Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для одной эволюционной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯМИ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ ЭВОЛЮЦИОННОЙ МОДЕЛИ

Н, А. Манакова, А. Г, Дыльков

Введение

Многие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, удобно рассматривать в рамках абстрактных уравнений соболевского типа, составляющих обширную область неклассических уравнений математической физики [1,2],

Lx = Mx + y + Bu, kerL# {0}, (0.1)

где функции x, y и u лежат в гильбертовых прострапствах X, Y и U соответственно. Оператор L G J?(X;Y)> оператор M G cê/(X;Y)> a оператор B G J?(U;Y), функции y : (0,т) С R+ ^ Y, u : (0,т) С R+ ^ U (т < то) подлежат дальнейшему определению. Подходящим математическим аппаратом для изучения таких задач является теория вырожденных полугрупп операторов.

Задача Коши для уравнений вида (0.1) изучена ранее [3]. В данной работе будем рассматривать начально-конечную задачу, т. е. линейное уравнение соболевского типа (0.1) с условиями

Pin(x(0) - x0) = 0, Pfin(х(т) - xT) = 0. (0.2)

Здесь т G М+, щ, xT G X, а операторы Pin, Pfin — относительно спектральные проекторы, действующие в пространстве X. Впервые началь-

© 2012 Манакова Н. А., Дыльков А. Г.

но-конечные задачи для линейных уравнений соболевского типа появились в работах Г. А. Свиридюка и С. А. Загребиной [4,5]. Однако полученные ими классические решения задачи (0.1), (0.2) мало пригодны для техники гильбертовых пространств, поэтому нам потребуются другие решения. Начально-конечная задача (0.1), (0.2) является естественным обобщением задачи Шоуолтера — Сидорова [5], которая в свою очередь является обобщением задачи Коши. Условия (0.2) отличаются от условий ранее изученных задач тем, что одна проекция решения задается в начальный момент, а другая — в конечный момент рассматриваемого временного промежутка. В настоящее время уже есть результаты о начально-конечных задачах для уравнений соболевского типа высокого порядка [6].

Нас будет интересовать задача оптимального управления, которая заключается в отыскании такой пары (ж, и) € X х для которой выполняется соотношение

7(ж, и = ^ и), (0-3)

где все пары (ж, и) удовлетворяют задаче (0.1), (0.2). Здесь 7(ж, и) — некоторый специальным образом построенный функционал стоимости; управление и € где Иаа — некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений И. Оптимальное управление линейными уравнениями (0.1) с условиями Коши впервые изучалось в [3]. В работе [7] предложен численный алгоритм нахождения решения задачи оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа с начальным условием Шоуолтера — Сидорова в конечномерном случае. Оптимальное управление для полулинейных уравнений соболевского типа с начальным условием Шоуолтера — Сидорова рассматривалось в работе [8]. Наш подход основан на идеях и методах [3,9].

Статья организована следующим образом. В п. 1 доказана теорема существования сильного решения задачи (0.1), (0.2). В пп. 2, 3 находятся необходимые и достаточные условия разрешимости задачи

(0.1)—(0.3). Далее в п. 4 мы иллюстрируем полученные абстрактные результаты одной эволюционной моделью на графе.

1. Сильные решения

Пусть X, ф — гильбертовы пространства, операторы Ь € ЛС(X; ф), М € с€ /(Х;ф), функция / : (0, т) С М+ ^ ф (г < ж) подлежит

Ь

множество рь{М) = {ц € С : {цЬ - М)— € (ф;Х)} Ь-спектр сть(М) = С \ рь(М) оператора М и оператор-функции

д£(М) = (цЬ - М)— Ь, Ь^(М) = Ь(цЬ - М)—,

Ь

М.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение соболевского типа

ЬХ = Мх + f (1.1)

с условиями (0.2).

ЬМ

М) = а£п(М) и агьп(М), (¿1)

где М) содержится в ограниченной области Л С С с кусочно гладкой границей 7, причем 7 П сть(М) = 0.

Пусть далее ц € рь{М), ц = ОД,... ,р. Оператор-функции

= П < (м> Ьи(М = П (М)

й=0 й=0

Ь, р

М.

Мр

носительно оператора Ь с числом р € {0} и N (короче, (Ь,р)-секто-риальным), если

(I) существуют константы аёКивё (?'>7Г) такие, что

Баье (И) = (м е С: \агё(м - а I <©,М^я}С И),

(II) существует константа К е М+ такая, что

К

таХ{||Д^,р)(М)Ц^(Ж)' \\Ь(И,Р)(М) 11^(0))} ^ ~ '

П К - а\

д=0

при любых |Лq е Б^е (И) 9 = ОД, . . . ,р.

Пусть оператор И (Ь,р)-секторпален, р е (0} и М, тогда существуют вырожденные аналитические полугруппы операторов [3]

х'=Ъ!и =¿/

г г

где £ е М+, а контур Г с Б^в(И) такой, что \ агgм\ ^ О при м ^ оо, (1 е Г, 0 е (|,тг). Положим Х0(2)0) = кегХ'(кегУ), X1©1) = ппХ*(1тУ) и обозначим через Ьк(Ик) сужение оператора Ь(И) на Хк(Хк П аот И, * = 0,1. Очевидно, что X © X С X и У © У с У В дальнейшем нам потребуются два условия:

X © X1 = X (У © У=У, (А2)

существует оператор Ь— е Л?(ф^Х1). (АЗ)

Условие (А2) имеет место либо в случае, когда оператор И сильно (Ь,р)-секториадеп справа (слева), либо когда пространство Х(Ф) рефлексивно (теорема Яги — Федорова) [10]. Условие (АЗ) выполняется либо в случае, когда оператор И сильно (Ь,р)-секториалеп, либо когда он (Ь,р)-секториадеп, выполнено (А2) и У = ¡т!1. Если выполнены условия (А2), (АЗ) и оператор И (Ь,р)-секториалеп, то существуют проекторы Р = е-^т^ X4, ^ = е-^^ У4 и операторы

Н = И— Ь0 е &(X0) и Б = Ь— И е ^/(Х1), причем оператор Н ннльпотентен степени р, а итератор Б секторпален.

Пусть выполнено условие (А1), построим относительно спектральный проектор [4]

Pfin = Rjl(M) dp,

причем оказывается, что при условии (Ь,р)-секториальпости оператора M и выполнении условий (А2), (A3) PfinP = PPfin = Pfin- Значит, в данном случае существует проектор

P — P - Pf

J in - J J fin •

Теорема 1 [4]. Пусть оператор M (L, р)-секториален п выполнены условия (А1)-(АЗ). Тогда для любых щ, xT G X н вектор-функции f G Cp([0 , т]; Y ПС p+1(( 0, t); Y существует единственное классическое решение задачи (0.2), (1.1), которое имеет к тому же вид

p t

rt ^ | I ryt — s _

dq t

x(t) = - ^(M^UYM^ — fit) + XlnxQ + / Zl-Sr(s) ds

q=0 {

T

+ fXt - j Zf-nsf fin{s) ds, (1.2)

где

Х„ = ( 2,Ч "'(/ ВЦ МУ- - / М,«« *.),

Г 7

^ = (2.,-(/(цЬ - М)-е«1 -/(цЬ - М)-е«1

г 7 (1-3)

Х^„ = (- I dp,

7

4„ = ( 2,ч -/ (цЬ - м,-

7

Определение 2. Вектор-функцию ж € Я1 (X) = {х € Ь2(0,т; X) : X € Ь2(0, т; X)} назовем сильным решением уравнения (1.1) если она

п. в. на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение x = x(t) уравнения (1.1) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если lim Pin(x(t) — x0) = 0 и lim Pfin(x(t) — xT) = 0.

t—0+ t—ут - J

В силу непрерывности вложения H1 (X ^ ^([0, т]; X) наше определение корректно. Термин «сильное решение» введен для того, чтобы отличать решение уравнения (1.1) в данном смысле от «классического решения». Заметим, что классическое решение (1.2) является также и сильным решением задачи (0.2), (1.1).

Построим пространства H1+1 (ф) = {v G L2(0,t; ф) : vG £2(0, т; ф),р G {0} U N}. Пространство H1+1 (ф) гильбертово со скалярным произведением

1+1 T

[v,w] = / q) q) )y dt. q=o{

Пусть y G H1+1 (ф). Введем в рассмотрение операторы

1 dq

Ay(í) = -^(М-^М-1— y°(t), ^(í) =

q=o

t T

A2y(t) = JZn-Vn(s)ds, ^W = Xf-nTxt, A3y(t) = JZfnsyfin{s)ds.

t

Лемма 1. Пусть оператор M (Ь,р)-секториален и выполнены условия AHA3). Тогда

(i) A G^f(H^1(ф); H(X);

(ii) при любом xo G X вектор-функция ki принадлежит С1 ((0, т); X);

(Iii) A G^f (H^1 (ф); H (X));

(iv) при любом xT G X вектор-функция k2 принадлежит С1 ((0, т); X);

(v) A ^(H1+1(ф); H (X)).

Теорема 2. Пусть оператор M (Ь,р)-секторналеи п выполнены AA x , xT G X н f G H1+1 (ф) суще-

ствует единственное сильное решение задачи (1.1), (0.2).

Доказательство. Поскольку мы уже имеем классическое решение (которое является сильным), покажем единственность. Действуя на уравнение (1.1) последовательно проекторами (I — Q) и Qin(jin), сведем его к эквивалентной системе из трех независимых уравнений

Hx0=x0, (1.4)

xin = Sin xin, xin(0) = 0, (1.5)

xfin = Sfinxfin, xfin{ t) = 0 (1.6)

где H = M— L0, Sfin(in) = LfnnMifin(in) G Щх)ы{ы))- Здесь x(i) = xi(t) — xi(i),x2(i) — два решения задачи (0.2), (1.1).

H

HP+ix° = Hpx° = 0. Продолжая этот процесс, убеждаемся, что x0 = 0. Равенство нулю решений задач (1.5), (1.6) следует из ограниченности

Sfin Sin

2. Оптимальное управление

Рассмотрим начально-конечную задачу: линейное неоднородное уравнение соболевского типа

Lx = Mx + y + Bu (2.1)

с условиями (0.2), где функции x,y и u лежат в гильбертовых пространствах X, Y и И соответственно. Oneратор L G Jz?(X Y)> оператор M G %?/(X;Y), а операт op B G if (И Y, Функции y : (0,т) С R+ ^ Y, u : (0, т) С М+ ^ И (г < то) подлежат дальнейшему определению. Пусть оператор M ^,р)-секториален, p G {0} U N и выполнены условия (A1)-(A3).

Введем в рассмотрение пространство управлений

Hp+1 (И = {u G L2(0,t;И : u(p+1) G L2(0,t;И, Р G {0} U N}.

Пространство Hp+1 (И) в силу гильбертовости И гильбертово со скалярным произведением

p+i I

[v,w] = J2 / (v(q) q))u di.

q=0J0

Выделим в пространстве HP+1 (И) замкнутое и выпуклое подмножество Я|+1 (И) — множество допустимых управлений.

Введем в рассмотрение 3 — некоторое гильбертово пространство наблюдений, и оператор C G Jz?(X;3)> задающий наблюдение z(t) = Cx(t). Заметим, что если x G H1 (X), то z G H1 (3).

Определение 3. Вектор-функцию u G H|+1 (И) назовем оптимальным управлением решениями задачи (2.1), (0.2), если

J(X,w)= min J(x,u), (2-2)

(ж,«)EH (X xflf1 (У)

где все пары (x, u) удовлетворяют задаче (2.1), (0.2).

Нашей целью является доказательство существования единственного управления U G H|+1 (U, минимизирующего функционал стоимости

il P+i т

J(x,u) = p^ ¡W*^ - zo] Из dt + ^X! /(Nr u(q) >y dt. (2.3)

9=% 9=0 0

Здесь Ng G Jz? (Uj 9 = 0, Ij ...)P+lj — самосопряженные и положительно определенные операторы, *о = *o(t) — планируемое наблюдение, р, V ^0, р + v = 1, 0 ^ k ^ р + 1. Справедлива

Теорема 3. Пусть оператор M (Ь,р)-секторпалеп п выполнены условия (A1)-(A3). Тогда для любых y G HP+1 (Y, x$,xT G X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (2.1), (0.2).

Доказательство. По теореме 2 при любых y g Hp+1 (Y), x0,xT g X и u G HP+1 (И) существует единственное сильное решение x G H1 (X) задачи (2.1), (0.2), имеющее вид

x(t) = (A + A - A3)(y + Bu)(t) + ki(t) + k2(t), (2.4)

где операторы A, A, A и вектор-функции k\, k2 заданы в лемме 1.

Зафиксируем y G HP+1 (Yj xo, xT G X и рассмотрим (2.4) как отображение D : u ^ x(u). Тогда отображение D : HP+1 (U ^ H1 (X), определенно непрерывно. Поэтому функционал стоимости зависит только

от и, т. е. «/(и) = /(ж, и). Следовательно,

п(М, «) = и)) — 0)), С(ж(£, — 0))}Н1 (3) + и],

где

является билинейной непрерывной коэрцитивной формой на Яр+1 (И), V(¿) = NИ^ (¿), ^ = 0,... , к, а

/(и) = ^,(¿0 — Сж(£, 0), С(ж(£, И — 0))}н (3)

является линейной непрерывной формой па Яр+1 (И). Перепишем функционал стоимости (2.3) в виде

/(и) = ^||Сж(г, и) — ¿оУн(3) +

Отсюда

/(и) = Пи, и — 2/(и) + — Сж(£, 0) Ун (з. Значит, для функционала /(и) выполнены все условия теоремы [9, гл. 1]. Теорема доказана.

3. Необходимое условие оптимального управления

С учетом гильбертовости X, ф, 3 управление ио € Я|+1 (И) оптимально тогда и только тогда, когда

/'(и0)(и — и0) >0 V« € (И, (3.1)

т. е. для функционала (2.3) выполняется соотношение

^(Сж(£, ио) — ¿о, С(ж(£, и —ж(£, мо))}н (3) +и—ио] Vw € Я|+1 (и,

.

где

р+1 т

к, и—= 4Я)(*), и?)(*)—и)и ^ (з.з)

д=о{

— билинейная непрерывная коэрцитивная форма на Hp+1 (И). Введем в рассмотрение изоморфизмы

Л:3 ^ 3*, лу: И ^ И*. (3.4)

Тогда неравенство (3.2) можно переписать в виде

м(С*Л(Cx(t, щ) — ¿о), x(t, и) — x(t, щ))и1(3)

p+i т

+ (t),u(q)(t) — (t)> Vu g Hp+1(И). (3.5)

q=0 {

Пусть X*, Y* — сопряженные пространства к X, Y соответственно. Зафиксируем некоторые векторы ж*, ж* G X*. Оиератор L* G Jz?(Y*; X*), оиерат ор M * : domM С Y* ^ X* линеен и замкнут (dorn M* = Y*)- Введем в рассмотрение L*-резольвентное множество

pL* (M*) = (м G C : (mL* — M*)-1 G ^(X*; Y*)}

и L*-cneKTр aL*(M*) = C \ pL*(M*) оператора M*.

XY

ратор M G /(X;Y) (L,p)-ceKTopnален тогда п только тогда, когда оператор M* (L* ,р)-секторпалеп.

Аналогично построим проекторы P* и P*in:

р1=1Ыr?(м*} dpfin=р*~ plY

Здесь контур y G C ограничивает область, содержащую ст^ (M*).

Теперь определим сопряженное состояние задачи (0.2), (2.1) £(t, u) G Hp+1 (Y*) как решение уравнения

—L*£=M *£+С*Л (Cx(t,u) — *о) (3-6)

на интервале (0;т), снабженного начально-конечным условием

PUM = 0, PU(0) = о. (3.7)

Справедлива следующая

Теорема 4. Пусть пространства X ф гильбертовы, оператор М (Ь,р)-секторпалеи и выполнены условия (А1)-(АЗ). Тогда существует единственное решение и) е Я1(ф*) задачи (3.6), (3.7).

Теорема 5. Пусть оператор М (Ь,р)-секторпален п выполнены условия (А1)-(АЗ). Тогда при любых у е Яр+1 (ф) п х е Я1 (X) оптимальное управление и0 е Я|+1 (И) для задачи (0.2), (2.1) характеризуется соотношениями (3.6), (3.7) и выполняется неравенство В*£(£, и0), и(£) - ио(^)(3) р+1 т

+ (*)>и?)(*) - (*))и > о ^и е яр+1 (И,

д=0 ^

где

х(*,и0) е я1 (X, £(*,и0) е яр+1 (ф*),

р

р

Доказательство. Вектор-функция Х(г, и) = х(г, и) - х(£, и0) является решением начально-конечной задачи

Д„( Х(0)) = 0, Р/4п( Х(т)) = 0, (3.8)

ЬХ = МХ + в и — щ).

Действуя на данное уравнение последовательно проекторами I — ^ и Q¿„(^¿„), сведем данную задачу к трем эквивалентным задачам

яХ0 = х0 + м0-1 (I - д)в(и - и0), (з.э)

Ь¿„Х4„ = М¿„Х4„ + Qi„B(u - ио), р„(х(о)) = о, (3.10)

Ьц„хт = М/¿„х^„ + Q/i„B(u - и0), Р/4„(Х(т)) = 0. (3.11)

Умножим (3.10) скалярно на £®„(и0) и проинтегрируем по интервалу (0,т). Получим

т

I(ь¿„х4„(и - Ь¿„х4„(*,и0),г„) ^

о

т

= I [(М ¿„х4„( - М ¿„х4х *,и0),г„ к ^¿„в(и - и0),е„)]

о

Интегрируя по частям левую часть последнего равенства, получим

т

У (Ьи - ¿1 ¿"¿¿"(^«о),^"> ^

О

= (^¿пХ"(Т,и - Ь¿п^"(Т,«о),е"(т)> - (Ь¿пХп(0- Ь¿пХп(0,«о),еп(0)>

т

+ I - (Хп (и - («о), ьI¿п¿¿">

о

откуда, применяя условия (3.7), (3.8), получаем

т

/ - (Ь I¿пГп, (и - Хп («о)> ^

о

т

= /[(м^п - ^п( >

о

+ (Л-ВгдГпГ,(« - щ)>] ^ (3.12)

Аналогично найдем

т

/ -(Ь I/¿"^¿п, ^¿п(и - «о)> ^

О

т

= /[(мг^е^, *Лп(*, и - «0)>

о

+ (л-В (« - «0)я (3.13)

Так как оператор М сильно (Ь,р)-секторпаден, оператор Н ннль-потентен, из (3.9) в случае р = О следует, что

о = х0 + м-1 (I - д)в(и - и0).

Умножая данное равенство скалярно на «о) и интегрируя по интервалу (0, г), получаем

т

0 = J [(М0г-ж0(^и0)> + (Л— Вг(1-д)г£0, (и-и0)>] ^^3.14) о

Суммируя (3.12)—(3.14), будем иметь

т

J — {Ь*£, х(г, и) — х(г, щ)} dt о

т

= J [{М*х(г, и) — х(г, и0)} + (Л— В*(и — и0))] о

Умножим (3.6) скалярно на х(г, и — х(г, ио) и проинтегрируем по интервалу (0,т). Получим

т

J — {ь*£, х(г, и — хг, ио)} сг о

т

= J {М * £ + с* л (Сх(г; и — ¿о), хг, и — хг, и0)} л.

о

Тогда неравенство (3.5) можно при произвольном р € N записать в виде

т

м J (л— В*£(г,и0),и(г) — и0(г)) сг о

р+1 т

+ (г),и^(г) — Уие ^.

д=0 {

4. Модель эволюции давления на графе

Пусть в = Е), где V = {У1} — множество вершин, а Е =

{Е^} — множество ребер, — конечный связный ориентированный граф, причем каждое его ребро Е^ имеет длину ^ € М+ и площадь поперечного сечения € М+. На графе в рассмотрим линейные уравнения в частных производных

^Xjt xjtss вх3вв ахзв888 + 7х^ + из. (4.1)

Данные уравнения возникают в теории фильтрации и описывают эволюцию свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в пласте

ограниченной мощности [11], параметры а € М+, А, в, 7 € ® характеризуют среду, причем параметр А может принимать отрицательные значения.

Нас интересуют решения уравнения (4.1) удовлетворяющие следующим условиям:

ж, (О= жй(0,£) = жт(/ш,£) = Жп(/п,^, (4.2)

где Е€ Еа(V*), Ет,Еп € Еш(^¿) (ЕаН— множество ребер с началом (концом) в вершине , а также

УЗ ж,.(0,£) - ^ жь(,£) = 0. (4.3)

Введем в рассмотрение гильбертово пространство

ф = {У = (Уъ • • •, У,, • • 0 : У, € М0, У} со скалярным произведением

Ч

(У, = ^ / у, ^ ¿ж, е, ее о

и банахово пространство V = {г = , г2,..., г,, • • 0 : г, € ^^ (0, /,) и .}

В силу теорем вложения Соболева функции из ^з1 абсолютно непрерывны, поэтому пространство V определено корректно.

Обозначим через V1 сопряженное к V относительно двойственности (•, •> пространство и формулой

(А,ж> = £ ¿/¡' г,.ж,. г, ж € V,

е, ее ^

зададим оператор А £ Л£ (V; V*). Его спектр а(А) неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к Занумеруем собственные значения {Ак} оператора А по невозрастанию с учетом кратности. Тогда ортонормированное (в смысле ф) семейство соответствующих собственных функций } операто ра А образует базис пространства V в силу плотного и непрерывного вложения V в ф.

Введем в рассмотрение еще одно банахово пространство X = {х = (ж1, Ж2,... , Xj,...) : х^- £ /¿) и выполняются (4.2), (4.3)} с нормой

Формулой В : х ^ ( —х«я, —Xее,... , — Xjss,...) зададим оператор В £ (Х;ф). Возьмем А £ М и построим оператор Ь = А + В. По построению оператор Ь принадлежит «5?(Х; ф), а его спектр а(Ь) равен {А+А* }.

Наконец, введем в рассмотрение пространство

Формулой С : V ^ (щssss ssss,... , VjSSSS,...) зададим оператор С : с1отМ ^ ф, причем С £ «5?(с1отМ; ф) и а (С) = {А*}. Возьмем в, 7, А £ М и построим опер атор М = —вВ — аС + 7. По построению М £ Х;ф).

Е,- еЕ"( V»)

Ек еЕ-( V*)

с нормой

Тогда условие (0.2) примет вид

((ж(0) - = 0,

(4.4)

УЗ ((ж(т) - жД = о.

Таким образом, мы свели задачу (4.1)-(4.4) к задаче (0.2), (2.1).

Лемма 3 [4]. При любых а € М+ и в, 7, А € М таких, что либо —А € & (А), либо —А € &(А) и —А ие является корнем уравнения аа2 + ва — 7 = 0, оператор М сильно (Ь, 0)-секторналеи.

Введем в рассмотрение пространство

Н(Я) = {и = (м, м2, • • • и,, • • •) : и € МО, т; (0, /¿))}.

Теорема 6. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда при любых а, т € М+, в, 7, А € М жо,жт € X м € Н (Я) существует единственное сильное решение ж € Н(X) задачи (4.1)-(4.4).

Построим операторы

(^„м> = Е ^

где м = ик— ортонормированные в смысле ф функции,

— положительные числа.

Теорема 7. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда при любых а, т € М+, в, 7, А € М жо, жт € X м € (Я) существует единственное решение задачи (4.1)-(4.4), (2.2).

В заключение авторы считают своим приятным долгом поблагодарить профессора Г. А. Свиридюка за проявленный к работе интерес и строгую, но конструктивную критику, в немалой степени способствующую улучшению статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

2. Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

3. Свиридюк Г. А., Ефремов А. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Диф-ференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 11. С. 1912-1919.

4. Загребипа С. А., Соловьева Н. П. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе. Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2008. № 15, вып. 1. С. 23-26.

5. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шоуолтера — Сидорова как феномен уравнений соболевского типа // Изв. Иркутск, гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, № 1. С. 104-125.

6. Замышдяева А. А., Юзеева А. В. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска — Лява на графе // Изв. Иркутск, гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, № 2. С. 18-29.

7. Келлер А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа // Обозрение приклад, и пром. математики. 2009. Т. 16, вып. 2. С. 345-346.

8. Манакова Н. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 9. С. 11851192.

9. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

10. Федоров В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов. Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2008. № 15, вып. 1. С. 89-99.

11. Дзекцер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод // Докл. АН СССР. 1972. № 5. С. 1031-1033.

г. Челябинск, г. Магнитогорск

31 июля 2012 г.