ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА (MATHEMATICS)

УДК 517

Оразгулыев А.

канд. физ .-мат. наук, старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

(Туркменистан, г. Ашгабад)

Овездурдыева И.К.

старший преподаватель кафедры «Информационные системы и технологии» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

(Туркменистан, г. Ашгабад)

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Аннотация: в данной статье рассматриваются один метод решения задач теории упругости. Проведен перекрестный и сравнительный анализ несколько методов сведения задач неразрушающего контроля к решению интегральных уравнений.

Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.

В [1] Купрадзе был предложен ещё один метод решения задач теории упругости. Здесь коротко изложим суть этого метода. Рассмотрим следующую задачу:

Пусть Q некоторая область на плоскости xi, Х2 без разрезов. Представим в формуле Грина вектор U (х), удовлетворяющий условиям Ли = f,x е П; tn(u) = <р,х е дП,х = (х1,х2) (1) И поочерёдно векторы ЕЕЕ^ (х — у) и Е2 (х — у).

Получим

^(у) = I с (х — у))и(х)й1 - I (е1 (х — у))<р(х)й1 + I (е1 (х — у))г(х)йх

дП дП П

У ЕП (2)

^(9) = I С (ЕЕ2 (2-у))иШ1 — I (Её; (х — у))$(х)й1 + I (х-у))гШ1

дП дП П

У ЕП

Если в формулу Грина для О подставить и и Ех (х — у), Е2 (х — у), то как уже отмечалось, при у Е дП получим формулу (1), при у Е дП - (2). Если у Е

И2

I— , то ' П

I С (Е1 (х — у))и(х)й1 — I (X (х — у))ф(х)й1 + I (% (х — у))}(х)йх = 0

дП дП П

(3)

I С (Е (х — у))и(х)й1 — I (Е2 (х — у))ф(х)й1+ I (Е; (х — у)) Г(х)й1 = 0

дП дП П

Соотношение (3) называется в работе [1] каноническими функциональными уравнениями. Их особенностью является то, что область

интегрирования (ЗП) не совпадает с областью изменения у ^ |— . Определив из

(3) и(х), х* Е дП, из (2) можно найти и(х), х Е П. На основании теории потенциалов для уравнений теории упругости, созданной в [1], можно показать, что если решение задачи (1) единственное, то оно может быть определенно описанным способом. Строгого обоснования численному решению (3) в [1] не дано, но сказано, что его результаты близки к решениям, полученными другими методами. Можно также попытаться свести это функциональное уравнение к системе уравнений Фредгольма I рода, подействовав на обе части равенств (3) оператором, сопряжённым к оператору:

K: L2(dn) * L2(dn) ^ L2 (R2/- ) * L2 (r2/- ) ,

K <p(y) =

I ^nx

(Ex (x y) ) U(x)dl

\

| t^ (E2 (x y)) U(x)dl

dQ

/

При этом получиться уравнение с самосопряжённым положительным ядром, порядок особенности которого ещё надо исследовать.

Таким образом, в данной работе описано несколько методов сведения задач неразрушающего контроля к решению интегральных уравнений. Преимущество этих методов перед другими методами решения краевых задач, например, разностными, состоит в том, что для нахождения перемещений на границе нет необходимости искать перемещения внутри области. Способ, обоснованный на получении канонических функциональных уравнений, имеет то преимущество, что он приводит к решению системы уравнений Фредгольма I рода, методы решения которых хорошо разработаны и описаны в [2,3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Купрадзе В.Д. Методы потенциалов в теории упругости. - М.: Физмат гиз, 1963 г.- 472 стр.

2. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. -Киев: Науч. думка, 1986 г.- 544 стр.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986 г.- 228 стр.

Orazgulyev A.

Candidate of Physics and Mathematics Sci., Senior lecturer at the Department of

Applied Mathematics and Informatics Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)

Ovezdurdieva I.K.

Senior Lecturer at the Department of Information systems of technologies Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)

ON ONE METHOD FOR SOLVING PROBLEMS IN THE THEORY OF ELASTICITY

Abstract: this article discusses one methodfor solving problems of elasticity theory. A cross-sectional and comparative analysis of several methods for reducing non-destructive testing problems to solving integral equations has been carried out.

Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.