CC BY
183
Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций при действии вынужденных деформаций в зонах концентрации напряжений. Л.Ю.Фриштер
Напряженно-деформированное состояние (НДС) составных конструкций и сооружений характеризуется значительной концентрацией напряжений в местах сопряжения элементов из разных материалов из-за различия механических характеристик. Наиболее сложное НДС возникает в области концентрации напряжений, обусловленной как формой границы или «геометрическим фактором», так и конечным разрывом заданных вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций.
Актуальность работы состоит в получении с наибольшей достоверностью локального НДС в зонах концентрации напряжений составных конструкций при действии разрывных вынужденных деформаций.
Метод фотоупругости [1], являющийся континуальным методом, и метод «размораживания» деформаций, как его подраздел, позволяют получить НДС в области с нерегулярной границей, в которую выходит разрыв вынужденных деформаций, на моделях из оптически чувствительного материала. Моделирование НДС составных конструкций методом «размораживания» и фотоупругости дано в работах [2, 3]. Современные способы визуализации данных эксперимента в сочетании с численными и аналитическими методами исследования расширяют возможности метода фотоупругости [4] по анализу экспериментального решения.
На модели экспериментальное решение в окрестности геометрического концентратора напряжений - вершины углового выреза границы, не читается или плохо читается при любом увеличении фрагмента окрестности. На некотором удалении от локального источника концентрации напряжений имеются уверенные экспериментальные данные, которые при приближении к нерегулярной точке границы меняются непрерывно и монотонно. Поэтому для экстраполяции уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается или плохо читается предлагается комплексный расчетно-экспериментальный подход получения и анализа напряженного состояния (НС) в зоне концентрации напряжений (окрестности нерегулярной точки границы области).
Согласно теоретическому анализу [5,6] решение задачи теории упругости л в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, представимо в виде:
л = + л" (1)
где - «собственное» решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, характеризующее особенность решения; л" - НДС, обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра - «степени приближения» к особой точке. Представление (1) справедливо и в пространственном случае для точек на особой линии границы области.
Согласно теоретическому представлению НДС в виде (1) в окрестности особой точки границы плоской области су-
ществует два самоуравновешенных напряженных состояния.
Первое - самоуравновешенное радиальное напряженное состояние (НС), полученное как решение плоской однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, переходящее в сингулярное НС при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области. Нетривиальное решение однородной краевой задачи, характеризующее особенность НС в окрестности нерегулярной точки границы области, будем называть собственным.
Другая оставшаяся часть самоуравновешенного плоского НС в области вершины углового выреза границы, соответствует напряжениям, обусловленным действием заданных нагрузок или общего поля напряжений.
Экспериментальное решение в окрестности нерегулярной точки границы плоской области рассматривается на модели составной пластины, в одной из областей которой созданы свободные температурные деформации aTSj, а другая область свободна от нагрузок. Скачок вынужденных деформаций ASj = aT8ij по линии контакта областей, составляющих модель, выходит в нерегулярную точку 0(0,0) - вершину углового выреза границы пластины с различными углами раствора.
Картина полос m (изохром) для одной из областей W2 пластины с прямым торцом, полученная методом «размораживания», приведена на рис. 1. По данным разделения напряжений в окрестности точки O (0,0) при угле 0^57,5°, ог = 0. С учетом этого собственные напряжения в окрестности нерегулярной точки границы 0 (0,0) прямого торца плоской области имеют вид:
ar [-1,57cos0 + sin0], ae=xr = 0 (2)
где с - неизвестная постоянная.
Радиальные напряжения ( 2 ) в сечении малого радиуса r = r0 в области W2 модели (рис.1) статически эквивалентны действию вертикальной силы, направленной вдоль оси OX: PB = ^X = -ct(1,57л +1)/4, при этом горизонтальный распор РГ = 0.
Рассматривается модельная задача - прямоугольный клин бесконечной длины под действием сосредоточенной силы, статически эквивалентной экспериментально полученным радиальным напряжениям в сечении малого радиуса модели. На рис. 2 дана картина полос для клина раствора 2а = // 2 под действием сосредоточенной силы, полученная в работе М.Фрохта [1]. Угол наклона нейтральной оси составляет 0 = 57,5° с вертикальной границей модельного клина (рис. 2). Изохромы, соответствующие радиальному напряженному состоянию (рис. 2) имеют характерные дуги окружностей, касающиеся нейтральной оси в вершине клина. «Похожие» дуги изохром (рис. 1) наблюдаются в области вершины т. 0(0,0) плоской области и касаются линии чистого сдвига.
Особенность собственных радиальных напряжений в области прямого торца плоской области (рис.1) такая же,
как и особенность радиальных напряжений для прямоугольного клина (рис. 2) под действием силы в задаче М.Фрохта: 1
при г ^0 ог ~-. Поэтому картина изохром рис. 2, соответствующая радиальным напряжениям в экспериментальном решении М.Фрохта для модельного клина, является картиной собственных радиальных напряжений вида (2) в окрестности нерегулярной точки границы области с прямым торцом (рис. 1).
Экспериментально косвенно установлено [6, 7] существование самоуравновешенного радиального НС в окрестности нерегулярной точки границы составной плоской области, которое характеризует особенность НС и определяется как решение однородной краевой задачи. Существование такого самоуравновешенного радиального НС объясняет рост порядков полос (изохром), наблюдаемый изнури области концентрации напряжений, а не в самой вершине выреза области (рис. 1). Отсутствие нулевой полосы объясняется существованием другого самоуравновешенного НС, обусловленного общим полем напряжений.
В области прямого торца пластина согласно рис. 1 построены эпюры порядков полос для нескольких радиальных сечений и установлено подобие эпюр порядков полос.
Применение методов теории подобия и размерностей позволяет охарактеризовать порядки изменения НДС от координат точки при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области [8].
В силу автомодельности решения упругой задачи напряжения, деформации, перемещения в некоторой окрестности нерегулярной точки границы области допускают группу подобия и обладают свойством гомогенности функций, характерным тем, что такие функции представимы в виде степенных комплексов. Такими же свойствами (подобия, гомогенности) должно обладать и экспериментальное решение, полученное на модели в виде картины полос методом фотоупругости. Поэтому порядки полос в некоторой окрестности нерегулярной точки границы модели так же, как и напряжения, должны обладать свойством подобия, гомогенности и быть представимы в виде степенных комплексов, m ~ C1 г 1-1, что подтверждается исследованиями данных эксперимента.
Рассматривая соотношения между слагаемыми в представлении НДС: ^ = в окрестности нерегулярной точки границы, можно выделить следующие характерные области действия НДС:
а) Существует такая окрестность нерегулярной точки границы плоской области, в которой справедливо сингулярное решение однородной краевой задачи, характерное тем, что о^ ,^0. Особенность собственных напряжений оС (деформаций £°) имеет степенной вид гт,пКе 1-1, где 1е [0,0.5] определяется расчетно. Порядки полос в области концентратора напряжений на модели (области сингулярного решения) не читаются ни при каком увеличении окрестности нерегулярной точки.
Рис. 1. Картина полос т в области модели с прямым торцом с указанием угла наклона линии чистого сдвига 0~57,5°
Рис. 2. Картина полос т модельного клина согласно работе М.Фрохта. Угол наклона нейтральной оси 0~57,5°
б) Существует такая окрестность нерегулярной точки границы области, в которой О «оо,о" « 0 и справедлива несингулярная однородная упругая задача с тем же собственным значением тпг^е 1, что и в сингулярной задаче. Область несингулярного решения не содержит окрестность сингулярного решения и саму нерегулярную точку, а примыкает к ней. При стремлении извне к границе области сингулярного решения напряжения, деформации меняются непрерывно, их значения велики, но конечны. Порядки полос на модели, соответствующие несингулярной области решения, читаются за возможным исключением некоторых.
в) При достаточном удалении от нерегулярной точки границы существует такая область, в которой о^ =о", О = 0 и напряжения обусловлены заданными нагрузками (общим полем напряжений).
В области несингулярного решения однородной плоской упругой задачи возможно привести оценки, используя которые можно экстраполировать данные на сечения, близко расположенные к нерегулярной точке границы, с учетом данных эксперимента и практической точности измерения данных методом фотоупругости.
Согласно теоретико-экспериментальному анализу НС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит скачок вынужденных деформаций, предлагается следующая формула для экстраполяции экспериментальных данных:
( . А1-1"
т.
(3)
где т. - порядки полос по данным эксперимента в расчетном сечении г. в окрестности несингулярного решения однородной краевой задачи, тм порядки полос в сечении меньшего радиуса гм < г, расположенного в области с нечитаемой или плохо читаемой картиной изохром модели, 10 = тлг^е 1 - минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина, определяется расчетно.
Согласно зависимости (3) на рис. 3а, рис. 4 построены эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3 окрестности вершины выреза границы области с углами раствора торца 2а = 2б0° (рис.3 а) и 2а = 300° (рис. 4). В рассмотренных сечениях практически совпадают эпюры порядков полос, построенные по соотношению (3) и по экспериментальным данным напрямую по картине полос модели. Совпадение эпюр порядков полос (рис. 3, рис. 4) позволяет применить формулу (3) для экстраполяции данных эксперимента.
По экспериментальным данным в окрестности вершины выреза плоской модели (рис. 3а, 4) выбирается расчетное сечение 3. Данное сечение близко расположено к области сингулярного решения однородной краевой задачи, где картина полос не читается. Учитывая непрерывность изменения порядков полос, зависимость (3), по данным сечения 3 построены эпюры порядков полос в сечении 4, расположенном в области с нечитаемой картиной полос. Для плоской модели с раствором торца 2а = 2б0° (рис. 3б) и 2а = 300° (рис. 4) порядки полос в сечении 4 определяются соответственно:
а)
б)
Рис. 3. Одна из областей плоской модели с раствором торца 2а = 2б0°: а) эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3; б) эпюры порядков полос т сечениях 3, 4 и радиальных напряжений Ог в сечении 4 (пунктир)
m3 =(1,2б(б))0'4372 m3, m4 = 1,11m3,1 = 0,5628;
=(1,б)0,4878 ш3 = 1,2бmз, 10 = 0,5122.
Напряжения и порядки полос при приближении сечения к сингулярной области НДС и к самой нерегулярной точке границы изнутри каждой области составного тела меняются непрерывно. Экстраполируя непрерывно в рамках линейно-упругой постановки задачи экспериментальные данные, полученные по области с читаемой картиной изохром, на сингулярную область решения, где картина полос не читается или плохо читается, возможно получить эпюру порядков полос m и собственных радиальных напряжений в сечении, приближенность которого к нерегулярной точке границы обусловлена точностью измерения экспериментальных данных на модели и практической точностью метода фотоупругости.
Вывод. Расчетно-экспериментальный анализ НС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, и предлагаемая на его основе формула экстраполяции экспериментальных данных (3), позволяют восстановить порядки полос в области сингулярного решения уп-
Рис. 3. Одна из областей плоской модели с раствором торца 2а = 300°. Эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3, 4 и радиальных напряжений Ог в сечении 4 (пунктир)
ругой задачи, в которой изохромы на модели не читаются или плохо читаются. Приближенность сечения к нерегулярной точке границы обусловлена линейно-упругой постановкой задачи, точностью измерения экспериментальных данных и практической точностью метода фотоупругости.
Предлагаемый расчетно-экспериментальный метод позволяет получить и анализировать НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной формой границы и разрывными вынужденными деформациями. Предлагаемый метод рекомендован для исследования НДС конструкций в местах резкого изменения формы границы, имеющих ступенчатую или угловую форму границы, при действии скачкообразного изменения вынужденных деформаций, температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, механическими свойствами, при учете напряжений от монтажа, последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом.
Список литературы:
1. Метод фотоупругости. В 3-х томах. Под ред. Г.Л. Хеси-на. М., «Стройиздат», 1975, т. 3, 311 с.
2. Савостьянов В.Н., Сидорова Г.И., Исайкин А.С., Фриш-тер Л.Ю. Способ моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений. Авторские свидетельства №1767368, № 1767369, дата регистрации 08.06.92.
3.Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Моделирование кусочно-однородной задачи механики деформируемого твердого тела методом фотоупругости. «Известия АН РАН. Механика твердого тела», М., 1993, № 6, с. 38-43.
4. Фриштер Л.Ю. О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений. «Вестник МГСУ», 2008, № 1, с.169-174.
5. Фриштер Л.Ю. Исследование НДС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области при действии вынужденных деформаций методом фотоупругости. International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, М., 2007, p.101-106.
6. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений», 2008, № 2, с.20-27.
7. Фриштер Л.Ю. Теоретико-экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности нерегулярной точки границы плоской области от несовместных деформаций. «Вестник МГСУ», 2008, № 1, с. 169-174.
8. Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. Анализ НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии области с применением элементов теории размерности. International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, М., 2007, p.75-81.
и
