CC BY
4УДК 517
Оразгулыев А.
канд. физ .-мат. наук, старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(Туркменистан, г. Ашгабад)
Гараджаева С.А.
старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(Туркменистан, г. Ашгабад)
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦЕ КУПРАДЗЕ
Аннотация: в данной статье рассматриваются некоторые сведения о матрице Купрадзе. Проведен перекрестный и сравнительный анализ формирование матрицы Купрадзе с помощью функций Ханкеля.
Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.
В отличие от случая одного уравнения в частных производных, для систем уравнений в частных производных рассматривается не одно фундаментальное решение, а матрица фундаментальных решений Е, которая в случае
Аи = р • и + (Я + д) • дгай&уи + ш2 • р • и = 0
называется матрицей Купрадзе. Пусть
Тогда АТ^^) ' (1)
где 8(х, у) - 5-функция.
Можно проверить, что матрица с компонентами
_ 1
д2 1 Г/ь (1) -—1п-\ т • Н(1)(шт)(1т +
10Х; Г )г/а
дъох; Г Jr/а
+ ( дх{ + дх-^
(2)
1 1 -Н0(к,г)-~Н0(к,г)
(1)
где Н (х) - функция Ханкеля 1-го рода 0-го порядка;
1,1 = у, Ь2 = ц
удовлетворяет (1).
1
В [1] множитель — опущен, поэтому подействовав на столбцы матрицы
4 I
из [1], мы получаем векторы, отличающиеся от правых частей (1) на множитель 4 ¿.
Из (2) видно, что матрица Е - симметрична. Покажем один из возможных путей проверки соотношения (1). При дифференцировании лучше всего переходить к полярным координатам. Все дифференцирование необходимо осуществлять в смысле обобщенных функций. Можно проверить, что
1дЫг[г/а 1^у[г/а
ф(х,У) =й~дх~] т • Но(ыт)(1т =I т • Н0(ыт)йт,
1 дЫг [г/ь 1 sin^ Гг/Ь
—I т^Н0(шт)йт = —-I т^Н0(шт)йт
41 оу 41 Г
являются потенциалами вектора Е, т.е.
_дф дф _д(р _д-ф = дх + дy, Ь21 = ду дх (3)
Функции ф(х,у) и ^(х,у) удовлетворяют уравнениям:
1 д\п г
(4)
1 д\пг
Аф + =
2пЬ2 ду
При подстановке (3) в уравнение (4) получаем
аТ1 = (Л + 2у)дгш!(Ьф+к1ф) + д • гог(А-ф + к2у)к = (5(*,у)),
1
т.к. А — Ыг = 8(х,у).
Для вектора Е2 проверка осуществляется аналогично Е^ по х и у в обобщенном смысле.
С помощью асимптотического представления функций Ханкеля легко
проверить, что Е-1 и Е2 удовлетворяют условиям Зоммерфельда.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. - М.; Л.: Гостеориздат, 1950. 208 с.
2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. - М.: Физматгиз, 1963. - 472 с.
3. Механика деформируемых твердых тел: Направления развития. Сб. статей: Пер. с англ. В.В.Шлимака / Под ред. Г.С.Шапиро. - М.: Мир, 1983. - 346 с.
Orazgulyev A.
Candidate of Physics and Mathematics Sci., Senior lecturer at the Department of
Applied Mathematics and Informatics Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)
Garadzhaeva S.A.
Senior Lecturer at the Department of Applied Mathematics and Informatics Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)
SOME INFORMATION ABOUT THE KUPRADZE MATRIX
Abstract: this article discusses some information about the Kupradze matrix. A cross-sectional and comparative analysis of the formation of the Kupradze matrix using the Hankel functions was carried out.
Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.
