О вспомогательных гипотезах теории волнового сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989

№ 2

УДК 533.6.011.35

О ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ГИПОТЕЗАХ ТЕОРИИ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

А. С. Петров

Исследованы выражения для волнового сопротивления плоского тела при околозвуковых скоростях потока, следующие из трех различных гипотез о поведении гидродинамических величин в вихревом следе за телом на бесконечности. Показано, что все гипотезы с точностью до членов более высокого порядка малости приводят к одному общему результату.

В основополагающих работах по теории волнового сопротивления при околозвуковых скоростях потока [1—4] в качестве исходного используется выражение, полученное на основании теоремы о сохранении импульса. Для плоского случая его можно записать в виде [5]

-}-оо +00

$ (Р\+Р\УТ)<1У\ - $ (Р2+Рг*1)<*1/2; (1)

здесь Рх— сила сопротивления; р, V — статическое давление и скорость потока; р — плотность среды. Индексом «1» обозначены параметры потока перед телом до скачка уплотнения, индексом «2» — после.

В безразмерных переменных:

с учетом уравнения неразрывности для струйки тока [5]:

р|У|4(/1 = ргУг^Уг, выражение (1) принимает вид (черточки опускаем);

+оо +р

5 (1-Р»)^ + 2 5 РгУ2(1-Уг)<1у. (2)

—оо —оо

Здесь ск —----------3-----коэффициент сопротивления тела; М„ — число Маха

2

набегающего потока; х = 1,4

Интегрирование ведется по сечению «2» за екачком уплотнения. При вычислении интегралов сечение «2> обычно отодвигают в бесконечность и делают некоторые дополнительные предположения относительно поведения там гидродинамических величин. Например, в работе [1] предполагается, что на большом расстоянии вниз по потоку от обтекаемого тела, статическое давление в вихревом следе равно давлению невозмущенного потока — р2— 1. В работе [4]

Тг Т

К ЭТОМУ УСЛОВИЮ ДОбаВЛЯеТСЯ предположение О равенстве В СЛеде ОТНОШеНИЙ -гт- * -тр- ,

где Тг, Тж и У2, У',,, — абсолютные температуры и скорости в следе и в невозмущенном потоке. В работе [3] предполагается, что в следе У2 ~ в работе [2] — Тг ж 7’ос. Теории, построенные на,различных гипотезах, приводят к различным выражениям для волнового сопротивления тела. В то же время, результаты, получаемые с их помощью, численно близки между собой и достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными. При этом следует отметить, что некоторые гипотезы являются взаимоисключающими. Например, одновременно не могут выполняться условия р2 = 1 и Уг = 1 - В противном случае, как это следует из (2), сопротивление тела будет тождественно равно нулю.

Всего можно выдвинуть три независимые гипотезы относительно поведения в следе на бесконечности трех величин, входящих в выражение (2):

I. Р2 =1, 1^2 Ф 1, Р2 Ф 1.

II. Кг = 1, Рг ф 1, рг Ф 1.

III. рг — I, Рг Ф 1, Уч Ф 1 ■

Все остальные мыслимые гипотезы, например, Гг = Тявляются, как мы увидим дальше, следствиями одной из трех перечисленных. Покажем, что гипотезы I — III приводят к практически одинаковым результатам, отличающимся членами более высокого порядка малости.

Будем считать, что течение в следе за обтекаемым телом является завихренным, полная энергия его не изменяется, и выпишем уравнение Бернулли в форме, справедливой для этого случая [5]:

х р V2 х Р» К

и-1 Р ~2~~ х— 1 р„

Вводя в рассмотрение энтропию течения

и используя уравнение состояния

Р= рЛ7\

можно выразить р, р и Т через энтропию 5 и скорость течения V (черточки опускаем):

р - е-5 [ 1 + (1 - к2)]

(3)

(4)

(5)

При 5 = 0 формулы (3) — (5) переходят в изоэнтропические. Энтропию течения в струйках тока за скачком уплотнения будем считать известной и зависящей только от распределения местных чисел М перед скачком уплотнения.

Принимая теперь одну из гипотез I — III, с помощью соотношений (3) — (5) и уравнения состояния можно выразить все параметры, входящие в выражение для волнового сопротивления, через известную энтропикз течения 5, которая зависит от параметров потока перед скачком уплотнения. Получим последовательно выражения для волнового сопротивления, следующие из гипотез I — III.

Примем гипотезу I —рг = 1- Тогда из (3) — (5) следует

-5----------- 5-------

р2 = е * , Г2 = е “

Подставляя полученные выражения в (2), получаем:

+ °° X— 1 / / Ж— I 1 V

—во

Аналогично для гипотезы II. При Уг — 1 из (3) — (5) следует

р2 = е~‘, р2 — е~\ Тз= 1.

Подставляя р2 в (2), получаем:

+®

2

с, =

хМ,

Видно, что гипотеза II — Уг= 1 эквивалентна предположению Г2 = 1-И, наконец, для гипотезы III — р2 = 1:

п ___Т = йЗ(*-1) V _______________________ л !\______________-_____________________і)

р2_е ,Тг=е ,Кг-уі (х_,)мИ** V’

"О-У-^Ь

(7)

(8)

Покажем теперь, что формулы (6) — (8) практически эквивалентны. Предположим, что приращение энтропии в скачке уплотнения мало и 5< 1. Этот случай соответствует малым сверхзвуковым числам М перед скачком уплотнения, которые во всех трех случаях будем считать одинаковыми. Сделанное предположение дает возможность разложить все полученные выражения в ряд Тейлора по степеням 5. С точностью до членов второго порядка малости, для трех гипотез получаем три группы формул:

I. р2= 1, У2=1--------' 5 - ‘ + , У М~ 52 + 0 (53),

хМ„ 2хгМ„

(9)

х хМ*

Г2 = Л-15 + + О (53);

+г~ і+МІ(х-1) +,” (\°° \

’ і ^-------------------7Щ,— і 5г^ + о( 5 Ыу)

— ОО — ОО \ —оо /

II- "V* * 1, Рі— I —5 + ■— + О (53);

р2 = 1 - 5 + ^-+0(53); Гг= 1;

(10)

+ оо +оо /+<*> \

5'*+°П М;

— ОО —ОО ' — ОО /

III. Р2=1, ^2 = 1 -

хМ2

5

МІ

1+(х-1)М2„

2М2

52 + О (Я3),

р2= 1 + (х-1)5 + {Х 21} 52 + 0 (53),

Г2 = 1 +(х- 1)5 +

(* - 1)

2- - .V •/- . 2

+- х-(х-1)МІ +“

52 + 0 (53),

хМІ

/+«

$ 5а<*</ + ОІ $ ЭЧу

-оо \ —оо

)

(11)

Сравнение формул (9) — (11) показывает, что все три гипотезы приводят к одному и тому же главному члену выражения для волнового сопротивления.

2 ■ КІЛІ,

+<*> /+°° \

■ $ Бёу + О I $ БЧу 1.

— ОО \—оо /

(12)

Аналогичное выражение получено в работе [4] при предположениях р2 = р«, и Гг/Кг ж

ЖГ«/»'«-

Таким образом, мы показали, что три различных на первый взгляд подхода к теории волнового сопротивления, приводят в главном к одному общему результату, который является отражением самого факта увеличения энтропии в скачке уплотнения и необратимости перехода в тепло части кинетической энергии потока. Различия более высокого порядка, связанные с той или иной гипотезой о течении в следе за телом, отражают, вероятно, предположения относительно конкретных физических свойств окружающей среды — ее теплопроводности, вязкости, сжимаемости и т. д.. играющих уже второстепенную роль.

На рисунке приведены сравнения коэффициентов волнового сопротивления с«., рассчитанных на, единицу высоты скачка уплотнения, для всех трех рассмотренных случаев. Энтропия течения выражалась через значение числа М| перед скачком уплотнения [6].

«-Н

4-1

S= - In

X I

На том же рисунке приведены результаты, полученные по формуле Христиановича — Серебрий-ского [1] и по обшей формуле (12). Видно, что все выражения дают практически одинаковые результаты вплоть до достаточно больших чисел М перед скачком уплотнения. В расчетах М| считалось равным М«,.

В заключение следует отметить, что полученное выражение (12) для коэффициента сопротивления тела через энтропию течения справедливо при сделанных предположениях для любого другого вида сопротивления. Основная практическая сложность заключается в том, что не всегда возможно, как в случае волнового сопротивления, найти простую связь между известными параметрами обтекания и увеличением энтропии потока.

1. Серебри йский Я. М., Христианович С. А. О волновом сопротивлении. — Труды ЦАГИ, 1944, № 550.

2. Зеленский И. Е. О лобовом сопротивлении тел, погруженных в газовый поток сверхзвуковой скорости. — Ученые записки Харьковского университета, 1949, т. 29.

3. Б у р а г о Г. Ф. Теория крыловых профилей с учетом влияния сжимаемости воздуха.— Издание ВВИА им. H. Е. Жуковского, 1949.

4. Т. фон Карман. Основы аэродинамики больших скоростей. В сб.: Общая теория аэродинамики больших скоростей./Под ред. У. Р. Сирса. — М.: Воениздат, 1962.

5. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.

6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука,

1970.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 20/1 1988 г.