Термодинамическая эффективность уменьшения волнового сопротивления с помощью подвода тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 8

№ 3

УДК 629.735.33.015.3.025.73:533.6.013.12 533.6.011.3/.5:536.4

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ УМЕНЬШЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОДВОДА ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ В МЕСТНУЮ СВЕРХЗВУКОВУЮ

ЗОНУ ПРОФИЛЯ

А. С. ПЕТРОВ

На основании общего выражения для сопротивления тела, полученного из законов сохранения, решена задача о термодинамической эффективности преобразования тепловой энергии, подводимой в местную сверхзвуковую зону профиля, в уменьшение волнового сопротивления. Задача решена в точной термодинамической постановке для трубки тока, проходящей через слабый скачок уплотнения, и в приближенной — для профиля в целом с учетом его геометрических особенностей. Делается вывод, что подобный метод уменьшения сопротивления компоновки при околозвуковых скоростях заметно уступает по эффективности использования энергии топлива современным авиационным турбореактивным двигателям и будет экономически оправданным только при использовании, например, солнечной или не утилизируемой тепловой энергии двигателя, и при условии сохранения подъемной силы.

Один из способов уменьшения сопротивления при околозвуковых скоростях связан с возможностью управления волновым сопротивлением путем подвода тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону на поверхности крыла. Необходимость снижения волнового сопротивления связана с тем, что именно возникновение скачков уплотнения, развитие отрывов потока и быстрый рост самого волнового сопротивления по скорости полета ограничивают максимальное аэродинамическое качество и крейсерскую скорость магистральных пассажирских самолетов. В связи с этим задаче об управлении обтеканием и, в частности, волновым сопротивлением с помощью распределенного теплоподвода уделяется внимание достаточно давно как в экспериментальных, так и в расчетных исследованиях [1—6].

Одним из основных вопросов, который возникнет при практическом использовании данного метода уменьшения волнового сопротивления, является вопрос о коэффициенте эффективности (КЭ) преобразования тепловой энергии в тягу (в уменьшение сопротивления) термодинамических процессов, сопровождающих подвод тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону профиля. От значения этого коэффициента зависит целесообразность использования для этих целей энергии топлива, имеющегося на борту летательного аппарата. Из-за сложности задачи при трансзвуковых скоростях аналитически этот вопрос не исследовался. В некоторых расчетных исследованиях [2] утверждается, что коэффициент эффективности может превышать единицу. При сверхзвуковом обтекании летательного аппарата эта проблема рассматривалась в работе [7].

В настоящей работе вопрос о коэффициенте эффективности исследуется аналитически в приближенной, с точки зрения полного учета геометрии профиля, постановке. В термодинамической части, в приближении трубки тока, задача решается точно и учитывает все особенности термодинамических процессов, сопровождающих подвод тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону.

Постановка задачи. Пусть профиль обтекается дозвуковым потоком газа с числом Маха Мте < 1. Будем считать, что на поверхности профиля образовалась местная сверхзвуковая зона,

Сечение интегрирования

Скачок уплотнения

Рис. 1. Схема обтекания и подвода тепловой энергии

замыкаемая прямым скачком уплотнения. Скачок уплотнения будем считать слабым, и число Мі в местной сверхзвуковой зоне на поверхности профиля (на внешней границе пограничного слоя) перед скачком уплотнения, не слишком превышающим единицу. Газ считается идеальным и подчиняющимся уравнению состояния р = рЯТ. Здесь р — статическое давление; р — плотность среды; Я — газовая постоянная; Т — абсолютная температура.

В местную сверхзвуковую зону непосредственно перед скачком уплотнения осуществляется подвод тепловой энергии мощностью Ж (у), распределенной по некоторому, также подлежащему определению, закону вдоль скачка уплотнения (рис. 1). (Координата у направлена вдоль скачка уплотнения.) Требуется определить при этих условиях характер течения в местной сверхзвуковой зоне за сечением подвода энергии, изменение сопротивления и характеристики термодинамических процессов, сопровождающих подвод тепла.

Без влияния теплоподвода задача о волновом сопротивлении профиля рассматривалась многими авторами [8—11].

В настоящей постановке задачи не учитывается влияние вязкости на течение в местной сверхзвуковой зоне профиля вне пограничного слоя, но подразумевается возможность протекания всех термодинамических процессов, свойственных реальному процессу обтекания профиля.

Общий принцип решения задачи. Будем считать, что слабый подвод тепла не изменяет характер обтекания профиля и местные числа Маха до сечения подвода энергии. Тепловая энергия, подводимая к потоку перед скачком на некоторой высоте у, вызывает изменение его полной

. . АН (у)

энтальпии на величину АН (у). Будем считать теплоподвод слабым, если АН =---------- — 1, где

а»

а,» — скорость звука на бесконечности. Соответственно, при этих условиях будет мало и изменение энтропии за счет теплоподвода:

С использованием общего выражения для сопротивления тела с теплоподводом, впервые полученного из закона сохранения импульса в работах [12—14] и более строго обоснованного в работах [15, 16], волновое сопротивление профиля до подвода энергии ^х1, и после — ^2 в случае слабых скачков уплотнения с точностью до членов второго порядка можно представить в виде:

(1)

0

о

о

где А^1 (М1) — изменение энтропии за скачком уплотнения до подвода энергии, А^- (М-, АН) — после, к — высота скачка уплотнения, М1 (у) — текущее значение местного числа Маха перед скачком уплотнения до подвода энергии, М- (у) — текущее число Маха перед скачком уплотнения после теплоподвода. Отметим, что М- ^ М1. Интегрирование в (1), (2) ведется вдоль скачка уплотнения от его основания на поверхности профиля до его конца в потоке на верхней границе сверхзвуковой зоны.

Изменение энтропии А^- (М-, АН) за скачком уплотнения после подвода энергии можно представить в виде суммы двух слагаемых:

АБ- (М-, АН) = А5- (М-) +А5- (АН),

где А^- (М-) — энтропия, генерируемая прямым скачком уплотнения с текущими значениями числа Маха М- (у) после теплоподвода; А^- (АН) — энтропия теплоподвода.

Тогда с учетом (1), (-) изменение сопротивления профиля после подвода тепловой энергии можно представить в виде:

АК

кАБг, (М-) кАХ (М1) кАБг, (АН) к ( і\

= Fx2 - ^ = р» | - Я 2) йу - р» | 1Я и йу + р» | 2 Я )йу-р, \ Ну + О (А-). (3)

В выражении (3) неизвестны параметры потока за участком подогрева — М- (у) и А^- (АН). Известными параметрами считаются местное число Маха М1 (у) в сверхзвуковой зоне перед скачком до подвода энергии и изменение полной энтальпии потока АН (у), изменяющиеся по высоте сверхзвуковой зоны. Изменение энтропии А^- (М-) по известному числу Маха М- (у) легко находится как за прямым скачком уплотнения.

Решение задачи в приближении трубки тока. Выражение (3) можно условно разбить на две части. Нетрудно заметить, что первые два слагаемых представляют собой изменение волнового сопротивления как такового за счет уменьшения числа Маха в сверхзвуковой зоне перед скачком. Вторые два слагаемых зависят только от количества подведенной к потоку энергии, не зависят прямо от числа Маха перед скачком и являются фактически реактивной силой.

Процесс интегрирования в (3) является по физической сути суммированием сил сопротивления, возникающих в элементарных трубках тока, проходящих через скачок уплотнения и имеющих высоту йу. Выпишем изменение сопротивления (3) для трубки тока единичной высоты, проходящей через местную сверхзвуковую зону, сечение подогрева и скачок уплотнения, в поперечном сечении которой все параметры потока постоянны (рис. -).

Подобное приближение не учитывает пока особенности геометрии профиля, но позволяет решить задачу точно с точки зрения термодинамики:

а^;=а^+аі£ +

О (А -), А^, = р„Ат> _ ^А^

* А& (АН)

А^*- = р» -1р } -р»АН. (4)

К

По физическому смыслу АЕХ есть изменение полного сопротивления при теплоподводе, приходящееся на единицу высоты скачка уплотнения с неизменными по высоте параметрами; АР*1 — изменение

собственно волнового сопротивления; А^Х2 — реактивная (теплообменная) сила, возникающая при подводе тепловой энергии.

Сечение подвода энергии

Элемент скачка уплотнения

\

м, >1 \ * т -*01 м2<м, т > т 02 — 01

Рис. -. Схема течения в трубке тока

Если пренебречь в первом приближении изменением площади сечения трубки тока на участке подогрева, то задача поиска М- сводится к хорошо изученной в классической литературе задаче о подводе тепла в трубу постоянного сечения, в которой одномерный поток движется со сверхзвуковой скоростью. Эта задача подробно рассмотрена, например, в [17, 19, -0] и сводится в безразмерных переменных к уравнению:

(1 + уМ?) (1 + уМ2- )

1+ АТ0

01

МИД + ^—1М-

м^ц+^—1м-

(5)

Здесь и далее индекс «1» будет относиться к параметрам потока до сечения подвода энергии, а индекс «2» — после. АТ^ — относительное увеличение температуры торможения газа в результате подвода тепловой энергии. Эту величину удобно использовать как меру подведен-

ной к потоку тепловой энергии АТ01 =

01

. Действительно, изменение полной энтальпии те-

01

чения по определению можно представить в виде: АН = ср АТ01, в безразмерных переменных:

АН =

1 + -

-М-

У-1

АТ

01’

(6)

где у — показатель адиабаты, ер — теплоемкость при постоянном давлении. Для слабого тепло-

подвода из условия АН =■« 1 следует АТ01 1.

Уравнение (5) сводится к биквадратному уравнению относительно неизвестного числа Маха М2 за участком подогрева и достаточно просто решается. (Его решение выписано, например, в [20].) Таким образом, из неизвестных, входящих в выражение (4), осталось найти только изменение энтропии за счет теплоподвода А^ (АН). Эта энтропия не связана непосредственно со

скачком уплотнения и его параметрами и зависит только от условий подведения тепловой энергии и от ее количества. Предположим, что устройство подведения тепла идеально, не оказывает на поток механического воздействия, и подведение тепла происходит при температуре торможе-

этом случае давление торможения Ро сохраняет свое значение в потоке и его значение будет одинаковым до и после сечения подвода энергии [18]. Подобное предположение относительно Р0 делается в теории идеального прямоточного воздушно-реактивного двигателя.

Давление торможения в случае подведения тепловой энергии с учетом изменения полной энтальпии и энтропии течения можно получить из общих выражений для статического давления с учетом теплоподвода, приведенных в работе [14]:

р01 = р»

1 + 1—1М»

У

7-1

р0- = р» ехр

-А£- (АН)'

1 + ^--М і+(у- 1)АН

у

7-1

Приравнивая р01 и р*0-, получаем:

АS2 (АН)=—1п у-1

1 + (у-1)АН 1 + ^-1М -

-1п (1 + АТ01).

Полученное значение энтропии можно назвать «идеальным». Оно будет также и минимальным из всех значений энтропии, которые можно получить, принимая ту или иную гипотезу.

Полученное выражение (7) говорит о том, что при подводе тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону возникает реактивная сила тяги, не зависящая от наличия и параметров скачка уплотнения.

Покажем принципиальное сходство причин возникновения этой силы с принципами работы прямоточного воздушно-реактивного двигателя (ПВРД). Обычно в качестве характеристики тяги для ПВРД (также и для других типов двигателей) вводят термический коэффициент полезного действия (КПД) Пт, который является отношением полезной мощности двигателя к тепловой мощности, подведенной к потоку [18]. При единичной скорости этот коэффициент равен тяге, создаваемой реактивным устройством на единицу вложенной тепловой мощности, и характеризует термодинамическую эффективность преобразования тепловой энергии в тягу. По аналогии, для рассматриваемой задачи также введем коэффициент эффективности (КЭ) преобразования тепловой энергии, подведенной к элементу скачка уплотнения, в тягу (уменьшение полного сопротивления)

Здесь Ж — тепловая мощность, подведенная к элементу скачка уплотнения в трубке тока;

При «идеальности» устройства, подводящего тепловую энергию в поток, что имеет место в нашем случае, коэффициент ке характеризует КПД термодинамического процесса, приводящего к уменьшению сопротивления. Найдем отдельно термические коэффициенты эффективнос-

венно волнового сопротивления. Тепловую мощность Ж, подведенную к трубке тока единичной высоты, по определению можно представить в виде:

После элементарных преобразований получаем термический коэффициент эффективности

лора и получим для А52 (АН) простое соотношение

Найдем теперь в явном виде реактивную силу Р2, которая представляется суммой двух последних слагаемых в выражении (4):

Л^*2 = Р- ^ (ДЯ ) - Р.АН = р-А^ (АН) - р-а2 АН + О (А2).

Подставляя сюда найденные выше А52 (АН) и АН из (6), получаем:

(7)

Ж

АРХ* — полное уменьшение сопротивления; У„ — скорость потока на бесконечности.

ти к2 образования реактивной силы р2 и к1 для силы Р*1, являющейся уменьшением собст-

Ж =

Р-У-АН + О (А2)

(8)

(9)

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

““ идеальный ПВРД ь—кг

0 2 0 4 0 6 0 8 М, 1.

Рис. 3. Сравнение термических коэффициентов эффективности

Полученное выражение не зависит от параметров скачка уплотнения. На рис. 3 приведено сравнение ^2 с термическим КПД идеального прямоточного воздушно-реактивного двигателя [18]. Их полное совпадение позволяет сделать заключение о том, что подведение тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону профиля создает реактивную тягу независимо от наличия или отсутствия скачка уплотнения.

Отметим, что термодинамическая эффективность подобного метода образования тяги в интересующем нас с практической точки зрения трансзвуковом диапазоне чисел М„ = 0.75—0.9 весьма мала. Идеальный (и максимально возможный) термический коэффициент эффективности подобного метода не превышает в этом диапазоне скоростей 10—14%, что в несколько раз меньше, чем у современных авиационных газотурбинных двигателей, имеющих реальный термический КПД 35—45%.

Как уже отмечалось выше, реактивная сила (7) и коэффициент ^ (9) не зависят от наличия скачка уплотнения. Уменьшение интенсивности скачка и волнового сопротивления определяет сумма первых двух членов выражения (4):

ак * А^ (М2) А?1 (Мі)

^1 = Р-------- ------Р-

Я

я

(10)

Число Маха потока после подогрева М2 известно из решения уравнения (5), а зависимость энтропии за прямым скачком уплотнения от числа Маха перед ним определяется хорошо известным выражением [17].

Рассмотрим далее термический коэффициент эффективности (КЭ) £1 процесса, связанного только с ослаблением скачка уплотнения, который по определению будет равен

£1 =

АК

х1

V-

ж

где АКХ*1 определяется выражением (10), а Ж — выражением (8). Результаты расчетов представлены на рис. 4.

В отличие от ^2 коэффициент эффективности ослабления скачка £1 сильно зависит от начального числа М1 перед скачком и от количества подведенной энергии. В связи с этим возникает естественный вопрос об оптимальной степени нагрева газа. Очевидно, что настоящий оптимум по количеству подведенной к скачку энергии может быть найден только при решении комплексной задачи для конкретного летательного аппарата с учетом всех его особенностей и ограниче-

Рис. 4. Зависимость КЭ от степени нагрева газа и числа Маха перед скачком

уплотнения

ний. В рассматриваемом случае назовем «оптимальной» степень нагрева газа, при которой число Маха за сечением подвода энергии и перед скачком уплотнения становится равным единице. При этом сам скачок ликвидируется, и волновое сопротивление полностью исчезает. Условие M2 = 1, подставленное в (5), однозначно определяет оптимальную степень нагрева газа перед скачком в зависимости от числа перед ним:

(2 -1):

2 (у + 1)М?1 1 + ^—^М?

(11)

Эта зависимость хорошо известна [17] и определяет необходимую степень нагрева сверхзвукового потока с числом M1 для его перевода в звуковое течение с числом M2 = 1. При оптимальной степени нагрева 52 (M2 = 1) = 0, и тогда из (4) следует полное изменение силы сопротивления:

ДК

х opt

= — Рс

А—^ор1 + 0 (а 2).

(12)

Сумма двух последних членов, представляющих реактивную силу, уже найдена и определяется выражением (7). Окончательно для полного изменения силы сопротивления при оптимальном нагреве имеем:

ак

ор1 р

Д^1 (М1) рмг-

я

дторі + о

(Д2 )•

(13)

Рассмотрим теперь полный термический коэффициент эффективности процесса ликвидации скачка и волнового сопротивления. По определению он будет равен

^ - к1 + к2 -

ДК

х ор1

W

Ниже на рис. 5 коэффициент к^ изображен графически при различных числах Маха набегающего потока М^. Как и следовало ожидать, коэффициент эффективности возрастает с увели-

0.16

0.14

0.12

0.1

= 0.9 М„ = 0.85

ОО о II 8 2 Г

1.15

М,

1.3

Рис. 5. Термический КЭ при полной ликвидации скачка уплотнения

чением числа М о. Напомним, что это идеальный и максимально возможный коэффициент эффективности, полученный для течения в трубке тока, проходящей через область слабого скачка уплотнения с числом Маха перед ним, равным М1.

Решение задачи для профиля. Для практических целей теорию, развитую выше для трубки тока, необходимо распространить на скачок уплотнения в целом и учесть особенности геометрии профиля, на котором этот скачок возникает. Уменьшение сопротивления профиля определяется при этом выражением (3), и при оптимальном теплоподводе задача сводится к интегрированию по высоте скачка уплотнения выражения (13). Все члены этого выражения найдены и зависят от переменного по координате у местного числа Маха. В рассматриваемом приближении не учитываются нелинейные эффекты при подводе тепла в сверхзвуковую зону, в частности, отклонение формы скачка от прямого. Таким образом, учитывается главный (линейный) член изменения волнового сопротивления.

Принципы интегрирования подобных функций вдоль скачка уплотнения подробно изложены в работе [11]. В этой же работе найдено необходимое для дальнейшего изложения приближенное распределение местных чисел Маха вдоль скачка уплотнения:

Мі (у) =

М0іехр ( Кі\у)

1 +

У-1

м21 [1 - ехР ( К1 у)]

(14)

Здесь М1 = М1 (у) — текущее значение местного числа Маха перед скачком на высоте у;

М01 — число Маха перед скачком уплотнения у его основания; К1 — кривизна поверхности

конкретного профиля в области расположения скачка уплотнения, которая считается постоянной. Координата у направлена вдоль скачка уплотнения.

Для определения полного термического коэффициента эффективности необходимо найти суммарную тепловую мощность Ж, которую надо подвести к скачку уплотнения для его ликвидации, и суммарное изменение силы сопротивления АГХ, определяемое выражением (3) при оптимальном теплоподводе. Тогда для профиля в целом имеем:

Г АХ (М1) _ р V2 І - _ ,

АFX = -РоЬ | " и ^у-^°Ь1 АТ0рг dy + О (а2 ), (15)

Ж=р „о V „,а 2 Ь І АHdy + О (а2 ), АН =

1 + ^-1м2

У-1

АТ

ор1 •

(16)

Здесь АГор1 определяется выражением (11). Безразмерная координата у отнесена к хорде

профиля Ь. Численное нахождение интегралов, входящих в (15), (16), не представляет принципиальных затруднений, так как распределение чисел Маха вдоль скачка уплотнения известно из (14), а кривизна поверхности профиля, как и число Маха перед скачком уплотнения у его основания, заданы.

С учетом (14) приближенное аналитическое вычисление интегралов в (15), (16) производит-

ся следующим образом: делается замена переменных йу =

и подынтегральное вы-

ражение разлагается в ряд Тейлора по степеням параметра (01 -1) который будем считать

достаточно малым, что вполне оправдано для слабых скачков уплотнения. Оставляя после интегрирования только главные члены, из (15), (16) получаем:

р V2 (м021 -1) (М01 -1 + М2 2

ат: =-1^1^----------------- ----/+ о(21 -1) ,

МО

(17)

Жу =

Р оУооЧ2,

1 + ^1М2

(м°°1 -1)3

N (у-1)(т + 1)3

+

о (м21 -1)5.

(18)

Найдем теперь теоретическое значение полного термического коэффициента эффективности к^ процесса ликвидации слабого скачка уплотнения. По определению:

_|а^|У2_у-1(

м°°1 -1+м2

1 + ^М 2

+

о (м,1 -1)2.

(19)

Следует отметить, что в данном приближении ку явно не зависит от кривизны контура профиля, а зависит только от соотношения чисел Маха перед скачком уплотнения у его основания и на бесконечности. Полученное выражение можно рассматривать как максимально возможный коэффициент эффективности термодинамического процесса ликвидации слабого скачка уплотнения с помощью распределенного подвода тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону профиля.

Выражение (19) можно представить в виде суммы коэффициентов эффективности кг образования реактивной силы и кл, ликвидации волнового сопротивления:

кг =

1-і м2

о 2

1 + ^-1м 2

+

о(м0і -1

к, =

7-1 (м° -1) 2 1 + ^-1М2

(20)

о

М

01

На рис. 6 для профиля КЛСЛ 0012 при угле атаки а = 0 приведены значения термических коэффициентов эффективности процессов, сопровождающих ликвидацию скачка при различных числах Маха набегающего потока. Значения коэффициентов

Рис. 6. Сравнение коэффициентов эффективности процессов ликвидации скачка уплотнения для профиля №ЛСЛ 0012

рассчитывались по аналитическим формулам (19), (20). Числа Маха у основания скачка уплотнения на профиле рассчитывались по методу [21].

Видно, что суммарный термический коэффициент эффективности растет с увеличением числа Маха, однако в диапазоне скоростей = 0.8—0.88 не превышает 18—25%. Не следует забывать также, что это его теоретически максимально возможные значения, которые соответствуют идеальному устройству подведения тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону профиля.

Проведенные исследования позволяют сделать вывод, что подобный метод уменьшения сопротивления компоновки при околозвуковых скоростях заметно уступает по коэффициенту эффективности использования энергии топлива (КПД) современным авиационным турбореактивным двигателям и может оказаться практически привлекательным только при использовании, например, солнечной или не утилизируемой тепловой энергии двигателя. Но, несмотря на достаточно низкие значения энергетической эффективности, сопротивление компоновки при этом реально уменьшается, что при условии сохранения подъемной силы может привести к увеличению аэродинамического качества.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта ВЦП РНП ВШ.2.1.1.5904.

ЛИТЕРАТУРА

1. Корж С. К., Юрьев А. С. Влияние подвода тепловой энергии на параметры сопротивления профиля в трансзвуковом потоке идеального газа // Ученые записки ЦАГИ.

1995. Т. XXVI, № 3—4.

2. Yuriev A. S., Korzh S. K., Pirogov S. Yu., Savichenko N. P., Leonov S. B., and Ry izno v E. V. Transonic streamlining of profile at energy addition in local supersonic zone // The 3rd Workshop on Magneto-Plasma-Aerodynamics in Aerospace Applications. — Moscow, 2001.

3. Коган М. Н., Стародубцев М. А. Уменьшение пиковых тепловых потоков путем подвода тепла в набегающий поток // МЖГ. 2003. № 1.

4. Стародубцев М. А. Локальный теплоподвод на гипер- и трансзвуковом режиме обтекания: Труды конференции «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений». — М.: Изд. ЦАГИ, 2004.

5. Аульченко С. М., Замураев В. П., КалининаА. П. Управление трансзвуковым обтеканием крыловых профилей посредством периодического импульсного локального подвода энергии // ИФЖ. 2003. Т. 76, № 4.

6. Aulchenko S. М., Zamurae v V. P., and L aty po v A. F. On possibility to control a transonic streamlining of the airfoil by means of a periodic pulse local energy supply // The 5rd International Workshop on Magneto-Plasma-Aerodynamics in Aerospace Applications: Abstracts. —

Moscow, 2003.

7. Латыпов А. Ф., Фомин В. М. Оценка энергетической эффективности подвода тепла перед телом в сверхзвуковом потоке // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 1.

8. СеребрийскийЯ. М., Христианович С. А. О волновом сопротивлении //

Труды ЦАГИ. 1944, вып. 550.

9. Т. ФонКарман. Основы аэродинамики больших скоростей. — В сб.: Общая теория аэродинамики больших скоростей / Под ред. У. Р. Сирса. — М.: Воениздат, 1962.

10. Боксер В. Д. Экспериментальное исследование высоты местной сверхзвуковой зоны и волнового сопротивления при околозвуковом обтекании профиля // Ученые записки ЦАГИ. 1981. Т. XXII, № 6.

11. ПаньженскийВ. А., ПетровА. С. О течении в местной сверхзвуковой зоне при околозвуковом обтекании крылового профиля // Ученые записки ЦАГИ. 1987. Т. XVIII,

№ 2.

12. Van der Vooren J. and S l o f f J. W. CFD-based drag prediction: State-of-the-Art,

Theory, Prospects // National Aerospace Lab., TP 90247, 1990.

13. ПетровА. С. Сопротивление тела в потоке вязкого теплопроводного газа // Современные проблемы механики жидкости и газа: Тезисы докл. 5-й всесоюзн. школы-семинара. — Красноярск, 1990.

14. ПетровА. С. О полном сопротивлении тела в потоке вязкого, теплопроводного газа // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. xXiI, № 2.

15. ПетровА. С. Влияние реальных свойств газа на суммарные аэродинамические силы при дозвуковых скоростях потока // Теплофизика и аэромеханика. 2004. Т. 11, № 1.

16. БоксерВ. Д., СудаковГ. Г. Аэродинамическое сопротивление тел в околозвуковом потоке: Теория и приложение к вычислительной аэродинамике // Препринт № 152,

Изд. отдел ЦАГИ, 2007.

17. ЛойцянскийЛ. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973.

18. СедовЛ. И. Механика сплошной среды. Т. I, II. — М.: Наука, 1970.

19. СамойловичГ. С. Гидроаэромеханика. — М.: Машиностроение, 1980.

20. АбрамовичГ. Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1969.

21. Ляпунов С. В. Ускоренный метод решения уравнений Эйлера в задаче о трансзвуковом обтекании профиля // Математическое моделирование. 1991, № 4.

Рукопись поступила 14X12006 г.