К теории крыла большого удлинения в трансзвуковом потоке газа Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 6

УДК 533.6.011.35

К ТЕОРИИ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Ю. Б. Лифшиц

Результаты асимптотической теории трансзвуковых течений на больших расстояниях от профиля [1,2] применяются для анализа ряда свойств потока около крыла большого удлинения.

1. Трансзвуковые течения около крыльев большого удлинения были впервые рассмотрены Г. Гудерлеем [3] при помощи метода годографа. Полученные им результаты относятся к течениям при Moo = 1 около симметричного крыла прямоугольной формы в плане, установленного под нулевым углом атаки. В [3] выясняется, насколько параметры потока на крыле с размахом 21 отличаются от соответствующих параметров на профиле. Для этой цели привлекаются частные решения уравнения Трикоми, имеющие нужные свойства в окрестности точки плоскости годографа, которая соответствует бесконечности на физической плоскости, и сохраняющие форму тела.

Следует отметить, что упомянутые частные решения уравнения Трикоми получены Г. Гудерлеем [4] для области перед скачком уплотнения. Проведенный с их помощью анализ течений справедлив только для области перед скачком уплотнения и неверно описывает характер зависимости суммарных характеристик от параметров задачи. Поэтому результаты решения всех задач в [3, 4], относящихся к течениям с условиями на бесконечности, отличающимися от условий равномерного звукового потока, должны быть пересмотрены.

В работах [1, 2] изучены свойства слагаемых потенциала возмущений течения около профиля при вариации условий на бесконечности относительных звуковых. Весь анализ проведен в физической плоскости. Полученные результаты указывают на различный характер влияния условий на больших расстояниях от профиля на течение перед скачком уплотнения и за ним. В [2, 5] эти результаты применены для исследования зависимости аэродинамических характеристик профиля от величины разности М;»—1.

В предлагаемой работе они используются для анализа свойств трансзвуковых течений около крыла большого удлинения.

2. Рассмотрим течение газа с числом Мсо, близким к единице, около крыла с относительной толщиной т и полуразмахом I. Будем считать, что х ^ 1, а набегающий поток равномерный и вектор его скорости направлен вдоль оси х декартовой системы координат х, у, г. В таком потоке возникающие скачки уплотнения имеют малую интенсивность, и течение можно в первом приближении считать потенциальным.

Потенциал возмущений рассматриваемого течения относительно равномерного звукового потока можно записать в виде

Ф = а*х2'3£Ф'(.х', у', г'), |

х'—х/Ь, у' — ^у/Ь, г' = г/1. |

Здесь а* — критическая скорость звука и Ь — характерный размер вдоль оси х. Ниже штрихи над всеми переменными будут для сокращения записи опущены.

Подставим (1) в уравнение неразрывности и уравнение Бернулли. Оставляя главные члены разложения по малому параметру х, получим уравнение трансзвуковой теории малых возмущений [6]:

+ 1 >-£"££-+ -^+(^>-2-^- = 0. (2)

Здесь х — показатель степени адиабаты Пуассона, а X — удлинение крыла. В дальнейшем будем считать, что Хх1'3^!.

Искомый потенциал Ф удовлетворяет условию непротекания на поверхности крыла у = ^у{х, г), которое в рассматриваемом приближении имеет вид

дФ ~ду

ду (х, г). (3)

у=о дх

Кроме того, при х2 + у2 -f 22 оо скорость потока должна стремиться к невозмущенной, т. е.

дФ 2 М — 1 ч

~дх Т+1 = ^

Решение сформулированной задачи (2) — (4) обтекания крыла конечного размаха полностью определяется граничным условием (3) и двумя параметрами Хх'/з и К. Поэтому все аэродинамические характеристики крыла, отнесенные к соответствующим степеням т, будут функциями К и Хт1/3.

Задача настоящей работы заключается в определении вида этих функций при К-» 0 и Хх1'3 -s- оо.

3. Интуитивно ясно, что обтекание сечения крыла z = const при К —► 0 и Хт1/3 -+оо на небольших расстояниях от его поверхности мало отличается от обтекания соответствующего профиля звуковым потоком. Поэтому пишем для области /,

ф = ? (•*, У, z) + f{z) + (х, у, z). (5)

Здесь tp—потенциал плоского течения около профиля крыла г = const при М = 1, s — малый параметр, а /—некоторая добавочная функция. Координата z входит в слагаемые суммы (5) как параметр.

При больших значениях координат х или у для <р имеет место асимптотическое разложение [7]

9 = A (z)j&s?n(S) + . . . ; Е = (х + \)-'!*ху-^. (6)

Асимптотическое разложение функции у также известно [1, 2]

т 4- 2

г = Вт(г)У 5 Xm(S) + • • • (7>

В нем т = 6 перед скачком уплотнения и /и = 1 за скачком уплотнения.

В формуле (7) показатель степени переменной у больше соответствующего показателя степени в формуле (6). Поэтому на некотором расстоянии от профиля третье слагаемое в (5) станет сравнимым по порядку величины с первым слагаемым. Подставляя (6) и (7) в (5) и приравнивая указанные величины, получим оценки

х = 0 (г~4/т), _y = 0(s-5/m).

Они определяют границы области /,, в которой справедливо разложение (5).

Решение в области /, должно асимптотически сращиваться с решением в области /о, где течение существенно трехмерно и потенциал удовлетворяет уравнениям не двумерного, а трехмерного течения. Из условия асимптотического сращивания [8] получаем вид потенциала в /0

ф _ е-2/т ф0 (Xqj _у0> ^ Ло = е4lm х< yQ = еЪ/ту_ (8)

Подставим теперь (8) в исходное уравнение для потенциала (2) и потребуем, чтобы все члены, входящие в него, имели одинаковый порядок при >.т1/3 -» ОО И £ -*■ 0. В результате получим искомую формулу

е = (Xт1/3)'“"г,5 (9)

и уравнение для потенциала

' дх0 дх* 1 dyl дг2 V 7

Решение уравнения (10) обладает некоторой особенностью на отрезке оси г при |г|<.’1. В этот отрезок вырождается крыло в координатах jc0, у0, z при е0. Кроме того, при х% -(- у2 + z2->■ ос из (4) и (8) следует

ЙФп ==/C(XtV3)2/5__Gi (П)

дх,

4. В формулировку задачи для области/0 входит единственный параметр (3, определяемый равенством (11). Если |С|>1, то решение уравнения (10) можно линеаризировать относительно величины Ф01 = вх0. В результате получим линейную задачу в области /0. Это обосновывает применимость теории несущей нити Прандтля для расчета аэродинамических характеристик крыла приМоо<1 и (1 — Мсо) (Хх1/3)2/5 х—2:3 1.

Аналогичный вывод следует и из сравнения вертикального’ размера местной сверхзвуковой зоны при обтекании профиля потоком при Моо<1 с величиной Ат1/3. Согласно [2], указанный размер имеет порядок \К\~512. Если он много меньше Ат1/3, т. е. выполняется неравенство |0|>1, то течение во внешней области полностью дозвуковое, и теория несущей нити применима.

В случае ]С?|<^1 течение в местной сверхзвуковой зоне подчиняется трехмерному уравнению (10) и теорию крыла конечного размаха Прандтля применять нельзя. Таким образом, при [0|>1 и | О | С 1 несущие свойства крыла совершенно различным образом зависят от его удлинения.

Согласно равенствам (8) и (9), в формуле (5) величина /(г) имеет порядок (Ат1/3)2'5. Однако вклада в распределение давления по крылу этот член не дает.

Что касается оценки влияния конечной величины размаха на составляющие вектора скорости на крыле по сравнению с профилем, то ее можно получить, если подставить (9) в (5) и продифференцировать полученное равенство. Главный вклад в составляющую скорости вдоль оси г дает слагаемое потенциала /(г) = = (Ат1'3)2'5/! (г), поэтому 1/г= О (т4'5А~3/5). Составляющая скорости Ух меняется различным образом перед скачком уплотнения и за ним. Перед скачком в (9) следует положить т = 6, так что ДVх — — О (А—6/5 т4/15^. Приведенные результаты согласуются с [3], однако за скачком уплотнения я = + 1 и Д Ух = О (А-1/5т3/5).

Согласно последней оценке, скачок уплотнения на крыле расположен ближе к передней кромке, чем скачок на профиле, на величину порядка А~1/5т_1/15. Поэтому коэффициент сопротивления крыла также меньше, чем коэффициент сопротивления профиля, на величину порядка А~1/5т6/5. Это утверждение справедливо только для некоторого диапазона изменения параметров подобия Ат1/3 и К. Чтобы оно имело место, число Мсо должно быть меньшим, чем то, при котором скачок уплотнения достигает задней кромки. С другой стороны, при Ат’/з оо и конечных К абсолютная величина С -> оо и коэффициент сопротивления крыла стремится к коэффициенту сопротивления профиля как (Ат!/3)-1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Диесперов В. Н., Рыжов О. С. Об обтекании конечных тел равномерным потоком в околозвуковом диапазоне скоростей. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 11, № 1, 1971.

2. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б. О структуре течения в области за ударной волной при трансзвуковом обтекании профиля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 3, 1976

3. Q u d е г I е у О. On transonic airfoil theory. „Journ. of the Aeron. Sci.“, vol. 23, N 10, 1956.

4. Гуде p лей К. Г. Теория околозвуковых течений., М., Изд. иностр. лит., 1960.

5. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Об обосновании закона стабилизации для крыловых профилей. „Ученые записки 1_1АГИ“, т. 5, N° 5, 1974.

6. Von К а г m a n Jh. The similarity law of transonic flow. „Journ. Math, and Phys.", vol. 26, N 3, 1947.

7. Франк ль Ф. И. Исследования по теории крыла бесконечного размаха, движущегося со скоростью звука. ДАН СССР, т. 57, № 7, 1974.

8. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир", 1967.

Рукопись поступила 7)1 1977 г.