CC BY
16
4./2011 ВЕСТНИК _7/202J_МГСУ
О ВОЗМОЖНОСТЯХ АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ УПРУГОЙ ЗАДАЧИ В ЗОНЕ КОНЦЕНТРАЦИИ
НАПРЯЖЕНИЙ
ON POSSIBILITIES FOR ANALYSIS EXPERIMENTAL DECISION IN TENSION CONCENTRATION AREAS
Л.Ю. Фриштер, В.Н.Савостьянов
L.U. Frishter, V.N. Savostjanov
ГОУ ВПО МГСУ
Анализируется напряженно-деформированное состояние в зоне концентрации напряжений, полученное экспериментально на моделях с угловым вырезом границы методом фотоупругости.
In this article the experimental stressed - deformed state in zones of concentrated tension is analyzed.
Настоящая работа проведена в рамках гранта НШ-8684.2020.8 Президента Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
Напряженно-деформированное состояние (НДС) в зоне концентрации напряжений характеризуется значительными величинами напряжений и их градиентов и предполагает комплексность подходов исследования.
1. Рассматривается упругая плоская задача в окрестности нерегулярной угловой точки границы, в которую выходит линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций. Граничные условия в окрестности нерегулярной точки границы однородны. Рассматривая малую окрестность вершины углового выреза границы плоской области и применяя группу подобия вида:
x1 =tx; y1 = ty; z1 = z Стц = t aj Sij = t sip u = ui,
получаем разрешающую систему уравнений плоской задачи теории упругости, которая содержит параметр группы t. Геометрический параметр t, характеризующий "степень" приближения к нерегулярной точке границы, позволяет анализировать вид разрешающей системы упругой задачи. Согласно рассмотренным случаям изменения параметра t (t ^ да, t ^ 0, t е (1 + a,N), a - мало ), решение плоской задачи упругого тела в окрестности нерегулярной точки границы можно представить в виде:
81J = sj + j Ui -Ui -й? + uf , f = + ?, (1)
где c = (ctj sij, U°) - сингулярное решение однородной краевой задачи, характеризует особенность НДС в окрестности нерегулярной точки границы;
^н = (сте", и") - решение разрешающей системы плоской задачи теории упруго-
сти, обусловленное влиянием действия заданных нагрузок: объёмных сил Fi = —- Fi,
вынужденных деформаций е® = 1 е^ +1 акТ8ч, а также влиянием действия скачка
j t t
вынужденных деформаций и объёмных сил по линии контакта Г = У Г 2 областей
1 _ . Ф = 1
ij +--Ч '
Ц и П2: А Кф = — Д К, де® = -Де
1 2 ч Г ч ij t
Дв*1 =
М г 2"М Г1 )5,= 1 АаДт 8ч
2. Полученное представление напряженного состояния (1) анализируется на примере известного экспериментального решения для прямоугольного клина под действием сосредоточенной силы, приведенной в работе М. Фрохта [1]. Экспериментально полученная М. Фрохтом картина полос приведена на рис. 1.
ПК
Рис. 1. Картина полос для прямоугольного клина, нагруженного сосредоточенной силой приблизительно в вертикальном направлении, полученная в работе М. Фрохта
Теоретическое решение упругой задачи для клина имеет вид: 2Рп соз(9-у)
ст„ = —
t
(2)
m = -—^-= c0 — ^ mdm = d1 = c0 - const (5)
1/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ
где положительный угол Q отсчитывается против часовой стрелки от оси симметрии клина. Линия, определяемая углом 90, является нейтральной осью (стг = 0): 1 _sin 2ц
tg90 =---; а = 45 , Р = -45 . Нейтральная ось образует угол 57,5
tgP 2а + sin2a
с вертикальной прямой. Согласно (2) выполняется:
cos(O-y) 1 , -Ь-И = - = const (3)
г d
Вдоль дуги круга согласно (3) напряжения в клине стг; xmax- постоянны. Поэтому полосы или изохромы, соответствующие произвольной сосредоточенной нагрузке, приложенной в вершине клина т. O (0,0), являются дугами окружностей, центры которых лежат на линии, определяемой углом у = 90 —п/2, перпендикулярной нейтральной оси.
= ^ = m <Л (4)
где ст0 = А, / (2ct) - цена полосы, зависящая от толщины модели t, длины волны X применяемого в полярископе света. Согласно (1); (3), (4) запишем Pn cos(0-у) _ 1
t О r dm
По данным [1, t.II]: P = —7,73 кг; t = 0,87 см; ст0 = 8,7 кг / см2; n = 1,27, находим c0 = 1,3, mdm = d1 = 1,3 - const, где m , dm - порядок полосы и диаметр круга, соответствующего изохроме порядка m . Согласно (5) на горизонтальной границе
c c 0 537
клина при Q — %¡4 порядок полосы m1 = —cos57,5 = 0 '-, а на вертикаль-
г г
ной границе клина при 0 = —(л/ 4) порядок полосы равен:
c0 . СГ1 с0 c00,843
m2 = —sin57,50 = -. Тогда
г г
m2 = tg57,50m1 = 1,57m1 (6)
При фиксированном радиусе г = г0 на границе клина соотношение порядков полос (6) по данным эксперимента (рис. 1) выполняется не точно. Это нарушение зависимости вида (5) объясняется тем, что нагрузка передавалась через брусок с заплечиками 2 мм и длинной 1 см. Поэтому при экспериментальной реализации воздействия сосредоточенной нагрузки нейтральная ось немного смещается, нулевая полоса m = 0 не попадает согласно теоретическому решению в вершину клина. Согласно полученной картине полос рис. 1 соотношение для порядков полос на границах клина:
m2 = tg G0m1 = 3m1,
где 00 ~ 70° и созданное в эксперименте усилие имеет некоторый угол наклона
(~ 200) относительно вертикальной границы клина.
На рис.2 на картину изохром наложена теоретическая картина полос m согласно (1).
та
Согласно рис. 2 для полос т = 2,3,4,5,6 выполняется соотношение (5). Для области, содержащей данные порядки полос, справедливо радиальное распределение напряжений (1). Полосы порядков т > 6,7,8 смещаются относительно порядков полос теоретического решения и 6ё6 ^ 7ё7 ^ 8ё8, однако смещение просматривается на картине полос рис 2.
Полосы порядков т > 8,9 не согласуются с теоретическим распределением, при чем экспериментальные полосы по рис. 2 отдалены от точки приложения силы по сравнению с теоретическим распределением. Начиная с т > 10 по картине полос порядки не читаются. Согласно данным эксперимента рис. 2 картину полос в области прямоугольного клина можно представить в виде нескольких областей.
а) область г е (0; 0,8751) сингулярного НС, где полосы (т > 10) не читаются.
б) переходная область, не содержащая вершину клина т. О, имеет две подобласти. Подобласть, где экспериментально полученные порядки полос т > 6,7,8 смещаются относительно полос теоретического решения, имеют подобный характер изменения. Подобласть, примыкающая к сингулярной области НДС, где проявляется "слабая сингулярность" решения порядка г" \ В этой "неустойчивой" подобласти экспериментально полученные порядки полос т = 8,9 не согласуются с теоретическим решением.
в) область, в которой наблюдается совпадение экспериментального и теоретического решения (т < 6), и влияние сингулярности решения не сказывается.
4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ
Найдя коэффициент пересчета линейного размера модели и фотографии модели 10 = 1/21,5 для области, прилежащей к сингулярной (т = 7 ), возможно найти предпола-гаемый порядок полосы в малой окрестности точки приложения силы при условии сохранения линейного упругого НДС, полученного экстраполяцией того НДС, которое соответствует теоретическому и экспериментальному решению в несингулярной области (переходной области, достаточно близкой к сингулярной): т = «14, где
=0,09см. Поэтому данное приближение по радиусу к вершине клина можно рассматривать как предельное практически возможное при экспериментальной реализации решения.
В области несингулярного решения однородной плоской упругой задачи возможно привести оценки, используя которые можно экстраполировать данные на сечения, близко расположенные к нерегулярной точке границы, с учетом данных эксперимента и практической точности измерения методом фотоупругости. Для этого разрабатывается комплексный подход исследования зон концентрации напряжений.
3. Согласно теоретико-экспериментальному анализу НС в окрестности нерегулярной угловой точки границы плоской области, в которую выходит скачок вынужденных деформаций, предлагается следующая формула для экстраполяции экспериментальных данных [2,3,4]:
( \ г
1-Х
V Гч+1 У
mi, (7)
где т; порядки полос по данным эксперимента в расчетном сечении гч в окрестности несингулярного решения однородной краевой задачи, т;+1 порядки полос в сечении меньшего радиуса г;+1 < гч , расположенного в области с нечитаемой или "плохо" читаемой картиной изохром модели, X0 = ттКеА,- минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина, определяется расчетно [2].
Бесконечно большие напряжения, полученные как сингулярное решение однородной краевой задачи в плоской области с острым угловым вырезом, радиус кривизны которого стремится к нулю, являются следствием идеализации формы границы и свойств материала в малых ограниченных зонах вершины острого угла выреза. Конечность кривизны угловой зоны выреза в реальных материалах конструкций ступенчатой формы позволяет говорить о концентрации напряжений в угловой зоне и конечности их значений.
Конечность кривизны в вершине трещин, как предельной формы концентрации напряжений, на расстояниях, превышающих 0,25 от радиуса кривизны, мало сказывается на величинах местных напряжений [4]. Эти обстоятельства позволяют за пределами указанных расстояний анализировать напряженное и деформированное состояние в зонах трещин, а потому и в зонах угловых вырезов методами теории упругости применительно к изотропному упругому материалу.
Вывод. Расчетно - экспериментальный анализ НС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, и предлагаемая на его основе формула экстраполяции экспериментальных данных (7), позволяет восстановить порядки полос в области сингулярного решения упругой задачи, в которой изохромы на модели не читаются или «плохо»
читаются. Приближенность сечения к нерегулярной точке границы обусловлена линейно-упругой постановкой задачи, точностью измерения экспериментальных данных и метода фотоупругости.
Литература
1. Фрохт М.М. Фотоупругость. Пер. с анг./ под ред. Н.И. Пригоровского. М. ГИТТЛ, т.1, 1948, 423с., т.2, 1950, 488с.
2. Фрпштер Л.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций при действии вынужденных деформаций в зонах концентрации напряжений. Academia. Архитектура и строительство. Российская академия архитектуры и строительных наук. № 4, М., 2008, с. 94-97.
3. Фриштер Л.Ю. О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ. №1, 2008.
4. Фриштер Л.Ю. Экстраполяция экспериментальных данных метода размораживания деформаций в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ. М., МГСУ. 2008, с. 272-276.
Literature
1. Froht M.M. Fotouprngost. Рег. s ang./ pod red. N.I. Prigorovskogo. M. GITTL, t.1, 1948, 423s., t.2, 1950, 488s.
2. Fгishteг L.YU. Issledovanie napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya konstiuktsii pri dyeistvii vynuzhdennyh deformatsll v zonah kontsentгatsll napгyazhenll. Academia. ArЫtektura i strol-telstvo. Rossllskaya akademlya arhltektury i stгoltelnyh nauk. № 4, M., 2008, s. 94-97.
3. Frishter L.YU. O vozmozhnostyah polucheniya metodom fotoupгugostl napгyazhennogo sostoyaniya v oblastl kontsentratsii napryazhenll. Vestnik MGSU. №1, 2008.
4. Frlshter L.YU. Ekstгapolyatslya eksperlmentalnyh dannyh metoda razmorazhivaniya de-formatsll v oblastl kontsentratsii napryazhenii. Vestnik MGSU. M., MGSU. 2008, s. 272-276
Ключевые слова: локальное напряженное состояние, метод фотоупруготи, зоны концентрации напряжений
Key words: local tensed state; the photoelasticity method, zones of concentrated tension
129337, Ярославское ш., 26, МГСУ, тел.:8 (499)183-30-38, e-mail: vmat@mgsu.ru, lfrishter@mail.ru
Рецензент: Варданян Г.С., д.т.н, профессор, главный научный сотрудник ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, заслуженный деятель науки и техники РФ, лауреат Государственной премии СССР
