CC BY
28
УДК 517.9
НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОФФА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ
Н.П.Семенова
THE INITIAL-FINITE PROBLEM FOR HOFF'S EQUATIONS ON GEOMETRICAL GRAPH
N.P. Semenova
Статья посвящена исследованию однозначной разрешимости начально-конечной задачи для уравнения Хоффа на конечном связном ориентированном графе.
Ключевые слова: уравнение Хоффа, начально-конечная задача, относительно р-ограниченные операторы, конечный связный ориентированный граф
The article is devoted to the study of unique solvability of initial-finite problem for Hoff's equations on a finite connected oriented grarh.
Keywords: Hoff's equation, initial-finite problem, relatively p-bounded operators, finite connected oriented graph
Пусть Я и 5 ~ банаховы пространства, операторы L Е £(Я;30 (т.е. линеен и непрерывен) и М Е CI (Я; (т.е. линеен замкнут и плотно определен). Введем в рассмотрение L-резолъвентное множество pL(M) = {/i Е С : (/¿L — M)~l Е £($;Я)} и L-спектр а1(М) = С \ РЬ(М) оператора М [1].
Теорема 1. [1] Пусть оператор М (L,p)-ограничен. Тогда существуют проекторы Р Е £(Я) и Q Е £($) такие, что L Е £(kerP;kerQ) П £(imP;imQ) и М Е £i(kerP;ker Q) П Cl(imP;imQ).
Положим Я0 - kerP, = ker Q, Я1 = imP? = imQ. Тогда Я - 11° ©Я1, д = 5го ® У1. Через Lo(Mq) обозначим сужение оператора L(M) на Я0, (dom Mo = dom М ПЯ°.)
Теорема 2. [2] Пусть aL(M) = afn(M) U а^х(М), причем afn{M) содержится в ограниченной области О С С с кусочно гладкой границей dil и dft П aL(M) = 0. Тогда существуют проекторы Pin Е £(Я) и Qin Е £($) такие, что операторы L Е £(kerP^n;ker Qm) П £(imPin; imQ^n) и М £ C/(kerPin;ker Qin) nCl(imPin;imQin).
Проекторы Pin и Qin имеют вид Pin = (2m)~l J/yR^(M)dp, Qin = (2т)~г f^R%(M)dfj,, где контур 7 = <90.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теорем (1) и (2). Тогда РгпР — РРш — Pin QinQ = QQin = Qin •
Положим Рех = Р — Pim в силу следствия (1) Рех Е £(Я) - проектор. Возьмем Т Е М+, щ, wTGlli рассмотрим задачу
Рех(и(0) - щ) = 0, Pin{u{T) -ит)= 0 (1)
для линейного уравнения соболевского типа
Lú = Ми + /. (2)
Вектор-функцию и Е (71((0,T);il) П С([0,Т];И), удовлетворяющую уравнению (2), назовем его решением; решение и = u(t) уравнения (2) назовем решением задачи (1), (2), если
lim Pex(u(t) — wo) = 0и lim Pin(u(t) — ит) = 0. 0+ t->T-
Положим im Pin(ex) = im Qin(ex) = $in(ex)- По построению Hin © ttex = ü1 И
■Sin © Sex — Ъ *
Теорема 3. Пусть оператор М (L^p)-ограничен и выполнены условия теоремы 2. Тогда для любых щ,ит Е 11 и вектор-функции / = f(t),t Е [0, Т], такой, что /° Е Ср([0, Т]; П Ср+1((0, /<п Е С([0,Т];^п), /еж Е С([0, существует единственное решение
задачи (1)-(2), которое к тому же имеет вид
р Т 1
u{t) = - ¿ G'M^fit) + Ü?-Tur - / Щп8ГШз + I^iio + í Rt-xsfeX{s)ds.
t о
Здесь /° = (I - Q)/, = Qín(e*)/, G = M^Lo, U¡n = (2т)-1 /^(М)е^ф,
7
История задачи (1) начинается с одной стороны в [3], где она названа задачей Вериги-на, а с другой стороны и независимо - в [4], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов Р{п и Рех рассматриваются спектральные проекторы оператора L, причем L вдобавок предполагается самосопряженным. Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Сви-ридюком. Первые результаты в этом направлении изложены в [5], где рассмотрен частный случай задачи (1), причем с более жесткими, чем здесь, условиями на L-спектр оператора М. В [6] рассмотрена задача (1), но для тех же условий на L-спектр оператора М, что и в [5], однако для (L, ^-ограниченного оператора М отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях. В [7] результаты [6] распространены на случай (L,p)~ радиального оператора М. Нам кажется, что наиболее удобным будет эту задачу называть начально-конечной.
Пусть теперь G = G(2J; £), где 53 = {V¿} - множество вершин, а € = {Ej} - множество ребер, - конечный связный ориентированный граф, причем каждому его ребру Ej сопоставлены два положительных числа lj, dj, которые удобно трактовать как длину и площадь поперечного сечения соответственно. Такой граф G предложено называть геометрическим [8]. Пусть на каждом ребре Ej заданы линеаризованные уравнения Хоффа, которые моделируют динамику выпучивания конструкции из двутавровых балок
ÁUjt + Ujtxx = OLUj + fj. (3)
Здесь параметр а Е Ш+ характеризует свойства материала балки, а параметр Л Е Ж+ - вертикальную нагрузку. Нас интересуют решения уравнения (3) удовлетворяющие следующим условиям:
Uj(0j t) =uk(0, i) =um(lmjt) =un(lmt), (4)
где Ej,Ek E Ea(V¿),EmjEn E ЕШ(У1)] (Ea^(V¿) - множество ребер с началом (концом) в вершине V¿), а также
djUjx(0j i) — dkukx{lk,t) = 0. (5)
EjeE^(Vi) EkeE»(Vi)
Н.П. Семенова
Условия (4) требуют непрерывности решений в вершинах графа, причем при этих условиях термин «отсутсвовать» не значит «быть равным нулю». Например, если в вершину У% все ребра «входят», то первые два равенства в (4) именно «отсутствуют», а не «равны нулю». Условие (5) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю.
Впервые уравнения в частных производных на геометрических графах начали изучаться в конце прошлого века в связи с моделированием процессов «реакции-диффузии» в трубчатых реакторах, а также динамики давления и влагопереноса в «тонких» областях. Первая монография [8] по классическим дифференциальным уравнениям на геометрических графах вышла в 2004 г. Первая статья [9], в которой рассмотрены уравнения соболевского типа на графах, появилась в 2002 г. Первая диссертация [10], в которой описаны фазовые пространства некоторых уравнений соболевского типа, заданных на графах, защищена в 2005 г. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа на графе была рассмотрена в [11].
Чтобы редуцировать задачу (3) - (5) к задаче (1) - (2), ведем в рассмотрение банаховы пространства $ = {д = (дъ д2,..., д^...) : д^ Е Ь2(0,^)} и Ю = {у = г>2,...) : ^ Е 1^2 (0, /у) и выполнено (4)}. Пространство гильбертово со скалярным умножением
Ь
= ^ / д^бх, Щее {
а пространство Ю— банахово с нормой
1М1ш = ^ / +
щее {
В силу теорем вложения Соболева функции из абсолютно непрерывны, поэтому пространство Ш определено корректно.
Обозначим через Ш* сопряженное к 23 относительно двойственности (•, •) пространство и формулой
^ее {
зададим оператор А Е £(Ш, Ш*). Спектр оператора А неположителен, дискретен, конечно-кратен и сгущается только к —сю. Занумеруем собственные значения {А&} оператора А по невозростанию с учетом кратности.
Введем в рассмотрение еще одно банахово пространство И = {и = (щ, и2,•••) : Uj Е (0, Ц) и выполняются (4), (5)} с нормой
Ч
IIи\\1 = / + и% +
щег {
Формулой В : и (щхх,и2хх, •••)> зададим оператор В Е £(&;$). При всех
и ей Ви = Аи. Выберем А Е М+ и построим оператор Ь = Х + В. По построению оператор Ь Е £(11; 30, а ег0 спектр о{Ь) = {А + А^}. Оператор М зададим формулой Ми = аи, для всех и Е 11.
Лемма 1. При любых А Е М+, а Е Ж+ оператор М (I/, -ограничен.
Таким образом редукция задачи (3) - (5) к задаче (1) - (2) закончена. Итак, все условия теоремы 3 выполнены, и поэтому справедлива
Теорема 4. При любых А € а € М+, wo^r 6 11, / G ? существует единственное решение и Е С([0,Т];Я) П С1((0,Т);Я) задачи (4), (5) для уравнения (3).
Литература
1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/ Fedorov, V.E. - Utrecht: VSP, 2003. - 228 p.
2. Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.B. Келлер. - Челябинск, 1997.
3. Панков, A.A. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной / A.A. Панков, Т.Е. Панкова // Докл. Акад. наук Украины. - 1993. - № 9. - С. 18 - 20.
4. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.
5. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т.38, № 12. - С. 1646 - 1652.
6. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22 - 28.
7. Загребина, С.А. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно (£,р)-радиальным оператором / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева // Вестн. МаГУ. Сер. «Математика». - 2006. - Вып. 9. - С. 17 - 27.
8. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В.Покорный, О.М. Пенкин, B.J1. Прядиев. - М.: Физматлит, 2004.
9. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах/ Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ. - Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.
10. Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. ... канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова - Магнитогорск, 2005.
11. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения соболевского типа на графе / С.А. Загребина // Оптимизация, управление, интеллект. - Иркутск, 2006. -1 (12). - С. 42 - 49.
Кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет npsemenova@r ambler. ru
Поступила в редакцию 17 марта 2010 г.
