О структуре течения в области за ударной волной при трансзвуковом обтекании профиля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VII 197 6 М3

УДК 533.6.011.35 : 629.7.025.73 629.735.33.015.3.025.73

О СТРУКТУРЕ ТЕЧЕНИЯ В ОБЛАСТИ ЗА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ ПРИ ТРАНСЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ

В. Hi Диесперов, Ю. Б. Лифшиц

Исследована зависимость параметров потока около крылового профиля от в случае -> 1. С помощью сращиваемых асимптотических разложений строится решение в области на больших расстояниях от обтекаемого тела. Оно позволяет, в частности, определить, как изменяется коэффициент сопротивления при отклонении Мда от единицы.

1. Характер затухания возмущений при удалении от обтекаемого тела играет существенную роль в ряде практически важных задач, поэтому вопросы течения на больших расстояниях от тела всегда были предметом специального изучения. В случае обтекания профиля трансзвуковым потоком они достаточно полно исследованы аналитически только при Моо=1 [1—3], существующие же экспериментальные данные, относящиеся к течениям с ЬА<х>ф 1 [4, 5],. лишь в последнее время начинают получать теоретическое объяснение [6, 7]. Ниже делается попытка установить количественную формулировку закона изменения коэффициента сопротивления профиля при приближении Моо к единице. Аналогичная задача

для тел вращения рассмотрена в [8].

Пусть равномерный поток газа с }А^ф\ и вектором скорости, направленным на бесконечности вдоль положительного направления оси л, набегает на крыловой профиль, расположенный

в начале декартовой системы координат ху. Будем считать, что Моо мало отличается от единицы, тогда возникающие в потоке скачки уплотнения имеют малую интенсивность и течение в некоторой области I можно описать при помощи потенциала возмущений скорости Ф относительно ее звукового значения:

Ф = f (х, ф) + ех (х, ф). (1.1)

Здесь в —малый параметр, стремящийся к нулю при Мю 1,

а ф — безразмерная функция тока течения с Моо=1.

Поскольку главным членом разложения по е является решение для потока с Моо=1, остановимся кратко на его свойствах.

Согласно [1—3] на больших расстояниях от тела справедливо разложение

2—( .

? (х, ф) = X Ф 5 'Р/ (5), £ = (*+ 1)-1/3хф-4/5, (1.2)

(>0

где х — показатель адиабаты Пуассона. Ряд в представлении потенциала ограничен числом г = 2. При г >2 следует учитывать изменение энтропии при переходе через скачок уплотнения, который в соответствии с (1.2) задается уравнением

^ = (*+1)1/а^4/5(1 + Ес,Г‘75). (1.3)

1>1

В нем 5, и (^. — постоянные, зависящие от формы тела. Однако представление составляющих скорости ч)х и V),, получающееся в результате дифференцирования (1.2), сохраняет силу и при />2.

Все ?((!) из (1.2) определены с точностью до мультипликативных множителей. При £>0 они пропорциональны С,. Функция <Р0 (?) удовлетворяет нелинейному уравнению и при $ оо ведет себя как Ао £1/2. Функции (!:) с 2 >0 удовлетворяют линейным уравнениям и при £-»оо имеют асимптотический вид

г-I з-н

<рД«)-л?64 +ЛП 4 ,

причем А\ = 0 [2, 3]. Как показано в [2, 3], <р, (Е)з=0 перед скачком уплотнения, за ним она отлична от нуля.

Возьмем окружающий тело контрольный контур, образованный прямыми у—+ 11, х — х$(/?), и вычислим при помощи (1.2) расход газа (?[ через него. Отнесенный к р* а* £ (р — плотность, а — скорость звука, £ — масштабный множитель, а индекс-звездочка относится к критическим параметрам), он при больших Я получается следующим:

<3, = 8 (х + I)1'311т Д?(г — I)-1 + О (Я-1'5). (1.4)

/-►1

Формула (1.4) означает, что течение газа около конечного тела, описываемое лишь при помощи решения в области I, эквивалентно обтеканию источника интенсивностью <3г. Если же принять, что <Р|^=0 и за скачком уплотнения, то <3[=0, но и сопротивление тела будет равно нулю [2]. Выход из противоречия дает введение области II, расположенной вдоль оси х за скачком уплотнения. Ее ширина ф2 = Рь в этой области происходит компенсация избыточного расхода С?1 через область I.

Решение в области II удобно представить в виде рядов по степеням х. Оно сращивается с (1.2) асимптотически при -»0 [для тонкого профиля с относительной толщиной х справедлива оценка (3, = О (х5>3)]. В соответствии с [3] имеем в области II

«* = */(♦) 4 2 0, = *Г • (1.5)

1>О (>0

Функция и (ф) однозначно определяется изменением энтропии 50 (ф), которое возникает при пересечении частицами скачка уплотнения и считается заданным,

М40 = ^1п[^-(1-р2£/’)], (1.6)

Согласно (1.2) и ('{>)= 1 4 &ф~6/5 4 • •. при ф оо.

Функции и V, удовлетворяют системам рекуррентных линейных уравнений, которые получаются в результате подстановки (1.5) в уравнение неразрывности и в уравнение Крокко. Граничные условия для них следуют из (1.2) при ф -► 0. Для дальнейшего рассмотрения потребуется только формула для и0 (ф). Она имеет вид

1 , 1 — I/2

«о (Ф) = -г^оН(*+.1)6/6—Я— ■ (I-7)

Для расчета силы сопротивления воспользуемся равенством

/\г, О = ^ (р ■+ (Я>1) йу — ръх юус1х. (1.8)

Здесь /^.о отнесена к р* а^/., давление р к р* а,, а интеграл берется но указанному выше контрольному контуру. Его значение по области I равно (Зь По части контура, лежащей в области II, он ра" . . Фа

вен (*+1)| и~г (1 -£Л)а?ф.

и

Вычислим теперь расход газа через область II и учтем, что суммарный расход равен нулю:

Ф-2

(3,, = - <2, = - (х +1) | и-1 (1 -и) (1+а2 и2)

о

Суммируя выписанные выражения, получим искомую формулу

оо

Гх.о=2$ (1-£/)<*ф.

О

В ней верхний предел интегрирования ф2, лежащий на границе областей I и II, отнесен в бесконечность, поскольку вклад в интеграл от 1—и по лучу (ф2, °о) порядка /?-1/5 и стремится к нулю при оо. Отметим еще, что при вычислении (1.8) по области I учет членов, связанных с изменением энтропии за скачком уплотнения, также дает величину, стремящуюся к нулю, как .

2. Будем искать добавочный потенциал у (х, ф) в (1.1) в виде ряда

2+ т~ I

X (•*■» Ф) = 2 Ф 5 Хт. «(£). /И> 0. (2.1)

1>0

При & ф 0 разложение (1.1) по малому параметру е с <р и у, •определенными согласно (1.2) и (2.1), не может быть распространено до бесконечности, так как второй член в (1.1) становится

сравнимым с первым при

х — О (е~41т), ф = О (е-5/т). (2.2)

Внешней по отношению к I области присвоим номер 0 и для описания решения в ней воспользуемся техникой сращиваемых асимптотических разложений [9]. Введем в области 0 новые независимые переменные:

х0 = е4',т X, ф0 = г5'т ф.

В этих переменных возмущенный потенциал (1.1) имеет вид Ф = а-2/« [фГ ?0 (?) + ф|,2+т) 5 Хт, О (?) + О (е1"» )] = £-2 т Ф0 (х0) ф0; в).

Функция Ф0 (х0, ф0) удовлетворяет уравнению Кармана [10], граничным условиям на бесконечности

Фп

2г~*т (Moo— lHx+l)-1 X,

при Хо 4*0

оо.

(2.3)

и для нее только точка х0 = ф0==0 должна быть особой. Полученная задача для Ф0 в точности совпадает с задачей отыскания асимптотического вида решения на больших расстояниях, если коэффициент при х0 в (2.3) равен sign (М^,— 1)! Предполагая, что такая задача имеет решение и, кроме того, монотонность (1.1) по г, сразу получим

2^-1)

*-И

т/ 2

Sign (Moo — 1).

(2.4)

В работах [7, 8, 11] аналогичная зависисимость е от Мю—1 устанавливалась при помощи групповых свойств уравнения Кармана.

Подстановка (1.1), (1.2) и (2.1) в уравнения неразрывности приводит с помощью уравнения Бернулли к линейным дифференциальным уравнениям для хт, / (2). При / = 0, 1 они имеют вид

rf(f0

16

d%

¥

d?

У-т, i

25 * J d& (2 + m - 0 (3 -

+

rf2(

25

m-\- i)

Xm, i +

(5

JL

dt

— 2m -f 2i) I X

dtfh ^ f m, i—k

dl ^ 25 11 d^^rf dk d4

k = 1

В случае i = 2 правую часть (2.5) следует заменить на

d ( 2х—1 I rftfn \2 О , 4 Л. nr dnfc

■ 0. (2.5)

(*+!)-

1/3 .

dl

-1 / d<pо \2 dtm, 0 4 / ое

2~Г5П +

di

X

Х[(2

4- /и) Хт, с — 41

dl

т, 0

di

}■

а левую оставить без изменения.

В области переД скачком уплотнения искомые решения уравнений (2.5) должны быть голоморфными на предельной характеристике звукового течения [вдоль нее коэффициент при второй производной Хт,1 в (2.5) обращается в нуль]. Кроме того, в случае симметричных течений, рассмотрением которых ограничимся, г>у=0 на оси х<<0. Анализ работы [3] показывает, что перечисленным условиям можно удовлетворить только при т = 61 (/=1,2,...). В соответствии с полученными значениями т из (2.4) при некотором дополнительном предположении следует количественная формулировка закона стабилизации [7[. Качественно он был установлен в эксперименте в 1946 г. [4]. Другой экспериментальный результат заключается в обнаружении быстрого движения скачка уплотнения к задней кромке профиля с увеличением числа Моо. Это может быть объяснено только существованием за скачком уплотнения решений уравнений (2.5) с т <6.

На фронте скачка уплотнения, форма которого в соответствии с (1.2) и (2.1) задается уравнением

= (*+1 )1/3 ^ Ф4/5 ( 1 -г X С1 Ф~г/5 + £ 2 Dm. I ¥

m—i)j 5

(=0

i> О

(2.6)

следует обеспечить непрерывность потенциала (1.1) и выполнить соотношение Прандтля. Эти требования приводят к данным Коши в точке £ = &*, которые определяют решения уравнений (2.5) с точностью до мультипликативных постоянных £)т, ,• из (2.6). Кроме

того, решение задачи за скачком уплотнения должно удовлетворять условию симметрии на оси х>0.

Анализ асимптотического поведения решений уравнений (2.5) при £ -* с», т. е. в окрестности оси л:>0, приводит к формуле

2 +т—/ 3—т + 1

1т, I - В*а., Ват,, £ ~ . (2.7)

Согласно п. 1, данным Коши и условию симметрии можно одновременно удовлетворить при помощи решения (2.5) только при т=— 1. При т^> О постоянные Вт,1, вообще говоря, не равны нулю и возникающая особенность при у 0 требует специального исследования. Однако решение задачи Коши для (2.5) можно выписать при любых т и г. Для этого нужно представить ?*(£) в параметрическом виде и свести (2.5) к гипергеометрическому уравнению Гаусса [3].

3. Прежде чем заняться анализом указанной сингулярности при у -»0, построим решение в области II. В соответствии с (1.5) и (2.7) будем его искать в виде рядов по степеням х:

2 +/ 14*т—I

‘Ох = и (ф) + и1 (ф) X- “ + £ /ш, г (ф) X 4 ;

/>о

6 + / 3— т + /

«У = £ ^(Ф) * 4 + е №)*"

*>0 І>0

1 + т—і

(3.1)

5=5о('т’) — е^Ош,г(ф)л: 4 .

і>0

Функции /т, і) §т, і и ат, і удовлетворяют системам линейных уравнений, которые получаются в результате подстановки (3.1) в уравнения неразрывности, Крокко и уравнение сохранения энтропии. Граничные условия для /т, ,• и gm,i при ф ^ сю вытекают из (2.1) и (2.7). Что касается функций стЛ, то при ф -> ооони должны соответствовать представлению энтропии в области I. Последнее легко находится, так как известна форма скачка уплотнения и известны составляющие скорости по обе стороны его фронта. В результате получаем в области I при ф^оо

6+1 6— т-Н

5(ф) = 21а^_~ + еЕ&т'г'‘__^" • (3-2)

;>о <> о

Ниже для расчета сопротивления потребуются лишь первые коэффициенты разложения (3.2):

Ьщ, о — 7“ А», о ^

х ( Луо

а0 = \ й5

<*<?о

Я & }

сР ср^ <Р с

+ •25" (2/я + 3)

В приведенных формулах верхние индексы „—“ и „ + “ относятся соответственно к значениям перед фронтом скачка и за ним.

Из (3.1) сразу становится ясно, что функцию 5(х, ф) в области II можно продолжить в область I в виде (3.2), если при некотором г выполняется равенство 1 + т — г = 0. Поскольку г — целое положительное число, то указанная ситуация возможна при *

т= 1,2,.... (3.3)

Наименьшая величина в спектре (3.3) т= 1. Построим решение в области II при этом значении т. При г = 0, 1 получается однородная система уравнений, имеющая решение:

■с с и и' . |'-Л1-1 х+1 с Ти

]т, I — с*, / ’ &т’1 — 4 2 ' ‘

2х с. £Р £7'

— х_|_1 ‘ (1 _ ^.2 гуг)2 >

о " г~т~9

7=^Ьп<*+» “

(3.4)

При /и — 1 и 1 — 2 третьи слагаемые в пропорциональных е членах (3.1) для и 5 должны быть заменены суммой двух слагаемых. Одно из них зависит от 1пх, а другое от х не зависит вовсе. Будем искать их в виде

А 2, о (ф) 1п л: + /и 2, 1 (ф), 01, 2, о (40 1п* + 01,2, 1 (ф). (3.5)

Формально (3.5) можно получить, если записать решение, заменяющее (3.4) при г = 2 и тф 1, и перейти в полученных формулах к пределу при I — т->\. Подставим (3.1) с учетом (3.5) в указанные выше уравнения. Для /1,2,0, g^,2, 01,2,0 дифференциальные уравнения становятся неоднородными. Они имеют решение, в котором

2 = (* I)13 В12 и + Ех, 2 у , (3.6)

а /1,2,0 и 01,2,0 по форме совпадают с выражениями для и ат>[ в (3.4) при Ет,1 — — 1/2 (х+ 1)-213Вх,о. Наконец, для /1,2,1 и 01,2,1 получаем решения

X _ Х+1 \ —\#№ Г .

А 2,1 — 2% и ( • ) 1 _ (Д.а А о »

__ /. \ 2х //о

°1. 2, 1—0(ф) — х+ 1 (1_^2{у2)2 /1.0

с произвольной функцией о(ф). Согласно (3.2) о (ф) Ьи0 ф-1 при

ф оо.

Из формул (3.1), (3.4) и (3.6) видно, что пропорциональная е часть скорости vy не стремится к нулю при ф -+ 0. В то же время г>0(0) = 0 [3]. Поэтому разложение (3.1) теряет силу в области III, которая расположена вдоль оси х и имеет поперечный размер у = 0(е). В ней функция тока также имеет порядок е. Для построения решения в области III введем новые независимые переменные Х3 — X, у3 = г~1у, а в качестве искомой функции возьмем функцию тока

Ф (X, .у) = еф, (х, ^з) + о(е). (3.7)

На оси х функция ф3 удовлетворяет условию симметрии фз (х, 0) = 0. Второе граничное условие получается при помощи принципа асимптотического сращивания (3.7) при е-»0 с решением

(3.1) в области II. Согласно методике [9] получаем

1|П1 д фз (с. у3) _ 2___,17(0)

у3-*сс

Функция тока ф3(-^, З'з) является решением уравнения, которое в точности совпадает с уравнением для пограничного слоя с от-

брошенными вязкими членами. Удовлетворить приведенным выше граничным условиям можно, если взять это решение в виде

~ Г + “1 1 - № (0) У*'

2 Ц (0)

Оно описывает равномерный поток с горизонтальной скоростью и (0) и нулевой вертикальной скоростью.

4. Построенное решение с т = 1 удовлетворяет всем условиям исходной задачи на скачке уплотнения (2.6) и оси д:>>0. Поэтому оно представляет собой главный член разложения решения на большом расстоянии от профиля при Моо 1 в области, внешние границы которой определены оценками (2.2). Перед скачком уплотнения оно тождественно равно нулю. На основании сказанного заключаем, что параметры потока за скачком уплотнения отличаются от своих значений при Моо=1 на величину, пропорциональную |Моо—111/2. Перед скачком уплотнения указанное отличие параметров пропорционально |Моо— 113.

Применим полученное решение для определения силы сопротивления, действующей на профиль в потоке с Ж^ф\. Для этой цели снова возьмем описанный в п. 1 контрольный контур и напишем для силы сопротивления интеграл:

При вычислении б нужно еще воспользоваться условием равенства нулю потока массы через указанный контур:

Как и в п. 1, представим б и ? в виде суммы двух слагаемых, равных значениям интегралов (4.1) и (4.2) по отрезкам контрольного контура, лежащим в области I и в областях II и III. Тогда каждое из них окажется разложенным в ряд по степеням х, аналогичный ряду в первой из формул (3.1). В случае т= 1 в этих рядах появятся члены с \пх. Совершенно ясно, что при расчете в и ^ зависящие от х члены учитывать не нужно, так как их сумма равна нулю. Отличный от нуля вклад могут дать только не зависящие от л: члены разложения. Обозначим их посредством би? с индексом I или II.

Величины йі и <71 запишем в замкнутом виде. Для этого вычислим определяющие их интегралы при тф 1 и совершим предельный переход при т-+\. Непосредственное же интегрирование при ш — I произвести не удается. Отметим еще, что в отличие от случая Мго=1 в выражениях для р + и уох должно быть учтено изменение энтропии. В результате для (?і и Щ\ получаем:

= Рх, 0 + гв—ф(р + №І) йу—^х СІХ. (4.1)

(4.2)

Что касается qu и Gn , то интегрирование по областям II и JII при т — 1 дает

Л X + 1 ^ 1 + fj.2 U2 _ Л|Л ^ 2£1, о и0 .

УП~ X J [/2 б(Ф)# (1_!л2[/2)2 >

О

2 (х + 1) а (ф) ,. qUq U

U Г (1 — fJ-2 t/)2 ' o

Теперь воспользуемся условием равенства нулю расхода через контрольный контур 9i + ^u = 0 и получим связь между добавочным изменением энтропии в скачке уплотнения а (ф) и коэффициентом Di,o, определяющим его положение в области I. Кроме того, приведенное равенство дает возможность исключить 1пф2 из формулы (4.4) и выписать выражение для Gi, в которое промежуточное значение ф2 не входит:

G = G, + Оц= — J С/-2(1 -£/)(! -^U)a(^)d'b-

о

% + 1 аа . а+ і 4 1

В\, о At -lim ■

X 1 X ““>-1

+

2(*+1 yi*Bam,2 +

+ (* — 1) Вт, 0 Ао + 5 Ьт< о

(4.5)

В (4.5) верхний предел интегрирования ф2 отнесен в бесконечность. Возникающая при этом ошибка имеет порядок в8.

Полученное конечное выражение для G означает, что коэффициент сопротивления при Моо -► 1 изменяется пропорционально | Моо—1|1/2. Этот результат согласуется с данными численных расчетов трансзвуковых течений около симметричного профиля Жуковского, приведенными на фиг. 1 и 2.

Существование входящих в формулы (4.3) и (4.4) пределов является следствием равенств

В1оА^г=-2~1.Ъх~1Ь,,0, Д?,2 = 2-Чх+ 1)2/3£?,оЛо+ (4-6)

и дифференцируемости решения обыкновенного дифференциального уравнения по параметру. Чтобы получить (4.6), удобно ис-

пользовать первые интегралы уравнения (2.5) при /и = 1 иг = 0и2. Укажем общий метод их построения при целых I и значениях т из спектра (3.3).

Уравнение (2.5) при помощи параметрической записи функций <рг(£) всегда можно привести к гипергеометрическому уравнению Гаусса [3]. Его линейно независимые решения являются гипергео-метрическими функциями, причем в точках спектра (3.3) одна из них обращается в полином. Возьмем эту функцию в качестве известного решения и стандартным методом получим первый интеграл. При т= 1 он имеет вид

аХ\, о , 6

d<?о / dyо__________________I6_ \

dz [ dt 25 )'

+ X1, о — С.

di ‘ 25

Вычисляя С при % -> оо при помощи (2.7), а при £ = £, из данных Коши, устанавливаем первое из равенств (4.6). Заметим теперь, что при т, = 1 и 1 = 2 уравнение (2.5) является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому его первый интеграл имеет вид

2 ■ 25 мх,..-«^.) + (-+1Г«Х

d-n

di

■ — 1 id^V

2 [dS J dl

Снова вычислим С при

X

+ гРо —

df о dt

сю и £ = £

3У-1, о —

dU, с

= с.

второе из равенств (4.6). Предел при т

В результате получим 1 в формуле (4.5) суще-

ствует, так как он (4.3) и (4.4).

является линейной комбинацией пределов из

ЛИТЕРАТУРА

1. Франкль Ф. И. Исследования по теории крыла бесконечного размаха, движущегося со скоростью звука. Докл. АН СССР, т. 57, № 7, 1947.

2. Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Об обтекании полутел звуковым потоком идеального газа. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 9, № 2, 1969. ,

3. Euvrard D. Etude asymptotique de I’ecoulement a grande distance d’un obstacle se deplagant a la vitesse du son, I; II. J. de Mecani-que, vol. 6, N 4, 1967; vol. 7, N 1, 1968.

4. Христианович С. А., Гальперин В. Г., Горский И. П., Ковалев А. П. Физические основы околозвуковой аэродинамики. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 5, 1974.

5. Holder D. W. The transonic flow past two-dimensional aerofoils. J. Roy. Aeronaut. Soc., vol. 68, N 644, 1964.

6. Диесперов В. H., Рыжов О. С. Об обтекании конечных тел равномерным потоком в околозвуковом диапазоне скоростей. .Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 11, № 1,1971.

7. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б., Р ы ж о в О. С. Об обосновании закона стабилизации для крыловых профилей. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 5, 1974.

8. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б. О сопротивлении тел вращения при трансзвуковых скоростях потока. .Прикл. матем. и механ.“, т. 39, № 2, 1975.

9 Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир*, 1967.

10. Von Karman T*h. The similarity law of transonic flow. J. Math, and Phys., vol. 26, N 3, 1947.

11. Г удерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1960.

Рукопись поступила 15/IV 1975 г.