О малоиндукционных режимах обтекания профилей и тел вращения в трансзвуковых трубах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕЗАПИСКИ НАГИ Том XII 1981

№ 1

УДК 533.6.0! 1.35

О МАЛОИНДУКЦИОННЫХ РЕЖИМАХ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЕЙ И ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ В ТРАНСЗВУКОВЫХ

ТРУБАХ

К. Г. Саядян, ,4. С. Фонарев

Исследуется влияние величины давления во внешней камере трубы и проницаемости ее стенок на обтекание профилей и тел вращения в случае дозвуковых и трансзвуковых режимов обтекания со слабо развитыми местными сверхзвуковыми зонами. Применяется линейная теория потенциального течения, при этом течение вблизи стенок трубы рассматривается в асимптотическом приближении как течение от диполя, обтекаемого сжимаемым дозвуковым потоком.

Получены аналитические соотношения для величины, индуцированной стенками трубы скорости и ее производной в направлении потока при различных уровнях давления во внешней камере, и определены режимы, когда указанные величины близки к нулю в окрестности модели: Проведено сравнение аналитических результатов с результатами численных расчетов.

"В работах [1—7} исследуется проблема влияния перфорированных стенок аэродинамических труб на обтекание моделей при сверхзвуковых и трансзвуковых скоростях потока (где это влияние проявляется особенно сильно)' и предлагаются конкретные способы его уменьшения.

Одно из перспективных направлении в .решении этой проблемы связано с разработкой и созданием аэродинамических труб, в которых создается обтекание модели потоком, близким к неограниченному, путем регулирования непосредственно в процессе эксперимента параметров, так или иначе связанных со стенкой рабочей части. В [3 — 7] изучается случай трансзвукового течения в такой трубе, в [8 — 12] —случай дозвуковых скоростей.

В случае трансзвукового режима течения необходимая для реализации этого способа регулирования теоретическая информация вследствие нелинейности соответствующих уравнений может быть получена главным образом с помощью численных решений.

Однако существует диапазон трансзвуковых скоростей со слабо развитыми сверхзвуковыми зонами, со скачками уплотнения, не доходящими до стенок трубы, где могут быть применены аналити-

ческие методы линейной теории потенциального дозвукового сжимаемого потока. В ¡13] получено условие, при котором справедливо применение линейной теории к трансзвуковому режиму обте-

I

кания в трубе профиля с толщиной менее 10%:

ЗА

<2, где /-

длина хорды профиля, h — расстояние от оси трубы до стенки, Р = V1 — М^, Моо—-число М потока. Ниже эти методы применяются для определения малоиндукционных режимов обтекания профилей и тел вращения в трубе в указанном диапазоне трансзвуковых скоростей.

1. Рассмотрим плоскую задачу об обтекании профиля дозвуковым потоком сжимаемого газа в аэродинамической трубе с проницаемыми стенками рабочей части и внешней камерой секционного типа (рис. 1).

¡У

1 с=э er -J I

р~р~

Рис..

В предположении малости возмущений течение может быть описано уравнением Прандтля — Глауэрта

1 дх* ' ду* и’

где <р {х, у) — потенциал возмущений; {х, у}—декартовы координаты, оси х и у направлены соответственно по вектору скорости набегающего потока и нормально к нему.

Для постановки краевой задачи о течении в трубе с проницаемыми границами необходимо задать условие на стенке трубы. В случае, когда значения давления во внешней камере и в невозмущенном потоке на бесконечности равны, в качестве такого условия используют обобщенное краевое условие

объединяя в нем следующие частные случаи:

— твердые стенки: К -*■ оо или (!//?) -> оо,

— открытая рабочая часть: ЛТ= 0 и 1,7? —О,

— стенки с идеальной перфорацией в виде мелких отверстий: К — О,

— идеальные щелевые стенки: (1 /'/?) = 0.

В соотношении (2) К — коэффициент проницаемости продольно-щелевых стенок, равный

К = — 1п

СБС I ~2~ 3

(3)

а — отношение суммарной площади щелей ко всей площади стенки; ¿ — длина проницаемой части границы трубы;

— параметр проницаемости:

й = 2 -¿-/(-Ц&Л (4)

где V — ду/ду — вертикальная составляющая скорости; р<х — скорость, скоростной напор и давление в невозмущенном потоке соответственно; р — давление в рассматриваемой точке течения у стенки; знак (1) соответствует верхней (нижней) границе рабочей части.

В случае, когда значения давления во внешней камере и набегающем потоке различны, будем использовать модифицированное краевое условие для перфорированной границы, найденное в [3] и отличающееся от (2) наличием правой части

'&±к-&±±-ЩушЫ=т, Ф)

где '¡■ — показатель адиабаты, а /? определяется соотношением [см. (4)]

_ 2 — I ( Р ~~ Рк

здесь />к— давление в камере.

В силу линейности задачи представим потенциал в виде суммы

<р = *1 + ?*,

где ср! — потенциал скорости при обтекании модели безграничным потоком, ср*— дополнительный потенциал, обусловленный влиянием стенок.

Пусть ср4 — известное решение (1), тогда величина ®* может быть найдена из условия, что сумма <рх + ?* удовлетворяет граничному условию на стенке. Отметим, что функция о>, должна достаточно точно аппроксимировать потенциал в точках, удаленных от тела (а именно —у стенки), тогда как вблизи модели допустима некоторая неточность в ее определении.

Уравнение (1) и краевое условие (5) для величины <р® примут вид

Обтекание безграничным потоком симметричного профиля под нулевым углом атаки в точках, достаточно удаленных от него, будем аппроксимировать двумерным диполем [14], для которого

\г — • ,пг _: ' (7\

■ т д^З?^ -■ ^1

При этом центр диполя лежит в центре' модели, а постоянная мощность диполя ті определяется следующим образом:

г;-:/...: , к- ,: , ' (8)

где ^ — площадь сечения' модели.

2, Применим для решения данной задачи метод преобразования Фурье, имеющего для -функции 6 (х, у) следующий вид:

•' : ОО

'*'(<?> ’¿{х, у)е‘*хіІХ. (9)

Обратное преобразование Фурье примет вид

'ї(х> у).— У) е-*х ІІ£, (10)

—ОО . . ' '

Обозначим через. Ол> О*, F^g) преобразования. Фурье соответственно функций ©і, ©*, /(*).

Подставляя ©* вида (10) в первое уравнение (6), получим уравнение .. .... • .,____,

• /)2 /?*' '

и и ДО

: 82 Р-2 С"

■■■:• >: г-Гй'у, ду- н • • •

решение которого в силу четности функции ©й по у имеет вид

<3* —Д-(£) сЬ ф#у). (11)

Здесь А (¿) — неизвестная величина, зависящая от параметра я. Подставляя обратные преобразования Фурье функций ©ь /(х) в граничное условие (6) и учитывая, что

С, -

«■ 1 4- . | § | ’

определим Д (я); выполнив для б* ,, обратное преобразование Фурье, найдем выражение для потенциала индукционной скорости:

. I/

сг.

(тії ~ Г‘ёк + ~^) е 41 сь л

СІ1 (З^Л) + /СЗ'О- $1і (3^//) -I- 5І1 (З^Л)

ке;

V

—00

Р (аг) егКХ сь (3>)') </£ ;

сИ (3^/г) + ЭЬ (З^Л) эЬ (З^Л)

Разделим ф* на действительную и мнимую части с учетом того, что при изменении пределов интегрирования с (— оо, оо) на (О, оо) интеграл удваивается, если подынтегральная функция четна относительно gí и равен нулю, если подынтегральная функция нечетна. ’ “ -ЛГ

Рассмотрим случай перфорированных стенок: К— 0.

Первый интеграл в (12) не зависит от величины рк; после замены переменных д =* его можно записать в виде

'ро

тР

‘¿-ЛИ

Г сЬ (-Т") С08

•№)

И

З2

ж

+

и

л

ж

1 +•

№

сИ

<7У

І8ІП (ігі *?■

(13)

Второй интеграл в (12) зависит от распределения давления во внешней камере и обращается в нуль, когда давление в ней равно невозмущенному давлению в потоке.

Рассмотрим односекционную камеру шириной 2?. с распределением давления

I а 1 х 1 < £

(0

т

тогда Р№) = и для второго интеграла в (12) получим

С помощью выражения для потенциала <р* = <р£ -|- ?}> соответствующего индукции перфорированных стенок аэродинамической трубы, можно найти индукционную скорость гі[ = д<?*/дх. В частности, в начале координат, где располагается диполь, имеем

: _ 2а -1 ^ "»(тгИ ЯУ А Г дх и соэ сЬд — "І ЗІП( Т/г)з1‘9

/ — — - ,

иі (0, 0)

і -

32

Ж

4- 1

ІІ

/?2

4т:38 А2

3» :

, 2 а

Г-

VI

сії <7

32

сЬ- ц + -яр «її2 у

■¿д.

Первый интеграл из (14) вычисляется в квадратурах:

«ю (0. °):

т„

4т: З2 1г-

-2

1Т

■ arctg^

(14)

(15)

второй требует численного интегрирования. Не приводя результатов численного расчета, отметим, что данный интеграл с ростом ?,фА стремится к значению а (при 5/3/г = 100 относительная погрешность составляет —10~5).

Из формулы (14) следует, что скорость в начале координат, обусловленная индукцией стенок, может быть сведена к нулю при любых наперед заданных значениях I и ¡3//? подбором параметра а,

определяющего некоторый перепад давления в камере. В частности, для случая, при котором давление в камере не регулируется, т. е. а — и, нулевая индукционная скорость в начале коор-. динат имеет место при р//? = 1,28 или (?= (1 +3 /?)-' =0,44; на этом режиме производная ди^дх в точке (0,0) максимальна.

3. Для того, чтобы получить одновременное равенство нулю в начале координат и индукционной скорости и1 (0, 0), и ее производной ди^дх, необходимо ввести в рассмотрение двухсекционную камеру со следующим распределением давления в секциях:

При заданных значениях параметров потока и значениях проницаемости можно, варьируя перепады давления в камерах, т. е. величины а и Ь, удовлетворить требованию одновременного равенства нулю в заданной точке скорости, обусловленной присутствием стенок трубы, и продольного градиента этой скорости. В частности, условие равенства нулю индукционной скорости и ее производной в начале координат дает следующую систему уравнений относительно величин а и Ь, зависящую от параметров (*//? и

Применяя преобразования Фурье, получим

Г (£) [(а ~ ^ (1 ~ с08 ^)) ь * (а + ь)810 (£*)] •

Разрешая-эту-систему при фиксированном ;/;3/г, получим зависимости величин

д = ^232 Л2 и В = — 232 /г2

ТІЇ ^ 1 /// ^

от параметра

«=(‘+4)"

(см» рис. 2).

На рис. 3 показана зависимость индукционной скорости

232 Д2

—гг* (л, 0) на оси трубы от продольной координаты х/ВЛ для

трех случаев. Кривая 1 соответствует режиму с проницаемостью стенки (3 = 0,44 и рк = рх, при котором м;(0, 0) = 0; кривые 2,3 — регулируемым режимам давления' в двухсекционной камере при

(5 = 0,44 и 5/{ЗА — 2 и 4 соответственно. Отрезками горизонтальных прямых изображены величины //рА при М~;=0,8 и А//~ 5,0 (отрезок /), а также /г/7 = 1,0 (отрезок //). Длину I можно принять за характерный продольный размер профиля.

Из приведенных результатов следует, что в области расположения модели добавочная скорость, индуцированная стенками; существенно меньше, когда давление,- в камере регулируется рассмотренным выше способом.

4. Аналогично решается задача об обтекании тела вращения н цилиндрической трубе с проницаемыми (перфорированными) границами- Уравнение Прандтля — Глауэрта в этом случае имеет вид

_д_

дг

дг

= 0.

(18)

где г — цилиндрическая координата, перпендикулярная набегающему потоку, г0 —радиус трубы.

Соответствующее граничное условие на стенке запишем в виде

д-£ . 1 д<в

дх 1 И дг ¡т-г,

= /(х)

■іК

Рсо

(19)

Для тела вращения, расположенного под нулевым углом атаки в безграничном потоке, потенциал возмущенной скорости на достаточно большом—удалении от него аппроксимируется диполем вида

х

4~.

(X* -- / 2)’ *

постоянная гпг связана с объемом модели хг

гпг = Ц» V

Для цилиндрической трубы -рассмотрим двухсекционную камеру с распределением давления, аналогичным (16).

Применяя к краевой задаче (18), (19), как и выше, метод преобразования Фурье, получим выражение для потенциала индукционной скорости. Удовлетворяя условию равенства нулю в точке

(О, 0) индукционной скорости и ее производной по X, придем к аналогичной (17) системе

- О = к,- (0, 0) --

2^3 '33 I

Г* к, [я) 1.) (Я) к1 (?) /, (я)

>1 (я) - -^г ![ (я)

/о (?•) + /¿8 ^1 (9)

ц\йд

-

О = ^г(0.: °) сиг

9-2 44 ,-4

л ге

I/

о

/2 .:.. /2 'О /^2 '1

02 ( \ и /

* Г (в » /и(.9)2 -т- («■+. *>-£-/.. 14) ^¡П!-^

т.

I ■ - «(7) ” £2 4

: о

которая определяет зависимости безразмерных величин

(20);

/I,

И /^ц-

— 2^33 г*

т 1 и

от р при заданных значениях параметра £/рг0. Соответствующие зависимости при ;/рг0 = 2 приведены на рис. 4.

Как и в плоском случае, для осесимметричного течения в перфорированных границах при рк—Рсо существует некоторое значение <5 = 0,45, при котором и1 (0, 0) = 0. Однако на этом режиме весьма велик градиент скорости в начале координат (где расположен диполь). Задание параметров Лц, Вп, соответствующее решению системы Д20) (рис. 4), приводит, как. это видно из данных рис. 5, к значительному уменьшению влияния стенок на обтекание модели.

на оси трубы

- и((х, 0) от продольной координаты х/$г0, соот-

ветствующая нерегулируемому режиму при (3 = 0,45; сплошная кривая соответствует режиму регулирования давления в двухсекционной камере при (3 = 0,45; = 2. Отрезками горизонтальных

прямых изображены величины Щгй. Цифра / соответствует г0Ц = = 4,0 и Мсс = 0,9; цифра 11 — г0/1= 1,0 и Мс» = 0,8 (длину I можно принять за характерный продольный размер тела вращения).

Таким образом, как в плоском, так и в осесимметричном случаях применение двухсекционной камеры позволяет значительно снизить влияние стенок соответствующим подбором давления в секциях камеры.

5. Представляет интерес сравнение результатов, полученных в рамках линейной теории, с результатами численных расчетов обтекания тел в трансзвуковой трубе с перфорированными границами с использованием нелинейной теории малых возмущений [3-5].

На рис. 6 приведены полученные численно распределения коэффициента давления ср по профилю, образованному дугами окружностей с относительной толщиной 10%, для следующих случаев: 1 — обтекание безграничным потоком; 2—обтекание потоком с перфорированными границами при М = 2 и рк = р&,. 3— обтекание потоком с теми же границами, но с регулированием давления в двухсекционной камере по разработанной выше методике.

При этом давление в секциях камеры вычисляется по формулам

Рк ' 1

Р ОС ,1 '/

Рк \

~рю) II

1

-'М2 -г

• со е 233 ¿2

В(Я).

233 Л2

Сравнение выполнено для значения Мсо = 0,9 при /? = 0,1 и 0,34 (что соответствует (2 = 0,44). Для рассматриваемого числа М область местной сверхзвуковой зоны при неограниченном обтекании профиля распространяется вверх на расстояние у// 1,2.

Проведенный анализ позволяет сделать вывод, что найденный путем решения линеаризованной задачи способ задания давления в двухсекционной камере приводит к значительному уменьшению влияния границ потока на обтекание модели в начальном диапазоне трансзвуковых скоростей потока в трубе.

Описанный метод может быть распространен на случай обтекания профилей под углом атаки и некоторые случаи пространственного обтекания тонких тел и крыльев.

1. Гродзовский Г. Л., Никольский А. А., Свище в Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения в перфорированных границах. М., ,Машиностроение“, 1967.

2. Р я б о к о и ь М. П. О течении газа через стенку с продольными щелями. „Ученые записки ЦАГИ', т. 4, № 3, 1973.

3. Сычев В. В.. Фонарев А. С. Безындукционные аэродинамические трубы для трансзвуковых исследований. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 5, 1975.

4. Третьякова И. В., Фонарев А. С. Влияние проницаемых границ трансзвукового потока на обтекание тел вращения. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 9, № 6, 1978.

5. Фонарев А. С. Индукция стенок трансзвуковых труб и пути ее уменьшения. »Ученые записки ЦАГИ“, т. 10, № 5, 1979.

■ 6. Sears W. R. Self correcting, wind tunnels. .Aeronautical J.“, Febr./March, 1974.

7. Ф e p p и А., Баронти П. ..Метод корректировки данных, полученных в трансзвуковой трубе.. .Ракетная техника и космонавтика (AIAA Journ.), 1973, т. 2, № 1.

8. Pindzola М., Lo С. F. Boundary interference at subsonic

speeds in wind tunnels. AEDC, TR-69-47, 1969.

9. Б ы p к и н А. П., Межиров И. И. Численное исследова-

ние индукции проницаемых стенок рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 6, 1977.

10. Б ы р к и н А. П., Межиров И. И. О проблеме индукции проницаемых стенок рабочей части газодинамической трубы малых скоростей. .Учёные записки ЦАГИ“', т. 9,'5,' 1978.

11. Груздев А. А. О безындукционных трубах дозвуковых скоростей для аппаратов с большой подъемной силой. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 5, 1977.

12. М о кг у М., Peak D. J., Bowker A. J. Wall interference

on two-dimensional supercritical airfoils, using wall pressure measurements to determine the porosity factors for tunnel floor and ceiling. National aeronautical establishment, Ottawa, February, 1974, Aeronautical Repoft, LR-575.

13. С h e v a 1 1 i e r J. P. Calcul de correction de parois en soufflerie transonique’e. „AAAF“, 9’e Colloque d’aerodynamique applique’e. Paris, Novembre, 1972.

14. Л а м б П. Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Рукопись поступила 4jl 1980