(^1;U1). Тогда для любых щ,ит 6 И и вектор-функции / = f(t), t Е [0, Т\, такой, что /° Е C^dtyT];#0) П C'p+1((0,T);^°), fm Е С'(р),Т]-,$гп), fex £ С,1([0,Т];3*а:), существует единственное решение задачи (1), (2), которое к тому же имеет вид
u(t) = -'¿tGqMö1f0i9)(t) + и1~ТиТ - fT Rl~8fin(s)ds + U\xu0 + f R*~s fex{s)ds.
q=0 Jt J°
Здесь R\n = {2m)-1 J(pL - M)-1eßtdfx, R\x = Pe^ni)”1 J {цЬ -
История задачи (1) начинается с одной стороны в [4], где она названа задачей Веригина, а с другой стороны и независимо - в [5], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов Pin и Рех рассматриваются спектральные проекторы оператора L, причем L вдобавок предполагается самосопряженным. Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Сви-ридюком. Первые результаты в этом направлении изложены в [6], где рассмотрен частный случай задачи (1), причем с более жесткими, чем здесь, условиями на L-спектр оператора М. В [7] рассмотрена задача (1), но для тех же условий на L-спектр оператора М, что и в [6], однако для (L, ^-ограниченного оператора М отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях. В [8] результаты [7] распространены на случай (L, р)-радиального оператора М. Нам кажется, наиболее удобным эту задачу называть начально-конечной задачей.
Пусть теперь G = G(2J;<£), где Ш = {V^} - множество вершин, а <£ = {Ег} - множество ребер, - конечный связный ориентированный граф, причем каждое его ребро Ei имеет длину 1г £ Ж+ и площадь поперечного сечения d3 Е R+. На графе G рассмотрим линейные уравнения в частных производных
Atiji Ujtxx — ßUJXX ~ aujxxxx "Ь 74? fj' (3)
Дифференциальные уравнения на графах - сравнительно новая часть математического знания. Первые публикации в этой области появились в последнее десятилетие XX века, первая монография - в 2004 г. [9]. Уравнения соболевского типа на графах впервые были
рассмотрены в 2002 г. [10]; первое диссертационное исследование в этом направлении было
выполнено в 2002 - 2005 гг. [11]. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова была рассмотрена в 2006 г. [12]. Заметим еще, что уравнения (3) относятся к эволюционным [13], так как их линейные дифференциальные операторы порождают разрешающую полугруппу, в то время как линейные операторы, рассмотреных в [11] динамических уравнений, порождают разрешающие группы.
Нас интересуют решения задачи (1), (2), удовлетворяющие следующим условиям:
Uj(0,t) = tifc(0,i) = UmQm^t) = ^n(^n?^)» (4)
где Ej,Ek Е Еа(Уг),Ет,Еп £ Е“(Уг)(ЕаМ(Уг) - множество ребер с началом (концом) в вершине К);
'У , djUjX(0,t) ^ ^ djzUkx{l}-it) = 0; (5)
Ej£Ea(Vi) EkeE“(Vt)
С.А. Загребина, H.П. Соловьева
ujxxfö it) — ukxxißit) — U5
где E^Ejz Є Ea(Vz),Em,En є Еш(Уг);
'ТПХХ
"ПХХ
On 5 і)?
(6)
(7)
Ej€E<*(Vi)
ЕкЄЕ“{Уі)
с нормой
ujxxxx “I” u-
''jxxx U]xx ~t” ujx uj)dx.
Все пояснения по физическому смыслу этих условий можно посмотреть в статье П.О. Пивоваровой в данном Вестнике.
Введем в рассмотрение банаховы пространства # = {д = (дг, 925 •••) Vj,...) : д3 € ¿2(0,13)}, Я = {и = (п1, иг,и3,...) : и3 € ^1(0, Ц) и выполняются (4), (5)} с нормой
и зададим оператор А : и —»■ {—и\ХХ) —Щхх, ■ ■■, ~Ujxx, ■■■), А Є £(Я;#)- Возьмем Л Є Ми построим оператор Ь = А + А. По построению оператор Ь Є £(Я;#), а ег0 спектр сг(Ь) = {А + А*;}, где {А^} собственные значения оператора А, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности.
Наконец, введем в рассмотрение еще одно банахово пространство сіотМ = {и Є Я : и0 Є И^2 (0,13) И выполняются условия (4) - (7)}. Формулой В : и У (иіхххх,и2хххх, —,Щхххх, —) зададим оператор В Є ^отМ;^) и а(В) = {А|}. Возьмем а, /3,7 Є М и построим оператор М = —/ЗА — аВ + 7. По построению оператор М Є £(с1отМ; 3), а значит М Є С/(Я; 3").
Лемма 1. При любых а Є М+ и /3,7, А Є Е таких, что либо —А ^ сг(Л), либо —А Є сг(Л) и —А не является корнем уравнения аа2 + /3а — 7 = 0, оператор М сильно (Ь, 0) -секториален.
Тогда спектр оператора М
вещественен, дискретен и сгущается только к +оо. Это значит, что выполняются условия теоремы 2, причем для любого замкнутого контура 7 € С, ограничивающего область, содержащую конечное множество точек из aL(M), и непересекающегося с aL(M). Итак, все условия теоремы 3 выполнены, и поэтому справедлива
Теорема 4. При любых а € R+, /3,7, А € К, Т € К, любой вектор-функции / € С'1([0, Т], $) и любых начальных, конечных значениях щ, ит € Я, существует единственное решение задачи (1) для уравнения (3) с условиями (4) - (7).
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе.
Литература
1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.
EjZe 0
a
.L
N\{l : A + Аг = 0}
Серия «Математическое моделирование и программирование», вып. 1
25
2. Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.B. Келлер - Челябинск, 1997.
3. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: сб. тр. междунар. конф. «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И.Н. Векуа. - Новосибирск, 2007.
- С. 150 - 157.
4. Панков, A.A. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной / A.A. Панков, Т.Е. Панкова // Докл. Акад. наук Украины.
- 1993. - № 9. - С. 18 - 20.
5. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.
6. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т.38, № 12. - С. 1646 - 1652.
7. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22 - 28.
8. Загребина, С.А. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно (L, р)-радиалъным оператором / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева // Вестн. МаГУ. Сер. «Математика». - 2006. - Вып. 9. - С. 17 - 27.
9. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В.Покорный, О.М. Пенкин, B.J1. Прядиев. - М.: Физматлит, 2004.
10. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах/ Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ. - Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.
11. Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. ... канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова - Магнитогорск, 2005.
12. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения соболевского типа на графе / С.А. Загребина // Оптимизация, управление, интеллект. - 2006. - 1 (12). -С. 42 - 40.
13. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР. - 1989. - Т. 304, № 2. - С. 301 - 304.
Кафедра «Уравнения математической физики»,
Южно-Уральский государственный университет
Поступила в редакцию 1 марта 2008 г.
