О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений Текст научной статьи по специальности «Физика»

_1/2008_М|ВЕСТНИК

ТЕОРЕТИКО - ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ ГРАНИЦЫ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ ОТ НЕСОВМЕСТНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Фриштер Л.Ю. (МГСУ)

Особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) сооружений и конструкций, обусловленные формой границы или "конструктивной неоднородностью" и разрывом заданных вынужденных деформаций, определяются на моделях метода фотоупругости как концентраторы напряжений, которые являются предметом рассмотрения данной статьи.

Метод фотоупругости [1 ], являющийся континуальным методом, и метод "размораживания" деформаций, как его подраздел, позволяют получить НДС в области с нерегулярной границей на моделях из оптически чувствительного материала.

На модели экспериментальное решение в окрестности геометрического концентратора напряжений - вершины углового выреза границы, не "читается" или плохо "читается" при любом увеличении фрагмента окрестности. На некотором удалении от локального источника концентрации напряжений имеются уверенные экспериментальные данные, которые при приближении к нерегулярной точке границы меняются непрерывно и монотонно. Для экстраполяции уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается, предлагается комплексный теоретико-экспериментальный подход получения и анализа НС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области.

Рассматривается решение упругой задачи в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций.

Согласно теоретическому анализу решение задачи теории упругости ^ в окрестности нерегулярной точки границы плоской области представимо в виде:

^ = , ( 1 )

где т\С - "собственное" решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, характеризующее особенность решения; -

НДС, обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра - "степени приближения" к особой точки. Представление ( 1 ) справедливо и в пространственном случае для точек на особой линии границы области.

Согласно теоретическому представлению НДС вида ( 1 ) в окрестности особой точки границы плоской области существует два самоуравновешенных напряженных состояния.

Первое - самоуравновешенное радиальное НС, полученное как решение плоской однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, переходящее в сингулярное НС при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области. Нетривиальное решение однородной краевой задачи, характеризующее особенность НС в окрестности нерегулярной точки границы области, будем называть собственным.

Другая оставшаяся часть самоуравновешенного плоского НС в области вершины углового выреза границы, соответствует напряжениям, обусловленным действием заданных нагрузок или общего поля напряжений.

Экспериментально самоуравновешенные состояния jj^ и JJH отделить одно от другого невозможно. Экспериментальное решение в окрестности нерегулярной точки границы плоской области рассматривается на модели составной балки, в одной из

областей которой (Q2 ) созданы свободные температурные деформации CtTSj , а

другая область (Qj) свободна от нагрузок. Линия контакта областей выходит в нерегулярную точку границы - вершину углового выреза торца балки с различными углами раствора.

По данным эксперимента напряженное состояние в окрестности нерегулярной точки границы одной из областей модели характеризуется следующим образом.

Область I - область, прилегающая к оси симметрии балки Г : у = 0 , где главные сжимающие напряжения о"2 значительно превосходят по модулю главные растягивающие напряжения Oj: 1^2! ^ сг2 , ^ 0 при (x,y) ^ (x,0); о^ = 0 . Радиальные напряжения в области I: <Jr = 0"2 .

Область III - область, прилегающая к границе выреза балки, в которой растягивающие главные напряжения oj значительно превосходят модуль сжимающих напряжений о"2 : 0"2 ^ |ст2| ;о"2 ^ 0 при (x,y) ^ S, где граница балки

S : y = ax, a = tga, 2a - угол раствора торца балки; С2 S = 0. Радиальные напряжения в области III : <Jr = oj .

Область II - переходная область, в которой наблюдаются вершины острых углов изохром и значительные градиенты параметра изоклин, образующих петли.

В переходной области II наблюдаются точки, в которых главные напряжения

0~i — . Площадки, наклоненные под углом 45° к главным, находятся в условиях

чистого сдвига. Область II содержит линию чистого сдвига, которая проходит через вершины острых углов изохром и в каждой точке которой наблюдаются площадки чистого сдвига. По данным эксперимента площадки чистого сдвига совпадают с радиальными. Радиальное напряжение, как нормальное напряжение по площадке чистого сдвига, равно нулю: <Jr = Cj = 0 .

Такое распределение радиальных напряжений в окрестности вершины выреза торца балки соответствует "теоретическому" радиальному распределению напряжений:

aET

= cf (r)р(в) = —гт(С1cos 9 + с2 sin в), ов=Тгв= 0. (2) r1 л

На площадках чистого сдвига при в = 60 cr = 0 .

Под теоретическим радиальным распределением напряжений ( 2 ) в окрестности вершины выреза торца балки понимается самоуравновешенное собственное напряженное состояние в окрестности нерегулярной точки границы, полученное как решение плоской однородной краевой задачи.

1/2008

ВЕСТНИК _МГСУ

Чтобы экспериментально косвенно показать существование НС вида ( 2 ), рассматривается балка с прямым торцом, у которой в нерегулярную точку границы 0(0,0) выходит линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций.

Собственные напряжения в области особой точки 0(0,0) границы прямого торца балки имеют радиальный вид: аЕТ

аг =-С еов# + С2 8т#), ав=тг0= 0. ( 3 )

г

где Сц и С2 - неизвестные постоянные.

Картина полос в области ^ торца балки приведена на рис.1. На этом же рисунке показана линия чистого сдвига, которая проходит через вершины острых углов изохром и имеет угол наклона #0 = 57,5° в некоторой окрестности нерегулярной точки 0(0,0). По данным разделения напряжений в окрестности точки 0(0,0) при $0 ~ 57,5° аг = 0 . С учетом этого напряжения ( 3 ) перепишутся в виде:

аЕТ с2

<гг =-

[-1, 57 С08# + ЗШ0], СТд =Т

г

( 4 )

где С2 -неизвестный множитель , С = —С2tgвo = —С2tg57,5 = —1,57с2 .

Радиальные напряжения ( 4 ) в сечении малого радиуса Г — Г) в области О 2 балки статически эквивалентны действию вертикальной силы, направленной вдоль оси ОХ : р X = — ^(1,57ж +1)/4 , при этом горизонтальный распор

Рг = £ у = 0 .

Рис. 1. Область ^2 прямого торца балки: а) картина полос с указанием угла наклона линии чистого сдвига 00 = 57,5 ; б) Эпюра порядков полос т и радиальных напряжений (пунктир)

МГСУ

Рассматривается модельная задача - клин бесконечной длины с раствором, равным полураствору торца балки : л/ 2 . По поверхности выемки малого радиуса Г = Гд клина действуют радиальные напряжения, аналогичные тем, что получены в эксперименте для прямого торца балки. Пусть действующая сосредоточенная сила Р = Рц статически эквивалентна экспериментально полученным радиальным напряжениям в сечении г = г0 в модели. Для прямоугольного клина под действием вертикальной силы Р^, направленной

вдоль вертикальной грани, угол наклона нейтральной оси составляет 57,5° с вертикальной границей модельного клина. На рис. 2 дана картина полос для клина раствора 2а = я/2 под действием сосредоточенной силы и расчетная схема задачи, полученная в работе М. Фрохта [ 2 ]. Изохромы, соответствующие радиальному напряженному состоянию ( рис. 2 ) имеют характерные дуги окружностей, касающиеся нейтральной оси в вершине клина. "Похожие" дуги изохром ( рис. 1 ) наблюдаются в области вершины т. 0(0,0) балки и касаются линии чистого сдвига.

Рис. 2. Картина полос а) и схема задачи б) для модельного клина по работе М. Фрохта. Угол на-

Совпадение угла наклона линии чистого сдвига в области прямого торца балки и нейтральной оси модельного клина, совпадение параметра изоклины в вершинах изохром модели и вычисленного угла наклона главных площадок подтверждает экспериментально существование самоуравновешенного радиального напряженного состояния в окрестности вершины выреза балки, отвечающего собственному напряженному состоянию сг^ в общем представлении НС: (Ту = о^ + о^ .

Подобным образом сопоставлены углы наклона линии чистого сдвига в области вершины выреза модели балки и нейтральной оси модельного клина для различных

клона нейтральной оси вд = 57,5

о

1/2008

ВЕСТНИК _МГСУ

углов раствора. На рис. 3 для примера приведены картины полос в одной из областей балки 0.2 с растворами торцов 2а = 260°, 270° , 330° .

Для составных балок с различными растворами торцов: 2а = 180°, 260°,

270°,300°,330°,360° (узкий вырез по линии контакта областей) экспериментально показано, что угол наклона линии чистого сдвига, определяемый по картине изохром, в некоторой достаточно малой окрестности вершины выреза балки совпадает с углом наклона нейтральной оси вспомогательного клина соответствующего раствора под действием сосредоточенной силы, статически эквивалентной экспериментально полученным радиальным напряжениям в сечении малого радиуса модели. Такое совпадение расчетно-экспериментальных данных показывает существование самоуравновешенного радиального НС в окрестности нерегулярной точки границы, характеризующего особенность НС и определяемого как решение однородной краевой задачи.

Рис. 3. Картина полос в области ^2 торца балки с углом раствора 2а и указанием угла наклона линии чистого сдвига $0 для случаев: а) а = 135 , $0 = 80 , б) а = 130 ,$0 = 78 ,

В) а = 165°, в0 = 83,5°

В точках линии чистого сдвига главные напряжения, максимальные касательные напряжения и порядки полос не равны нулю. В некоторой окрестности нерегулярной точки границы плоской области в точках линии чистого сдвига равны нулю радиальные напряжения, соответствующие собственным напряжениям СТ,^ в общем представ-

и

лении НС: сгу = оС + сгг" .

Сопоставление значений радиальных напряжений, вычисленных согласно теоретическому распределению ( 2 ), значений главных напряжений 0~1 и ст^ , полученных экспериментально методом разделения напряжений, порядков полос по данным экспе-

римента для моделей балок с различными растворами торцов доказывает существование в окрестности вершины выреза плоской области двух самоуравновешенных НС и справедливость теоретического представления ( 1 ).

Рост порядков полос, наблюдаемый изнутри области, а не в самой вершине выреза области в картинах изохром, объясняется также существованием самоуравнове-

с

шенного радиального состояния (Гц в окрестности нерегулярной точки границы.

и

Неравенство нулю порядков полос в области чистого сдвига окрестности нерегулярной точки границы доказывает существование дополнительного самоуравновешенного НС (ун., обусловленного действием заданных нагрузок или общего поля на-У

пряжений.

Напряжения и порядки полос при приближении к сингулярной области НДС и к самой нерегулярной точке границы изнутри каждой области составного тела, меняются непрерывно. Предложенный теоретический метод анализа НДС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области позволяет экстраполировать уверенные экспериментальные данные, полученные по области с "читаемой" картиной изохром, на сингулярную область решения, где картина полос не читается или "плохо" читается.

Литература

1. Метод фотоупругости. В трех томах/ Под ред. Г.Л. Хесина.- М.: Стройиздат, 1975, т.2, с.311.

2. Фрохт М.М. Фотоупругость: Пер. с анг./под ред. Н.И. Пригоровского. М.-Л.: ГИТТЛ, Т.1, 1948, 432 е.; Т2, 1950, 488с.