Об одной гипотезе Г. А. Свиридюка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 4. С. 87-93

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.9

Об одной гипотезе Г. А. Свиридюка

Н. А. Манакова

Южно-Уральский государственный университет

Аннотация. Найдены достаточные условия существования оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа с функционалом качества общего вида.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, оптимальное управление, начально-конечная задача.

Пусть и И -гильбертовы пространства, операторы Ь,Мє £(Х;^), а оператор В є £(И; ^), функции и : [0, т) С М+ ^ И, у : [0, т) С М+ ^ ^ (т < те) подлежат дальнейшему определению. Введем в рассмотрение ¿-резольвентное множество рь(М) = [ц є С : (цЬ — М)-1 є £(Х, ^)} и ¿-спектр аь(М) = С \ рь(М) оператора М ( см. [1, гл. 4]). Пусть оператор М (£,р)-ограничен и ¿-спектр оператора М

проекторы, P £ L(X), Q £ L(Y)- Здесь Г С C - замкнутый контур, ограничивающий область, содержащую aL(M); = (^L — M)-1L -

правая, а LL = l(^l — M )-1 - левая L-резольвенты оператора M. Положим U0 = ker P, F0 = ker Q, U1 = imP, F1 = imQ. Из существования проекторов следует, что U = U0 ® U1, F = F0 ® F1.

Аналогично построим проекторы Pin и Pex

Введение

aL(M) = aLn(M) U ст^(м), aLn{M) П ctL(m) = 0. (0.1)

Операторы

Здесь контур y £ C ограничивает область, содержащую vLn(M).

Теорема 1. Пусть aL(M) = oLn(M) U a^x(M), причем aiLl(M) содержится в ограниченной области Q С C с кусочно гладкой границей dQ и дQ П aL(M) = 0. Тогда существуют проекторы Pin £ L(U) и Qin £ L(F) такие, что операторы L £ L(ker Pin;kerQin) П L(imPin;imQin) и M £ L(ker Pin; ker Qin) П L(imPin; imQin).

Для линейного уравнения соболевского типа

где т є М+ (для определенности, вообще можно т є М\[0}), Ж0, Жт є X).

Задача (0.3) для линейных уравнений соболевского типа впервые появилась в работах Г. А. Свиридюка и С. А. Загребиной [6], в дальнейшем данная задача была названа "начально-конечной и в настоящее время уже есть результаты о начально-конечных задачах для уравнений соболевского типа высокого порядка [1].

Нас будет интересовать задача оптимального управления, которая заключается в отыскании такой пары (ж, ио) є X х Иа4, где ж является решением задачи (0.2), (0.3), а для ио выполняется соотношение

Здесь 3(и) - некоторый функционал качества; управление и € Яа^, где иай - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений и. Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (0.2) - (0.4) дает возможность минимизировать штрафные санкции.

Впервые задача оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа (0.2) появилась в работах Г. А. Свиридюка и А. А. Ефремова [1, гл. 7]. В данных работах рассматривается специальным образом построенный функционал стоимости

где р-является высотой М-присоеденных векторов оператора Ь [1, гл. 3]. В дальнейшем Г. А. Свиридюком была выдвинута гипотеза о том, что можно рассматривать функционал стоимости более общего вида

LX = Mx + y + Bu

(0.2)

рассмотрим начально-конечную задачу

Pex(x(0) - xo) = 0, Pin(x(r) - Xt) = 0,

(0.3)

J(u0) = inf J (u).

(0.4)

где к > 1. Такие задачи необходимо рассматривать, когда например р = 0, а необходимо минимизировать не только управление и скорость, но также необходимо оптимизировать и ускорение.

Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики (см. обстоятельные обзоры в [7], [4]). Оптимальное управление линейными уравнениями с условиями Коши, как уже было сказано, впервые изучалось в [1, гл. 7]. Задача (0.3) является обобщением задачи Шоуолтера - Сидорова [6]. В работе [2] предложен численный алгоритм нахождения решения задачи оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа рассматривалось в [3]. Наш подход основан на идеях и методах [9], [5], [8].

1. Сильные решения

Для линейного неоднородного уравнения соболевского типа

ЬХ = Мх + у (1.1)

рассмотрим начально-конечную задачу (0.3).

Теорема 2. [6] Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен,причем выполнены условия теоремы 1. Тогда для любых х0,хт € 9 и вектор-функции у € Ср([0, Т]; 9) П Ср+1((0,Т); 9), существует единственное решение задачи (0.3), (1.1), которое имеет к тому же вид

Т

+и1п ТХТ - J (1.2)

£

где

ие*х(т) = I Е^(М)б^’ ^(т) = 2^ I (^Ь - МГ1е^

Определение 1. Вектор-функцию х € Н1 (X) = {х € Ь2(0,т; X) : Х € Ь2(0,т;X)} назовем сильным решением уравнения (1.1) если она п. в. на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение х = х(£) уравнения (1.1) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если оно удовлетворяет (0.3).

В силу непрерывности вложения Н 1(Х) ^ С([0,т]; X) наше определение корректно. Термин "сильное решение" введен для того, чтобы отличать решение уравнения (1.1) в данном смысле от решения (1.2), которое теперь уместно называть "классическим". Заметим, что классическое решение (1.2) является также и сильным решением задачи

Пространство Нр+1(^) - гильбертово со скалярным произведением

Теорема 3. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є {0} и N. Тогда для любых ж0,жт Є X и у Є Нр+1(^) существует единственное сильное решение задачи (0.3) для уравнения (1.1).

Доказательство. Действуя на уравнение (1.1) последовательно проекторами I — Q и Qin(ex) и пользуясь теоремой 1, сведем его к эквивалентной системе из трех независимых уравнений

где Н Мо ¿0, ^ех(гп) ^1еХ(т)М1єх(*п) Є ^С^е^т))' Здесь х(^)

ж^і) — ж2(і), где х1 (¿),ж2(¿) - два решения задачи (0.3), (1.1).

Нр+1(^) = {V Є ¿2(0,т; $) : ^(р+1) Є ¿2(0,т; $),р Є {0} и N}'

Пусть у Є Нр+1(^)' Введем в рассмотрение операторы

І Т

0 І

( іи) при л^Убомі Хт є век/ію^

(иг) Аз Є^(Нр+1 (^),Н1(Х))'

Нж0 = ж0,ж0(0) = 0, жіп = 9- Хіп хіп(т) = 0

Лі ---- (_/іп*Л'/ •)•*■' V / - )

жех = 9ехжех,жех(0) = 0

(1.3)

(1.4)

(1.5)

В силу нильпотентности оператора Н из уравнения (1.3) получаем Нр+1х0 = Нрх0 = 0. Продолжая этот процесс, убеждаемся, что х0 = 0. Равенство нулю решений задач (1.4), (1.5) следует из ограниченности операторов £еж, $то- □

2. Оптимальное управление

Для линейного неоднородного уравнения соболевского типа

£Х = Мх + у + Ви (2.1)

рассмотрим начально-конечную задачу (0.3), где функции х, у и и лежат в гильбертовых пространствах X, ^ и И соответственно. Оператор £,М е £^; ^), оператор В е £(И; ^), оператор М (Ь,р)-ограничен. Введем в рассмотрение пространство управлений

Нр+к(И) = {и е ^2(0,т;И) : и(р+к) е ^2(0,т;И),р е {0} и > 1}.

Пространство Нр+к(И) гильбертово, в силу гильбертовости И, со скалярным произведением

р+к ,.т

д=0

Выделим в пространстве Нр+к(И) замкнутое и выпуклое подмножество Нр+к (И) - множество допустимых управлений.

Введем в рассмотрение 3 - некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор С е 3), задающий наблюдение ¿(¿) = Сх(^. Заметим, что если х е Н 1(И), то г е Н 1(3).

Определение 2. Вектор-функцию и0 е Нр+к(И) назовем оптимальным управлением решениями задачи (2.1), (0.3), если

7 (и0) = ш1пиеяр+к(я)7 (и). (2.2)

Нашей целью является доказательство существования единственно-

го управления и0 е Нр+к(И), минимизирующего функционал стоимости

1 рт р+к «т

7 (и) = £ / ||г(?) — г^Нз^ + ^ / (^и(9),и(9)\ (2.3)

д=^0 /Я

Здесь N е £(И), д = 0, 1, ..., р + к, - самосопряженные и положительно определенные операторы, г0 = г0(£) - желаемое наблюдение. Справедлива

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р е {0} и > 1. Тогда для любых у е Нр+к(^), х0,хт е X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (2.1), (0.3).

Доказательство. По теореме 3 при любых у е Нр+к(^), х0,хт е X и и е Нр+к (И) существует единственное сильное решение х е Н1^) задачи (2.1), (0.3), имеющее вид

х(£) = (А + А2)(у + Ви)(£) + к^) + к2 (^),

где операторы А1;А2 и вектор-функции к1; к2 заданы в лемме 1.

Зафиксируем у е Нр+к(^), х0,хт е X и рассмотрим (2.1) как отображение Б : и ^ х(и). Тогда отображение Б : Нр+к(и) ^ Н 1(X), определенно непрерывно.

Перепишем функционал стоимости (2.3) в виде

7 (и) = ||Сх(£; и) — ¿0||Н 1(3) + [V, и], (2.4)

где -и(?)(£) = Nи(?)(£), д = 0,...,р + к. Отсюда

7(и) = п(и, и) — 2А(и) + ||г0 — Сх(£; 0)||Н 1(3), где 2

п(и, и) = ||С(х(£; и)) — х(£; 0) 11^1 (3) + [V, и] —

билинейная непрерывная коэрцитивная форма на Нр+к(И), а А(и) = (г0 — Сх(£; 0), (х(£; и) — х(£; 0)))я 1(3) —

линейная непрерывная на Нр+к(И) форма. Значит, условия теоремы [10, гл.1] выполнены. □

Список литературы

1. Замышляева А. А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска -Лява на графе / А. А. Замышляева, А. В. Юзеева // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2010. - Т. 3, № 2. - С. 85-96.

2. Келлер А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 345-346.

3. Манакова Н. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н. А. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007.

- Т. 43, № 9. - С. 1185-1192.

4. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшанский, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. - М. : Физматлит, 2007.

5. Лионе Ж. -Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. - М. : Мир, 1972.

6. Свиридюк Г. А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, С. А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - C. 51-72.

7. Demidenko G. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative / G. V. Demidenko, S. V. Uspenskii.

- N. Y. ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker, Inc., 2003.

8. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. - Новосибирск : Научная книга, 1999.

9. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - VSP, Utrecht ; Boston, 2003.

N. A. Manakova

On a hyposithis of G. A. Sviridyuk

Abstract. The sufficient conditions for the existence of optimal control to solutions of an initial-finish problem for the linear equation whith a penalty functional of general form are found.

Keywords: Sobolev type equation, optimal control, initial-finish.

Манакова Наталья Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76, тел.: (351)2679339 ([email protected])

Manakova Natalya, South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080, Phone: (351)2679339 ([email protected])