Интегральные свойства уравнения расхода и краевые условия в до3вуковых и трансзвуковых течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м X 19 7 9

№ 2

УДК 533.6.011.35

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ РАСХОДА И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ В ДОЗВУКОВЫХ И ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ

А. С. Фонарев

Исследуются общие свойства величины интеграла расхода через контрольные поверхности, соответствующие границам потока в рабочей части аэродинамической трубы, в случае обтекания профиля и тела вращения дозвуковым и трансзвуковым безграничным потоком. На их основе формулируются краевые условия на бесконечности при постановке задачи трансзвукового обтекания тел в рамках второго и последующих приближении теории малых возмущений.

В ряде задач может оказаться важным знание величины интеграла расхода газа через контрольные поверхности на некотором удалении от обтекаемого тела. Так в [1] показано, что безграничное обтекание тела трансзвуковым потоком в трубе с проницаемыми стенками рабочей части может быть получено при создании надлежащего распределения расхода через стенки внешней камеры; при этом важной характеристикой является величина расхода газа, вытекающего из рабочей части в камеру и соответственно втекающего в рабочую часть.

Ниже рассматриваются общие свойства величины интеграла расхода через контрольные поверхности, соответствующие границам потока в рабочей части аэродинамической трубы, при обтекании неограниченным дозвуковым и трансзвуковым потоком профиля и тела вращения. Случай трансзвукового течения изучается в рамках нелинейной теории малых возмущений. Проводится обоснование соответствующих краевых условий на бесконечности при постановке задачи обтекания тел трансзвуковым потоком для последующих приближений в рамках теории малых возмущений.

1. Свойства интеграла расхода при обтекании тел дозвуковым потоком. Рассмотрим обтекание профиля безграничным потоком несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал поля течения /(г) и соответствующее ему поле скоростей вне любой кусочно-глад-

кой замкнутой кривой С (профиля) можно представить в виде аналитических функций

/(г) = с, г + с0 In г + £ fk, fk = ck z-k;

(1.1)

* = i

df_

dz

= U(X, y) — iV{X, y)= I/00+ £ —Г- C'-k+\(— k + D = c-*. (1 -2)

где 1/ос — скорость невозмущенного набегающего потока, направленная по оси х; г = х-\-іу, и(х, у) и у(х, у) — составляющие вектора скорости течения в направлении осей х и у соответственно.

Рассмотрим криволинейный интеграл в комплексной плоскости по некоторому пути 5:

‘ “ ~ ~ “ 3)

j(/;— Vao)dz = J(y_ vM)di+ і f(\/- V^dn, (1,

5 S 5

где

dl=[dx, dy}, dn=^{dy, — dx}■,

V- (и, V), Яо={^ос, 0).

Подставляя в (1.3) выражение (1.2), получим:

] = - Vm)dn. (1.4)

5 6=1 5 5

Рассмотрим в качестве пути интегрирования бесконечную прямую линию, произвольно расположенную в плоскости {*, у} вне контура С (рис. 1).

Первый член суммы в (1.4) требует особого рассмотрения, остальные интегралы обращаются в нуль на этой линии. В самом деле, рассмотрим контур, составленный из прямой 5 и полуокружности С/? радиуса /? (рис. 1). Тогда при &>1 справедлива оценка

j fkdz

R

k-\

0, R —*• ос,

и из соотношения

j fk dz +1 f'kdz = о

Cr

следует

jV±dz = 0, k — 2, 3, 4. .., j(V—Va)dl=0, §(V-Vaa)dn=0.

Рис. )

В частности, выбирая в качестве линии S прямую у = у„, параллельную оси л:, получим важный результат:

00

f vdx = 0, y = y0 = const.

Выражение для интеграла расхода /, через прямую у = у0=соп5І для члена с А=] получим непосредственно. Полагая С—\—Аг-\-1В^ имеем

Из (1.5) видно, что первый интеграл, вообще говоря, расходится. Однако в силу нечетности подынтегральной функции он может быть рассмотрен в смысле главного значения, что дает нуль.

Второй интеграл определяет половину суммарного расхода от источника, помещенного в начало координат, имеющего интенсивность Л,/-. Так как контур С непроницаемый и замкнутый, то следует положить Л[ = 0; коэффициент Ви как известно, определяет циркуляцию скорости вдоль контура.

Таким образом, суммарный расход газа через прямую у = const в случае обтекания профиля несжимаемой жидкостью равен нулю.

Остановимся кратко на постановке задачи об обтекании профиля неограниченным несжимаемым потоком, рассматривая ее как предельную задачу Неймана для области, заключенной между двумя контурами С (тело) и С, (внешняя граница).

В силу свойства соленоидальности поля скоростей, удовлетворяющего во всех точках рассматриваемой области уравнению Лапласа, суммарный поток вектора скорости через границы С и С, должен быть равен нулю. Поэтому для задачи обтекания тела с условием непротекания в каждой точке контура С

где ® — потенциал возмущенной скорости, 5 — длина дуги. При этом интеграл, вычисленный по части контура Сь может быть, естественно, отличным от нуля; выражение (1.6) не противоречит тому, чтобы в случае безгранично увеличивающегося контура это отличие от нуля сохранялось. Требование аналитичности решения в бесконечно удаленной точке вместе с (1.6) соответствует условию равенства нулю подынтегральной функции на бесконечно удаленном контуре

которое обычно при постановке задач в гидродинамике фигурирует как физическое условие затухания возмущений на бесконечности:

Однако в некоторых задачах краевое условие типа (1.7) не может быть выполнено; на некоторых участках бесконечно удаленного контура требуется задать ненулевые значения возмущенных параметров течения. Такая постановка задачи возникает, если в дозвуковом потоке около тела образуются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения, при этом возмущения скорости

_ А,у - В[Х _ А, х -f В, у

х* + у* > — *-■ + у*

И

(1.5)

оо

со

{V, п) |с = 0

на контуре С, должно быть выполнено условие

(1.6)

и 1/гс -*• 0, v -*■ 0 при Xі + У2 оо.

(1.7)

и плотности уже не затухают вниз по потоку до нулевых значений. Аналогично при обтекании несущей конфигурации, описываемой системой свободных и присоединенных вихрей, возмущения вертикальной скорости сохраняются отличными от нуля вниз по потоку. Но и в этих случаях свойство соленоидальности должно быть выполнено, суммарный расход газа через предельную замкнутую поверхность должен быть равен нулю.

2. Свойства интеграла расхода в трансзвуковом потоке. В дальнейшем потребуется решение вспомогательной задачи. Пусть тело обтекается потоком газа, близким к звуковому, с заданной при

X -у —со СКОРОСТЬЮ Vx,= {Uoc, о), Давлением рт И ПЛОТНОСТЬЮ Роо ,

причем в окрестности тела возникает сверхзвуковое течение со. скачком уплотнения.

Рассмотрим как изменяются параметры газа на достаточно далеком расстоянии за телом при х -+■ + ос- вдоль линии тока, которую пересекает скачок уплотнения.

Введем обозначения: о' и V = [и , v'\ — плотность и ско-

* ОС СЧ-. I ОО' ОС J

рость газа при х -* 4- оо; ри р,, I/, — значения непосредственно

перед скачком; ръ р2, V7 — после скачка. При этом полагаем, что статическое давление при х -* 4- оо равно рх.

В области до скачка и после него справедливы уравнение изоэнтропического сжатия и уравнение Бернулли:

РI ____/ Pl У 7 , ысо _ __

Рх \р«/ ’ 7— 1 Рос 2 7-

l^.l2 .

(2.1)

JРг._ /_£i.V Рс° I Ро

7 Pi , 1 Уз |3 .

о “

7 — • Р2

__7__ I

'ч-1 р„

(2.2)

На скачке уплотнения имеет место соотношение Гюгонио и уравнение Бернулли:

Ё1- — 11 _ 7 + 1 ?2 \ !(±3. 7 4 I

Рг \ 7 — 1 Р1 / / I Р1 7 — 1

(2.3)

Р1

7

i

(2.4)

7— 1 Р1 2 7 — 1 Ра

С использованием (2.1) —(2.4), полагая Ар1р^<^\ и проводя соответствующие разложения в ряды [2], найдем

— = 1

Роо

J_ (7 + 1)(7~0 1Рг ~Рг У> 12 f

= 1

(2.5)

Из формул (2.5) следует, что при прохождении через скачок-уплотнения значения параметров течения за телом (плотность и скорость) при х -» 4- со уже не восстанавливаются до значений параметров невозмущенного потока, причем эти отклонения имеют третий порядок малости перепада давления в скачке уплотнения.

Отсюда следует, что при точной постановке задачи обтекания тела трансзвуковым потоком уже нельзя, вообще говоря, полагать возмущения нулевыми при х -► -р-оо. При этом их величины заранее неизвестны, они определяются интенсивностью и формой заранее неизвестных скачков уплотнения. Тем самым точная математическая постановка задачи обтекания тела трансзвуковым потоком существенно нелинейна не только из-за нелинейности дифференциальных уравнений, но и в смысле задания краевых условий.

Применение метода малого параметра позволяет представить эту задачу в виде серии линейных в смысле краевых условий задач, решаемых последовательно.

Процедура разложения по малому параметру для трансзвуковой теории малых возмущений хорошо изучена и описана, например, в [3, 4].

Пусть 8 есть характерная величина отклонения потока (в радианах) от равномерного. Будем искать решение в виде асимптотического ряда при одновременном стремлении величины 3 к нулю и числа Мсо к единице.

Асимптотические разложения основных величин представим в виде

В соотношениях (2.6) —(2.8) принято: и>, — векторы составляю-

щей скорости в плоскости {у, г}; К — трансзвуковой параметр подобия; кроме того, характерная длина тела (или хорда крыла) равна 1; при этом связь между е и 8 определяется соотношением

г = 82'3.

Введем векторный оператор

и запишем асимптотическое представление для вектора массового расхода:

- уи *’ ' ’ ■ = і [ 1 + £« (*> у. 2; К) + г2 и, (х, у, г; К)

ОО

+ &3и3(х, у, г\ Л) + ...] + 8щ/(л:, у, г; Ю + Ъ'-ю^х, у, г; /()+..., (2.6)

У (х, у, г; М, і)

= 1 + гР + -2 Рч + ®3/>з +• • • .

Г Ж

—— = 1 + -а + °2 + $3 °3 + • ■ • і

Г со

(2.8)

(2.7)

где

г = в(8), Пт г = О, з3<С3<Сг,

у = г28 1 у, 2 = г*8 ’г.

Рос ыоо

- = і [ 1 4“ є (° +■ и) 4- є2 (о2 4* и2 "Ь 0И) ■+■

f г3 (о3 -Г ыз + И2 3 4* Ивг) + • • •] ~Ь 'а,е3'2 + $5/2 ■а'з 4- £3 И)2 4-.... (2.9)

Подставляя его в уравнение неразрывности

получим:

[е (а -)■- и)х + е* (а2 + «о 4- о и), + г» (з3 + щ + и2 о + и?2)л + у'К’г2 + у (о1®) г3 4 V =4 — • • • — 0.

В результате получаем цепочку уравнений:

г: (з + и)л

0:

гг: (зг 4- «, 4- зи)г 4- V® = 0;

е3: (=3 + «з + «г3 + мза)л- + V 3) = 0.

Рассмотрим уравнение Бернулли

(2.10)

I VI*

и с учетом соотношения

2 2 и~ а±

— 4-

2 1

Моо= 1 -К'з

выпишем соответствующую цепочку уравнений: г: (т — \)и 4 (р — 3) = 0;

г2: 4- (т ~ 1)«2 + °2 + (АГ—з)(р —з) = 0;

2

г3: 2 и, -{- 2 ни.

■ те»4

•(— Рл — 2об:> + Зз + °в

(2.11)

— /,3" + />32 ~ 3/>2 — Л32 + А'3- — Лр2 4- Л'/73 — А2/? г А3з) — 0.

Аналогичные разложения могут быть выполнены и для уравнения количества движения газа. Проведенные разложения позволяют определить системы уравнений для нескольких приближений. Не выписывая их, отметим, что первому приближению (~г) соответствуют выражения:

з 4- и = 0, р = — -[и

и уравнение Кармана:

(ки-----Чг^-п

4 утм — 0.

Вернемся к рассмотрению интегральных свойств уравнения расхода в случае трансзвуковых течений. Рассмотрим объем прямоугольной формы, ограниченный плоскостями х = -*гх0, У = +Уо>

г—+ г0. Ограничимся рассмотрением симметричного обтекания профиля, так чго в плоскости симметрии у = 0 вне тела и на его поверхности у = у1(х) выполнены условия непротекания. Пусть

5СК — поверхность скачка, пх и яц — внешние нормали к поверхностям, ограничивающим области о;, и ю2 до скачка и после скачка соответственно (рис. 2). Для каждой из областей справедлива теорема Остроградского — Гаусса для потока массы (при этом поток массы через поверхности г = х2о равен нулю):

|] р V йпл + ] ]' р V йп\ = ] | (1і V р V йх (іу йх = 0;

(2.12)

1] рК^лп + ЦрК dn.ii = Л1 йх йу йг=0.

4 Г ЛВС 5ск “3

Из (2.12) с учетом уравнения неразрывности на скачке

ДО [рР]Л1, = 0

5СК

следует, что поток массы через поверхность АВСИЕР равен нулю:

Уйп + о]/йп+^9Уйп = 0. (2.13)

АВ ОВ Ей

В (2.13) вектор п—{йуйг, йг dx, йх dy\ — внешняя нормаль по-

верхности, при этом величина

?Уйп = 0

ЕРА

в силу предполагаемой симметрии; в противном случае она должна быть включена в равенство (2.12).

Запишем (2.12) в виде:

// {(РЇ>, - Р°° )и=х. — (рУ х — рсо Уж) и= йу йг +

"Ь !! ? Уу |у=Уо йх йг — 0.

0<У<Уо

-г0<г<г0

—х0<х<х0

—Z(l^Z^■Zo

Подставляя в (2.13) выражение для потока массы (2.9), получим:

| ] (еда + £3зда-|- е3з2т)\^~йх йг 4 (| {{и + з) + е(и2 + з2 + зи) +

й, 0 в,

+ г2 (и3 + он, + а2 и + з3)} |,=,о йу йг - Л {{и + з) £ (и. + 32 + аи) +

й,

+ е3(м3 + зм2 + згн + з8)} \х=_х1>йуйг = 0, (2.14)

где

~ { Х0 < X Х0, 2о<^2<^2ч)}, ^2 == {0 У ^Уо’ ^0 ! •

Из (2.14) следует цепочка интегральных равенств:

s°: f f (и + э)йу dz = 0; (2.15)

о

s: Jj w |y=v,dx dz + j j {(и2 + з, -f зи)]*_,„ dy dz —

a, . '* s,

— («2 + °2 + 3«) } dy dz = 0; (2.16)

e2: jj aw \~=~dx dz -f jj {(и3 -f ей, + з2и -f з3) —

2, S,

— (и3 + om2 -j- 0аи + Зз) |jr=-.r„) dy dz = 0. (2.17)

Будем рассматривать течения, в которых изменение параметров на скачке уплотнения, замыкающего местную сверхзвуковую зону, имеет тот же порядок, что и во всем потоке. Тогда соотношения

(2.5) и (2.6) запишем в виде:

р (-(■ эо, у)/р0~ = 1 -4- S3 3., (+ сю, 'у) н-,

‘ £(+ °°> У)/и<» = 1 + S3«,(+ ОО, у) -1-------,

где

«з( + оо. У) = 1у(т + 1)(т - !)[«]„;

Из (+ оо, у) = -±- (Т + 1) [и}1, [и] = и (хск + 0) - и (хск - 0); ! <2•18>

°з(+°о, У) = °2(+ °о, у) = 0, м(+ оо, у) = и2(+ оо, у)=0. ,

Совершая предельный переход к области с конечными значениями у0 и z0 и х0 -» оо, получим

И w (х, y0)dx dz — 0, Q1,00 = lim21; (2.19)

si. со jr“~oc

jjo(x,y0)w(x,y0)dxdz*=

Sl. OO

= “ JJ ( + °°> У) + (+ °°> У)] dy d*■ (2-2°)

s a

Теперь в (2.20) может быть выполнен повторный предельный переход у0 ос, откуда следует, что предельная величина интеграла расхода в третьем приближении через линию у =у0 = const, у0^> 1 не стремится к нулю, а определяет некоторый „дефицит" расхода, равный (с обратным знаком) предельному расходу в х-на-правлении: .

Urn jj о(х, у0) w (х, у0) dx dz — — jj [и3(ос,_ у) + з3(оо, y)]dydz =

Л.-00 S, оо 22,00

, _ =-iyT(T + l) jj [uCK]adydz. (2.21)

• :a - :v >. ■ - ®2, oo > ■■■■ ;

Выражение для расхода / через поверхность у =у0 = сопз! записано в виде:

оо 00

I (Уо) =£ | 'у0)йх-\- *- | о(х,у0)и>(х, у\)Лх + О (г3). (2.22)

—СО —ОС

Первый член разложения в (2.22) равен нулю; дефицит расхода газа через эту поверхность имеет более высокий порядок и, как это следует из (2.20), (2.21), определяется величиной энтронийных потерь в скачке уплотнения. Тем не менее решение потенциальной задачи в рамках уравнения Кармана дает возможность определить величину этого расхода согласно (2.22). Аналогичной особенностью обладает, как известно, и задача о волновом сопротивлении тела в трансзвуковом диапазоне скоростей [4—6].

Равенство (2.21) позволяет получить краевое условие на бесконечности для уравнений, связывающих члены третьего приближения. Так, для плоского случая имеем

м3(+оо, у) + з3(+оо, 7) = ~~ | а(х, у)вд(лг, у)йх; (2.23)

—сс

для осесимметричного случая получаем соответственно

М,(+оо, у) +з3(Н-с», у) = -4-4г. С уз(х, у)т(х, у)с1х. (2.24)

у оу

—оо

Кроме того, из уравнения Бернулли (2.11) получаем и3(+ос, у) = ^-то3( ; оо, у),

что дает возможность определить величины иг И оя на бесконечно удаленной границе при х -* + оо, выражаемые с помощью членов первого приближения. В частности, для плоского случая имеем:

- 2 д * ~ ~

Из (+ со, у) = — .-рг! ] Чх, у) VI (X, у) ах;

' —оо

- . _ 1 д 00 ~ _

М+оо, у) = — тзрту= | 3(*. у)9(х,у)Ых.

—со

Аналогично может быть построена цепочка краевых условий и для следующих приближений.

Полученный результат о том, что суммарный расход газа через любую линию у = Уо ~ соп^ равен нулю в первом приближении, иллюстрируется ниже результатами численных расчетов (выполненных методом, близким к описанному в [1]); его можно использовать для интегрального контроля точности разностных схем расчета трансзвуковых течений.

Проведенные расчеты соответствуют случаю обтекания трех осесимметричных тел с относительной толщиной т = 0,1, имеющих различное расположение точки максимальной толщины (соответственно хт — 0,3; 0,5; 0,7) потока с числом М, равным 0,9975.

Геометрические характеристики тел 1, 2, 3 задаются в виде:

тело / тело 2 тело 3

гТ(х) — 0,855•= [(1 — х) — (1—-с)6'03], шах л, при х = 0,3; гТ(х) = 2т(х —*'-), шах гт при х = 0,5; гт(л:) = 0,855 — л:6-03], шах гт при л = 0,7.

-0,5 0 0,5 1,0 х

Рис. 3

Рис. 5

Величина интегрального расхода в зависимости от координаты х показана на рис.3и4для различных расстояний от тела соответственно у — 0,05 и 3/ = 0,15. Некоторый разброс при хсо имеет случайный характер и определяет погрешность численного решения. На фиг. 5 показана зависимость вертикальной скорости от величины х — .г:0 (л-0 — точка нулевой вертикальной скорости) для рассматриваемых тел, у —0,2. Видно, что интенсивность скачков достаточно велика в этих случаях. _

Следует отметить, что для получения хорошей точности необходимо принимать специальные меры для правильного расчета течения в области скачка уплотнения; приведенные результаты расчета были получены с помощью полностью дивергентной разностной схемы, удовлетворяющей этому условию.

1. Сычев В. В., Фонарев А. С. Безындукционные аэродинамические трубы для трансзвуковых исследований. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 6, 1975, № 5.

2. Ферри Л. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М., Гос. издат. техн.-теорет. лит., 1953.

3. К о у л Дж. Асимптотические методы в прикладной математике. М., .Мир', 1972.

4. MurmanE. М., Cole J. D. lnviscid drag at transonic speeds. A1AA Paper N 74-540.

5. Диесперов В. H„ Рыжов О. С. О телах вращения в звуковом потоке идеального газа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 9, № 1, 1969

6. Диесперов В. Н„ ЛифшицЮ. Б. О сопротивлении тел вращения при трансзвуковых скоростях потока. ПММ, т. 39, вып. 2,

Рукопись поступила 5jIV 1978 г.