CC BY
37
Дифференциальные уравнения
УДК 517.977.57
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛОМ КАЧЕСТВА ОБЩЕГО ВИДА
Н. А. Манакова1, А. Г. Дыльков2
1 Южно-Уральский государственный университет,
454080, Челябинск, пр. Ленина, 76.
2 Магнитогорский государственный университет,
455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114.
E-mails: manakova@hotbox.ru, dylkov@yandex.ru
Найдены достаточные условия существования оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа с функционалом качества общего вида.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, оптимальное управление, на-чально-конечная задача.
Введение. Пусть X, 2) и 11 — гильбертовы пространства, операторы L, М € £(ЗЕ;2)), а оператор В € С{И; 2)), функции и : [0, г) С М+ —> 11, у : [0, г) С М+ —> 2) (т < оо) подлежат дальнейшему определению. Введём в рассмотрение L-резольвентное множество рь(М) = {ц € С : (цЬ — М)~1 € £(2);ЗЕ)} и L-спектр аь(М) = С \рь(М) оператора М (см. [1, гл. 4]).
Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, тогда существуют аналитические группы операторов
= ^/^(М)е^ И = где t € К, Г С С — замкнутый контур, ограничивающий область, содержащую aL(M), Rji(M) = (цЬ — M)_1L, Lj^(M) = Ь(цЬ — М)~1 —соответственно правая и левая L-резольвенты оператора М. Положим 3£°(2)°) = kerX*(ker Y*), = im X*(im7*) и обозначим через сужение оператора L(M)
на %к, к = 0,1.
Пусть далее, L-спектр оператора М представим в виде
сТЬ{М) = (М) U <7fln(M), <т£(М) n crfln(M) = 0.
Операторы Р = —Q = —[L^(M)d/j, — проекторы, Р € £(ЗЕ), 27гг Ур м 27гг Ур м
Qg £(?)).
Наталья Александровна Манакова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. уравнений математической физики. Андрей Геннадьевич Дыльков, аспирант, каф. математического анализа.
Аналогично построим проекторы Pfin и Р;п:
Pfm = j R^M)d,, Pin = Р — Pfln.
Здесь контур 7 € С ограничивает область, содержащую <7дп(М).
Теорема. Пусть aL(M) = <Тдп(М) U ^(М), причём а^п(М) содержится в ограниченной области Q С С с кусочно гладкой границей дП и дГ1Р\аь(М) = = 0. Тогда существуют проекторы Р^п € £(Н) и Qfm € £(30 такие, что операторы L € £(ker -Pfln; ker Qfln) U £(im Pfln; im Qfln) и M € £(ker Pfln; ker Qfln) U C(\m Pfln; im Qfln).
Для линейного уравнения соболевского типа
Lx = Mx + y + Bu (1)
рассмотрим начально-конечную задачу
Рт(х(0) - Хо) = о, Ръп(х(т) - хт) = 0, (2)
где т € R+ (для определённости можно считать т € R \ {0}), Хо, хт € X.
Задача (2) для линейных уравнений соболевского типа впервые появилась в работах Г. А. Свиридюка и С. А. Загребиной [2]. В дальнейшем данная задача была названа «начально-конечной», и в настоящее время уже есть результаты о начально-конечных задачах для уравнений соболевского типа высокого порядка [3].
Нас будет интересовать задача оптимального управления, которая заключается в отыскании такой пары (xq,Uq) € X х ilacj, где Хо является решением задачи (1), (2) и выполняется соотношение
J(xo,Uo) = inf J(x,u). (3)
(ж,«)€ЖхЯаа
Здесь J(х, и) — некоторый функционал качества; управление и € ilacj, где ilad — некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений И. Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (1)—(3) даёт возможность минимизировать штрафные санкции.
Впервые задача оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа (1) появилась в работах Г. А. Свиридюка и А. А. Ефремова [1, гл. 7]. В данных работах рассматривается специальным образом построенный функционал стоимости
[ (NqU^ln^) dt, (4)
J O' ' &
где p является высотой М-присоединённых векторов оператора L [1, гл. 3]. В дальнейшем Г. А. Свиридюком была выдвинута гипотеза о том, что можно рассматривать функционал стоимости более общего вида
Е
д=0"'и о=0
J(x,u) = ^2 [ \\z^ — zif1 W^dt +
где а ^ О, /3^0, а + /3 = 1, 0 к р + 1. В прикладных задачах функционал стоимости (4) накладывает дополнительные условия на отыскание оптимального управления. При данной постановке минимизируется не только само управление, но и р + 1 производная функции и, что в прикладных задачах не всегда имеет смысл.
Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики (см. обстоятельные обзоры в [4,5]). Оптимальное управление линейными уравнениями с условиями Коши, как уже было сказано, впервые изучалось в [1, гл. 7]. Задача (2) является обобщением задачи Шоуолтера—Сидорова [2]. В работе [6] предложен численный алгоритм нахождения решения задачи оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера—Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа рассматривалось в [7]. Наш подход основан на идеях и методах [1,8,9].
1. Сильные решения. Для линейного неоднородного уравнения соболевского типа
Ьх = Мх + у (5)
рассмотрим начально-конечную задачу (2).
Теорема [2]. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, причём выполнены условия теоремы из введения. Тогда для любых Хо,хТ € X и вектор-функции у € Ср([0, Т]; 2)) П Ср+1((0,Т); 2)) существует единственное решение задачи (5), (2), которое имеет вид
р № Г*
х(г) = -^(м0_%)9м0_1—2/°(*) + и^хо + д[~Уп(в)^+
+ и1п Тхг~1 Ейп^Йп(«)^ (6)
где
и1 = (2тгг)“1 ^ д£(М)е^£^ - J д£(М)е^£^ ,
В?т = (27тг)-1 (/{¡хЬ — М)~1е^<1ц — J(цЬ — М)_1ем*с^ ,
[/¿п = (27тг)-1 J Е^(М)ем*с?/х, Едп = (27п)-1 J(цЬ — М)~1е^(11л,
у° = (1-Я)у, уйп(1п) = ЯЫ1п)У-
Определение. Вектор-функцию х € Н1(Х) = {х € 1^(0, т;ЗГ) : х € ¿2(0, т; X)} назовём сильным решением уравнения (5), если она п. в. на (0, г) обращает его в тождество. Сильное решение х = х(Ь) уравнения (5) назовём сильным решением начально-конечной задачи, если оно удовлетворяет (2).
В силу непрерывности вложения Н1(Х) ■—> С([0,г];3£) наше определение корректно. Термин «сильное решение» введён для того, чтобы отличать решение уравнения (5) в данном смысле от решения (6), которое теперь уместно
называть «классическим». Заметим, что классическое решение (6) является также и сильным решением задачи (5), (2).
Построим пространство
Теорема. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} и N. Тогда для любых Хо,хТ € X и у € Нр+1(2)) существует единственное сильное решение задачи (2) для уравнения (5).
Доказательство. Поскольку мы уже имеем классическое решение (которое является сильным), покажем его единственность. Действуя на уравнение (5) последовательно проекторами I — <5 и <3яп(т) и пользуясь теоремой из введения, сведём его к эквивалентной системе из трёх независимых уравнений:
Где Н -Мд ¿0) >5\п(йп) ^1т(йп)~^11п(йп) ^ ЗдвСЬ х(Ь) Х\(Ь)
— Х2^), где Х\{1), Жг(£) —два решения задачи (5), (2).
В силу нильпотентности оператора Н из уравнения (7) получаем Нр+1х° = Нрх° = 0. Продолжая этот процесс, убеждаемся, что х° = 0. Равенство нулю решений задач (8), (9) следует из ограниченности операторов
£йп- □
Пусть у € Нр+1{2)). Введём в рассмотрение операторы
д=0
Лемма. Пусть оператор М (Ь,р) -ограничен. Тогда
(і) єС(Нр+\її)),Н\Х)У,
(п) при любом Хо € X вектор-функция к\ € С1([0, г); X);
(ііі) А2єС(Нр+\її)),Н\Х)У,
(¿у) при любом хТ € X вектор-функция к2 € С1([0, г); X);
(у) С{Нр+\її)),Н1{Х)).
Нх° = х°,х°(0) = 0, жйп = 5йп жйп,жйп(т) = 0, %1П = <5іпЖ1п,жш(0) = 0,
(7)
(9)
2. Оптимальное управление. Для линейного неоднородного уравнения со-болевского типа
Ьх = Мх + у + Ви (10)
рассмотрим начально-конечную задачу (2). Операторы е £(ЗЕ;2)), опе-
ратор В € £(Я; 2)), оператор М (Р,р)-ограничен.
Введём в рассмотрение пространство управлений
Нр+1(й) = {и е Ь2(0,т]й) :и(р+1) е Ь2(0,т]й),р е {0}иЩ.
Пространство НР+1(И)—гильбертово в силу гильбертовости И. Выделим в пространстве НР+1(1Х) замкнутое и выпуклое подмножество Нд+1(1Х)—множество допустимых управлений.
Введём в рассмотрение 3 — некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор С € С(Х] 3), задающий наблюдение г(Ь) = Сх(Ь). Заметим, что если х € Н1(Х), то г € Н1{3).
Определение. Вектор-функцию щ € ^/^+1(11) назовём оптимальным управлением решениями задачи (10), (2), если
,](хо,ио) = тт^г^еЖхЯр+1( ^у](х,ь),
где пары (х, и) € X х Я^+1(И) удовлетворяют соотношениям (10), (2).
Нашей целью является доказательство существования единственного управления щ € Нд+1(И), минимизирующего функционал стоимости
1 ¡.-у к ¡.-у
■1(х,и)=аУ~] / \\г^ — г^\\\сИ + ¡3 У'' / 1мди^, \ М, (11)
д=0 д=0 ^ /Я
где а ^ 0, /3^0, ск + /5 = 1, 0^/г^р + 1, £(Н), <? = 0,1,..., А: — самосо-
пряженные и положительно определенные операторы, го = го(Ь) —желаемое наблюдение. Справедлива
Теорема. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0}иМ. Тогда для любых у € Нр+1{2)), Жо,жг € X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (10), (2).
Доказательство. По теореме из предыдущего пункта при любых у € Нр+1{2)), хо,хТ £ X и и £ НР+1(1Х) существует единственное сильное решение х € Н1(Х) задачи (10), (2), имеющее вид
ж(£) = (Аг + А2 + А3) (у + Ви)(г) + к\ (¿) + /г2(г), (12)
где операторы А2, Аз и вектор-функции Л?!, к2 заданы в лемме из преды-
дущего пункта.
Зафиксируем у € Нр+1{2)), Жо,жг € X и рассмотрим (12) как отображение -О : и —> х(и). Тогда отображение И : НР+1(1Х) —> Н1(Х) непрерывно. Поэтому функционал стоимости зависит только от и, т. е. Ли) = J(ж,и,). Так как решение (6) уравнения (10) зависит не только от и, но и от р-\-1 производной функции и, то можно рассматривать функционал качества вида (11), что не ограничивает общности рассмотрения задачи.
Перепишем функционал стоимости (11) в виде
J(u) = a IICx(t]u) - -гоііяі(з) + P[v,u],
где
v^9\t) = Nqu(g\t), q = 0,..., к. Отсюда
J(u) = 7Г(u,u) - 2\(u) + I|г0 - Cx(t; 0)||#i(3) ,
где
ir(u, u) = a ||C(x(t] u) — x(t] 0))||Hi(3) + /3[v, u]
— билинейная непрерывная коэрцитивная форма на Нр+1(И),
\{u) = a (zo — Cx(t; 0), C(x(t; u) — x(t; 0)))Hi^
— линейная непрерывная на Hp+l{И) форма. Значит, условия теоремы [10, гл. 1] выполнены. □
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Sviridyuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston: VSP, 2003. 216 pp.
2. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шоуолтера—Сидорова как феномен уравнений соболевского типа// Изв. Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика, 2010. Т. 3, №1. С. 51-72. [Sviridyuk G.A., Zagrebina S. A. The Showalter-Sidorov problem as a phenomena of the Sobolev type equations // Izv. Irkut. Gos. Un-ta. Ser. Matematika, 2010. Vol. 3, no. 1. Pp. 51-72].
3. Замышляева А. А., Юзеева А. В. Начально-конечная задача для уравнения Бусси-неска - Лява на графе// Изв. Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика, 2010. Т. 3, №2. С. 18-29. [Zamyshlyaeva A. A., Yuzeeva А. V. The initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation defined on graph // Izv. Irkut. Gos. Un-ta. Ser. Matematika, 2010. Vol. 3, no. 2. Pp. 18-29].
4. Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. New York, Basel, Hong Kong: CRC Press, 2003. 511 pp.
5. Свешников А. Г., Алъшанский А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 736 с. [Sveshnikov A. G., Al’shanskiy А. В., Korpusov М. О., Pletner Yu. D. Linear and nonlinear equations of Sobolev type. Moscow: 2007. 736 pp.]
6. Келлер А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа// Обозрение приклад, и пром. математики, 2009. Т. 16, №2. С. 345-346. [Keller А. V. Numerical solution of start control problem for a Leontief type system of equations // Obozrenie Priklad. Prom. Matematiki, 2009. Vol. 16, no. 2. Pp. 345-346].
7. Манакова И. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации// Дифференц. уравнения, 2007. Т. 43, №9. С. 1185-1192; англ. пер.: Manakova N.A. Optimal control problem for the Oskolkov nonlinear filtration equation// Differ. Equations. Vol. 43, no. 9. Pp. 1213-1221.
8. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с. [Lions J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Moscow: Mir, 1972. 414 pp.]
9. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с. [Fursikov А. V. Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications. Novosibirsk: Nauchnaya Kniga, 1999. 350 pp.]
Поступила в редакцию 01/VII/2011; в окончательном варианте — 24/VIII/2011.
MSC: 49J20; 47N20, 46Е35
ON ONE OPTIMAL CONTROL PROBLEM WITH A PENALTY FUNCTIONAL IN GENERAL FORM
N. A. Manakova1, A. G. Dylkov2
1 South Ural State University,
76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080, Russia.
2 Magnitogorsk State University,
114, Lenin prospekt, Magnitogorsk, 455038, Russia.
E-mails: manakova@hotbox.ru, dylkov@yandex.ru
The sufficient conditions for the existence of optimal control over solutions of the initial-finish value problem for the linear equation with a penalty functional in general form, are found.
Key words: Sobolev type equation, optimal control, initial-finish value problem.
Original article submitted 01/VII/2011; revision submitted 24/VIII/2011.
Natal’ya A. Manakova (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Equations of Mathematical Physics. Andrey G. Dylkov, Postgraduate Student, Dept, of Mathematical Analysis.
