О ВЫВОДЕ ФОРМУЛЫ ГРИНА УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА (MATHEMATICS)

УДК 517

Оразгулыев А.

канд. физ .-мат. наук, старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

(г. Ашгабад, Туркменистан)

Гараджаева С.А.

старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

(г. Ашгабад, Туркменистан)

О ВЫВОДЕ ФОРМУЛЫ ГРИНА УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Аннотация: в данной статье рассматриваются некоторые сведения о выводе формулы Грина. Проведен перекрестный и сравнительный анализ формирование установившихся колебаний для уравнения теории упругости для неограниченной области.

Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.

Пусть О-некоторая неограниченная область

КЙ = ПП {(х,у)/х2 +у2 = Я2}, {(х,у)/х2 +у2 < Я2}. (1)

Запишем формулу Грина для конечной области О^

I Аиуйхйу — I иАуйхйу = I !п(и)уй1 + I !п(и)уй1 —

— М — ¡^и!^ М , (2)

где и -V обозначает скалярное произведение вектора и на вектор V. Пусть существуют интегралы

/п Аиуйхйу, / иАуйхйу, ¡д /дпй?п(р) М.

Тогда

f Auvdxdy ^ f Auvdxdy, R ^ то; f uAvdxdy ^ f uAvdxdy, R^ то;

Л L^ Л ¿1 Л L^ Л L^

(3)

fdnR/yR vdl ^ fdn tn(u) vdl, то; fdnR/YR utn(v) dl ^ fdn Utn(v) dl,

R^ то. Если

fYJn(u)vdl-fdJn(u)vdl R ^то, (4)

то

f Allvdxdy — f uAvdxdy = fg tn(u) dl — fg tn(v) udl (5)

Утверждение: Пусть u и v удовлетворяют условиям излучения и производные ди д2и д2и

-—,——-, —-— (вектор и взят для определенности) остаются ограниченными

при R ^ то, a yR состоит из конечного числа дуг. Тогда имеют место формулы (4).

Доказательство: Перейдем к полярной система координат

df df df sin^

x = r cos w, — = — • cos w + ----;

ox or дф r

df df df cosrn

y = rsmy, — = — • smy — ----. (6)

dy dr dp r

.1 _

Из (6) и из tl = a11 • cos(n, i) + a12 • sin(n, i),

и из

-2 _

= <r12 • cos(n,i) + <r22 • sm(n,i), где i-орт оси, -компоненты тензора напряжений

G11=X(£11+£22) + • £11, 021 = 012 = 2^- £12 , 022 =Л(£Ц+£22) + £22

и £ij - компоненты тензора деформаций

duj

£Ч + ^ iJ = 1'Z Х1 =Х' Х2= У;

получаем для компонент вектора нормального напряжения на yR, следуюшие соотношения:

дщ дщ sin<p cos <р

t1 (и) = -—— [(Я + 2у) cos2 ф + д sin2 <р] + —— [(Я + 2и)\-

дг дф г

ди2 , ди2 ^.sin2 р — Ácos2ф

+ -т— (Л + и) cos w + sinw +—---;

or or г

дщ ди1 Xsin2 ф — cos2 ф

t2 (и) = —— (Л + и) cos ю • sinw + —----+ (7)

2 дг дф г

гп Л ■ 2 2 Л dU1 SÍn^-COS^

+ —— [(Л + 2а) sin2 ф + асоБ2ф] —----(Я + и.),

or дф г

U = К^.

Представим U в виде суммы: U = U(1) + U(2), (8)

rot U(1) = 0

du(l1> ди(1) ди(22> du(22> divU(2) = 0 О = —24 —^ =--О

ду дх дх ду

du(1 siny — ди(1 _ cosy _ ди™

dr дф г дг

du[2) СОБф — ди[2) БШф ди(2

dr дф Г дг

я (l)

OU2 siny

• C0S<P (9)

ди?2 СОБф

• si-пф +

дф г Из (7) и (9) следует, что

.. ~ ч ди(1) Л ди(1) „ ч ди(1) , Л ди(1)

t1(u )=(Я +ад-t- — r-^> £2("(2))=(Я + ад-ir + T'-^,

t (J¿(2))=u ^L! + t . t (Й(2))=м ^ — t .

) дг г дф ' ) дг г дф '

Тогда

ÍY (tn(U) •v — U • tn(v)) dl = \1 + \2 + \3 , (10)

где

Г / ди(1) др(1)

дг

+ I И(Л + 2Д (^ • V™ - ^ • и«) йср

+

1

г 4

ди<12-> (2) др^2 (2)

Г (ди<2) г

др.

(2)

т Г л\{ди<1) (22) .ди^ (2)\ (ду12) 1

др(2) (1) др22) (1) и; 1 + • Щ.

+Я

(2)

Г (ди1) (1) I ди2

IГ

(1)

дг

ду(1)

ду21} (2) —2— • и

дг 2

) й<р + )]

и = х

ди

(1)

ди + ^2

+

№

Ми(1)+и(2) ди (и2 + Щ

— I ^ (и^ + и^^) йф

+

+ д

¡г ^(и^ + и^сКр + Ь ^(и^ + и^скр]

ди

др(2)

2 / ~-~Г ■ ^р дг

Г = [<р\(Я • собц, Я • 5т<р)еун} с [0,2п].

Здесь интеграл 11 ^ 0 по теореме о предельном под знаком интеграла при Я^ ю. Интеграл 12 тоже стремится к нулю при Я^ ю после некоторых преобразований. Интеграл 13 , где производная берется по ф, оцениваются

просто. Например: по условию утверждения

ди

(1)

дф

остается ограниченной при

Я^ ю, а р(1-> + р(2-> ^ 0 при Я^ то равномерно по р. Тогда

^•¡г № + V?)) ¿у ^ 0 при Я^ ю.

Для оценки остальных интегралов в 13, необходимо применить формулу интегрирования по частям. Например:

г

г

г

г

2

Г ^ + и?) а<? = ж=1(и? + и?) = к -

г ил (ди{1) ди(2Л .

"Г (-£■ + ¿<Р - 0 при ^

2 \ дф дф Здесь Г = и1=1[акрк].

ю.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Ляв А. Математическая теория упругости -2. - М.; Л.: ОНТИ,1935.

2. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей - М: Наука, 1979

3. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.; Л.: Физматгиз,1962.

Orazgulyev A.

Candidate of Physics and Mathematics Sci., Senior lecturer at the Department of

Applied Mathematics and Informatics Turkmen State University named after Magtymguly (Ashgabat, Turkmenistan)

Garadzhaeva S.A.

Senior Lecturer at the Department of Applied Mathematics and Informatics Turkmen State University named after Magtymguly (Ashgabat, Turkmenistan)

ON THE DERIVATION OF GREEN'S FORMULA FOR STEADY OSCILLATIONS FOR THE EQUATION OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR AN UNBOUNDED REGION

Abstract: this article discusses some information about the derivation of Green's formula. A cross-sectional and comparative analysis of the formation of steady-state oscillations for the elasticity theory equation for an unlimited region was carried out.

Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.