CC BY
366
ВЕСТНИК 1/2008
ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДА РАЗМОРАЖИВАНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ В ОБЛАСТИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Фриштер Л.Ю. (МГСУ)
Метод "размораживания" деформаций, использующий процедуру предварительного замораживания элементов модели с последующим размораживанием всей модели [1], является эффективным, универсальным и перспективным методом моделирования напряжений от заданных вынужденных деформаций.
Современные способы визуализации данных эксперимента в сочетании с численными и аналитическими методами исследования расширяют возможности метода фотоупругости. Многие работы последнего времени относятся к исследованию локального НДС, к расшифровке и интерпретации экспериментальных данных.
Метод размораживания позволяет моделировать напряжения от заданных разрывных вынужденных деформаций при сложной форме границы конструкций и сооружений. Поверхность (линия) контакта областей, составляющих упругое тело, по которой создан конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, объемных сил, постоянных в областях физико-механических характеристик, выходит в нерегулярную линию (точку) границы упругого тела.
Экспериментальное решение в окрестности нерегулярной точки границы плоской области получено методом размораживания на моделях составных балок, в одной из областей которых созданы температурные деформации аЕТ8^, а другая область не нагружена. Разрыв (скачок) вынужденных деформаций выходит в нерегулярную точку границы плоской области с различными углами раствора.
Картина полос, полученная на модели в области геометрической концентрации напряжений - вершины острого углового выреза, характеризуется высокими порядками и градиентами полос. В окрестности источника концентрации напряжений порядки полос либо не читаются, либо "плохо" читаются при любом увеличении фрагмента окрестности. Экстраполяция уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается или "плохо" читается, является предметом рассмотрения настоящей работы.
Возможность построения эпюр по области с "нечитаемой" картиной изохром первоначально обусловлена экспериментально установленным фактом - подобие эпюр порядков полос в радиальных сечениях окрестности нерегулярной точки границы для торцов балок с различными углами раствора.
Порядок полос для сечений окрестности нерегулярной точки границы плоской области можно записать в виде:
т = с /(г) р(в) ( 1 )
где /(г) - функция переменной г , характеризующая особенность НС в окрестности нерегулярной т. 0(0,0) границы области, порядок которой 1/, <р(в) - функция угла в, в е [0, а], одинакова для проведенных сечений фиксированного радиуса. Порядки полос для г-ого радиального сечения фиксированного радиуса Г, запишутся:
т, = с/ (г, М.0) ( 2 )
Порядки полос для ( 1+1), г сечений фиксированных радиусов соотносятся:
1/2008
ВЕСТНИК _МГСУ
I (г-+1>
ш,., =- ш,
'+1 I (г,) '
( 3 )
С учетом ( 3 ) порядки полос для любого (1+1) сечения по данным порядков полос для I -ого сечения большего радиуса в некоторой окрестности вершины т. 0(0,0) запишется в виде:
ш,, ( 4 )
Ч+1 ■
1+1
где < г, г, г+1 - радиусы сечений I, (1+1) соответственно в окрестности т.0(0,0); шi - известные, читаемые порядки полос в сечении радиуса г, ш,+1 -определяемые порядки полос в сечении радиуса , Для которого порядки изохром "плохо" читаются или не читаются, Яд - минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения модельного клина соответствующего раствора.
Выполнение соотношений ( 4 ) проверяется для различных сечений окрестности вершины выреза границы области с различными углами раствора торца: 2а = 2600
( рис.1 а) и 2а = 3000 (рис.2).
б)
Рис. 1. Одна из областей балки с раствором торца 2а = 2600: а) эпюры порядков полос ш в сечениях 1, 2, 3; б) эпюры порядков полос ш в сечениях 3, 4 и радиальных напряжений иг в сечении 4 (пунктир)
Подобие порядков полос в сечениях 1, 2, 3 согласно зависимости ( 4 ) для балки с углом раствора торца 2а = 2600 ( рис.1а ) имеет следующий вид:
ш2 ^ рш1 =(1,88)°,4371
ш1; ш2 = 1,32ш1
( 5 а )
ВЕСТНИК
МГСУ
1/2008
тз =
г2
1-Л)
т2
= (14 )'
0,4371
т2'; т3 = 1,16^2
( 5 б )
где сечения г\ = 0,05к = 1,2 мм, Г2 = 0,03к и 0,72 мм, Г3 = 0,02к = 0,48 мм, к = 24 мм - полуширина модели, 1 = 0,4371, Я^ = 0,5628 - собственное значение однородной плоской краевой задачи для модельного клина раствора 2а = 2600 .
Эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3, 4 и радиальных напряжений аг в сечении 4 (пунктир)
Подобие порядков полос в сечениях 1, 2, 3 согласно зависимости ( 4 ) в окрестности нерегулярной точки границы плоской области с углом раствора торца 2а = 300° имеет следующий вид:
- (л ^0,4878 т-1 = (1,36)
т2
т-[ = 1,16т^,
0,4878
( 6 а) ( 6 б )
т3 = (1,27) ,48'8 т2 = 1,12т2
где сечения 1 = 0,054к = 2 мм; г2 = 0,038к = 1,4 мм, г3 = 0,0308к = 1,14 мм, к = 37 мм - полуширина модели, 1 — ¿0 = 0,4878; ^ = 0,5122 - собственное значение однородной плоской краевой задачи для модельного 0
Рис. 2. Одна из областей плоской модели с углом раствора торца 2а = 3000.
клина раствора 2а = 300
Во всех рассмотренных сечениях в окрестности вершины выреза границы балки ( рис.1 а) и плоской модели ( рис. 2 ) с растворами торцов 2а = 2600 и
2а = 3000 соответственно практически совпадают эпюры порядков полос, построенные по соотношениям ( 5 ), ( 6 ) и по экспериментальным данным напрямую по картине полос модели. Такое совпадение эпюр порядков полос ( рис.1, 2) позволяет применить формулу ( 4 ) для экстраполяции данных эксперимента.
Для этого в окрестности вершины выреза балки ( рис.1) и плоской модели (рис.2) выбирается расчетное сечение 3. Данное сечение близко расположено к области сингулярного решения однородной краевой задачи, где картина полос не читается. В сечении 3 порядки полос достаточно велики, начинают слегка размываться, но читаются.
Учитывая непрерывность изменения порядков полос, зависимость (4), по данным сечения 3 построены эпюры порядков полос в сечении 4, расположенном в области с "нечитаемой" картиной полос. Для балки с раствором торца2а = 2600 порядки полос в сечении 4 (рис.1б) запишутся: \i-Ai
т4 =17
4 )
т3 = (1,26(6))0,4371 т3 , т4 = 1,26(6)т3 .
( 7 )
1/2008_МГВЕС ТНИК
Для плоской модели с углом раствора торца 2а = 3000 порядки полос в сечении 4 (рис. 2) запишутся:
т4 = (1,6у0,4878 тз = 1,26тз . ( 8 )
В области нерегулярной точки границы существует такая окрестность т. 0(0,0), в которой а у ~ а'с; ст," ^ 0. Напряжения «Ту ~ Оу - "собственные " напряжения, определяются из решения однородной плоской краевой задачи для модельного клина с углом раствора 2а . Сингулярная составляющая решения однородной упругой задачи
аС характеризует особенность решения, которая имеет степенной вид 1/г1 . Напряжения <тг" ^ 0 обусловлены действием заданных нагрузок, стремятся к нулю при приближении к нерегулярной точке границы. Напряжения в окрестности нерегулярной точки границы в сечении радиуса ?0 приближенно равны:
с
■(с + С2 соьв), (Гд=тгд= 0. ( 9 )
Два неизвестных коэффициента с^, С2 определяются следующим образом.
В некоторой окрестности нерегулярной точки границы по данным эксперимента существует линия чистого сдвига, в каждой точке которой имеются площадки чистого сдвига. Эта линия проходит через вершины острых углов изохром, имеет угол наклона в = 00 . Этот угол совпадает с углом наклона нейтральной оси модельного клина соответствующего раствора. Другой коэффициент в выражении аг вида ( 9 ) определяется из условия, что в некоторых интервалах угла в напряжения аг совпадают с главными или по известным значениям порядков полос.
Для балки с углом раствора торца 2а = 2600 в окрестности нерегулярной точки границы области эпюра радиальных напряжений аг вида ( 9 ) в сечении 4 приведена на рис.1 б (пунктир). Подобным образом построена эпюра радиальных напряжений аг вида ( 9 ) в сечении 4 окрестности нерегулярной точки границы плоской области с
раствором торца 2а = 3000 , приведенная на рис. 2 (пунктир).
Приведем краткий порядок построения эпюр порядков полос т и радиальных напряжений аг в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит линия контакта областей с заданным скачком вынувденных деформаций. Картина полос в окрестности этой точки не читается ни при каком увеличении окрестности.
а) Имея эпюру порядков полос т в расчетном сечении радиуса г,, учитывая непрерывность изменения т , строится эпюра порядков полос т для сечения меньшего радиуса гг+1 < г, расположенного в области с нечитаемой или "плохо" читаемой картиной изохром по зависимости:
{ г ^ т+1 =1 — I т,, I г,+1)
где mi, тг+1 - порядки полос в сечениях радиусом г,, г+1 соответственно,
ВЕСТНИК 1/2008
Äq = min Re Л- минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина.
б) Имея эпюру m в радиальном сечении, расположенном в окрестности нерегулярной точки с нечитаемой или "плохо" читаемой картиной полос, в этом сечении строится эпюра радиальных напряжений:
c
ar = (c1 sin 0 + c2 cos 0), a0 = тг0 ,
соответствующих "собственным" напряжениям <т| однородной краевой задачи для модельного клина, имеющим два неизвестных коэффициента q, c2 .
в) Один неизвестный коэффициент находится из условия: <гг = 0 при в = 0О . Угол в = в§ в сечении достаточно малого радиуса T — Tq окрестности нерегулярной точки
границы области определяется либо как угол наклона касательной к линии "чистого сдвига" по картине изохром модели, либо как угол наклона нейтральной оси вспомогательного клина соответствующего раствора.
г) Второй неизвестный коэффициент в выражении радиального напряжения находится из условия: радиальные напряжения для некоторых интервалов изменения угла въ окрестности нерегулярной точки границы совпадают с главными напряжениями: <гг = Oj, а2 = 0 или <гг = а2, <гj = 0 . Второй неизвестный коэффициент возможно определить по - другому: по известному или экстраполируемому значению порядка полосы на свободной границе области.
Напряжения и порядки полос при приближении сечения к сингулярной области НДС и к самой нерегулярной точке границы изнутри каждой области составного тела, меняются непрерывно. Экстраполируя непрерывно в рамках линейно-упругой постановки задачи экспериментальные данные, полученные по области с "читаемой" картиной изохром, на сингулярную область решения, где картина полос не читается или "плохо" читается, возможно получить эпюру порядков полос m и "собственных" радиальных напряжений в сечении, приближенность которого к нерегулярной точке границы обусловлена точностью измерения экспериментальных данных на модели и практической точностью метода фотоупругости.
Литература
1. Метод фотоупругости. В трех томах/ Под ред. Г.Л. Хесина.- М.: Стройиздат, 1975, т.3, С.311.
