CC BY
57
УДК 535.551
Л.Ю. Фриштер
ФГБОУВПО «МГСУ»
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ВЕРШИНЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КЛИНА
Проанализировано напряженно-деформированное состояние с особенностью, обусловленной действием сосредоточенной силы на прямоугольный клин. Решение получено экспериментально в работе М. Фрохта с использованием по-ляризационно-оптического метода.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, метод фотоупругости, М. Фрохт, поляризационно-оптический метод, интерференционные полосы.
Напряженно-деформированное состояние (НДС) в области углового выреза границы характеризуется особенностью степенного вида [1—6]. Метод фотоупругости позволяет получить на моделях НДС в областях угловых вырезов границы [7—10]. Моделирование сингулярных решений задач теории упругости, обусловленных геометрическим фактором — угловыми вырезами границы, вызывает необходимость анализа решений с особенностью, полученных экспериментально на моделях метода фотоупругости [9—11].
В настоящей работе приводится анализ решения упругой задачи для клина с особенностью степенного вида, обусловленной действием сосредоточенной нагрузки.
В вершине прямоугольного бесконечного клина действует вертикальная сила. Картина интерференционных полос, полученная экспериментально в работе М. Фрохта [9], приведена на рисунке. Напряжения в клине раствора 2а записываются:
2Рп 008(0-у) /1Ч
=--;--> (1)
I г
где угол 0 отсчитывается от оси симметрии клина против часовой стрелки (рис.); ^ — толщина модели; Р — сила, действующая в вершине клина; п — геометрический параметр:
2 бШ2 В С0Б2 В
П - ' •
(2а-Бш2а)2 (2а + Бт2а)2
угол у определяется соотношением = -1^0О. Значение 0 = 0О определяется условием о = 0 и равно:
1 2а-8т2а
1800 -г—, а = 45°, р = - 45°;
tgp 2а + 81и2а
П-2
1в0о =-= 0,222 или 0О = 12,5°.
п + 2
ВЕСТНИК e(-n, л
5/2014
Экспериментальная и теоретическая картины полос
Так как ог = 0 при угле 9 = 0 то угол 9 =45° +12,5° = 57,5°, отсчитываемый от вертикальной границы клина, задает нейтральную ось клина. Область 9е[12,5°, 45°] находится в условиях радиального растяжения, а область 9е[-45°, 12,5°] — в условиях радиального сжатия.
В соответствии с распределением напряжений (1):
cos(9 - у) 1
-Ь-И = — = const. (2)
r d
Соотношения (2) задают постоянство значений радиальных напряжений or и Tmax по дуге круга диаметром d. Интерференционные полосы, полученные при действии сосредоточенной нагрузки в точке 0(0,0) вершины клина, соответствуют окружностям с центрами на прямой 9 = у, которая перпендикулярна нейтральной оси 90 = 12,5°.
al-a2 *r 0 /оч
Tmax = 2 = у = , (3)
где а0 = П (2ct) — цена полосы модели зависит от t — толщины модели; l — длины волны света, используемого в полярископе.
Учитывая (1)—(3), можно записать: о Pn cos(9 - у) Pn 1
mo
t r t
Pn cos(9-y) 1
m =------- = c0—, (4)
to° r
mdm=dx = c0 - const.
По данным М. Фрохта [1]: P = -7,73 кг, t = 0,87 см, ст0 = 8,7кг/см2, n = 1,27, находим
0 Pn 1,13 -1,27 1 3
c =--=- = 1,3 см,
0,81 - 8,1
mdm = d1 = 1,3 = const, (5)
где m — порядок полосы; dm — диаметр круга, который соответствует полосе порядка m.
При фиксированном радиусе r = r0 порядки полос m согласно (4) зависят от угла 0 е [-p4, p4].
Рассмотрим выполнение соотношения (5) для горизонтальной (0 = p 4) и вертикальной (0 = -p 4) границ клина.
При 0 = p4 m= ^cos57,5° = ^ 0,537;
r r
^ /„ cn • ^о сп 0,843 при 0 = -р 4 m= sin57,5 ° = -.
г г
Для любого радиуса r = r0 порядки полос на границах клина соотносятся:
^ = tg57,5° = 1,57;
m
m2 = 1,57 m. (6)
По данным эксперимента соотношения (5), (6) на границах клина при фиксированном радиусе r = r0 выполняются с погрешностью. Выявленную неточность можно объяснить тем, что экспериментально невозможно приложить сосредоточенную нагрузку в одной точке вершины клина. В эксперименте М. Фрохта [9] нагрузка передается через малый брусок, имеющий длину 1 см и заплечики — 2 мм. Поэтому нейтральная ось перемещается параллельно теоретическому положению: 90 = 12,5°, а нулевая полоса m = 0 не выходит в вершину клина. В соответствии с картиной полос рисунка выполняется соотношение
m - з=tge,. (7)
m
Угол 0j « 70°, тогда усилие, приложенное в вершине клина, имеет наклон, приблизительно равный 20°, относительно вертикальной (0 = -p 4) границы клина.
Совмещение теоретической картины полос вида (4) и полученной экспериментально приведено на рисунке.
Порядки полосы m = 2, 3, 4, 5, 6 удовлетворяют теоретическому соотношению:
mdm = dx = const. (8)
В области, в которой наблюдаются изохромы m = 2,3, 4, 5, 6, действует радиальное напряженное состояние (4), соответствующее действию заданной нагрузки.
Изохромы m > 6, 7,8 перемещаются относительно расположения изо-хром, соответствующих теоретическому распределению: 6d6 Ф 7dn Ф 8dg, при этом несоответствие видно на картине изохром (см. рис.).
ВЕСТНИК е(-п, л
5/2014
Положение полос порядка т > 8, 9 на рисунке не соответствует теоретическому расположению изохром вида (4), при этом полученные в эксперименте изохромы отдалены от вершины клина в сравнении с теоретическим расположением.
Порядки изохром на рисунке, начиная с т > 10, не читаются [12].
При сравнении расположения изохром, полученных теоретически (4) и экспериментально, согласно рисунку область вершины клина представима как совокупность областей:
1) область г е (0; 0,8751), в которой порядки полос т > 10 не читаются и действует сингулярное НДС со степенной особенностью;
2) область, не содержащая вершину клина, состоит из двух подобластей:
2а) подобласть, в которой изохромы имеют подобный вид, наблюдается
смещение экспериментально полученной картины полос (т > 6, 7, 8) относительно теоретически полученного расположения полос;
2б) подобласть, прилежащая к области с сингулярным распределением НДС порядка г-1. Для этой подобласти (т > 8, 9) напряжения вида (4) не соответствуют НДС, полученному на модели экспериментально (см. рис.);
3) область соответствия теоретического и экспериментально полученного распределения НДС (т > 6, 7, 8 ), в которой сингулярность решения не влияет.
В соответствии с (4), (5) в переходной подобласти для полосы порядка т = 7 коэффициент пересчета I вычисляется:
= 1ё //„ = 1,3, тогда 10 = 1,3/28 = 1/ 21,5, где I — коэффициент пересчета линейных размеров — диаметра круга на модели и фотографии модели.
Полученные соотношения оценивают порядок полосы т для области вершины клина — точки приложения силы в предположении линейности упругого НДС. Для экстраполяции данных выбирается переходная область, примыкающая к сингулярной, в которой напряжения, полученные теоретически (4) и экспериментально (см. рис.) подобны. Если йм = 2/21,5 = 0,1 см = 1 мм, то порядок полосы т «14. Полученное приближение вдоль радиуса к вершине клина рассматривается как практически предельное в рамках линейного анализа упругого решения задачи, полученного на модели экспериментально.
Выводы. Анализ решения для клина с особенностью степенного вида, полученного экспериментально методом фотоупругости, позволяет выделить сингулярную область решения, где картины полос не читаются.
Бесконечно большие напряжения, полученные как сингулярное решение краевой задачи в плоской области, являются следствием идеализации формы границы, способа приложения нагрузки. Так сопоставление теоретического решения и экспериментально полученного решения для клина показывает области их совпадения, области значительного и незначительного отличия, обусловленного невозможностью экспериментального приложения сосредоточенной силы, действующей в одной точке.
Приведенный анализ НДС в зоне степенной особенности показывает применимость экспериментального метода фотоупругости для обоснования области действия сингулярного решения, определяет в дальнейшем необходимость
разработки комплексного теоретико-экспериментального метода исследования, позволяющего экстраполировать уверенные данные эксперимента в область концентрации напряжений.
Библиографический список
1. Кондратьев В.А. Асимптотика решения уравнения Новье — Стокса в окрестности угловой точки границы // Прикладная математика и механика. 1967. Вып. 1. С. 119—123.
2. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М. : Наука, 2005. 719 с.
3. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической упругости. М. : Наука, 1981. С. 305—325.
4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
5. Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 178—186.
6. О собственных значениях в решении задач для областей, содержащих нерегулярные точки / Г.С. Варданян, В.Н. Савостьянов, М.Л. Мозгалёва, Л.Ю. Фриштер // Известия вузов. Строительство. 2003. № 3. С. 28—31.
7. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // J. Appl. Mech. 1952. Vol. 19. № 4. P. 526.
8. Williams M.L. The complex variable approach to stress singularities // J. Appl. Mech. 1956. Vol. 23. № 3. P. 477.
9. Фрохт М.М. Фотоупругость : пер. с англ. : в 2 т. / под ред. Н.И. Пригоровского. М.-Л. : ГИТТЛ, 1950. Т. 2. 488 с.
10. Метод фотоупругости : в 3 т. / под ред. Г.Л. Хесина. М. : Стройиздат, 1975. Т. 3. С. 311.
11. Фриштер Л.Ю. О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений // Вестник МГСУ 2008. № 1. С. 165—168.
12. Краснов Л.А. Цветность изохром в фотоупругости. Экспериментальная механика и расчет сооружений. М. : МГСУ, 2004. С. 49—62.
Поступила в редакцию в марте 2014 г.
Об авторе: Фриштер Людмила Юрьевна — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-30-38, lfrishter@mail.ru.
Для цитирования: Фриштер Л.Ю. Анализ напряженно-деформированного состояния в вершине прямоугольного клина // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 57—62.
L.Yu. Frishter
ANALYSIS OF STRESS-STRAIN STATE ON TOP OF A RECTANGULAR WEDGE
Modeling singular solutions of the elasticity theory problems, which are determined by geometric factor — bird's mouth of the edge, make it necessary to analyze the solutions with some peculiarity, which are obtained experimentally with the help of photoelas-ticity method.
In this article the peculiar stress-strain state is analyzed on the example of the known experimental solutions for a wedge under a concentrated force obtained by M. Frocht.
ВЕСТНИК e(-n, л
5/2014
Solution analysis for a wedge with a power-type peculiarity obtained experimentally by photoelasticity method, helps to detach a singular solution field, where fringe contour is not visible.
Due to idealization of the boundary shape and loading technique, infinitely large stresses arise, which are obtained as a singular solution of the boundary problem in a planar domain. Comparison of theoretical and experimental solutions obtained for a wedge shows areas of overlap and areas of significant and insignificant differences as a result of the inability to experimentally apply the force to a single point.
Key words: stress-strain state, photoelasticity method, M. Frocht, photoelastic technique, interference fringe.
References
1. Kondrat'ev V.A. Asimptotika resheniya uravneniya Nov'e — Stoksa v okrestnosti uglo-voy tochki granitsy [Asymptotics of Navier — Stokes Equations Solutions in the Area of Angular Edge Point]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1967, no. 1, pp. 119—123.
2. Kuliev V.D. Singulyarnye kraevye zadachi [Singular Boundary Problems]. Moscow, Nauka Publ., 2005, 719 p.
3. Parton V.Z., Perlin P.I. Metody matematicheskoy uprugosti [Methods of Mathematical Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1981, pp. 305—325.
4. Timoshenko S.P., Gud'er Dzh. Teoriya uprugosti [Elasticity Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 576 p.
5. Aksentyan O.K. Osobennosti napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya pli-ty v okrestnosti rebra [Peculiarities of Stress-Strain State of a Slab near Arris]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1967, vol. 31, no. 1, pp. 178—186.
6. Vardanyan G.S., Savost'yanov V.N., Mozgaleva M.L., Frishter L.Yu. O sobstvennykh znacheniyakh v reshenii zadach dlya oblastey, soderzhashchikh neregulyarnye tochki [On Characteristic Values in Problems Solution for the Areas Containing Irregular Points]. Izvesti-ya vuzov. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2003, no. 3, pp. 28—31.
7. Williams M.L. Stress Singularities Resulting from Various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates in Extension. J. Appl. Mech. 1952, vol. 19, no. 4, p. 526.
8. Williams M.L. The Complex Variable Approach to Stress Singularities. J. Appl. Mech. 1956, vol. 23, no. 3, p. 477.
9. Frocht M.M. Photoelasticity. J. Wiley and Sons, London, 1965.
10. Khesin G.L. Metod fotouprugosti [Photoelasticity Method]. In 3 volumes. Moscow, Stroyizdat Publ., 1975, vol. 3, pp. 311.
11. Frishter L.Yu. O vozmozhnostyakh polucheniya metodom fotouprugosti napryazhen-nogo sostoyaniya v oblasti kontsentratsii napryazheniy [On the Possibilities to Obtain Stress State in the Area of Stress Concentration by the Photoelasticity Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2008, no. 1, pp. 165—168.
12. Krasnov L.A. Tsvetnost' izokhrom v fotouprugosti. Eksperimental'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Isochrome Firmness in Photoelasticity]. Moscow, MGSU Publ., 2004, pp. 49—62.
About the author: Frishter Lyudmila Yur'evna — Doctor of Technical Sciences, Professor, head, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-30-38, lfrishter@mail.ru.
For citation: Frishter L.Yu. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya v ver-shine pryamougol'nogo klina [Analysis of Stress-strain State on Top of a Rectangular Wedge]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 57—62.
