CC BY
65
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И
Том V 19 7 4 М5
УДК 533.6.011.35:629.7.025.73
ОБ ОБОСНОВАНИИ ЗАКОНА СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ
В. Н. Диесперов, Ю. Б. Лифшиц, О. С. Рыжов
Приводится математическое обоснование установленного экспериментальным путем закона стабилизации газовых параметров при обтекании крыльев бесконечного размаха в трансзвуковом диапазоне скоростей. Количественная формулировка этого закона опирается на асимптотический анализ свойств решений уравнения Кармана. Выполненный численный расчет поля скоростей вокруг руля Жуковского с высокой точностью подтвердил выводы асимптотической теории.
1. Проведенные в 1944—1948 гг. в ЦАГИ эксперименты заложили основы трансзвуковой аэродинамики. Обработка опытных данных позволила С. А. Христиановичу, В. Г. Гальперину, И. П. Горскому и А. П. Ковалеву [1] указать главные особенности, которые присущи обтеканию тел при скоростях, близких к скорости звука, и сформулировать так называемый закон стабилизации. Этот закон подтверждается также результатами экспериментов, поставленных в разное время в разных странах. Наиболее полное их изложение, иллюстрируемое многочисленными примерами, было дано в 1964 г. Холдером во второй из лекций [2], которые читаются в память Рейнольдса и Прандтля.
Сущность закона стабилизации состоит в том, что при увеличении скорост.и дозвукового набегающего потока распределение местных чисел М вдоль обтекаемой поверхности вплоть до скачка уплотнения чрезвычайно слабо отклоняется от соответствующего предельного распределения при критической скорости на бесконечности1. Аналогичное утверждение справедливо но отношению к давлению, разделенному на давление торможения. Что касается самого скачка уплотнения, то он довольно быстро перемещается по направлению к 'задней кромке профиля крыла. Резкие изменения в величине сопротивления, подъемной силы и момента профиля обусловлены в первую очередь движением фронта удар-
1 В соответствии с принятой в настоящее время терминологией под критической понимается скорость частиц, равная скорости распространения звуковых волн.
ной волны. Явление стабилизации указанных параметров газа наблюдается и при небольших сверхзвуковых скоростях невозмущенного течения.
При обработке первых экспериментов [1] казалось, что в любой расположенной на теле точке местные числа М и безразмерное давление остаются постоянными, несмотря на изменение скорости набегающего потока. Такой вывод объясняется, конечно, недостаточной разрешающей способностью использовавшегося измерительного оборудования. Из более поздних опытов [2| выяснилось, что на самом деле вариации рассматриваемых газовых параметров отличны от нуля, но малы по сравнению с возрастанием скорости течения на бесконечности, если она близка к звуковой.
Открытие явления стабилизации газовых параметров в трансзвуковом режиме имело большое практическое значение. Оно дало ключ к чрезвычайно простой оценке изменения аэродинамических сил и моментов, действующих на крыло, по данным для предельного числа Moo — 1 • Простое объяснение причин, приводящих к стабилизации безразмерного давления вдоль профиля, было предложено еще С. А. Христиановичем, В. Г. Гальпериным, И. П. Горским и А. П. Ковалевым [1]; оно базировалось на аналогии с так называемым процессом запирания сопла Лаваля. Попыток математически обосновать закон стабилизации до сих пор не предпринималось.
Подавляющее большинство изложенных в работах [1, 2J экспериментальных результатов относится к крыловым профилям. Чтобы установить границы применимости закона стабилизации, были проведены [1] специальные испытания в аэродинамической трубе тонкого тела вращения, на поверхности которого скорость частиц впервые достигает критической скорости при Моо = 0,95. Эти опыты показали, что стабилизация чисел М в осесимметричных трансзвуковых течениях не наблюдается. Выполненный недавно авторами [3J весьма точный расчет обтекания тела вращения, меридиональным сечением которого служит профиль Чаплыгина, обнаружил все же наступление стабилизации газовых параметров в чрезвычайно узком диапазоне чисел Мш.
2. Поставим целью дать не только качественную, но и количественную формулировку изложенных экспериментальных закономерностей. Для использования теории возмущений ограничимся изучением обтекания тонких профилей и примем, что скорость V потока на бесконечности мало отличается от скорости ам распространения звуковых волн. Обозначим через х и у оси декартовой системы координат, причем первую из них ориентируем по направлению невозмущенного движения газа. За исключением областей, которые непосредственно прилегают к носовой и хвостовой частям обтекаемого профиля, скорость всюду в пространстве будет близка к критической. Считая поток безвихревым, положим в основу анализа приближенное уравнение
_ dj_ jPj ill _п СП
дх дх* • df- ~ ,
для потенциала возмущенной скорости, установленное Карманом [4]. Как потенциал <р, так и длины вдоль осей л, у являются здесь
безразмерными. Главным членом, относительно которого берутся
вариации при выводе уравнения (]), служит потенциал а^х равномерного поступательного потока, имеющего критическую скорость а*, а не скорость Vqo на бесконечности.
Требуется найти решение уравнения (1), которое удовлетворяет краевым условиям на заданном теле и условиям на бесконечности, содержащим в качестве параметра величину Моо- Полагая Моо=1, найдем предельное распределение параметров газа при звуковой скорости набегающего потока. Отклонения газовых параметров от своих предельных значений можно получить, разложив построенное решение В ряд ПО абсолютной величине разности Моо — 1. Для расположенных на обтекаемом крыле точек зависимость вариаций местных чисел М и безразмерного давления от этой разности даст точное выражение закона стабилизации.
Осуществление такого подхода наталкивается на непреодолимые трудности. Действительно, уравнение Кармана нелинейно и относится к типу смешанных эллиптико-гиперболических уравнений. Современные аналитические методы не дают возможности построить его точное решение. Целесообразно поэтому воспользоваться асимптотическим анализом, рассматривая свойства потенциала возмущений на некотором расстоянии от крыла, где поле скоростей в первом приближении не зависит от его формы. При такой постановке задачи значительно легче определить, как меняется решение с изменением разности Мсо —-1. Предположив, что характер установленной зависимости сохраняется при аналитическом продолжении решения в область, непосредственно прилегающую к поверхности крыла, получим возможность сформулировать закон стабилизации.
Определим область, в которой будет рассматриваться решение. С одной стороны, она должна быть настолько удалена от обтекаемого тела, что форма последнего не оказывает существенного влияния на структуру поля скоростей; с другой стороны, размеры этой области примем не столь большими, чтобы значения параметров газа в ней пренебрежимо мало отклонялись от соответствующих значений на бесконечности. Тогда возмущения скорости в рассматриваемой области можно считать индуцированными, главным образом, телом, а содержащийся в них вклад, зависящий от разности Мсо — 1, сравнительно небольшим. Несмотря на то что главное влияние на поток оказывает профиль крыла, его очертания знать не требуется.
Сформулированные предположения позволяют выразить главный член решения уравнения Кармана при помощи функции у0(х, у), которая вдали от тела задает возмущения равномерного потока со звуковой скоростью. Следуя работам [5—7], имеем
То =J'2/5/oO). ^ = Х/УА'5-
Нормируем автомодельную переменную таким образом, чтобы линия 1=1 являлась предельной характеристикой соответствующего звукового течения. В части рассматриваемой области, лежащей между отрицательной полуосью л; и этой линией, перейдем К НОВОЙ переменной У] по формуле
t I 8т) — 3
Тогда функция
у Q5.3—1. д-з 16 т[- 18 т) 27
3. Обрабатывая данные испытаний крыловых профилей в аэродинамических трубах, С. А. Христианович, В. Г. Гальперин, И. П. Горский и А. Г1. Ковалев пришли к выводу [1], что после прохождения скачка уплотнения через любую точку число М и безразмерное давление в ней сохраняют практически постоянное значение, соответствующее критической скорости на бесконечности. Результаты экспериментов позволили преодолеть сомнение, высказанное Карманом в 1947 г. в речи на десятом чтении в память братьев Райт [81, о возможности существования решения уравнения (1), отвечающего установившемуся течению около произвольного тела с Moo = 1. Более того, они выявили роль предельного распределения параметров газа при звуковой скорости набегающего потока, отчетливое понимание которой легло в основу трансзвуковой аэродинамики.
Из проведенного анализа опытных данных можно заключить, что для учета граничного условия Мао ф 1 на бесконечности следует записать выражение для потенциала в виде суммы
? = <Ро (■*. У) + {*, У) (2)
с параметром г <<^ 1. Поправка у) удовлетворяет линейному
однородному уравнению, которое получается из уравнения (1), если пренебречь в нем квадратичным членом у'ду'/дх. Изучению этого линейного уравнения в связи с задачей об обтекании профиля равномерным потоком при Mqo^I посвящены работы [9, 10J. Согласно имеющимся в них результатам
f' = ут fx (?) = ЬуЪГо г~А1Ъ (I — 8т]), b = const.
Установим теперь искомую зависимость малого параметра г в формуле (2) от числа Мм. Для этой цели рассмотрим обтекание аффинно-подобных профилей с относительной толщиной т такой,, что величина (Мо:, — 1)х—2/3 = /<" постоянна в исследуемом диапазоне изменения Моо. Как показал еще Карман [4], существует преобразование независимых переменных х и у и потенциала ®
х-^х/хо, у-*х^у/хо, <р -» 'fi(^3x0), (3)
по отношению к которому постановка задачи обтекания таких тел в трансзвуковом диапазоне скоростей инвариантна. Поэтому после преобразования равенства (2) по формулам (3) в него не должны ВХОДИТЬ величины х, Хц ИЛИ Моо. Последнее возможно, если только параметр е в формуле (2) пропорционален (Мсо—I)3. Поскольку добавочный потенциал <р7 определен с точностью до множителя, имеем окончательно [9, 10]
? = У/5/о (?) + (Мсо - l)3/5/i (5). (4)
4. Используя формулу (4), можно дать математическое обоснование закона стабилизации, однако следует заметить, что (4) можно применять только в передней части поля скоростей, расположенной вверх по потоку от скачка уплотнения. Действительно, вид поправочного члена <?'(х, у) был установлен в работах [9, 10J путем исследования структуры поля скоростей в окрестности отрицательной полуоси х и предельной характеристики течения, которая при Мто=1 в верхней полуплоскости изображается линией £ = ц=1.
3—Ученые записки ЦАГМ ,4s 5
Границы области, где справедлива формула (4), были указаны выше, они проходят на достаточно большом расстоянии от обтекаемого профиля. Точную оценку порядка размеров внешней границы можно получить из условия, что второе слагаемое в правой части формулы (4) становится сравнимым с первым. Приравняв величины обоих названных слагаемых при постоянном %, имеем
Поскольку в рассматриваемой области параметры газа мало отличаются от своих предельных значений в потоке с критической скоростью на бесконечности, при Мсо<1 место возникновения скачка уплотнения в местной сверхзвуковой зоне этой области не принадлежит. '
Выше предполагалось, что при аналитическом продолжении решения уравнения Кармана из рассматриваемой области к поверхности профиля его зависимость от числа М,» или, более точно, от разности Моо—1 должна сохраниться прежней. Отсюда следует, что при вариации скорости набегающего потока относительно критической параметры газа как во внешнем поле скоростей, так и вдоль обтекаемого профиля крыла бесконечного размаха будут отклоняться от своих предельных значений для звукового потока пропорционально величине
Эта оценка позволяет понять, почему при обработке первых опытов С. А. Христианович, В. Г. Гальперин, И. П. Горский и А. П. Ковалев пришли к заключению [1], что после прохождения ударного фронта через какую-либо точку профиля число М в ней сохраняет постоянное значение, которое реализуется при критической скорости набегающего потока. Даже при Мсо = 0,7 величина е будет порядка 3%. При возрастании Мю до 0,8 эта величина уменьшается примерно до 1%. Ясно, что наблюдать столь малые отклонения параметров газа от своих критических значений в фиксированных точках профиля практически невозможно, поскольку такие отклонения лежат в пределах разрешающей способности применявшейся измерительной техники. Что касается экспериментальных данных, содержащихся в лекции Холдера [2], то качественно они находятся в полном соответствии с оценкой (5); для количественного сопоставления указанные данные использовать невозможно, поскольку их точность недостаточна для этой цели. Таким образом, указанное заключение работы [1] верно с точностью до величин первого и второго порядка малости относительно разности М»—1.
5. Чтобы проверить приведенную выше формулировку закона стабилизации, были проведены расчеты поля скоростей около руля Жуковского, обтекаемого дозвуковым на бесконечности потоком. Параметрическое уравнение контура имеет вид
X—|Моо— 1 I-2, У — I м,
■00
£ = | Мсо — 1 I3.
(5)
х = -у (1 + Л?) 4- Д2(соя Ь—Д,) (1 г); у = Д2(1 — г) эт / ;
4(1 + о) ’
! + 26
— 25 (I -|- о) со$ < -+- (I о)- ’
Фиг.
Верхняя часть контура получается, когда параметр £ пробегает значения 0<г<тс, нижняя —когда он лежит в интервале В расчетах принималось, что 8 = 0,1-
Поле скоростей было построено М путем численного интегрирования точного уравнения для потенциала. Возрастанием энтропии при переходе через фронт скачка уплотнения пренебрега-лось, что вполне допустимо для ударных волн умеренной интенсивности.
Расчеты велись при помощи релаксационной разностной схемы, весьма близкой к предложенной Гарабедианом и Корном [11]. Результаты расчетов представлены на фиг. 1—3.
На фиг. 1 изображены эпюры местных чисел М при различных скоростях набегающего потока. Эти эпюры построены в том виде, в котором они обычно используются в экспериментальной аэродинамике [1, 2]. Сравнение кривых показывает, что с ростом величины Мм распределения местных чисел М вдоль обтекаемой поверхности вплоть до ударного фронта мало отличаются от соответствующего предельного распределения, которое реализуется при критической скорости на бесконечности. Однако сам фронт ударной волны с увеличением скорости набегающего потока довольно быстро смещается по направлению к задней кромке профиля. Таким образом, качественно результаты проведенных расчетов находятся в полном согласии с данными, полученными при испытаниях профилей крыльев в аэродинамических трубах.
Изображенные на фиг. 2 кривые Доказывают, как изменяется местное число М в данной точке на руле Жуковского при увеличении значения Мсо. Данные фиг. 2 убедительно свидетельствуют о том, что при вариации скорости набегающего потока около критической числа М вдоль поверхности обтекаемого профиля отклоняются от своих предельных значений для звукового потока пропорционально малому параметру е = | Моо — 1 |3- Аналогичная оценка справедлива для величины избыточного давления на передней части профиля до скачка уплотнения, отнесенной к давлению торможения. В этом и заключается наиболее точная формулировка закона стабилизации для плоскопараллельных трансзвуковых течений.
Как показано авторами [3], для тонких тел вращения имеет место другая оценка
с
М.* - 1 ]5'3.
(7>
Отклонения чисел М и безразмерного давления на поверхности таких тел от своих предельных значений при Мсо=1 намного больше соответствующих отклонений, которые имеют место При обтекании профилей крыльев. Однако величина Мк, при которой на теле вращения впервые достигается критическая скорость, является довольно большой (по результатам опытов с тонкой иглой [1] она равнялась 0,95). Оценкой (7) можно пользоваться только в очень узком интервале чисел Моо, что подтверждается проведенными расчетами [3].
6. Ошибочно делать вывод, что общее сопротивление, испытываемое крыловым профилем при околозвуковой скорости на бесконечности, будет изменяться так же, как изменяются параметры газа перед скачком уплотнения. В области позади его фронта поправочный член <р' (х, у) в правой части равенства (2) может иметь совершенно иную структуру. При исследовании плоскопараллельного течения с Мсс = 1 было обнаружено [12—14], что в этой области появляется слагаемое
Что касается области перед скачком уплотнения, то в ней функция /1/5(?) имеет особенность при £=1, если определяемый ею скос потока равен нулю на отрицательной полуоси Поле скоростей получается нерегулярным на предельной характеристике. Отсюда сразу же следует, что впереди скачка уплотнения нужно положить <р]/5 (х, у) = 0. Возникновения аналогичной ситуации можно ожидать и при М» ф 1. Но когда скорость набегающего потока отлична от критической, установить вид поправочного потенциала 9'(х, у) нельзя без учета вихревого следа, простирающегося за обтекаемым профилем.
Специальный анализ течения за скачком показывает, что изменение коэффициента сопротивления профиля сх в зависимости от числа определяется соотношением
Аналогичная оценка получается для разности координат хск(1) и хск (Моо), которые задают положение фронта ударной волны на профиле при заданном значении и при М,;с = 1, Необходимо подчеркнуть, что при вычислении сопротивления профиля путем
?l/5=/;Vb'5(?) = O'1;5^_,/l0(l 4-
с = const.
= сх ( 1) - Сл. (Мсс) ^ I 1 - Мте | 1/2 .
(8)
интегрирования коэффициента давления по его поверхности основной вклад в изменение интеграла вносится как раз смещением скачка уплотнения. Этот факт был установлен в опытах С. А. Хрис-тиановича, В. Г. Гальперина, И. П. Горского и А. П. Ковалева [1]. Однако он не был принят во внимание Гудерлеем [9], что привело к неверной оценке им скорости нарастания сх при Моо 1.
Результаты расчетов находятся в полном согласии с формулой (8). На фиг. 3 показано изменение коэффициента сопротивления для руля Жуковского, заданного соотношениями (6): Дсх с высокой степенью ТОЧНОСТИ является линейной функцией | Моо— 1 |1/2-
Проанализируем в заключение исходное ограничение, налагавшееся на относительную толщину обтекаемого профиля. В теории малых возмущений тело считается тонким. Пусть теперь рассматривается поток у профиля с умеренной относительной толщиной. Поскольку область, в которой было построено решение, достаточно удалена от профиля, предположения теории малых возмущений остаются в силе.
Отсюда следует,- что решение по-прежнему можно искать в виде (2). Подвергая его преобразованию подобия (3), будем рассматривать - в качестве произвольного малого параметра, не отождествляя его с относительной толщиной тела. Связь этого параметра с разностью Моо— 1 находится посредством удовлетворения граничного условия при х1 + у2 -> со, для чего также можно воспользоваться предпосылками, лежащими в основе вывода уравнения Кармана. Поэтому -23 = (Ми - 1 )/К, а потенциал возмущений
задается формулой (4). На достаточном расстоянии от профиля с умеренной относительной толщиной поле скоростей обладает, таким образом, свойством стабилизации, т. е. его параметры изменяются значительно медленнее, чем скорость набегающего потока. Это явление еще в 1945 г. наблюдалось в опытах В. С. Татарен-чика [1].
Что касается чисел М и безразмерного давления на самой поверхности обтекаемого профиля, то их значения определяются, разумеется, характером аналитического продолжения построенного решения в ближнюю к телу область. Для тел с умеренной относительной толщиной такое продолжение должно базироваться на точной системе уравнений Эйлера, а не на приближенном уравнении Кармана. Последнее, однако, на достаточно больших расстояниях дает главный член в асимптотическом разложении решения уравнений Эйлера; на этих расстояниях переход к ним не вызывает принципиальных трудностей. Естественно ожидать, что аналитическое продолжение решения уравнений Эйлера будет обладать такими же свойствами, как и аналитическое продолжение уравнения Кармана.
Эксперименты с профилем NACA 23012, данные о которых содержатся в работе [1], подтверждают сделанное предположение. В точке, удаленной от носка на расстояние, равное 30% длины хорды, число М практически перестает изменяться после того, как оно достигает значения —1,4.
Авторы приносят искреннюю благодарность С. А. Христиано-вичу за многочисленные беседы по различным вопросам трансзвуковой аэродинамики. Эти беседы в значительной мере стимулировали настоящую работу. Авторы признательны также А. А. Блын-ской за проведение расчетов.
1. ХристиановичС, А., ГальперинВ. Г., ГорскийИ.П., Ковалев А. П. Физические основы околозвуковой аэродинамики. .Ученые записки ЦАГИ", т. V, № 5, 1974.
2. Holder D. W. The transonic flow past two-dimensional aerofoils. J. Roy. Aeronaut. Soc., vol. 68, No 644, 1964.
3. Д и e с n e p о в В. H., Л и ф ш и ц Ю. Б., Рыжов О. С. Закон стабилизации для трансзвуковых течений около тел вращения. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1974, № 5.
4. Von К arm an Th. The similarity law of transonic flow. J. Math, and Phys., vol. 26, No 3, 1947.
5. Ф p a h к л ь Ф. И. Исследования по теории крыла бесконечного размаха, движущегося со скоростью звука. Докл. АН СССР, т. 57, № 7, 1947.
6. Ф а л ь к о в и ч С. В., Чернов И. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа. ПММ, т. 28. вып. 2, 1961.
7. Euvrard D. Nouveaux resultats concernant le d6veloppement asymptolique du polentiel des vilesses a grande distance d’un profil plan transsonique. C. r. Acad. Sci, Gr. 2, L 260, No 7, 1965.
8. Von Karman Th. Supersonic aerodynamics. Principles and Applications. J. Aero Sci., vol. 14, No 7, 1947.
9. Г у д e p л e й К. Г. Теория околозвуковых течений. М., Изд.
иностр. лит., 1960.
10. Диесперов В. Н., Рыжов О. С. Об обтекании конечных тел равномерным потоком в околозвуковом диапазоне скоростей. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. II, № 1, 1971.
11. G а г a b е d і a n P. R., Corn D. Q. Analysis of transonic airfoils.
Comm. Pure Appl. Math., vol. 24, No 6, 1971.
12. Euvrard D. Interpolation de la resistance aerodynamique d’un profil d’aile transsonique a l’aide de I’ecoulement asymptolique a grande distance, en aval des chocs. С. r. Acad. Sci., Ser. A et B, t. 262, No 7, 1966.
13. Euvrard D. Etude asymptolique de I’dcoulement a grande distance d’un obstacle se deplagant a la vitesse du son. Deuxi6me partie: Ecoulement plan, en aval des ondes de choc. J. de Mecanique, vol. 7, No 1, 1968.
14. Лифшиц Ю. Б., P ы Ж'о в О. С. Об обтекании полутел звуковым потоком идеального газа. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 9, № 2, 1969.
Рукопись поступила 12/ VII 1974
