Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для одного уравнения соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 1. С. 42-53

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.9

Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера — Сидорова для одного уравнения соболевского типа

Н. А. Манакова

Южно-Уральский государственный университет

Е. А. Богонос

Южно-Уральский государственный университет

Аннотация. Найдены достаточные и необходимые условия существования оптимального управления решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения, моделирующего распределение потенциала электрического поля в полупроводнике.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, оптимальное управление, задача Шоуолтера - Сидорова, уравнение электрического поля.

Пусть О С Мга, п > 1 - ограниченная область с границей дО класса С, причем область О занимает полупроводник. Предположим, что в полупроводнике имеется источник тока свободных зарядов и он «:заземлен>. Рассмотрим неклассическое уравнение

где р > 2, а > 0. Уравнение (0.1) определяет распределение потенциала электрического поля в полупроводнике. Начально-краевая задача для уравнения (1) в случае отрицательности параметра а рассматривалась в работе [4], и была доказана локальная разрешимость данной задачи в слабом обобщенном смысле. Причем в зависимости от рассматриваемых нелинейностей и начальных условий доказана разрешимость в любом конечном цилиндре (в, Ь) € О х [0, Т] или разрушение за конечное время.

Введение

В цилиндре О х (0, Т) рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения (0.1)

(Л — А)(х(в, 0)) — Жо(в)) = 0, в € О; (0.2)

х(в,Ь) = 0, (в,Ь) € дО х (0,Т). (0.3)

В подходящих функциональных пространствах X, % задача (0.2), (0.3) для уравнения (0.1) редуцируется к задаче Шоуолтера - Сидорова

Ь(х(0) — х0) = 0 (0.4)

для полулинейного операторного уравнения соболевского типа

Л

~^^Ьх + М (х) = и, (0.5)

где оператор Ь может не быть непрерывно обратимым. Нас интересует оптимальное управление

3(х,и) ^ шш (0.6)

решениями задачи (0.4) - (0.6). Здесь 3(х,и) - некоторый специальным образом построенный функционал штрафа; управление и € Яа^, где

- некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений и. Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (0.1)

- (0.3) дает возможность минимизировать штрафные санкции, выбрав внешнюю нагрузку таким образом, чтобы поддерживать необходимое распределение потенциала электрического поля в области.

Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики. В настоящее время число публикаций, посвященным им, растет лавинообразно (см. обстоятельные обзоры в [8],[14]). Оптимальное управление линейными уравнениями с условиями Коши впервые изучалось в [10]. Полный обзор этих результатов можно найти в [15]. Кстати сказать, теория [15] оказалась полезной и в других ситуациях [1], [2], [3]. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа с условиями Шоуолтера -Сидорова впервые рассмотрено в [12], а полулинейными уравнениями -в [7], [11]. Наш подход основан на идеях и методах [5], [6], [13].

Статья организована следующим образом. В п. 1 приведены результаты существования единственного решения начально-краевой задачи для уравнения (0.1). В п. 2 находятся достаточные условия разрешимости задачи (0.4) - (0.6). Далее мы сводим задачу (0.2), (0.3) для уравнения (0.1) к задаче (0.4) для уравнения (0.5) и приводим необходимые условия экстремума для задачи (0.4) - (0.6) в терминах сопряженной задачи.

1. Задача Шюуолтера — Сидорова

Пусть Н = (Н; {■, ■)) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство; (й, Й*) и (В, В*) - дуальные (относительно двойственности {■, ■)) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

В ^ Й ^ Й* ^ В* (1.1)

плотны и непрерывны. Пусть Ь Є £(В; В*) - линейный, самосопряженный, неотрицательно определенный фредгольмов оператор, чей орто-нормальный (в смысле Н) набор собственных векторов {рк} образует базис в пространстве В. Пусть далее М Є Сг(В; В*) - 8-монотонный (т. е. (Мух,х^ > 0, Ух, у Є В \ {0}) и р-коэрцитивный (т. е. {М(х),х) >

См||х||р и ||М(х)||* < См||х||р-1 при некоторых константах См,См Є М+ и р Є [2, +го) и любом х Є В, || ■ || и || ■ ||* - нормы в пространстве В и В* соответственно) оператор. Отметим, что для гладких операторов М : В —► В* из сильной монотонности следует 8-монотонность, а из 8-монотонности - строгая монотонность [9].

Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова

Ь(х(0) — х0) = 0 (1.2)

для полулинейного уравнения соболевского типа

И

—Ьх + М (х) = /. (1.3)

Ввиду самосопряженности и фредгольмовости оператора Ь отождествим Й 3 ker Ь = coker Ь С Й*. Очевидно, Й* = coker Ь ф іш Ь. Обозначим через іш Ь замыкание іш Ь в топологии В*, тогда В* = сокег Ь ф іш Ь. Обозначим через Q проектор В* вдоль сокег Ь на іш Ь и сделаем допущение

(I — Q)f не зависит от £ Є (0,Т). (1.4)

Тогда если х = х(£),£ Є [0,Т] - решение уравнения (1.3), то оно с необходимостью лежит во множестве

м = ( {х Є В : (I — Q)M(х) = (I — Q)f, если кегЬ = {0};

М = \ В, если кег Ь = {0}.

Введем в рассмотрение множество соіш Ь = {х Є В : {х,р) =0, Ур Є кег Ь\{0}}. Очевидно, соіш Ь ф кег Ь = В.

Система {рк} собственных векторов оператора Ь тотальна в В, поэтому построим галеркинские приближения решения задачи (1.2), (1.3) в виде

т

хт(£) = ^3 ак(£)рк, т > ёткег Ь, к= 1

где коэффициенты ак = ак(£), к = определяются следующей

задачей:

(^Ьхт, + {И(хт),рк) = (/, рк), (1.5)

(Ь(хт(0) — х0),рк) = 0, к = 1,т. (1.6)

Уравнения (1.5) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть Вт = 8рап{^1, р2, ■■■, <рт], Тт € М+, Тт = Тт(хо).

Лемма 1. [9] При любых х0 € В и т > ёткег Ь существует единственное решение хт € Сг (0, Тт; Вт) задачи (1.5), (1.6).

Теорема 1. [9] При любых х0 € В, Т € М+, f € Ья(0,Т; В*) таких, что выполнено (1.4), существует единственное решение х € Ь^(0,Т; сот Ь) П Ьр(0,Т; М) задачи (1.2), (1.3).

В цилиндре О х М+ рассмотрим начально-краевую задачу (0.2), (0.3) для уравнения (0.1). Чтобы редуцировать задачу (0.1) - (0.3) к задаче

о 1 о 1

(0.4), (0.5), положим Н = Ь2, Н =Ш2, В =ШР, Н* = Ш2 , В* = Ш-1 (все функциональные пространства определены на области О). Определим в Н скалярное произведение формулой

(х, у) = J хуйв, Ух, у € Н. п

При таком опеределении пространств Н и В имеют место плотные и непрерывные вложения (1.1). Операторы Ь и И определим формулами:

(Ьх,у) = J (Хху + Xsi Узг )йв, п

(Их'у) = /(|1;|Р-2 й дв+

п

где х,у € В, (■, ■) - скалярное произведение в Ь2. (Заметим, что всюду выполняется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам). Обозначим через {Хк] последовательность собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа —А в области О, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности.

Лемма 2. (г) При всех Х > —Х1 оператор Ь самосопряжен, фредголь-мов и неотрицательно определен, причем ортонормальное семейство {р>к] его функций тотально в пространстве В.

(гг) При всех а € М+ оператор И € С 1(В; В*) в-монотонен и р-коэрцитивен.

Доказательство. Утверждение (i) хорошо известно. Что же касается утверждения (ii), то производная Фреше оператора M в точке х Є B определяется формулой

1 (MXy,w)l = ^((p —1)lxsiГ2Унwsi + a(p —1)lxip-2yw)dsl < п

Ci(llxfo-l2llyll olllwy ol + llxllL-2yyyLpWML) <

Wp Wp Wp

C2||xro-l2IMI ol llw\l ol.

Wp Wp Wp

Отсюда вытекает, что оператор M Є Ci(B; B*) s-монотонен

(MX у,у) = !((p —1) |xsi Г2у2 + a(p —1) |x|p-2y2)ds >0,

x,y ЄWP; x,y = 0

и p-коэрцитивен

(M(x),x) = I (\xsilp + alxlp)ds = ||x||po i + аУxУLp У ||xN o і,

J ТД/

p0 W

p

l(M(x),y)l < NllxIILp MW + Ух\\р01 WyW ol < C\\х\\р01 уу\\ ol.

Wp Wp Wp Wp

При условии Л У —Л1

kerL = Г {°^ Л> —Лі;

\ span{pi}, Л = —Лі.

Поэтому

B*, Л > —Лі;

im L ' {x Є B* : (x, pi) =0}, Л = —Лі. Отсюда проектор

I, Л > —Лі;

Q 1 I —(-,рі), Л = —Лі.

Построим множество

B, Л > —Лі;

M ' {х Є B : (M(х),ірі) = (y,ipi)}, Л = —Лі. Из теоремы 1 и леммы 1.2 следует

□

і

Теорема 2. Пусть X > -Х\, тогда при любых х0 Є Н, Т Є М+, f Є Ья(0, Т; В*) таких, что выполнено (1.4), существует единственное решение х Є Ьте(0, Т; соіт Ь) П Ьр(0, Т; М) задачи (0.1) - (0.3).

2. Задача оптимального управления

Фиксируем Т € М+. Построим пространство Я = {и € Ья(0, Т; В*) : (I — ^)и(£) = 0, £ € (0, Т)}, р-1 + д-1 = 1, и определим в пространстве Я замкнутое и выпуклое множество Яа^. Рассмотрим задачу оптимального управления (0.4) - (0.6), где функционал стоимости задается формулой

т т

J(x,u) = 1J ||x(t) - Zd(t)^B dt + — j ||u(t)||B* dt, (2.1)

p 0 q 0

Zd = Zd(t) - желаемое состояние.

Определение 1. Пару (x,u) € L^(0,T;coim L) П Lp(0,T;M) x Uad называют решением задачи (0.4) - (0.6), если J(x,u) = infueud J(x,u), и (x,u) удовлетворяет уравнению dtLx+M(x) = u; вектор U называют оптимальным управлением в задаче (0.4) - (0.6).

Теорема 3. При любых x0 € B,T € R+ существует решение задачи (0.4), (0.5), (2.1).

Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что оператор (dtL + M) : L^(0,T; coimL)nLp(0, T; M) ^ {u € Lq(0, T; B*) : (I — Q)u = 0} есть гомеоморфизм. В силу s-монотонности оператора M, неотрицательной определенности оператора L и теоремы о неявной функции обратный оператор (dt;L + M)-1 есть Cr-диффеоморфизм. Поэтому функционал стоимости (2.1) можно записать в виде

1 N

J(x, u) = J(u) = p ||x(u) — Zd\\PLp(0,T;B) + ~\\u\\qLq(0,T;B*)- (2.2)

Пусть {um} С Lq(0,T; B*) - минимизирующая последовательность, тогда из (2.2) вытекает, что

\\umhq(0,T;B*) < const (2.3)

при всех m € N. Из (2.3) (переходя, если надо, к подпоследовательности) извлечем слабо сходящуюся последовательность um ^ u. В силу теоремы Мазура точка u € Uad. Обозначим за xm = x(um). В силу теоремы 1 M(xm) € Lq(0, T; B*) и um € Lq(0, T; B*), значит в силу (0.5) ddtLxm € Lq(0,T; B*). Но тогда dLxm € Lq(0,T; B*) остается в ограниченном множестве из Lq(0,T; B*), xm € L^(0,T;coimL) n Lp(0,T; M)

остается в ограниченном множестве из Ь^(0, Т; еотЬ) П Ьр(0,Т; М); значит, можно извлечь такую подпоследовательность, которую снова обозначим хт, что

хт ^ х * —слабо в Ь^(0, Т; еотЬ), хт ^ х — слабо в Ьр(0,Т; В),

( (

—Ьхт ^ —Ьх — слабо в Ь„(0,Т; В*),

аг аг

М(хт) ^ ^ — слабо в Ьд(0, Т; В*).

Итак, мы докажем существование оптимального управления, если покажем, что

^ = М (х(и)).

Из монотонности оператора М следует, что т

Хт = J (м(хт(г)) — м(у(г)),хт(г) — у (г)) (г > оУу е ьр(о,т, в). 0

Согласно (0.5), т т

У (м(хт(г)),хт(г))(И = I (ит,хт(г)) —г+1 |хт(о)|2—1 |хт(т)|2, (2.4) 00

где |хт(0)|2 = (Ь(хт(0)), хт(0)) норма в ео1шЬ из теоремы 1, и, следовательно,

т

Хт = | (ит,хт(г)) —г + 2 |хт(0)|2 — 1 |хт(т)|2—

0

т т

I (м (хт(г)),у(г)) (г — | (м (у(г)),хт(г) — у (г)) (г. 00

В силу того, что Ншш£ |хт(Т)|2 > |х(Т)|2, получим

т

/1 1 (и,х(г)) (г + 2 |хо|2 — 2 |х(т )|2—

0

т т

&,у(г)) (г — ! (м(у(г)),х(г) — у(г)) (г. 00

Теорема 1 показывает, что слабый предел есть решение задачи (1.2) для уравнения

(

(^Ьх + у = и (2.5)

и у = М(х). (Данные факты устанавливаются с незначительными отступлениями от стандартных в таких случаях рассуждений [6].) Из (2.5) мы можем заключить, что

т т

I (и,х(г)) (г + 2|хо|2 — -|х(т)|2 = I (у,х(г)) (г. 00 Тогда получим

т

J (у — М(у),х — у) (г > 0. (2.6)

0

Положим у = х — Лад, Л > 0, ад е Ьр(0,Т; В), тогда из (2.6) следует,

что

откуда

т

Л ^ (у — М(ж — Лад), ад) ^ > 0,

о

т

У (у — М(ж — Лад), ад) ^ > 0,

о

устремляя Л ^ 0 в силу непрерывности оператора М и теоремы Лебега, мы получим, что при любом ад

т

У (у — М(ж), ад) ^ > 0.

0

Следовательно, у = М(х(и)). Значит, переходя к пределу в уравнении состояния

(

(гЬхт + М (хт) = ит,

получим

(

—Ьх + М (х) = и.

Следовательно х = х(и) и Ншт£7(ит) > 7(и). Значит, и есть оптимальное управление. □

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для уравнения (0.1). В цилиндре От = ^ х (0,Т) зададим функционал качества

т

1 N /■

7(х, и) = — Ух — о1 +-/ ||и||^1 (г. (2.7)

р М0,*;£р) 9 0 ^

д

— (Лж — Аж) — Арж + аЛ|ж|р-2ж = u,

Выберем С Lq(0, T; Wp-1) - замкнутое, выпуклое множество, для которого выполнено (I — Q)u(t) = 0. Из теоремы 2 и теоремы 3 непосредственно вытекает

Теорема 4. Пусть Л > —Л17 тогда существует оптимальное управление в задаче (0.1) - (0.3), (2.7).

Приведем теперь необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление u решениями задачи (0.1) - (0.3).

Теорема 5. Пусть Л > —Л1, если u - оптимальное управление задачи (2.7), то существует вектор y € L^(0,T; coimL)ПLP(0,T;M) такой, что

д_ д?

д д

- (—Л + Д)у — — ((p — 1)|ж* |p-2)y + a(p — 1)|x|p-2y =

n д д д

-С д^Т (| д^- (X(U) — )|P-1)si§n( (ж(и) — ^

x(s, t) = y(s, t) = 0, (s, t) € дО x (0,T),

(Л — А)(ж(в,0) — ж0^)) =0, (Л — A)y(s,T) = 0, s € О,

T

J y(u — v)dsdt + ^ IMI^-i (IM|W-i)U(v — u)dt > 0,

Qt 0

Vv € Uad.

Доказательство. Пусть u - оптимальное управление, а ж = ж(и) -соответствующее состояние. Покажем, что функционал u —► J(u) дифференцируем по Гато.

d

X = — J (u + т (v — u))|r=0 = dr

dT [ p/ ^ (ж(u+т (v—u)) —Zd)|L dt+ — J |u+r (v—u)lW-l dt]|T=0 =

о T=1 Т 0

T T

dT [ p/| £ ^(u+T (v—u))—Zd)|Lp dsdt+—— J llu + T (v—u)|W-i dt]|T=0 =

0 i=1 П Т 0

T

Г n Г д д

[/ XIJ |д^Т(ж(u + r(v — u)) — Zd)|P-1|д^Т(ж(u + r(v — u)) — Zd)|Tdsdt+

0 Т=1П

Т

N ! ||и + г (и - и)Н5--1 (11и + т - и)Ужр-1 )(«+т («-«)) (и - и)^]к=0 =

0

Т

Г -п С д д дх

[/ X У I д^-(х(и) - *<*)Г-^п(—(ж(и) - ^)) д^Т 0 Т=1п Т Т Т

Т

У нин?—-1 (1нц-1 ^- иж 0

где X задается как решение задачи д

— (Л - А)ж + (р - 1)|ж^|р-2ж^ + а(р - 1)|ж|р-2ж = V - и, (2.8)

(Л - А)Ж(«, 0) = 0, 8 € П; Ж(«, £) = 0, (8, £) € дП х (0, Т). (2.9)

Используя рассуждения теоремы 1, нетрудно убедиться в существовании единственного решения задачи (2.8), (2.9). Далее, из теоремы вытекает, что оператор (Ь + М) : Ь^(0,Т;сотЬ)ПЬр(0,Т; М) ^ {и € Ьд(0, Т; В*) : (I - ф)и = 0} есть гомеоморфизм. В силу 8-монотонности оператора М, неотрицательной определенности оператора Ь и теоремы о неявной функции обратный оператор (Ь + М)-1 есть С1-диффеоморфизм. Кроме того, если и - оптимальное управление, то X > 0Уи €

Введем сопряженное состояние у при помощи задачи дд

-(-Л + А)у - — ((р - 1)|ж*|р-2)у + а(р - 1)|ж|р-2у =

п д д д Е д^Т (| (ж(и) - ^ )|p-1)sign( (ж(и) - ^ (2.10)

(-Л + А)у(^,Т) = 0, 8 € П; у(з,£) = 0, (8,£) € дП х (0,Т). (2.11)

По теореме существует единственное решение задачи (2.10), (2.11). Умножим (2.10) на ж и получим

Г д д

J [д£(-Л + А)у - (р - 1)—(|ж*|р-2)у + а(р - 1)|ж|р-2у]ж^8^^ =

Ят

г п д д д

J Х^д^Т(Iд^Т(ж(и) - ^)|р-1^п(д^Т(ж(и) - ^))ж<^. (2.12)

Ят Т=1 * * Т

Преобразуем (2.12), применив формулу Грина и (2.11), получаем

Г д д

J [—(Л - А)ж - (р - 1)—(|ж^ |р-2)ж + а(р - 1)|ж|р-2ж]у^«^^ =

Ят

Р д д д /*

дГIдГ(Ж(и) - ^)Г^п(—(х(и) - ^))£^^ = (V - и)у^^,

Ят Ят

тогда

т

У у(и — -и)^^ + | (1М1^— )«(^ — и)^ > 0.

Ят

□

Авторы выражают большую благодарность своему научному руководителю, проф. Г. А. Свиридюку за плодотворные дискуссии.

Список литературы

1. Загребина, С. А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С. А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.

2. Замышляева, А. А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А. А. Замышляева // Вычислит. технологии. - 2003. - Т. 8, №4. - С. 45-54.

3. Келлер, А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 345-346.

4. Корпусов, М. О. О «разрушении» решения сильно нелинейного уравнения псевдопараболического типа с двойной нелинейностью / М. О. Корпусов, А. Г. Свешников // Матем. заметки. - 2006. - Т. 79, № 6. - С. 879-899.

5. Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионс. - М.: Наука, 1987.

6. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972.

7. Манакова, Н. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н. А. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. - С. 1185-1192.

8. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшанский, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер - М.: Физматлит, 2007.

9. Свиридюк, Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1990. - № 2. -С. 55-61.

10. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление одним классом линейных вырожденных уравнений / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // ДАН. - 1999.- Т. 364, № 3.- С. 323-325.

11. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Сиб. жур. индустр. математики.- 2005.-Т. 8, № 2.- С. 144-151.

12. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. -2004. - Т 40, № 11. - С. 1548-1556.

13. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков.- Новосибирск: Научная книга, 1999.

14. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. -N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

15. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - VSP, Utrecht; Boston, 2003.

N. A. Manakova, E. A. Bogonos

Optimal control to solutions of the Showalter — Sidorov problem for a Sobolev type equation

Abstract. The sufficient and necessary conditions for the existence of optimal control to solutions of the Showalter - Sidorov problem for the equation which models potencial distribution of electrical field in a semiconductor are found.

Keywords: Sobolev type equation, optimal control, the Showalter - Sidorov problem, electrical field equation.

Манакова Наталья Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76, тел.: (351)2679339 ([email protected])

Богонос Елена Анатольевна, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76, тел.: (351)2679339

Manakova Natalya, associate professor, South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080 Phone: (351)2679339 ([email protected])

Bogonos Elena, South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080 Phone: (351)2679339