CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
То м XV 1984 № I
УДК 533.6.011.35:629.7.025.1
О СИММЕТРИЧНОМ ОБТЕКАНИИ ТРАНСЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ КРЫЛЬЕВ БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ
Ю. Б. Лифшиц, А. М. Сорокин
Изучается применимость приближенных законов подобия, установленных путем анализа первых членов разложения потенциала по малому параметру, обратному удлинению крыла. Для этой цели используются результаты расчетов симметричного обтекания прямых и стреловидных крыльев при разных числах М^, удлинениях и углах стреловидности. Расчет обтекания представляет собой численное решение краевой задачи для уравнения теории малых возмущений при помощи метода тензорного расщепления [1]. Численные данные совместно с анализом исходных уравнений и уравнений для членов асимптотического разложения позволяют выяснить как характер зависимости аэродинамических характеристик от параметров задачи, так и причины отклонения численных результатов от аналитических.
1. Создание крыла самолета всегда основывалось на эксперименте [2]. В настоящее время для этой дели используются и численные методы расчета обтекания крыла. Соответствующие алгоритмы были разработаны в последние годы для трансзвуковых скоростей потока [3]. Одновременно проводились аналитические исследования, использующие приближенные модели и направленные как на построение простых, но приближенных алгоритмов расчета, так и на выяснение основных закономерностей трехмерных потоков газа около крыла. Знание таких закономерностей позволяет оптимизировать процесс проектирования крыла.
Наиболее ярким примером приближенных моделей является концепция несущей нити Прандтля, положившая начало теории крыла. Предложенная вначале для прямого крыла она была распространена в работе [4] на случай криволинейной вихревой нити, что позволило применить ее и к стреловидному крылу. Впоследствии концепция Прандтля получила обоснование в работе [5] при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений. В последние годы методика, основанная на асимптотических разложениях, применяется к анализу трансзвуковых течений около крыла [6, 7]. Центральным результатом всех упомянутых построений является сведение исходной трехмерной задачи к более простой двумерной, что позволяет при проектировании крыла основываться на данных обтекания профиля.
Другим примером служит исследование корневого и концевого эффекта стреловидных крыльев, проведенное в работе [8] путем применения теории малых возмущений к анализу симметричного обтекания крыла несжимаемой жидкостью. Его следствием явилось создание специальных профилей для корневых и концевых частей стреловидного крыла.
При трансзвуковых скоростях потока в течении возникают скачки уплотнения и появляется связанное с ними волновое сопротивление. В ряде случаев на такое увеличение сопротивления можно пойти, поскольку одновременно резко увеличивается подъемная сила и аэродинамическое качество крыла может стать весьма большим. Однако при этих скоростях пространственное влияние оказывается более существенным, чем при обтекании крыла несжимаемой жидкостью. Поэтому представляет определённый интерес выяснить характер отличия аэродинамических характеристик профиля в системе крыла и изолированного профиля. Это ставит задачу исследования влияния формы крыла в плане на обтекание его сечения. В настоящей работе предпринята попытка ее анализа в случае симметричного обтекания прямых, стреловидных и трапециевидных крыльев. В качестве исходных данных берутся результаты численного расчета трехмерных течений, полученные интегрированием уравнения трансзвуковой теории малых возмущений при помощи метода тензорного расщепления [1]. Затем эти данные подвергаются обработке, основанной на результатах асимптотического разложения потенциала скоростей около крыльев большого удлинения.
2. Рассмотрим вначале обтекание прямого крыла. В качестве единицы длины возьмем хорду, размах крыла равен I, а сечения, перпендикулярные передней кромке, представляют собой симметричный профиль Жуковского с относительной толщиной Т = 0,12. Крыло расположено в плоскости у = 0 декартовой системы координат хуг, а его передняя кромка совпадает с осью 2. В переменных \ = х, 7] = т1/3_у, С =2// потенциал возмущений т2/3 (5, ■*), С) при Моо~1 удовлетворяет уравнению трансзвуковой теории малых возмущений [9]
[К - (* + 1) + (/Х1/3)-- ?к = 0. (1)
Здесь х — показатель адиабаты Пуассона, а К = ^~т( 1—М^) — параметр подобия Кармана. При удалении на бесконечность <р обращается в нуль. Граничное условие Неймана задается в плоскости 7) = 0: <рп = й//(И при 1, —1 /2 < С< 1 /2 и <р^ = 0 на остальной
части плоскости. Здесь у~х/(х)— уравнение поверхности крыла.
В случае симметричного обтекания и /т1/3^ 1 решение поставленной задачи для уравнения (1) можно представить в виде разложения по (/х|/3)-2:
? в Ч, С) = (£, Ч) + (Ь1/8Г*?1 (5, Ч, С) + . . . . (2)
Функция <Ро (5, 71) ПРИ К |< 1/2 — потенциал обтекания профиля крыла. При |£|>1/2 ср0 = 0. Второе слагаемое разложения (2) удовлетворяет линеаризированному двумерному уравнению. Однако представление (2) теряет силу в области вблизи концов крыла | С 1 = 1/2. Поперечный размер этих областей О [(/х1/3)-1]. В них главный член разложения ср0[5, у\, (//2 + 2)т1/3] удовлетворяет уравне-
~^05 оЖ~ № Йй 0,15От43)'*' Рис. 2
нию (1), в котором все три слагаемых левой части имеют одинаковый поря-^ ( 1 | ( | док. Это обстоятельство обусловли-
---07—02 М /Н ? вает и зависимость ^ от гх1/3 в указан-
' ’ ных областях.
Рис. 1 Трехмерный характер течения
ясен из рис. /1, где показаны результаты расчета с* (С) сечений крыла при Мх=0,8 и различных I. В этом случае К= 1,48 и на крыле имеется развитая зона сверхзвуковых скоростей, замкнутая скачком уплотнения. В рассматриваемом случае т1/3 = 0,493, поэтому область неприменимости разложения (2) при / = 4 охватывает все крыло. Это разложение имеет смысл, вероятно, при />8.
Единственной причиной ОТЛИЧИЯ Ч>! от нуля являются условия на бесконечности, которые получаются в результате асимптотического сращивания (2) при 1х113 оо с разложением во внешней области, имеющей размер I. В ней потенциал удовлетворяет линейному трехмерному уравнению Прандтля—Глауэрта и соответствует задаче обтекания диполей, распределенных вдоль оси г при |г|<;//2 равномерным на бесконечности потоком со скоростью М». Поэтому ср1 зависит от К линейно, а <р0 является линейной функцией от К112 [10].
Согласно (2) коэффициент сопротивления прямого крыла при можно записать в виде
ся = т5'3 [А (К) - (№3Г2 В (К)]. (3)
На рис. 2 приведены результаты расчета сх при Мсо = 0,8 и различных I в виде темных кружков, а прямая, проведенная сплошной линией, соответствует формуле (3). Интересно отметить, что равенство (3) даже при 1—4 дает сх с относительной погрешностью, не превосходящей 7%. Такая же оценка погрешности формулы (3) имеет место и при Моо = 0,85. Как уже упоминалось выше, А (К112) и В (К) являются линейными функциями. Этот результат подтверждается обработкой расчетов крыла при / — 8 и различных значениях Мое в диапазоне 0,75 ^Моо^ 0,95.
3. Рассмотрим теперь обтекание стреловидного крыла с единичной хордой Ь=\, размахом /> 1 и углом стреловидности по передней кромке х- Введем систему декартовых координат ххуги повернутую на угол х относительно оси у по сравнению с исходной
системой xyz. Тогда ось z, совпадает с передней кромкой правой консоли крыла. Кроме того, будем считать, что каждое сечение крыла Zi = const представляет собой один и тот же профиль, т. е. поверхность крыла задана уравнением
y = b1f(x/b1), bx = b cosx- (4)
Расчеты проводились для симметричного профиля Жуковского с х = 0,09.
Перейдем к системе координат, обычно используемой для анализа трансзвуковых течений
% = х^Ьъ г1 = ухЧ3/Ь1, С = г, cosx//. (5)
Искомый потенциал, отнесенный к скорости набегающего потока, представим в виде
Ф = хх cos х + Zi sin х + t2/3 bi cos x? (£, fi, Q. (6)
Подставляем (6) в полное уравнение потенциала и пренебрегаем всеми членами в его разложении по х < 1 кроме главных. В результате получаем
20 М2 ъ\
[К„-(х+ 1)М* + ?„, = —^17з—-^2/3 (7)
Здесь M„ = MooCosx, параметры подобия /С„ = (1 — М2)х-2/3 и e = x_1/3sinx имеют порядок единицы, а произведение h113 предполагается существенно превосходящим единицу.
В области скольжения, отстоящей от корневого и концевых сечений крыла на величину Дх = О {Ьг х~1/3), решение уравнения (7) можно представить в виде разложения по малому параметру е = =. Ьх е-1 х-1'3
? = ?0 (s. ч) + 26М2 е?! (Е, У), С) + £2 ср2 (5, 41, С). (8)
Для проверки его выполняемости сравним результаты расчетов коэффициента давления в одном и том же сечении С = 0,375 стреловидных крыльев с различными х и одинаковыми значениями Кп(М„=0,8). Согласно (6) коэффициент давления ср=—2x2/3cossxcP$-На рис. 3 изображены значения ср/cos2x для крыльев с удлинением Х = 6. Перед скачками уплотнения все кривые практически сливаются, заметным является изменение положения скачков уплотнения и параметров потока за ними. Такое поведение численного решения не может быть объяснено только влиянием второго члена в представлении (8), который удовлетворяет линейному уравнению и дает одинаковый вклад как перед скачком, так и за ним. Скорее всего оно объясняется некорректным в данном случае отбрасыванием квадратичных членов в коэффициенте при в уравнении (7). Они зависят от х и равны по порядку величины х2/3, которая почти не отличается от величины е. Эти члены меняют эффективное значение Кп и вызывают изменение положения скачков на величину порядка /С“1/2х2/3, а значение параметров потока перед ними меняется только на порядок /С2 х2/3 [10].
При докритических режимах обтекания такое явление отсутствует. Это показывают результаты расчетов, проведенных для стреловидных крыльев с сужением 2 при М„ = 0,672. Здесь влияние второго слагаемого, определяющего зависимость решения от х> оказывается одинаковым вдоль всей хорды сечения крыла. Из сказанного следует, в частности, что применение представления (8) для построения приближенной методики расчета стреловидных крыльев, предложенной в работе [7], может привести к ошибочным результатам при закритических режимах обтекания.
Результаты расчетов показывают также, что координата \с скачка уплотнения на крыле монотонно убывает при движении вдоль его размаха от края к концу. Темп этого убывания наибольший в корневой и концевой областях. Величина же максимального разрежения увеличивается при таком продвижении. Это совпадает качественно с данными опытов, приведенными в работе [11]. Величина сх в корневом сечении довольно значительна, при увеличении |С| она быстро убывает и остается почти постоянной в области скольжения; в концевой области она опять быстро убывает и достигает отрицательной величины.
Такое поведение с* (С) не позволяет установить простую аналитическую зависимость коэффициента сопротивления крыла от его формы в плане, удлинения и М«>. Его величина определяется главным образом значениями в области корня и концов крыла, где течение имеет трехмерный характер и не может быть в настоящее время исследовано аналитически при трансзвуковых скоростях потока.
4. Обтекание стреловидного крыла с сужением т\Ф 1 качественно очень близко к описанному в п. 3 обтеканию крыла с ^=1. Количественное отличие, однако, имеется, особенно оно заметно в области за скачком уплотнения. Для вывода приближенного
уравнения для потенциала возмущений, определенного равенством (6), снова воспользуемся независимыми переменными (5), в которых будем считать длину хорды Ь1 сечения крыла, нормального передней кромке, зависящей от С Тогда вместо (7) получим уравнение
26М„
На рис. 4 приведены результаты расчетов стреловидных крыльев с у\ — 2, М„ = 0,8 и Х = 8 при различных значениях х- Сечения этих крыльев, перпендикулярные передней кромке, представляют собой симметричный профиль Жуковского с т = 0,09. На рис. 4 изображены распределения величины ср/сое2 х по профилю крыла в сечении С = 0,375. Перед скачком все кривые практически совпадают, за скачком различие между ними более существенное, чем в случае 7)=1. Скачки уплотнения при 7) = 2 расположены ближе к задней кромке, чем при 71=1. Поэтому и сопротивление профиля в системе крыла с сужением оказывается большим. Причины, вызывающие расхождение кривых распределения давления за скачком и положения скачков, обсуждены в предыдущем разделе.
На рис. 5 представлено распределение произведения схЬ(х!1) сечений рассмотренных крыльев, параллельных корневой хорде, в зависимости от 2//. Из нее ясно видно определяющее влияние сопротивления корневой области на сх всего крыла. Такое же положение имеет место и в случае 7] = 1. Оно упомянуто в п. 3. Однако при 7) —2 концевые сечения практически не уменьшают суммарное сопротивление. Это связано с расположением скачка ближе к задней кромке и ведет к большему значению сх крыла с сужением у] — 2 по сравнению с т[=1 при тех же условиях обтекания.
2—«Ученые записки ЦАГИ» № 1
17
1. Сорокин А. М. Численный метод решения трехмерных уравнений в частных производных эллиптико-гиперболического типа.— В сб.: Вычислительная математика и математическая физика, МГПИ, 1980, вып. 8.
2. Струминский В. В. Аэродинамика стреловидных крыльев.—Труды ЦАГИ, 1948.
3. Лифшиц Ю. Б., Савицкий В. М., Шагаев А. А., Ягудина И. М. Методы расчета обтекания элементов летательных аппаратов при трансзвуковых скоростях. — Обзор ЦАГИ, 1980, №585.
4. Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии на случай крыла с изогнутой осью и осью, не перпендикулярной потоку. — ПММ, 1944, Т. 8, вып. 1.
5. V а п D у к е М. D. Lifting-line theory as a singular perturbation problem. — Arch. Mech. Stos, 1964, vol. 16, N 3.
6. Cook L. P., С о 1 e J. D. Lifting-line theory for transonic flow.— SIAM Journ. of Appl. Math., 1978, vol. 35, N 9.
7. Cheng H. K., Meng S. Y., Smith R. C. Transonic swept wing studied by lifting-line theory. — AIAA Journ., 1981, vol. 19, N 8.
8. Рыжкова М. В., Серебрийский Я. М. Распределение давления по профилю в системе крыльев малого удлинения и стреловирных крыльев при симметричном обтекании. — Труды ЦАГИ, 1951.
9. Von Karman Jh. The similarity law of transonic flow. — Journ. of Math, and Phys., 1947, vol. 26. N 3.
10. Диесперов В. H., Лифшиц Ю. Б. О структуре течения в области за ударной волной при трансзвуковом обтекании профиля.— Ученые записки ЦАГИ, 1976, Т. VII, № 3.
11. Боксер В. Д., Кириллов Л. Н., Николаева К. С., Серебрийский Я. М. Экспериментальные исследования особенностей обтекания корневого сечения крыла при околозвуковых скоростях.— Ученые записки ЦАГИ, 1981, Т. II, № 1.
Рукопись поступила 26/VII 1982
