CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVIII 1987 М2
УДК 533.6.011.6 532.526.5
ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ОТРЫВА ТРАНСКРИТИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В. Я. Нейланд
Предложена асимптотическая теория взаимодействия гиперзвуко-вого потока с ламинарным пограничным слоем на режимах течений с малыми значениями температурного фактора. Приведена полная классификация таких типов течений, объединяющая рассматривавшиеся ранее до-критические и сверхкритические течения. Основное внимание уделено транскритическим течениям, свойства которых с физической точки зрения аналогичны свойствам трансзвуковых течений невязкого газа. Развита теория разрывных решений, включающая условие на разрыве, которое до некоторой степени аналогично условию на скачке уплотнения Гюго-нио—Рэнкина. Построены некоторые решения, описывающие обтекание ряда тел типичных для аэродинамических приложений форм. Показано, что при достаточно больших углах поворота потока с необходимостью появляется перерасширение и транскритический скачок, т. е. решение является разрывным на основном масштабе возмущенной области.
1. Асимптотическая теория взаимодействия невязкого потока с пограничным слоем является важной частью динамики вязкого газа при больших значениях числа Рейнольдса Ие. В основе ее лежит фундаментальная идея Л. Прандтля о возможности разделения всей области течения на невязкий поток и тонкий пограничный слой [1]. Эта идея появилась в связи с попыткой получить рациональное объяснение явления отрыва потока от поверхности обтекаемого тела. Заметим, что идея Прандтля оказалась чрезвычайно плодотворной не только для динамики вязких течений, но и для многих других направлений прикладной математики. Первоначальная формулировка теории пограничного слоя включает предположение о том, что возможно сначала решить задачу для внешнего течения невязкого газа, а затем для пограничного слоя при найденном распределении давления. Позднее Л. Прандтль [2] указал на возможность уточнения решения путем учета вытесняющего действия пограничного слоя на внешнее течение. В следующем приближении при этом необходимо учесть влияние изменений внешнего потока на течение в пограничном слое и т. д. Фактически была сформулирована концепция теории слабого взаимодействия.
Однако дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования показали, что в большинстве случаев учет слабого взаимодействия не решает всех возникающих проблем, в частности, не позволяет описать течение вблизи точки отрыва пограничного слоя. Например,
химээыниёмве xHHdaiMxadx и -xAatf BHdosx ввнзэьихохиииэв BxnaEBd [gj] H[gj]XBXOgBd а ОЯВН’И'О '[t7!] KOirO OJOHhHHBdjOU HHHSHHBdA XI4H4IfBdJ9XHH иинвяоеч1гоиои Hdu кинз1гяв винвзипо ихооньохзн anaxolíaifo в ‘иинэьэх ОЯХЭИОЗО ЭОНЗЭЬИЕИф ЗН ЯХЗЭ HX30HhHXHdHBE оахэиоао OXh ‘wox о эинзж -oifoutfedu эжвУ оюшнЕод •IЧI^[ижэd 9HH39hHXHdM0ff 0яч1гох HifBandxBwo -3Bd имззьихнвф ‘AVoj g¿01 а взизтяиявоп ‘[gi] raxogBd oír киахэиз^ои -ивея и Baradxo iindosx иоязэьихохпишзв ou iqxogBd 3HHHBd ohbhVo
•киахэиэ^оиивеа B333ttOdu ВИНВЗИПО Blfff BVOXSW OJOHqifBdJ3XHH И ИИHЭЖBd900Э ХИМЗЭЬИЕИф ХИ1П90 мчйюиои О ЧЭИ1ГВЯ1ЧЯОН0090 ВИН31ГЯВХЭ -iradu Hxg "MOhBMD тт Voxsdsn иимээьих^яве iremoEHodu [£j] hhjoitohuim -dex а ‘иэн а щ вггзиь Ч1шфо0п Horaodxosdsn OMEgd ‘koitd ojOHhHHBdaou ИОНИТШГОХ 3 XHMHd3WEH03 ‘XBHHIfff XHMXOdOH ЧНЗЬО BH I490Xh ‘owHVoxgo
-эн ‘0MH0d>i "Lf* п-вниевяА ‘оахзиояэ oxe iradgondu yoira HiqHhHHBdJon иим -oshHXHdMBE ндохь ojox bit^ ‘иоахзиоаз иихе XHtnoiBffBifgo эн ига ‘Boira OJOHhHHBdjOU ИОНИЙПГОХ O OlHH3HaBd3 OU SHHqifSXHÍiBHe *BHHBOX33Bd BH
и закритических пограничных слоях, способных при взаимодействии со скачком уплотнения передавать вверх по течению возмущения давления XHM03hHXHda0V о зинэк'авхэ'Е^и и“эяя но "fel] o>raod}i '£/* ояхэч1Гзхкохэ -90 oxe I^,ижAdвнgo wiqadsu 'Э01гэ ионьинвсйои ионнэТлАиЕоаэн а эд bit -зиь Birt^odu хо хвзизве ‘винэГпАиЕоа B3xoiBHBdx3odu3Bd siqdoxoM вн ‘hhiíV двхтзви и иинэ1лАиеоя HhBifadgu 3HH3iraBduBH ‘wsoirs ииньинвйл -ои з внохоп ojoaoMÁasxdsas кияхэиэйЧживеа нэхэв^до BdÁx^Ádx^
•видовой нномве
ЭIqннэжиь'9иdu энндо'п'А и винэьэх ахзиояз хинээьиеиф зинзнзкадо зон -qifBHOHliBd X3BV ffoxtíou иияззьихохиииэв ‘ojox 3wod>i 'OHqirexHHb'AdxBE 3^j хвинэьвне хиютьюд ndu HHHsraad хиннэ^энь эинэьАи-оп охь ‘Аиохои И ЭЙЗ ОНЖВЯ оннздозо OXg ‘ВОЮ OJOHhHHBdjOU H3nd03X ИОМЗЭЬИЭЭВ1П1 хнизвамзиио эн ‘ьвЯве nndoex п mmxHBdn KifV хннжва отгаиь зотчи“од хэвымгаа но qd9U9x BSimdHmoBd онч1сэхиьвне 'ооч-зй BVoxsdeu ojoh -qirs'G'sdu иинэп^эаоз ndu взмохэ—эаавн HHHSHHBdA HHHgirad xiqHqiralí -adu внзион зяонзо вн хртзвянзипо ‘M3irgodu JÁdM ‘woEBdgo иинвх
•[П] sxogBd я HslTsaHdu bebj иинэьэх xiqaoxAaExdgas hi/V WKHHsirHBduBH иихе ou xogBd doego • иншгоп ээ1Годивн ‘oHXKOdsg 'ном -oxou KiqaoHAsdsuHJ Birax иинвнэхдо ndu иинэьэх ou xdsaa иинзШАиеоя 3hBl/3d9u я qxHtfoandu хзжои охь ‘bitsx олоизвмзхдо nx30Hxd3aou изза вн iMiqHqirH3 взхзв1гяк зияхзиэ'е'оиивёя xiqdoxox я ‘ьвРве ‘воиз олоньин -Bdjou энТГ вн аоиАхзА BVod ojoHhHifEBd ‘irax яэьох xiqaoirjA эпнвязхдо ‘И01ГЭ HHHhHHBdjOH ВН BHHSHXOIfuA ВМЬВНЗ винз^ви BX33W HEHirga винэьэх BlfV ‘dSWHdUBH :В01ГЗ OJOHhHHBdxOU H3Hd03X ИОЯЗЭЬИЗЭВЬ’Н хниэвянзиио ЭН И ВИНЭЬЭХ ЭИЭХЗ HOHHOIfSXSdx Н ВЗХИЙГВ'С'ОЯЗ ОНЧ1ГЭХВЁКдО ЗН ‘hBVBE
ззвин HHHodnm яхваоРз^ззи imiroaEou bebj охоневз иинэьэх хияомАяе -xdsas иниивни'С ьвРве oiHHsrasd м VoxVou иимзэьихохиииэв оивн^о
■иинэьэх
XHHdBH0H'nBX39H СЯИНВЯОЬ'ЗЬ’ЗЭИ М BH3H3IMHdU [01 ‘б] XBX09Bd я ‘ихзомРиж иоизвиижээн BHiqdxo ojOHdBHHWBií1 iqweifgodu BHH3msd biíS1 внвяоеяуоп -зи Binqg вно fs] sxogBd я hb¿ •wiqHdoaxo'n'oifu Bwq33a чзо1гвевмо BHH9m3d iqdAxjiAdxs HOHqirg'c'gdu HOHHOirsxsdx эинвяоечь’опзи иэтиэнчи'в'С g '.шчн -HOIfOXSdx ВЭХЭВ1ГЯВ ВЭМОХ3—ЗЯЗВН HHHSHaBdA BHHSmgd 3HH9IfaBX3ff3du ЭОЯЗЭЬИХОХПМИЗВ BEBJ ЗИОХОП W0a0MAa£Xd933 Я BHiqdxo OJOHdBHHWBIÍ им -ьох HX30HX33d»0 g \i—9] XBxoged a внэжÁdвнgo Binqg ‘Bandxo Амьох ве 0J9 BИHЗЖIí■0lr0du ИХЗОНЖОИЕОЯ И BHH9ra3d HX30HdBKAjHH3 0IHH3HBdX3A >1 0J3tnBV0HHdu ‘ИЭ01ГЭ WHHhHHBdjOU 3 BHOXOU ОХЗНПТЗНЯ ВИаХЭИЗРОИНВЕЯ
ojOHqifBMOir OJOHqifH3 qirod BBtnoiBifsVgduo ‘Й имьох иодозо «иого
-Hl/OXOdnSH» OIHHaifHBOU H XHVOflHdu ВИНЭП'аВ’П' HHH9If9ff9dU3Bd иэншзна IVOHHBVBE Hdu BOIf3 OJOHhHHBdjOU HHHSHHBdA HHH9m9d ЭИНВЯО’П'Э^ЭЭИ
течений и установлена глубокая аналогия между свойствами дозвуковых и сверхзвуковых течений невязкого газа, с одной стороны, и докри-тических и закритических пограничных слоев в сверхзвуковом внешнем потоке, с другой. При этом большой принципиальный интерес представляло описание транскритических течений, аналогичных режиму трансзвуковых скоростей в обычной газовой динамике. Настоящая работа посвящена описанию транскритических течений и возможных путей перехода пограничного слоя из докритического состояния в закритическое и обратно. Для исследования транскритических режимов взаимодействия рассмотрим некоторые характерные простейшие задачи этого типа.
2. Изучим сначала обтекание гиперзвуковым потокох! вязкого газа окрестности угловой точки контура простейшего тела, показанного на рис. 1.
Рассматриваем режим слабого взаимодействия на основной части тела до некоторой окрестности угловой точки О. При этом профили
Рис. 1
распределения параметров в невозмущенном пограничном слое, как известно, определяются соотношениями (см., например, [16])
и ■■
не Г (5, -П) - «о =/' , («е/2) £ (5, -ч)
о __ у
6 = [ Р® «*» ие йх, ц = (ие!У2\) | р йу, /' ($, со) = 1 (2.1)
-/ о
/'" +//" = 0, = о,/(£, 0)=/'(?,0) = 0, 0)=-^. _
Здесь декартова прямоугольная система координат показана на рис. 1, ее начало расположено в угловой точке тела, х= —I соответствует началу пограничного слоя, т. е. I — длина передней части пластины, и, Н, р, ц, — продольный компонент скорости, энтальпия торможения, плотность и динамический коэффициент вязкости. Индексами е, т, отмечены значения параметров на внешней границе и около стенки в пограничном слое.
Для сокращения выкладок приняты не существенные в принципиальном отношении допущения: линейная зависимость ц от энтальпии и равенство числа Прандтля единице.
Прежде чем переходить к получению предельных асимптотических решений уравнений Навье—Стокса методом сращиваемых асимптотических разложений (см., например, [17]), получим оценки характерных масштабов величин в области сильного локального взаимодействия внешнего гиперзвукового потока с пограничным слоем около точки О.
Соответствующие оценки для невозмущенного взаимодействием пограничного слоя перед точкой О имеют согласно (2.1) вид
2 ие
ие, Р — Ро — рв/ме, Я— — , 80 — / Re0-lí2 , Re0 — Ро
Ро ■ ' Р > (2-2)
где бо — толщина невозмущенного пограничного слоя при .v = 0, индек-
сом е отмечены значения параметров на внешней границе невозмущенного пограничного слоя, а индексом 0 — значения плотности и коэффициента вязкости при температуре торможения.
Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений при Ме»1,
0 С 1 . Ме0<1 имеем формулу Аккерета
М* (р — ре) = ре (d b*¡dx + 6), (2.3)
где б* — толщина вытеснения пограничного слоя.
Если б* = 0 — пограничного слоя нет, то давление на теле меняется скачком в центрированной волне разрежения. Наличие пограничного слоя сглаживает разрыв в распределении давления по телу, однако градиенты давления остаются большими, хотя возмущение давления при М?0<С1 мало, согласно (2.3)
Д р
-у~М,0. (2.4)
В основной части пограничного слоя, где и~ие, используя уравнение импульса и уравнение состояния, получаем обычные оценки
Д«~йЛА plp)> дР~Ро (Д р1р), А 8/80 ~ а PIP• (2-5)
Этой части пограничного слоя на рис. 1 соответствует область 2. Однако всегда существует область 3, в которой
ри2 — Д/7 . (2.6)
Поэтому, если в дальнейшем окажется, что в ней малы вязкие члены уравнений Навье—Стокса, то возмущения скорости в области 3 будут происходить в главном порядке [5—7]. И в общем случае в области 3 с малыми скоростными напорами требуется построение отдельных асимптотических разложений.
Таким образом будем искать решение уравнений Навье—Стокса при совершении следующего предельного перехода
Re0 -*ос, Ме—>оо, 0 0 при Ме0 -* 0, gw < 0(1) . (2.7)
Решение во внешней области 1 описывается, очевидно, теорией малых возмущений для гиперзвукового внешнего потока. Для дальнейшего потребуется только формула для распределения давления на границе, образуемой толщиной вытеснения пограничного слоя, или области 2 (2.3).
В области 2 слабовозмущенного завихренного потока, включающего большую часть струек тока невозмущенного исходного пограничного слоя, уравнения Навье—Стокса удобно записать в переменных Мизеса
3—«Ученые записки» № 2
33
ду ди
ди др др д Г ди ( ду
+ -щ = ?и -щг[рИ!А йф +{АЫ~рг'
і ( д д \ Г 4 /да ди \ 2
/ ди др\ д 4 дv 2 / ди ди\ "I
Р“1-к + ^г/-Р“ *{7["Vри,''^+— -3“11 (,“33 — аг)і + -рг,А)Гр„|> *! + 1, (*_ри?Ц];
ґ ді?) / дф г \ дх * лш
д_
дх
дп
дх
дп
аф"'
_і_
ри
+
дк др д Г дк 1
р11~дх'~ и~д~х==р11 дф[Р1АИ<*П
. / д д \ / дИ. дії \ Г І ду , ду ди \2 ,
+ Ы~р,у 1ф) “ рг,1А^г)+ 1і [(р“^Г + ^г_'р'г;^г) +
, п [ди ди \2 0 [ ду \2 2 /ди ди , ді> \21
(їГ-І> 5(Г) +2Га+) -т(57-|>,’1ф+рМ:)] '
(2.8)
Введем следующие переменные для независимых переменных и функций в области 2
х = 1Ахйх2-, ф = Ро ие I Дф2 ф2 ;
/> = Ро «*(/>20 + ДА-Л1+ -),
: Ро (Рго + Дрг’Ргі + •••) ’
(2.9)
н = иЛ«20-Ьд«2-И21 + м.), ® = я,Дг»2-(»,1+ ...);
« = / Ие^1/2 [(я20+’д«2-л21 + ...) + Д/М«з — «80 )оо] ,
где /?20» Ам» Рго, Р21. — —безразмерные функции О (1); Дх2) Дя3, ... — безразмерные масштабы, зависящие от вида предельного перехода (2.7)
(21 . -1
(2.10)
Р2й = (л — 1 )/2т» Р0 = РЛ2/(Т— 1)М*]; Др2 = ДЙ2 = Др2 = Дя3 = Ме 0, Дф, = Ие^Г172;
Д — определяется для каждого случая особо, однако будет показано, что І?Є(Г1/2 С д*е С 1- Подставив (2.9) в уравнения Навье— Стокса (2.8) и совершив предельный переход (2.7), получим следующую систему уравнений
¿“21 , дрп „ <ЭР21 А
Р20 И20 ^ 1" ------- ---0 > 0 »
дх2 <Эф2
дх2 йпы 1
Л 4*2 Р20 М20
д/Ці
«Иг
1
Р20 а20
-1 Рг\
дх \ . РЇ/
Р21 «21.
Р20 М20
;0;
(2.11)
Сращиваем решение в области 2 при х2->— оо с решением в невозму"-щенном пограничном слое. Это определяет профили функций рго^г), «20(^2) и значение р21(*21~*—оо)->0. Систему уравнений (2.11) можно проинтегрировать, что позволяет найти вклад течения в области 2 в
переменную часть толщины вытеснения б* в рассматриваемой области течения: при £«, = 0:
Видно, что «21 линейно зависит от возмущения давления рг 1, а характер изменения ы21 определяется профилем числа М0 в невозмущенном пограничном слое перед началом области взаимодействия. Заметим, что профиль числа М0 для пограничного слоя на плоской пластине при температурном факторе §'и, = 0 таков, что интеграл в (2.12) отрицательный. Это значит, что течение в области 2 ведет себя как в сверхзвуковой струйке тока, т. е. при уменьшении давления (рг1<0) — ее толщина растет («21>0).
3. Теперь рассмотрим течение в области 3, где выполняется соотношение (2.6) и поэтому возмущения могут быть нелинейными.
Введем следующие масштабы аргументов и функций
Подставляя (3.1) в уравнения Навье—Стокса (2.8) и совершая предельный переход (2.7), получим следующую систему уравнений
В зависимости от соотношения малых величин gw, Ме0 относительные безразмерные масштабы переменных Ах, Ар, Лр, ... могут принимать различные значения. И тогда при совершении предельного перехода
(2.7), включающего возможность ^го-^О, из системы уравнений (3.2) будут получаться различные типы уравнений.
4. В соответствии с обычной процедурой проведем оценки порядков величин функций и на основании ее получим классификацию режимов течения. Для этой цели удобно вернуться (только в этом разделе статьи) к размерным переменным, отмечая индексами 0, 1,2, 3 их характерные величины соответственно в невозмущенном пограничном слое и в областях 1, 2, 3 возмущенной части течения.
(2.12)
о
х — 1 Д х3 л-3 ; ф = Ро ие I Ке0 1/2 Дф3 Фз ;
Р = Ро (Рзо + Ар3 р31 + ...) ; р = ро Др3 (Р3+ ••• ) ;
(3-1)
и = иеАи3(и3 + ..'.); я = /Не0 Д«3 («з + ...) ; v = ue^^v3(v3■i- ...); 11 = ^5^7(11., + ...);
Н = (ие/2) Д Л3 (Л3 +...),
,—1/2 лГ
где
Д Рз —1 Д Рг — Д Рз' А ^з, Рзо — Ріо г Ра — Р21 у Д Фз — А Рз ’ А • А я8 .
Используя (2.1), получим следующие оценки для поведения безразмерной скорости и = и/ие, безразмерной энтальпии g = 2h/u'ie на дне невозмущенного пограничного слоя около стенки, температура которой характеризуется значением ga>^l:
В соотношениях (4.1) опущены множители 0(1), несущественные для получения оценок порядков величин функций, у = у/6а.
Рассмотрим сначала течение, в котором в области 3, характеризуемой толщиной у — §3 (83 = §3/80), течение является почти изотермическим, т. е.
где р0 и ¡дю — значения плотности и коэффициента вязкости при температуре торможения. Последняя же оценка (4.3) получается из (4.1) с учетом (4.2).
По определению в области 3
В тех случаях, когда при совершении предельного перехода (2.7) коэффициент из безразмерных масштабов в правой части уравнения импульса системы (3.2) К стремится к нулю или остается величиной 0(1), скорость изменяется в главном порядке. Поэтому
Если же предельный переход совершается таким образом, что К-*-тогда и в области 3 возмущения скорости Аиз<С«з, т. е. режим течения будет описываться линеаризованными уравнениями с вязкими членами. В дальнейшем линейные режимы не рассматриваются, как не представляющие самостоятельного интереса.
Итак, рассматриваем течения с нелинейными возмущениями в области 3. В зависимости от соотношения значений gw и Ар/р возможны разные режимы течений.
Если gw не является слишком малым или вообще gw=0 (1), тогда выполняется соотношение
т. е. основную часть производной от толщины вытеснения пограничного слоя б* (2.3) дает течение в области 3, где течение дозвуковое. Тогда режим течения, как в классической трехслойной схеме, является обязательно докритическим.
g~Vy + gl, U~Vy-\-gl, — gw .
(4.1)
(4.2)
£з ' ’ Sw 1
(4-3)
Д Рз ■ ’ рз Из ■ ’ ро ие h3/gw . Тогда толщина слоя 3 имеет порядок величины
(4.4)
(4.5)
(4.6)
83> Д82~(Дpip) .
(4.7)
Достаточное условие докритичности сразу следует из сопоставления
(4.5), (4.6) и (4.7), (2.5)
(4.8)
Если предположить, что область 2 является закритической, т. е. интеграл в формуле (2.12)—обозначим ero L — вследствие предельного перехода gv-Ю сходится и имеет отрицательное значение, то течение в целом может стать закритическим при
|Д82|»Д83~83. (4.9)
Итак, при L<0 течение является закритическим при условии
y»S¿. (4.Ю)
Транскритические течения, в которых на разных участках пограничный слой может быть до или сверхкритическим, существуют, таким образом, при условии
Д82~83. (4.И)
Коренные отличия свойств течений до и сверхкритических подобны отличиям между дозвуковыми и сверхзвуковыми течениями и будут ниже проиллюстрированы при решении конкретных задач.
Рассматривая заведомо докритические режимы (АбзЗ>Аб2) и возможные транскритические режимы (Дбз~6з~Д02, L<0), используя для получения оценок (2.3), можно получить масштаб Дх области, в которой возмущения могут передаваться вверх по потоку
Д х / Во \ ,,, /Д /Л-1/2
Т-~(м+)й!(у) • (4-12)
Сравнивая (4.11) и (4.12), можно видеть, что для всех докритических
и транскритических режимов взаимодействия ДОбо, что означает от-
сутствие в главном приближении поперечных перепадов давления в областях 2 и 3, кроме особых точек решений, которые будут рассмотрены ниже.
Теперь проведем сравнение характерных величин отношения вязкого и инерционного членов в уравнении импульса. Для того чтобы течение в области 3 оставалось нелинейным, необходимо и достаточно выполнение условия
Рз Из Sl/Длг ¡J.3 «3^:0 (1) . (4.13)
Используя полученные выше оценки, из (4.13) получаем
(^)’^O(M,Re0-1/2). (4.14)
Таким образом, течение в области 3 будет описываться полными уравнениями Прандтля (т. е. будет «вязким и нелинейным») при возмущениях давления, по порядку величины равных
у- ~ Re-1/4 , (4.15)
■а
.1
что соответствует полученному в [18] распространению результатов [5—7] на гиперзвуковые течения.
Если возмущения давления по порядку величины меньше, то в области 3 возмущения линейны. Если же
1 »^»М^ео-172, (4.16)
то течение в области 3 должно в главном приближении быть нелинейным и невязким. (Для удовлетворения условий прилипания необходимо ввести в рассмотрение более тонкий вязкий подслой).
В дальнейшей части статьи основное внимание уделено транскритическим режимам с нелинейным невязким течением в слое 3, для КОТО' рых выполняются условия (4.11) и (4.16). На рис. 2 в плоскости 0^ж),
О 1 эти режимы соответствуют линии АВ. Докритические режимы
течений с нелинейными возмущениями в области 3 лежат в области АВС. Точка С соответствует обычной трехслойной модели течения [5—7],
'о 1 %ш)
Рис. 2
а режимы возмущений правее АВ, но выше АС (т. е. с невязким нелинейным слоем 3), рассмотрены в работах [19, 20].
Во всех докритических и транскритических нелинейных задачах, соответствующих треугольнику АВС рис. 2, течение в области 3 остается изотермическим в главном приближении, т. е. gз~gw■ Поэтому можно ожидать, что левее линии АВ можно обнаружить закритические режимы взаимодействия (при Ь<0), обладающие теми же свойствами
(4.3), (4.4).
Для появления закритических свойств взаимодействия необходимо, чтобы основную часть изменения б* создавали сверхзвуковые струйки тока из области 2: Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие (4.10). Из (2.3) и оценки Абг (4.7) следует оценка
Лх~Мй80. (4.17)
Таким образом, если уменьшать gw при заданной величине возмущения давления, то в области АВС рис. 2 масштаб Ах будет уменьшаться согласно (4.12) до линии АВ, а при пересечении линии транскритичности АВ согласно (4.17) он перестает меняться по порядку величины, так
как на него перестает в главном приближении влиять слой 3. Исполь-
зуя (4.13)
^~(м,не„-'Т3й;', (4.18)
найдем как меняется по порядку величины левее АВ критический перепад давлений, вызывающий отрыв пограничного слоя. Видно, что в точке А рис. 2, где выполняется условие транскритичности (4.11), значение критического перепада давлений удовлетворяет (4.15).
Если двигаться по диаграмме рис. 2 согласно (4.18) в сторону уменьшения то толщина нелинейного вязкого возмущенного слоя течения 3 продолжает уменьшаться, а возмущение давления — расти, до тех пор пока не нарушится условие (4.2), согласно которому до сих пор велись оценки в слое 3. Используя (4.5), можно показать, что (4.2) нарушается при значениях температурного фактора
На рис. 2 переходу к неизотермичной области 3 соответствует переход влево через линию ВД, на которой выполняется (4.19). При меньших значениях согласно (4.1) порядок параметров течения в области 3 с нелинейными возмущениями равен
Сравнение порядков величин главного вязкого и инерционного членов (как и выше) дает порядок величины для критического перепада давления, который в течениях сжатия может вызвать отрыв пограничного слоя
формуле (4.21) соответствует линия ЕБ на рис. 2.
Таким образом, рис. 2 дает полное представление о возможных режимах течения с сильным локальным взаимодействием вплоть до того, который вызывает отрыв пограничного слоя. Большая часть существующих ныне работ посвящена докритическим режимам из области АВС и в особенности в точке С. Немного работ есть по закритическим режимам [13, 15]. Поэтому в настоящей статье исследуются специфические особенности транскритического режима, подобного в определенном смысле трансзвуковому режиму течения в обычной газовой динамике.
5. Рассмотрим теперь подробнее свойства транскритических течений, соответствующих линии АВ рис. 2. Согласно результатам п. 4, течение в области 3 должно описываться уравнениями невязкого пограничного слоя, причем
Для определения переменной части толщины вытеснения пограничного слоя Д6* в этом случае проще всего воспользоваться единой формулой для областей 2 и 3, следующей из уравнения расхода
где индексом 0 отмечены значения параметров до начала области взаимодействия. Поскольку течения в обеих рассматриваемых областях являются локально невязкими, то, используя условие изоэнтропичности и уравнение Бернулли, можно получить следующее выражение
(4.19)
(4.20)
(4.21)
Д82~88 .
(5Л)
(5.2)
о
Д8*=
/
(РоІР)11'1
1 +
(Т - 1) Щ
а)' г
йуй. (5.3)
Таким образом, профиль исходного невозмущенного пограничного слоя входит в (5.3) в виде зависимости М0 (г/о), где г/0 — координата соответствующей линии тока в невозмущенном пограничном слое.
Используя обозначения (2.1), получим
М0 = [2/(т-1)]1/2«0/^/2 . _ (5.4)
На рассматриваемом режиме Др/р = 0^гт) профили скорости «о(г/о) и энтальпии торможения ц{Уо) вблизи тела можно представить в виде
: (тв ие/2дт) [V+ (4^/р0 и\) Уо ;
+ (40а,/{іЧ) и2)у0 + ... ,
(5.5)
где Хув, Яи> — напряжение трения и тепловой поток в невозмущенном пограничном слое перед началом локальной области взаимодействия.
р А р Д р
Так как — — 1 -{------, где —< 1, второй член под корнем
Р о Р о Ро
в знаменателе формулы (5.3) можно разложить в ряд по Д/?/А>С1
всюду кроме области, в которой М0 также мало. Область М0 — = 0(1) —это область 2, а область нелинейности 3 соответствует малым значениям у0, для которых второй член уже не мал.
В подслое 3 имеем
й0 ~ {А В/2) (Уо/г.) + - , g^igш + л = (*• ие12дт),
В = ■ (5-6)
Введем промежуточный предел интегрирования
0<81(з)«80, * = ~~- (5.7)
Интеграл (5.3) в пределах от 0 до 61 при использовании представлений
(5.4) — (5.6) берется
А» В2
А> В2
(5.8)
В области 2 с „линейными возмущениями“, т. е. для 81(е)<>у0<80 получаем
Д8о
gdy о
(5.9)
* Лр1 У *“■ (М “»
Следует помнить, что при е-»-0 имеем 61 (б)—^0 и интеграл (5.9) расходится. Поэтому «сращивание» результатов следует проводить аккуратно, учитывая следующие соотношения
(5.10)
Используя (5.8), (5.9), (5.10) в окрестности значения е = 0 получим выражение
1
Д8* = ДЙ2 + Д8з=е
1
А2 В* у]
йу0
Л Уо = 8оУо, В = \В = 0(1). (5.11)
Подынтегральное выражение в (5.11) устроено таким образом, что интеграл при Уо —*■ 0 сходится, так как в силу (2.1) м0 (0) = а0 (0) = 0.
Чтобы понять получившийся результат, во-первых, заметим, что согласно (5.6) величина А — безразмерная, но В имеет размерность, обратную длине. Во-вторых, из (5.11) следует, что М*/6о~г~ g'^. Второй член в правой части (5.11) возник при интегрировании по нелинейному всегда дозвуковому подслою. Поэтому для течений разрежения, т. е. для 8>0 этот член всегда отрицательный. Знак первого члена зависит, конечно, от формы профиля числа М в основной части пограничного слоя. Однако почти всегда доминирует сверхзвуковая часть профиля и поэтому первый член в квадратных скобках при 1 является положительным. Заметим, что для режимов течения с невязким течением в области 3 рассмотрение случая е<0 в силу уравнения Бернулли не имеет физического смысла.
Используем (2.3) и (5.11) для получения уравнения, описывающего распределение давления:
¿Я Р1/2 (Я+ 6) йг,~~ рМЪ_р\!’1
(5.12)
где введены обозначения
0 = 7 Ме , е = £* />, С = */(т Ме 80 Т) , Р\>'2 = Щ2 Т ,
*-м
2
АВ
(5.13)
Для достаточно наполненного профиля в невозмущенном пограничном слое, когда возможен переход к закритическому течению, Т>0.
6. Анализируя уравнение (5.12), можно построить семейство интегральных кривых для поверхностей в(£) при различных значениях критического перепада давления Р* . Напомним, что рассматриваются локально невязкие в области 3 транскритические течения, относящиеся к кривой АВ на рис. 2. Поэтому естественно имеют смысл только Р>0. Зависимость переменной части толщины вытеснения (5.11) в переменных (5.13) принимает вид
Д8* = 80^(7У> —ДР1/2) , 7>0, #>0. (6.1)
Видно, что при очень малых разрежениях в (6.1) доминирует второй член, соответствующий подслою 3 и Аб* уменьшается с ростом разрежения. Это дозвуковой или докритический тип поведения. При Р> Р* начинается рост Д6*как в одномерном сверхзвуковом потоке. Критичес-
кая точка, аналогичная той, которая появляется в решении для сопла Лаваля при М=1, соответствует
Явная зависимость Я* от устранена нормировкой (5.13), а зависимость от формы профиля невозмущенного исходного пограничного слоя очевидна из формул (5.11) и (5.13).
Для качественного анализа возможных решений задачи приведем, используя (5.12), схему интегральных кривых для участков тел 0 = соп$1 при различных соотношениях 0 и Я* рис. 3.
Если рассматривать течение разрежения с угловой точкой, т. е. 0(£<О)=О, 0(£>О) =0№<О, то решение можно получить в аналитической форме. Однако из рис. 3, а, 3, 6, 3, в еще до интегрирования можно установить основные свойства течения. В самом деле за угловой точкой (£>0) давление Р должно стремиться к значению — 0. Возможны два случая. Первый соответствует Я* > —0 — поворот потока на докрити-ческий угол. Как видно из рис. 3,6 при £>0, нет интегральных кривых, приходящих на линию Р= —0. Следовательно весь поворот потока до Р= —0 осуществляется до угловой точки £ = 0 на участке течения £<0, где 0 = 0 и описывается одной из интегральных кривых рис. 3, а.
Второй случай закритического поворота потока: ЯФ < —0. На рис. 3,в можно видеть, что на линию Р= —0 при £-> + оо приходят интегральные кривые, исходящие из критической точки Я = Р¡¡. . Так как при £<0 течение описывается интегральными кривыми рис. 3, а, то единственной возможностью оказывается течение, в котором «звуковая» или критическая точка соответствует Р(0) — Я*, т. е. критическая точка является угловой.
Итак, при обтекании тела с большим углом поворота, превышающим критическое значение |0|>Р:Й, вся дозвуковая часть реализуется до угловой точки, а вся сверхзвуковая — за ней. В частности, при
(6.2)
С С
б) Р\ г) Р ,
Рис. 3
сверкритическом исходном состоянии, когда Р<СТ, практически весь поворот происходит за угловой точкой.
Решение ряда задач требует существования разрывных решений типа суперкритического скачка, предложенного Л. Крокко [12]. Заметим, что в рамках асимптотической теории такие решения возможны. Напомним, что для закритических и рассматриваемых транскритических течений Лх~Меб0. Поэтому изменения, происходящие -на более коротких по масштабу Дх~б0 длинах, являются разрывами на основных интегральных кривых. Разумеется рассмотрение деталей течения на длинах Дх~8о с быстрыми изменениями давления является специальной задачей, которая в данной работе не рассматривается. Можно лишь указать, что на длинах Дх~60 не должно происходить изменения Д6* в главном члене:
[Д8*] = 0 . (6.3)
Решение в таких областях может быть выписано, однако для целей настоящей статьи структура этого течения не играет роли, так же как решение Беккера не является необходимым для обычной газовой динамики. Используя (6.1), выпишем аналог условия Гюгонио, следующий из (6.3):
РУ2 = 2РЦ2 — Р\/2 , (6.4)
где индексами 1, 2 отмечены значения функции до и после разрыва соответственно при выполнении условия (6.3). На рис. 4 показана зависимость Л6*(Р). Из точки А в В возможен разгон через критическую
точку О непрерывного течения разрежения. Обратно из В в Л можно попасть через скачок, определяемый условием (6.4).
Используя существование непрерывных интегральных кривых рис. 3 и условие на разрыве (6.4) (рис. 4), можно построить ряд довольно сложных течений, обладающих характерными свойствами транскритичности, похожими до некоторой степени на свойства трансзвуковых течений невязкого газа.
Рассмотрим обтекание косой ступеньки, показанной на рис. 5.
Пусть сначала |0|<Р#. Участок течения £>£в соответствует рис. 3, а. Можно видеть, что нет интегральных кривых, на которых Р—>-0. Но тогда необходимо иметь Р(£в) = 0. На участке АВ течение описывается интегральными кривыми рис. 3, б. Все интегральные кривые для Р< —0 определены с точностью до постоянного сдвига вдоль оси Так как Р(£в)=0, можно взять любую из них и, пройдя по ней расстояние, равное ¿в—¿а, в переменных подобия, соответствующее длине отрезка АВ на рис. 5, получить величину Р(£а)< Р*. Остается очевидным образом описать затухание возмущений на участке £<£а с помощью интегральных кривых рис. 3,а. Таким образом, решение полностью построено и не требует появления разрывов.
Сложнее обстоит дело при |'0|>Р* . Как и в первом случае Р(£в)=0. Решение на участке АВ описывает рис. 3, в. Обозначим ДС* расстояние между точками Р — Р* и Р = 0. Пусть сначала расстояние АВ в переменных подобия Д£ав< Д£*. В этом случае согласно рис. 3, в найдем Р(£а), отложив вдоль интегральной кривой от точки Р = 0 расстояние Д£ав. Это значение очевидно будет Р<Р*. Тогда, используя рис. 3,а построим часть решения на участке £<£а. Таким образом, при малой длине Д£ав< ДС* решение и при закритическом угле повороте 101 > Р* может быть гладким и докритическим.
Однако при Д£ав>ДС* такая возможность отсутствует. В этом случае необходимо рассмотреть течение, в котором Р(1а) = Р*, т. е. уже на
Д<Р
р
в
с
А
Р /7777
в<0 £
О
’777777777777
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
первом участке появляется закритическое поведение. Пройдя при этом всю интегральную кривую рис. 3, а, после точки А идем вверх по интегральной кривой рис. 3, в. Чтобы попасть в точку В, в которой Р=О, необходим скачок (6.4). Так как в этом случае А^>Д^*, можно подобрать положение скачка (6.4), чтобы попасть в такую точку докрити-ческой интегральной кривой, из которой на оставшейся ее части до точки В давление обращалось в нуль. Очевидно, что это всегда возможно, так как при движении вдоль интегральной кривой Р*<Р<—0 на рис. 3, в можно проходить любое расстояние. Кривая достигает линии Р =—0 лишь асимптотически при £-»-оо. Таким образом, получился интересный результат. Если угол поворота потока закритический —0>РЙ:, то течение станет закритическим только при достаточной длине АВ и тогда должно тормозиться через скачок (6.4). Если же длина АВ в переменных подобия меньше критического значения Д£ав<Д£*< то течение остается гладким и докритическим всюду.
Рассмотрим в заключение еще обтекание „профиля“ показанного на рис. 6. В этом случае опять Р(£0) =0. Если — 0<Р*, то построение решения не вызывает трудностей. На рис. 3, б измеряем давление от точки Р=0 на интегральной кривой на расстоянии ДС = Д£ех». Таким образом, получаем Р(£с)- Далее, зная ДСвс, получаем Р(£в) на рис. 3, а. Затем, используя рис. 3, г и зная ДСлв, находим Р (Сл). А затем по рис. 3, а получаем решение на участке
Пусть теперь — 0 > Р*. Как и раньше Р(Со)== 0. Участок СО описывают интегральные кривые рис. 3, в. Возможны два случая. Более простой соответствует Д£со < ДС*. Тогда находим на рис. 3, в величину Р(£С)<Р*. Далее участок ВС соответствует рис. 3, а. Зная ДСвс, находим Р(Св)<Р*. Затем с помощью рис. 3, в найдем Р(Сл) и по рис. 3, а —распределение давления вверх по течению от точки А. Таким образом, если длины наклонных участков АВ и СО в переменных подобия остаются короче критического значения ДС*, то и при — 6 > Р* течение остается докритическим.
Более сложным является случай течения если —0>Р*, а Д£св>Д£* (рис. 6). Здесь снова Р(£к)=0, на участке СО согласно рис. 3, в из-за Д£св>Д£* должен существовать скачок (6.4). Обозначим координату скачка (6.4) а величину давления перед ним Р\, тогда давление за скачком Рг (Р1) можно определить из соотношения (6.4). Кроме того, согласно рис. 3,в есть связь Рг(Сс—£1). а также Р^^—£с), так как в точке С обязательно Р = Р*. Для определения трех неизвестных Ри Рг, £1 получаем три соотношения, которые всегда при Д£сс>Д£* разрешимы. Далее течение на участке ВС при известной длине Д£вс можно рас-
считать по интегральным кривым на рис. 3, а и получить Р(В)<Р%. Далее при известной длине AUb по рис. 3,г находим Р(Ъа), а затем по рис. 3, а—интегральную кривую, описывающую затухание возмущений вверх по течению от точки А.
Течение полностью описано и опять обнаружилось, что закритичес-кий поток при углах поворота —0>Р* появляется только при достаточных длинах участков разгона и заканчивается при торможении скачками типа (6.4). Детальное изучение структуры течения внутри области скачка (6.4) на длинах Ах~б0 будет проведено в дальнейшем. Оно представляет большой интерес, так как в области Ax~ö0, в которой локализован скачок (6.4), возможно появление локального отрыва тонкого вязкого подслоя, образовавшегося на дне локально невязкого течения в области 3, что возможно также около точки В (см. рис. 5) и точки D (см. рис. 6).
ЛИТЕРАТУРА
1. Prandtl L. Uber Fliisugkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung.— d. III Intern. Math. Kongr., Heidelberg, 1904.
2. Прандтль JI. Механика вязких жидкостей. /Под ред.
В. Ф. Дюренд. — Аэродинамика, т. III, раздел Ж. — М.: Оборонгиз, 1939.
3. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц E. М. Обтекание твердых тел сжимаемой жидкостью. — В кн.: Механика сплошных сред. — М.: Наука,
1944.
4. Goldstein S. On laminar boundary layer flow near a point of separation. — Quart. J. Mech. Apipl. Math., 1948, N 1.
5. Нейланд В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва: — Доклады III Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Сб. аннотаций докладов съезда. — М.: 1968.
6. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.
7. Stew art son K-, Williams P. O. Self-induced separation.—
Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1969, vol. 312.
8. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ,
1972, № 3.
9. Рыжов О. С. Уравнение нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением.— ДАН СССР, 1977, т. 234, № 4.
10. Schneider W. I. Upstream propagation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers.—J. Fluid Mech., 1974, vol. 63, N 3.
11. Нейланд В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. — Успехи механики, 1981, т. 4, вып. 2.
12. Crocco L. Considerations on. the shock-boundary layer interaction.— In: Proc. Conf. on High—Speed Aeronautics, Brooklin, 1955.
13. Нейланд В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлажденном теле и его взаимодействие с гиперзвуковым потоком. — Изв.
АН СССР, МЖГ, № 6, 1973.
14. Brown S. N., Stewartson K. Laminar separation. — Ann.
Rev. of Fluid Mech., 1969, vol. 1.
15. Нейланд В. Я К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. 4. II. Пространственные течения. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. 5, № 2.
16. Хейз У. Д., Про бет ин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд. иностр. лит.-ры, 1962.
17. В а н - Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. —
М.: Мир, 1967.
18. Нейланд В. Я- Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. —
Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.
19. Матвеева Н. С., Нейланд В. Я. Ламинарный пограничный слой вблизи угловой точки тела. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 4.
20. О 1 s s о n G. R., М е s s i t e r A. F. Supersonic laminar boundary layer approaching base of a slender body. — AIAA J., 1969, vol. 7, iN 7.
Рукопись поступила 27¡VI 1986 г.
