CC BY
20
Литература
1. Бабков В.Ф., Андреев О.В. Проектирование автомобильных дорог. 4.1. - Изд. 2-е. - М.: Транспорт, 1987. - 368 с.
2. Пирийев Y.M., Нясянов Ш.Щ., Гараисайев ИМ. Автомобил йолларынын няг-лиййат - истисмар эюстяриъиляринин йцксялмилмяси. - Баку: Азярбайъан няшриййа-ты, 2000. - 240 с.
3. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - М.; JL: Изд-во АН СССР, 1963. - 367 с.
4. Goldstein R. V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Intern. J. Fracture. 1999. V. 99, No 1-2. - P. 53-79.
5. Dugdale D.S. Yelding of steel of sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids, 1960. V. 8,No2.-P. 100-104.
6. Malyshev V.M., Salganik R.L. The strength of adhesive joints using the theory of cracks// Intern. J. Fract. Mech. 1965. V. 1, No 2. - P. 114-128.
THE INTERFACE CRACK WITH END PLASTIC ZONES ON BOUNDARY OF SECTION OF THE ROADWAY COVERING AND THE ELASTIC BASIS
Sh.G. Hasanov
The plane problem about a crack-separation arising on boundary of section of a roadway covering, linked with the elastic basis from other material when normal loading is enclosed to a surface of a covering is investigated. It is considered, that at the appendix on a surface of a roadway covering of norma! loading in end areas of a crack constants normal and tangents of a stress of cohesive between face of a crack operate. The general case when the sizes of end zones are not small in comparison with the characteristic size of a crack is investigated. Limiting balance of a crack-
separation on boundary of section of environments is studied.
~=y=~
РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НДС СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ЗОНАХ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Л.Ю. ФРИШТЕР, канд. техн. наук, ст. научный сотрудник Московский государственный строительный университет
Напряженно-деформированное состояние (НДС) составных конструкций и сооружений характеризуется значительной концентрацией напряжений в местах сопряжения элементов из разных материалов из-за различия механических характеристик. Наиболее сложное НДС возникает в области концентрации напряжений, обусловленной как формой границы или «геометрическим фактором», так и конечным разрывом заданных вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим в нерегулярную точку границы области.
Значительный интерес представляет использование метода фотоупругости для определения напряжений от заданных несовместностей или заданных вынужденных деформаций (дисторсий) и, в частности, температурных, не удовлетворяющих условиям совместности, что приводит к возникновению напряжений. К числу таких задач относятся исследования напряжений от температурных градиентов, от изменения температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, от скачкообразного изме-
нения дисторсий, имеющих конечный разрыв в стыках областей с различными механическими свойствами, а также напряжений от монтажа и последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом и др.
Метод размораживания деформаций, использующий процедуру предварительного «замораживания» элементов модели с последующим размораживанием всей модели, является эффективным, универсальным и перспективным методом моделирования напряжений от заданных вынужденных деформаций.
Метод фотоупругости [1], являющийся континуальным методом, и метод «размораживания» деформаций, как его подраздел, позволяют получить НДС в области с нерегулярной границей на моделях из оптически чувствительного материала. Современные способы визуализации данных эксперимента в сочетании с численными и аналитическими методами исследования расширяют возможности метода фотоупругости. Многие работы последнего времени относятся к исследованию локального НДС, к расшифровке и интерпретации экспериментальных данных.
Актуальность работы состоит в получении с наибольшей достоверностью локального НДС в зонах концентрации напряжений составных конструкций и сооружений при действии разрывных вынужденных деформаций и, в том числе, температурных. Общего подхода к теоретическому, экспериментальному, численному исследованию локальной концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций не существует, что обусловлено разнообразием конструктивных форм границы, заданных воздействий и физико - механических свойств сооружений и конструкций. НДС конструкций и сооружений в зонах концентрации напряжений, обусловленных «конструктивной неоднородностью» и разрывными вынужденными деформациями, определяются экспериментально на полимерных моделях метода фотоупругости [1].
На модели экспериментальное решение в окрестности геометрического концентратора напряжений - вершины углового выреза границы, не читается или плохо читается при любом увеличении фрагмента окрестности. На некотором удалении от локального источника концентрации напряжений имеются уверенные экспериментальные данные, которые при приближении к нерегулярной точке границы меняются непрерывно и монотонно. Поэтому для экстраполяции уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается или плохо читается предлагается комплексный расчетно - экспериментальный подход получения и анализа НС в зоне концентрации напряжений (окрестности нерегулярной точки границы области).
Согласно теоретическому анализу [2,3,4,5] решение задачи теории упругости 7 в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, представимо в виде: г} = т]я+7]', (1)
где т]с - "собственное" решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, характеризующее особенность решения; ?]{1)- НДС, обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра - "степени приближения" к особой точке. Представление (1) справедливо и в пространственном случае для точек на особой линии границы области. Согласно теоретическому представлению НДС в виде (1) в окрестности особой точки границы плоской области существует два самоуравновешенных напряженных состояния.
Первое - самоуравновешенное радиальное НС, полученное как решение
плоской однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, переходящее в сингулярное НС при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области. Нетривиальное решение однородной краевой задачи, характеризующее особенность НС в окрестности нерегулярной точки границы области, будем называть собственным. Другая оставшаяся часть самоуравновешенного плоского НС в области вершины углового выреза границы, соответствует напряжениям, обусловленным действием заданных нагрузок или общего поля напряжений.
Экспериментально косвенно установлено [2,3,4,5] существование самоуравновешенного радиального НС в окрестности нерегулярной точки границы составной плоской области, которое характеризует особенность НС и определяется как решение однородной краевой задачи. Существование такого самоуравновешенного радиального НС объясняет рост порядков полос (изохром), наблюдаемый изнури области концентрации напряжений, а не в самой вершине выреза области. Отсутствие нулевой полосы объясняется существованием другого самоуравновешенного КС, обусловленного общим полем напряжений.
Рассматривая соотношения между слагаемыми в представлении НДС: 7 = if + Tjl в окрестности нерегулярной точки границы, можно выделить следующие характерные области действия НДС:
а) Существует такая окрестность нерегулярной точки границы плоской области, в которой справедливо сингулярное решение однородной краевой задачи, характерное тем, что а у ->(Ту,сГу -»0. Особенность собственных напряжений
Су (деформаций Sy) имеет степенной вид гшшКеЯ"', где Я е [0,0.5] определяются расчетно [6]. Порядки полос в области концентратора напряжений на модели (области сингулярного решения) не читаются ни при каком увеличении окрестности нерегулярной точки.
б) Существует такая окрестность нерегулярной точки границы области, в которой cry « а у, (Ту « 0 и справедлива несингулярная однородная упругая задача с тем же "собственным" значением min Re X, что и в сингулярной задаче. Область несингулярного решения не содержит окрестность сингулярного решения и саму нерегулярную точку, а примыкает к ней. При стремлении извне к границе области сингулярного решения напряжения, деформации меняются непрерывно, их значения велики, но конечны. Порядки полос на модели, соответствующие несингулярной области решения, читаются за возможным исключением некоторых.
в) При достаточном удалении от нерегулярной точки границы существует такая область, в которой сг = (Ту, а у - 0 и напряжения обусловлены заданными нагрузками (общим полем напряжений).
В области несингулярного решения однородной плоской упругой задачи возможно привести оценки, используя которые можно экстраполировать данные на сечения, близко расположенные к нерегулярной точке границы, с учетом данных эксперимента и практической точности измерения методом фотоупругости. Применение методов теории подобия и размерностей [7] позволяет охарактеризовать порядки изменения НДС от координат точки при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области. В силу автомодельности решения упругой задачи напряжения, деформации, перемещения в некоторой окрестности нерегулярной точки границы области допускают группу подобия и обладают свойством гомогенности функций, характерным тем, что такие функции
представимы в виде степенных комплексов. Такими же свойствами (подобия, гомогенности) должно обладать и экспериментальное решение, полученное на модели в виде картины полос методом фотоупругости. Поэтому порядки полос в некоторой окрестности нерегулярной точки границы модели так же, как и напряжения, должны обладать свойством подобия, гомогенности и быть представимы в виде степенных комплексов, т ~ СХ/ 'что подтверждается исследованиями данных эксперимента.
Экспериментальное решение в окрестности нерегулярной точки границы плоской области рассматривается на модели составной пластины, в одной из областей которой созданы свободные температурные деформации аТЗу, а другая область свободна от нагрузок. Линия контакта областей выходит в нерегулярную точку границы - вершину углового выреза границы пластины с различными углами раствора.
Порядок полос для сечений окрестности нерегулярной точки границы плоской области можно записать в виде т = с /(г) <р(в), где /(г) - функция переменной г, характеризующая особенность НС в окрестности нерегулярной т. 0(0,0) границы области, порядок которой 1/Ая, <р(в)~ функция угла 9,9 одинаковая для проведенных сечений фиксированного радиуса.
Порядки полос для /-ого радиального сечения фиксированного радиуса /; запишутся как т1 = с/(гл )(р{9). Порядки полос для (¡+1), / сечений фиксированных радиусов соотносятся:
(2)
/(О
С учетом (2 ) порядки полос для любого (¡+1) сечения по данным порядков полос для / -ого сечения большего радиуса в некоторой окрестности вершины т.
0(0,0) запишется в виде: тм =
/ г
Ч1+1)
(3)
где гм<гп гп гм - радиусы сечений I, (/+1) соответственно в окрестности т.0(0,0); т1 - известные, читаемые порядки полос в сечении радиуса , т1+] -определяемые порядки полос в сечении радиуса гм, для которого порядки изо-хром «плохо» читаются или не читаются, Х^ - минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина соответствующего раствора, определяется расчетном [6].
Выполнение соотношений ( 3 ) проверяется для различных сечений окрестности вершины выреза границы области с различными углами раствора торца:
2а = 260° ( рис. 1 ,а) и 2а = 300° (рис. 2).
Подобие порядков полос в сечениях 1, 2, 3 согласно зависимости (3) для
балки с углом раствора торца 2а = 260° (рис. 1, а) имеет следующий вид:
т-, —
{
тх = (1,88)°'4371 ш,; тг = 1,32/и,, (4 ,а)
тъ -
\гъ]
1-А,
/и2=(1,4)' Щ', т3=1,\6т2, (4,6)
где сечения гх = 0,05/г = 1,2 мм, г2 = 0,03й » 0,72 мм, г3 = 0,02А = 0,48 мм, И = 24мм - полуширина модели, 1-^=0,4371, = 0,5628- собственное значение однородной плоской краевой задачи для модельного клина раствора 2а = 260°.
Подобие порядков полос в сечениях 1,2, 3 согласно зависимости ( 3 ) в окрестности нерегулярной точки границы плоской области с углом раствора торца
2а = 300° имеет следующий вид:
/ >
т2 =
1-Ло
т.
= (1,36)
0,4878
тл
1,16га,, тг =(1,27)°'4878 /и2 =1,12/и2, (5)
\'7
где сечения гх = 0,054Л = 2 мм; г2 = 0,038А = 1,4 мм, гъ = 0,0308й = 1,14 мм, й = 37мм - полуширина модели, 1-/^=0,4878; = 0,5122 - собственное
значение однородной краевой задачи для модельного клина раствора 2а - 300°.
Эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3, 4 и радиальных напряжений <гг в сечении 4 (пунктир). Во всех рассмотренных сечениях в окрестности вершины выреза границы балки (рис. 1, а) и плоской модели (рис. 2) с растворами торцов 2а -260° и 2а = 300° соответственно практически совпадают эпюры порядков полос, построенные по соотношениям (4), (5) и по экспериментальным данным напрямую по картине полос модели. Такое совпадение эпюр порядков полос (рис. 1, 2) позволяет применить формулу (3) для экстраполяции данных эксперимента.
Рис. 1. Одна из областей балки с раствором торца 2а = 260 : а) эпюры порядков полос т в сечениях 1,2, 3; б) эпюры порядков полос т в сечениях 3,4 и радиальных напряжений схг в сечении 4 (пунктир)
Для этого в окрестности вершины выреза балки (рис.1) и плоской модели (рис. 2) выбирается расчетное сечение 3. Данное сечение близко расположено к области сингулярного решения однородной краевой задачи, где картина полос
не читается. В сечении 3 порядки полос достаточно велики, начинают слегка
размываться, но читаются.
Учитывая непрерывность изменения порядков полос, зависимость ( 3 ), по данным сечения 3 построены эпюры порядков полос в сечении 4, расположенном в области с «нечитаемой» картиной полос.
Для балки с раствором торца 2а = 260° порядки полос в сечении 4 (рис. 16) запишутся:
«4=(-1 т3= (1,26(6))°'4371 т3,
ЧГ4 )
/и4 = 1,26(6)/и3.
Для плоской модели с углом раствора торца 2а = 300° порядки полос в сечении 4 (рис. 2) запишутся:
т4 = (1,б)°'4878 тг = 1,26т3.
В области нерегулярной точки границы существует такая окрестность т. 0(0,0), в которой
стУ «<7у; (Ту -> 0. Напряжения <Ту&сГу - «собственные» напряжения, определяются из решения однородной плоской краевой задачи для модельного клина с углом раствора 2а. Сингулярная составляющая решения однородной упругой задачи <Уу характеризует особенность решения, которая
имеет степенной вид 1/. Напряжения сгу О
обусловлены действием заданных нагрузок, стремятся к нулю при приближении к нерегулярной точке границы. Напряжения в окрестности нерегулярной точки границы в сечении радиуса г0 приближенно равны:
с
<7Г = -¡-¡-(С1 @ + с2 С(№ 0)» ав ~ Тгв ~ 0 ■ (6)
Два неизвестных коэффициента с,, с2 определяются следующим образом: в некоторой окрестности нерегулярной точки границы по данным эксперимента существует линия чистого сдвига, в каждой точке которой имеются площадки чистого сдвига. Эта линия проходит через вершины острых углов изохром, имеет угол наклона в = в0. Этот угол совпадает с углом наклона нейтральной
оси модельного клина соответствующего раствора.
Другой коэффициент в выражении <тг вида ( 6 ) определяется из условия,
что в некоторых интервалах угла в напряжения аг совпадают с главными или по известным значениям порядков полос. Для балки с углом раствора торца 2а = 260° в окрестности нерегулярной точки границы области эпюра радиальных напряжений аг вида ( 6 ) в сечении 4 приведена на рис.1, б (пунктир). Подобным образом построена эпюра радиальных напряжений <г, вида ( 6 ) в сечении 4 окрестности нерегулярной точки границы плоской области с раствором
торца 2а = 300°, приведенная на рис. 2 (пунктир).
Приведем краткий порядок построения эпюр порядков полос /я и радиаль-
Рис. 2. Одна из областей плоской модели с углом раствора торца 2а = 300°. Эпюры порядков полос т в сечениях 3,4 и радиальных напряжений аг в сечении 4 (пунктир)
ных напряжений аг в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит линия контакта областей с заданным скачком вынужденных деформаций. Картина полос в окрестности этой точки не читается ни при каком увеличении окрестности.
Имея эпюру порядков полос т в расчетном сечении радиуса /;, учитывая непрерывность изменения т, строится эпюра порядков полос т для сечения меньшего радиуса гм < г,, расположенного в области с нечитаемой или «плохо» читаемой картиной изохром по зависимости:
/ г v-л
тм =
\гм J
т,
где m¡,mM - порядки полос в сечениях радиусом rn гм соответственно, Aq - minReA- минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина, определяется расчетно [3, 6].
Имея эпюру т в радиальном сечении, расположенном в окрестности нерегулярной точки с нечитаемой или "плохо" читаемой картиной полос, в этом сечении строится эпюра радиальных напряжений:
<уг = -¿-(с, sin в + с2 cos в), (Уд = тгв,
соответствующих "собственным" напряжениям а* однородной краевой задачи для модельного клина, имеющим два неизвестных коэффициента ñ¡,c2.
Один неизвестный коэффициент находится из условия аг = О при в = в0. Угол в -вй в сечении достаточно малого радиуса г = г0 окрестности нерегулярной точки границы области определяется либо как угол наклона касательной к линии "чистого сдвига" по картине изохром модели, либо как угол наклона нейтральной оси вспомогательного клина соответствующего раствора.
Второй неизвестный коэффициент в выражении радиального напряжения находится из условия: радиальные напряжения для некоторых интервалов изменения угла вв окрестности нерегулярной точки границы совпадают с главными напряжениями: ar = a¡, аг - 0 или а, = аг,.
Второй неизвестный коэффициент возможно определить по - другому: по известному или экстраполируемому значению порядка полосы на свободной границе области.
Напряжения и порядки полос при приближении сечения к сингулярной области НДС и к самой нерегулярной точке границы изнутри каждой области составного тела, меняются непрерывно. Экстраполируя непрерывно в рамках линейно-упругой постановки задачи экспериментальные данные, полученные по области с "читаемой" картиной изохром, на сингулярную область решения, где картина полос не читается или «плохо» читается, возможно получить эпюру порядков полос m и «собственных» радиальных напряжений в сечении, приближенность которого к нерегулярной точке границы обусловлена точностью измерения экспериментальных данных на модели и практической точностью метода фотоупругости.
Вывод. Расчетно - экспериментальный анализ НС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, и предлагаемая на его основе формула экстра-
поляции экспериментальных данных (3), позволяет восстановить порядки полос в области сингулярного решения упругой задачи, в которой изохромы на модели не читаются или "плохо" читаются. Приближенность сечения к нерегулярной точке границы обусловлена линейно-упругой постановкой задачи, точностью измерения экспериментальных данных и практической точностью метода фотоупругости.
Предлагаемый расчетно-экспериментальный метод позволяет получить и анализировать НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной формой границы и разрывными вынужденными деформациями. Предлагаемый метод рекомендован для исследования НДС конструкций в местах резкого изменения формы границы, имеющих ступенчатую или угловую форму границы, при действии скачкообразного изменения вынужденных деформаций, температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, с механическими свойствами, при учёте напряжений от монтажа, последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом.
Литература
1. Метод фотоупругости. В трех томах/ Под ред. Г.Л. Хесина. - Т. 3. - М.: Строй-издат, 1975.-311 с.
2. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Решение задач механики деформируемого твердого тела методом фотоупругости с использованием свойств "размораживания". Развитие методов экспериментальной механики. Материалы научного семинара под. ред. Н.А. Махутова. - М.: ИМАШ РАН, 2003. - С. 60-68.
3. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Особенность термонапряженного состояния торца составной пластины с учетом кусочной однородности материала. Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения// Хесинские чтения. - М.: МГСУ, 2001. - С. 77-84.
4. Фриштер Л.Ю. Исследование НДС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области при действии вынужденных деформаций методом фотоупругости. International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, 2007, p. 101-106.
5. Фриштер Л.Ю.Теоретико - экспериментальное исследование особенности термонапряженного состояния плоской области, содержащей нерегулярную точку. Вопросы математики, механики сплошных сред и применение математических методов в строительстве: Сб. науч. тр. Вып.10. М.: МГСУ, 2003. - С. 148-166.
6. Варданян Г.С., Мозгалева М.Л., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. О собственных значениях в решении задач для областей, содержащих нерегулярные точки. Известия ВУЗов. «Строительство». - 2003. - №10. - С. 28-31.
7. Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. Анализ НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии области с применением элементов теории размерности. Internationa! journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2,2007, p.75-81.
CALCULATING AND EXPERIMENTAL METHOD OF THE RESEARCH
OF THE STRAIN-STRESS DISTRIBUTION FOR THE COMPOSITE CONSTRUCTION IN THE REGION OF THE STRESS CONCENTRATION
Frishter L.U.
Research of the strain-stress distribution for the composition construction in the région of the stress concentration by numerical, theoretical, and experimental meth-ods are presented.
