Задача Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа на геометрическом графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 1. С. 2-8

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.9

Задача Шоуолтера — Сидорова

для модели Хоффа на геометрическом графе

А. А. Баязитова

Южно-Уральский государственный университет

Аннотация. В работе исследована задача Шоуолтера - Сидорова для обобщенных уравнений Хоффа, заданных на конечном связном ориентированном графе. Исследована морфология фазового пространства, и найдены достаточные условия, при которых задача Шоуолтера - Сидорова имеет единственное решение.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, фазовое пространство, задача Шоуолтера - Сидорова, уравнение Хоффа.

Пусть О = 0(Ш; Е) — конечный связный ориентированный граф, где V = {Уі} — множество вершин, а Е = {Ец} — множество ребер, причем каждому ребру Ej поставлены в соответствие два положительных числа Ц, dj Є М+, которые в контексте нашей задачи будут иметь физический смысл длины и площади поперечного сечения ребра соответственно. На каждом ребре Ец задается уравнение Хоффа

АцПцг + Пцххг = ацщ + а2ци3 + ... + апци2”-1, п Є М, (0.1)

моделирующее выпучивание двутавровой балки, где параметр Ац Є М+ соответствует нагрузке на балку, а параметры ац Є М, в = 1, 2 ,...,п характеризуют свойства материала j-й балки; переменные х Є (0,Ц),

где Ец,Ек Є Еа(Уі), Ет,Ер Є Еш(Уі), і є М. Здесь через Е“Н(Уі)

обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине У;. Условие (0.2) требует, чтобы вектор-функция и = и(х, ^) была непрерывной в вершинах графа. Отметим, что в контексте этого условия выражения

і Є М.

Для уравнений 0.1 в каждой вершине графа зададим условия

и] (0, = ик(0, = um(lm, ^) = up{lp, ^)

^2 ^ ujx(0,t') ^ ' Лтитх (lm, ^) = 0,

(0.2)

(0.3)

т

«отсутствовать» и «быть равным нулю» имеют различный смысл. Например, если в вершину У все ребра входят, то левые два равенства в (0.2) именно «отсутствуют», а не «равны нулю». Условия (0.3) — аналог условий Кирхгоффа — превращаются в условия Неймана, если граф О состоит из единственного ребра и двух вершин, причем условия (0.2) в данном случае «отсутствуют». Если же граф О состоит из единственного ребра и единственной вершины, то условия (0.2), (0.3) превращаются в условия согласования. Кроме того искомые компоненты должны удовлетворять начальным условиям Шоуолтера -Сидорова

Начально-краевая задача (0.1) - (0.4) описана дифференциальными уравнениями с частными производными, заданными на графе, и представляет собой модель для изучения поведения нагруженной конструкции из двутавровых балок.

Дифференциальные уравнения на графах — сравнительно новая область математики, возникшая в конце прошлого века. Первая монография по этой проблематике вышла в 2004 г. [3]. Уравнение Хоффа относится к уравнениям соболевского типа, исследования которых в настоящее время переживают пору бурного расцвета (см. исторический обзор в [6]). Уравнения соболевского типа на графах впервые рассмотрены в [7]. Первое диссертационное исследование в этом направлении было выполнено в 2002-2005 гг. [9]. Обобщенная задача Шоуолтера-Сидорова для уравнений соболевского типа на графе была рассмотрена в [4]. Наконец, в [8] изучена задача (0.1)-(0.3) в предположении п = 2. Задача (0.1)-(0.4) в такой постановке рассматривается впервые.

Статья организована следующим образом. В п.1 изложена редукция задачи (0.1)-(0.4) к задаче Шоуолтера - Сидорова для абстрактного полулинейного уравнения соболевского типа. В п.2. приведен основной результат - описание фазового пространства.

Введем в рассмотрение множество Ь2(С) = {д = (дьд2,...,gj,...), gj € £2(0,^)}. Ь2(С) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Через Я обозначим множество Я = {и = (и\, и2,..., Uj,...) : Uj € ^2:(0, ^) и выполнено (0.2)}. Множество Я является банаховым пространством с

х Є (0,Ц). (0.4)

1. Редукция задачи

нормой

Отметим, что условие (0.2) имеет смысл в силу абсолютной непрерывности компонентов и-, а пространство Я плотно и компактно вложено в Ь2(0). Обозначим через 3 сопряженное к Я относительно (•, ■) банахово пространство. Очевидна плотность и компактность вложения Я ^ $. Формулой

определим оператор А : Я ^ 3, где ац Є М+ - произвольные константы.

Теорема 1. [1] Оператор А Є £(Я; 3), причем спектр ст(А) оператора А положителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +то.

Теперь построим операторы Ь, М : Я ^ 3

Очевидно, операторы Ь,М Є С(Я;3) (т. е. линейны и непрерывны), причем оператор Ь фредгольмов (т. е. тё Ь = 0), а оператор М компактен. Напомним (см. [10], гл. 4), что оператор М называется (Ь, 0)-ограниченным, если он (Ь, ст)-ограничен, и точка то является устранимой особой точкой Ь-резольвенты оператора М.

Лемма 1. [8] Оператор М (Ь, 0)-ограничен, если

(i) кег Ь = 0;

(ii) кегЬ = {0}, а1ц = 0 при любом і и все а1ц имеют одинаковый знак.

Теперь построим оператор

(Ам,) = £ (Здх + о,щгЧ),&, Є Я

ц о

и убедимся, что он действует из пространства Я в пространство 3. Для этого построим вспомогательное пространство Ь2п(О) = {д = (дьд2,..., дц,...) : дц Є Ь2п(0,ц)}. Очевидно, имеют место плотные и непрерывные вложения Я ^ Ь2п(О) ^ Ь2(О). Обозначим через Ь2п(О) сопряженное к Ь2П(О) относительно двойственности (■, ■) пространство. Пространство Ь2п(О) топлинейно изоморфно пространству

Ь ап (О) = {д = (ді,д2,...,дц,...) : дц Є Ь 2п (0,ц)}.

2п-1 2п — 1

Норма в пространствах Ьр(О) задается следующим образом:

ц

/1] \ р

( |иц |рйх

о

Поэтому в силу неравенства Гельдера и непрерывности вложений Ь2п(0, ц) ^ Ь2,(0,1ц) ^ Ь2(0,1ц), в = 1, 2,..., п получим

|(Жи),,)| < сі тах{|а2ц|} ||и||3„ |МІ2п+с2 тах{|азц|} ||и||2п ИЬп + ... цц

... + Сп-1 тах{|апц|} ||и||2п-1 |МЬп, ц

где константы Сі Є М+, і = 1, ...,п — 1 и не зависят ни от и, ни от V, т. е. действие оператора N : Ь2п(О) ^ (О) имеет место. Действие

2п-1

оператора N : Я ^ 3 имеет место в силу вложения Я ^ Ь2п(О), из которого вытекает вложение Ь 2п (О) ^ 3.

2п-1

Лемма 2. При любых а2ц, а3ц,..., апц Є М оператор N Є С^(Я; 3).

Доказательство. Фиксируем точку и Є Я и рассмотрим производную Фреше N оператора N в точке и,

(К (,),^) = 3 ^а2цйц [ и^-ицицйх + 5 ^ а3ц4ц / и^■шцйх + ...

Г1]

... + (2п — 1) апцйЛ и2п 2,ц■ш?-йх.

Отсюда аналогично предыдущему

|(К(,),^)| < 3С1 |}||и||2п||,||2п ||^||2п + ...

ц

+ ...Сп ■ (2п — 1) max{|аnj|}||и||2п-2|М|2п |ИЬп,

где константы С € М+, г = 1,...,п — 1 и не зависят от и, V и ад, т. е. N € £(Я; 3) при фиксированном и. Непрерывность со второй по (2п — 1)-ую производных Фреше включительно доказывается аналогично, остальные производные равны нулю. Лемма доказана. □

Итак, мы редуцировали задачу (0.1)—(0.4) к задаче Шоуолтера -Сидорова

Ь(и(0) — и0) = 0, (1.1)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьи = Ми + N (и). (1.2)

2. Фазовое пространство

Выберем в ядре кег Ь ортонормированный (в смысле (■, ■)) базис, т. е. кег Ь = 8рап(%к : к = 1, 2,..., I}, и отождествим его с базисом в сокегЬ. Так как Я0 = кег Ь, то все решения уравнений (0.1) будут с необходимостью лежать во множестве

М = {и € Я : (Ми + N (и), ) = 0, к = 1, 2,..., 1}

как траектория. Найдем условия, при которых множество М будет фазовым пространством уравнения (0.1).

Лемма 3. Пусть выполнено условие (гг) леммы 1 и все ненулевые ау, в = 2, ...,п имеют тот же знак, что и ау. Тогда множество М — простое многообразие.

Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству леммы 1.3 статьи [8], если в качестве вспомогательного оператора рассмотреть следующий гладкий оператор 5 : кегЬ ^ кегЬ(в предположении, что все а.у € М+):

5 (и0) = X ((М + N Хи1 + и°),Хй )х>.

Й=1

Сначала доказываются строгая монотонность и коэрцитивность оператора 5, т. е. (5(и0)—5^°),и°— V0) > 0, если и° = V0 и Иш ^ =

Р ’ ( 1 ! к ь ) ’ ^ 1К||Я^ |№

+то. В силу теоремы Вишика-Минти-Браудера [2], гл. III, § 2, следует существование единственного решения уравнения Б (и0) = 0. Это в свою очередь означает, что для любого вектора и1 € со1ш Ь существует единственный вектор и0 € кег Ь такой, что и0 + и1 € М. Далее проверяется невырожденность оператора 0 ^0) в точке и0 € М:

(5адЫ^) > 0, Vo € кегЬ\{0}.

Если ау € М_, то для доказательства леммы вместо оператора 5 надо взять оператор Т = —5.

Теорема 2. Пусть

(i) кег Ь = {0}. Тогда для любого и0 Є Я существует единственное решение задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнений (0.1).

(ii) кегЬ = {0} и все коэффициенты ац = {0}, в = 1, ...,п имеют одинаковый знак. Тогда для любого и0 Є Я существует единственное решение задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнений (0.1).

Приведем набросок доказательства. Утверждение (і) очевидно, так как в этом случае существует оператор Ь-1 Є £(Я; 3) (детали см. в замечании 4.1.1. [10]). Существование единственного локального решения и Є С 1((—т, т);Я) задачи (1.1)-(1.2) при любом и0 Є Я - результат классической теоремы Коши (см., например, [5], Гл. 4, § 1).

(іі) Пусть кег Ь = {0}. Тогда в силу условий леммы 3 фазовым пространством уравнения (0.1) является простое многообразие М. Поэтому любое решение задачи (1.1) совпадает с решением задачи Коши и(0) = ,0, где ,0 - проекция вектора и0 на М вдоль кег Ь, тем самым задача сведена к (і).

Замечание 1. Коэффициенты Ац входят в условия теоремы 2 неявным образом, т.к. именно они определяют тривиальность или нетри-виальность ядра кег Ь.

Список литературы

1. Баязитова А. А. Задача Штурма - Лиувилля на геометрическом графе / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16(192). С. 4-10.

2. Гаевский Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978.

3. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. - М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

4. Загребина С. А. Задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения соболевского типа на графе / С.А. Загребина // Оптимизация, управление, интеллект. -Иркутск, 2006. - № 1(12). - С. 42-49.

5. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. -Волгоград : Платон, 1996.

6. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. - М. : Физматлит, 2007.

7. Свиридюк Г. А. Уравнения соболевского типа на графах / Г. А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 2002. - С. 221-225.

8. Свиридюк Г. А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г. А. Свиридюк, А. А. Баязитова // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2009. - № 1(18). С. 6-17.

9. Шеметова В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах : дис. ... канд. физ.-мат. наук. / В. В. Шеметова. - Магнитогорск, 2005. 10. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht ; Boston ; Tokyo: VSP, 2003.

A. A. Bayazitova

The Showalter — Sidorov problem for the Hoff model on a geometric graph

Abstract. The Showalter - Sidorov problem for the generalized Hoff equations given on a finite connected oriented graph is investigated in this paper. The morphology of the phase space is investigated and conditions under which the Showalter - Sidorov problem has a uniqueness solution are found.

Keywords: Sobolev type equation, phase space, the Showalter - Sidorov problem, Hoff equation

Баязитова Альфия Адыгамовна, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76, тел.: (351)2679339 ([email protected])

Bayazitova Alfiya, South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080, Phone: (351)2679339 ([email protected])