Асимптотическая теория взаимодействия закритического пограничного слоя с гиперзвуковым потоком газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м XIV 1 9 83 М3

УДК 533.6.01!.55 + 532.526.533.694

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

Т. В. Титовская

Рассмотрено гиперзвуковое течение с распространением возмущений через закритический пограничный слой. Получены оценки функций течения в локальной области течения с сильным взаимодействием пограничного слоя и внешнего потока.

1. В работе рассматривается задача о распространении возмущений в пограничном слое при его взаимодействии с гиперзвуко-вым потоком газа. К настоящему времени рациональная теория для таких задач строится при использовании уравнений Навье — Стокса и метода сращиваемых асимптотических разложений. При этом совершается предельный переход: Ке -> оо, М -* оо (Ие — характерное значение числа Рейнольдса, М — число М потока). Первые результаты для сверхзвуковых течений такого типа получены для течений около точек отрыва пограничного слоя в работах [1—3]. В этих и последующих работах (обзоры работ приведены в [4, 5]), показано, что взаимодействие сверхзвукового течения с пограничным слоем около точек отрыва является сильным и имеет локальный характер. Это значит, что задача не может решаться как в классической теории пограничного слоя последовательным построением приближений сначала для невязкой части течения, а затем для пограничного слоя и т. д. Режим сильного взаимодействия требует совместного решения задач для вязких и невязких областей течения. Локальность означает, что на этих режимах длина области сильного взаимодействия, хотя и превышает по порядку величины толщину невозмущенного пограничного слоя, но значительно меньше длины тела I. Характерный размер области взаимодействия для этих течений обычно имеет порядок величины / — Ие-38.

Далее важно заметить, что на этих режимах, которые в соответствии с терминологией Л. Крокко [6] принято называть докри-тическими, поперечный перепад давления в пограничном слое в первом приближении является внепорядковым. Л. Крокко [6] рассмотрел задачу о взаимодействии при использовании интеграль-

ных уравнений пограничного слоя и показал, что при достаточно больших сверхзвуковых числах М внешнего потока и турбулентном течении в пограничном слое или ламинарном пограничном слое около холодного тела тип взаимодействия может резко измениться. Область взаимодействия может стать короткой, а для возникновения передачи возмущений вверх по течению должна произойти резкая перестройка потока с сильным торможением струек тока пограничного слоя. Поскольку исходная асимптотическая теория, построенная в ранних работах [1—3], не содержал^ решений закритического типа, в работе [7] высказано сомнение в возможности существования закритических типов взаимодействия и предложено, что их существование [6] связано с неточностью описания течения в рамках теории интегрального типа.

Однако позднее в [8, 9] асимптотический анализ течений в ламинарном пограничном слое около холодных тел показал, что закритический тип взаимодействия существует, но для его описания требуется построить асимптотическую теорию более общего вида, чем в работах [1—3]. В этом случае оказывается, что поперечный перепад давления необходимо учитывать уже в первом приближении. В пространственных течениях с закритическим типом взаимодействия содержатся характеристические поверхности нового типа [9].

Ниже рассматривается задача о распространении возмущений давления в двумерных закритических течениях.

2. Рассмотрим постановку задачи в случае простейшего течения с распространением возмущений через закритический пограничный слой и проведем соответствующие оценки. Схема течения показана на рис. 1, где а: и у — соответственно продольная и поперечная координаты; а — проекция скорости на ось х. Донное давление (или давление на щитке) в общем случае отличается от давления около поверхности тела перед началом области взаимодействия. Связанное с этим возмущение давления ДР передается по дозвуковой части течения вверх по потоку, поскольку в нижней части

М » 7 1

7

—7 2

/

у- _

&х~{, X 1 X

Рис. 1

пограничного слоя всегда есть дозвуковые струйки тока. Изменение толщины и величины давления дозвуковых струек тока передается в сверхзвуковую часть течения. Чтобы описать этот процесс, сначала оценим распределение параметров в исходном невозмущенном пограничном слое.

Пусть пограничный слой развивается на длине I на дне гипер-звукового потока с числом Ме>1. Температура в основной части

пограничного слоя вне узких слоев около стенки и внешней границы пограничного слоя имеет порядок температуры торможения внешнего потока

т~т0~тем1

Поэтому для плотности р и динамического коэффициента вязкости ¡х в основной части пограничного слоя можно сделать оценки:

РоРе/М«? ¡^О ~ Р'г 0)

Здесь предполагается для простоты линейная зависимость коэффициента вязкости от температуры. Величины Ме, ъе, ие, -ре, ре, \>-е—параметры невозмущенного внешнего потока. В соответствии с классической теорией пограничного слоя инерционные и главные вязкие члены уравнения для тангенциальной составляющей импульса должны в пределах пограничного слоя иметь одинаковый порядок малости. Тогда можно считать

2

N «е Ро“е /9ч

§2 I •

°0

Из (2) следует оценка для толщины пограничного слоя, которая соответствует режиму слабого гиперзвукового взаимодействия на основной части тела до начала локальной области сильного взаимодействия

А _ ( до У/2 = 1

I \ Ро М/ Ке1 -

Для оценки параметров течения в локальной области с сильным взаимодействием перед донным срезом найдем вид распределения функций течения в основной части пограничного слоя около стенки, принимая температурный фактор £> = 0, где g = Т/Т0. Такое значение температурного фактора согласно 18] обеспечивает закритический тип взаимодействия в рассматриваемой задаче. Поскольку во всей основной части, кроме окрестности внешней границы пограничного слоя, трение и тепловой поток но порядку величины одинаковы, то можно написать

„ ди и„ дк 1

о у к-*о о0 ду

uZ

~ V-0-т- ■ (3>

у=0 00

Отсюда, учитывая (1) и считая ¡j. ~/z, для малых значений у/80 получаем следующий функциональный вид распределения энтальпии около стенки:

Щ~( У!\У:2-

Тогда из (3) следует

и/ив~{у180)1/2- (4)

Таким образом, в результате получаем

(yß0)lß; «X ~{у \)т', |

р/ро — (у/8о)“1/2; v-lv- о~(у/8о)1/2> I

(5)

Теперь оценим изменение толщины вытеснения струек тока исходного невозмущенного пограничного слоя и внешнего потока при воздействии на них малого возмущения давления Др/р.

В соответствии с теорией малых возмущений при Др/р < 1 для области / внешнего невязкого гиперзвукового потока имеем

Др Ь’е V е 1 д р

М„

ре и2 ие ’ ие

Основная часть пограничного слоя для у/о0 ~ 1 характеризуется обычными линейными возмущениями:

Д и/ие ~ Д/7/Ро — Д 8/В0 ~ Д р\р. (6)

Оценим изменение толщины струек тока вблизи поверхности тела. При этом возмущения будут максимальными, если они нелинейны, т. е.

Д ы~и, Д р — р иг.

В этом случае местные пристеночные струйки тока меняются по толщине на свой основной порядок. Обозначим их толщину 8^. Тогда, используя (4) и (5), получим

Ро “е Др

Ре

(

Отсюда получаем оценку для ( „

\ °1

w \1/2 Р

~ 1^-)' « 1Р- ~ а . (7)

>4 I Р I Р К '

Таким образом, изменение толщины струек тока в основной части пограничного слоя (область 2 на рис. 1) по порядку величины больше, чем в пристеночном слое (область 3). Это обстоятельство существенно отличает схему течения от обычной трехслойной схемы течений со свободным взаимодействием, рассмотренной в [1—3].

Оценим теперь характерное значение числа М в области 2:

М0-------^-------------------------------------1.

и а0 аеа0 т Тд

Таким образом, характерный наклон характеристик в сверхзвуковой части области 2 есть 0(1). При закритическом исходном профиле в области 2 длина Дх, на которую передаются возмущения, имеет следующую оценку для порядка величины:

Дл: ~ 80.

Теперь, используя уравнение неразрывности, получаем оценку для поперечного компонента скорости в области 2:

v Д и Д р ие ие р

Учитывая (5) и (7), заметим, что в области 2 поперечный компонент скорости по порядку величины больше, чем в областях / и 3. Это означает, что краевое условие для v в области 2 на обеих границах должно иметь вид: г/=0 при у — 80 и у = 0.

3. Построим решение в основной части пограничного слоя (области 2). Используя полученные выше оценки, введем в соответствии с обычной процедурой метода сращиваемых асимптоти-

ческих разложений следующие безразмерные координаты и функции, сохраняющие величину 0(1) при совершении предельного перехода:

Мр -»оо Re -*■ оо, |

х —$о*1> У = Ь{)Уу ).

и = ие[и0(у1) + т1(хи У\) + • • v = &uev{{xu у,) + • • • !

М

•];

= л|1 + гР 1 (Л'п у г) + ■ ■ •];

!'• — (yt) + . . .];

А == —• [К {Уд + ...].

(8)

(9)

Теперь, подставляя (8) и (9) в уравнение Навье — Стокса и совершая предельный переход (8), получим в первом приближении следующую систему уравнений:

, дщ , _ ¿и0 _ 1 др1

Р0М0—---------1- р0Ъ\ —— =----------

дл-, Лу1

Ро ^0 '

dt»!

dxt

ди

UllA .

Ро ---------------Ь «О

pj дх*

Pi

<^P1 . Pi

7 <?•*!

L .

Y <?У1 д

ду 1

Ро

+ г»1 ■

¿л 1р<

= 0.

(10)

Последнее уравнение (10) можно получить из уравнения сохранения энтропии вдоль линий тока вместо уравнения энергии. Такая замена справедлива, так как для области 2 в первом приближении выпадают члены с вязкостью и теплопроводностью. Функции р0, и0 в силу принципа сращивания есть профили невоз-мущенного пограничного слоя. Граничные условия для (10), как было показано выше, имеют вид:

ъ1(х1, 0) = ъ1(х1, 1) = 0.

Для числа М (у\) в исходном пограничном слое имеем следующее соотношение

М5 = р0 ид.

Тогда система уравнений (10) преобразуется таким образом:

(Мб - 1)

д2Р\

dx2t

д* Pi ..2 *

ду{

др\

дУх

rfpo _j___________2_ du0

Ро dy i u0 dyt

dpt

dy i

:0;

• 0 при у!=0 и yx = 1.

Собственные решения задачи можно искать в виде Рі(х і, Уі)=Рі (З'ї) ехр (аХі);

или

(И)

(Мо - 1) Рі {уг) -р" (V,) + ^-р\ (у,) = 0;

р\ (о)=/?;(!) = о.

4. Приведем результаты численного решения задачи. Для аппроксимации уравнения (11) использовалась разностная схема второго порядка по Ду, (где Ду, — шаг по координате у{), которая решалась методом прогонки.

Краевое условие на правом конце /?' (1) = 0 задавалось с точностью до второго порядка. Уравнение (11) при ух — 0 имеет особенность в третьем члене. Исходный профиль пограничного слоя задавался исходя из известного решения типа решения Блазиуса [10] с учетом сжимаемости. При у, 0 уравнение (11) приближенно можно представить в следующем виде:

Поиск собственного числа производился подбором решения, удовлетворяющего краевому условию на левом конце р\ (0) = 0, для чего была введена невязка Я, = р\— р'т, где р'Г — значение р\, найденное аналитически (13).

Результаты численного решения уравнения (11) методом про-[ гонки представлены на рис. 2—5.

На рис. 2 изображен профиль пограничного слоя М(у1). На рис. 3 показана зависимость невязки Н,= р[— р'т от числа а и определенное собственное значение, когда М1 = 0.

Р\(Уі)~ ~—Р’і(Уі)+*2Рі (З^і) = 0-

2у

(12)

Отсюда при ух -* 0 решение (12) представимо в виде ряда

рЛу 1) =1 — (лУй2 + (“уО4— ■ • •

(13)

и, соответственно

Рг(Уі) = — 2Уілі-

Рис. 2

Рис. 3

4—«Ученые записки» № 3

49

На рис. 4 и 5 представлены профили давления Pi(y^) и р\ (j/j) при данном собственном значении а = 6,12 . . .

Таким образом, найдено собственное решение задачи, описывающее затухание возмущений вверх по течению от источника

возмущений (например, донного среза). В дальнейшем предполагается исследовать краевые задачи и отрыв для закритического пограничного слоя в гиперзвуковом потоке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1969, № 4.

2. Stewartson K., Wiliams P. Sef-induced separation. Proc. Roy. Soc. A., 312, 1969.

3. Нейланд В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 3.

4. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.

5. Stewartson К. Multishructured boundary layers on flat, plates and related bodies. Advances in Applied Mechanics, vol. 14, Academic Press. Ins. New York, 1974.

6. Crocco L. Consideration of the shock-boundary layer interaction. Roc. Conf. on High-Speed Aeronautics, Brooklin, 1955.

7. Brown S., Stewartson K. Laminar separation Annu. „Rev. Fluid Mech.“ vol. 1. 1969.

8. Нейланд В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле и его взаимодействии с гиперзвуковым потоком. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1973, № 6.

9. Нейланд В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. „Ученые записки ЦАГИ“, 1974, 5, № 2.

10. Шлихт инг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука“,

1969.

Рукопись поступила 11 /XII 1981 г.