Оценки решения однородной плоской задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК г/2о12_

УДК 624.04

Л.Ю. Фриштер

ФГБОУВПО «МГСУ»

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ ГРАНИЦЫ

Приведены оценки напряженно-деформированного состояния в зоне концентрации напряжений в плоской области углового выреза границы.

Ключевые слова: зона концентрации напряжений, нерегулярная точка границы, оценка решения.

Исследование напряженного состояния (НС) составных конструкций в зонах сопряжения элементов из материалов с различными механическими свойствами при действии вынужденных деформаций, разрывных по линии (поверхности) контакта элементов, является актуальной задачей практики инженерного проектирования. Напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкций в зоне геометрической концентрации напряжений получено экспериментально на моделях с угловым вырезом границы методом фотоупругости. Зона концентрации напряжений, обусловленная формой геометрии границы, характеризуется значительными градиентами напряжений и картиной полос, «плохо» читаемой в области вершины выреза. Сложность НС конструкций в зонах концентрации напряжений обусловливает комплексный численно-экспериментальный подход исследования, включающий как разработку методов экстраполяции экспериментальных данных [1], так и оценки решения упругой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области.

1. Рассматривается решение задачи теории упругости для однородного или кусочно-однородного тела в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций.

Согласно теоретическому анализу [2, 3] решение задачи теории упругости ^ в окрестности нерегулярной точки границы плоской области представимо

л = +чн, (1)

с I С С с \

где ^ = I Сту , г у , и у I — «собственное» решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, характеризующее особенность реше-

тт / и и II \

ния; ^ = I сту , Бу , и у I — напряженно-деформированное состояние (НДС), обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра — «степени приближения» к особой точке. Представление (1) справедливо и в пространственном случае для точек на особой линии границы области.

Рассматривая соотношения между слагаемыми в представлении НДС, н

^ = ^ в окрестности нерегулярной точки границы, можно выделить следующие

характерные области действия НДС:

а) существует такая окрестность нерегулярной точки границы плоской области, в которой справедливо сингулярное решение однородной краевой задачи, характерное

с н с*

тем, что а у ^ а у, а у ^ 0 . Особенность собственных напряжений а у (деформаций

$ I имеет степенной вид гКе1е [0; 0,5]. Порядки полос в области концентрато-

20

© Фриштер Л.Ю, 2012

ра напряжений модели (области сингулярного решения) не читаются ни при каком увеличении окрестности нерегулярной точки;

б) существует такая окрестность нерегулярной точки границы области, в которой

С н

<зу « а у, а у « 0 и справедлива несингулярная однородная упругая задача с тем же «собственным» значением min Re X , что и в сингулярной задаче. Область несингулярного решения не содержит окрестность сингулярного решения и саму нерегулярную точку, а примыкает к ней. При стремлении извне к границе области сингулярного решения напряжения, деформации меняются непрерывно, их значения велики, но конечны. Порядки полос на модели, соответствующие несингулярной области решения, читаются за возможным исключением некоторых;

в) при достаточном удалении от нерегулярной точки границы существует такая

и г*

область, в которой ст у = ст у , ст у = 0 и напряжения обусловлены заданными нагрузками (общим полем напряжений).

В области несингулярного решения однородной плоской упругой задачи возможно привести оценки, используя которые можно экстраполировать решение на сечения, близко расположенные к нерегулярной точке границы, с учетом данных эксперимента и практической точности измерения экспериментальных данных методом фотоупругости.

2. Рассматривается малая окрестность нерегулярной точки O на особой линии

2 2 2

границы тела V, как самоуравновешенная часть B тела V в виде х + y < Ej;

2 2

z < £2; £j, £2 — малые положительные числа. Граничные условия на поверхности L области — однородны. Исходная упругая задача в окрестности нерегулярной точки границы допускает группу подобия:

х1 = tjc; yj = ty; zj = z ; ст у = tст у; £ у = tzу; U { = U {, где i, у = х, y, z; Д, у1 = xj, yj, zj; t — параметр группы, t > 0.

В бесконечно малой окрестности особой точки границы решение корректной краевой задачи теории упругости ведет себя как асимптотически наибольшая по абсолютной величине собственная функция соответствующей канонической сингулярной

\ 1

задачи. Особенность напряжений, деформаций имеет порядок r 0 , где Хо = minRe X — минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной плоской краевой задачи теории упругости, определяется расчетно [Л].

Выберем окрестность c < r < (! + а) c, ае( 0Д), 9 е (60,9j), в которой справедлива несингулярная плоская однородная задача с однородными граничными условиями. Параметр t = j — достаточно велик, параметр c — достаточно мал, чтобы не учи-с

тывать напряжения общего поля а у , обусловленного заданными вынужденными деформациями.

Функция напряжений однородной плоской упругой задачи в полярной системе координат запишем в виде

Ф = r +f (9), (2)

где ^0 = minReX — минимальное значение действительной части комплексного корня X характеристического уравнения однородной краевой (сингулярной) задачи в области r < £j < c; £j >0, f (9) — функция переменной 9, 9 e (90,9j). Введем новую переменную rj = r - c, r e [c, (j + a)c], rj e (0, ac). Перепишем функцию напряжений (2) в виде

ВЕСТМК 2/2012>

Ф = ( Г1 + с)х° +1 / (9) = с^0+111+ П

^+1

/ (6),

(3)

где 0 < — < а < 1. Применим биноминальное разложение в виде с

1 + -

^+1

= 1 + (А.0 +1) ^ с ^ (X0 + 1)Х0(^0 -1) ( Г_

Г1 V (^0 + 1)^0 ( Г1

2!

3

(4)

(А.0 +1)^0(X0 -1)-(^ "п + 2) ( г

3! ^ с) п!

Функция напряжений (3) с учетом разложения (4) перепишется

ф = Л +1 [1 + (,0 +1) Г 1 1 + £ ^ +^ 0 - Ц- (^0 - п + 2) г г I с ) п=2 п!

/(6).

(5)

Согласно функции напряжений (5) запишем напряжения в рассматриваемой окрестности Г1 е (0, ас) нерегулярной точки границы:

^0 + г

\п—1'

» (^0 +1)^0(^0 -1)-(^0 - п + 2) (п _ 1 + с Уг - с У ^ п !сп Г г) г

п=2

Стг = 14 = / (0)

г дг

г2 592

^0 +1 (*- 0 + 1)^0

(г - с) +

£ (X0 + 1)Х0(^0 -1)-(^0 - п + 2) ^ _с^п-1

п=3 Дп+1

-/" (6)

1 +

(п -1)! сп (^0 +1)

(6)

(г_с) + £ (^0 +ЦМ^0 -Ц-А-0 - п + 2) (г_с)п

п=2

п!с

= +7 О)

59

£ (X 0 + 1)^0(^0 -1)-(^0 - п + 2) ^ _ с у-2

п=2

(п - 2)! сп

Оценим остаточный член ряда (5) в виде

<

*I с

(^0 + 1)^0(^0 -(^0 +1 ~ п) ^п+1

(п +1)

<5

где — = г—с = а « 1, X0 е (0,1); ае (0,1).

с с

При увеличении угла раствора между касательными, проведенными к границе облас-

ти в особой точке, X0 ^ 0,5 . Для оценки Яп | — | рассмотрим, для примера, ^ = 0,5:

3 3 при п = 0 |ЛИ|< — (а)< —;

при п = 1 |Я„| < 3(а)2 < 3 = 0,375;

О

8

при п = 2 |Яп| < —(а)3 < 0,09375 < 0,1. 48

22

ISSN 1997-0935. УвзШк MGSU. 2012. № 2

Поэтому с необходимой точностью 8 = 0,1 для функции напряжений достаточно взять первые два (три) члена ряда разложения при п — 0,1 (2), т.е.

ф(г, с ) = Л+7 (9)

-X 0 0 + ^

с

(7)

С учетом функции напряжений (7) в рассматриваемой окрестности с < r < (1 + а)с, с е (0,1), а е (0,1), напряжения (6) запишутся в виде

Л

^ =-(А.0 + 1)с1 [/(9) + f"(0)], ag = 0; Хъ= 0.

r

Слагаемые, вызывающие значительное возрастание напряжений, деформаций

(увеличение энергии деформации в окрестности r е (0, ас); ас ^ 1; -1 ^ — | не рас-

r2 r)

сматриваются. Например, для функции напряжений

f (0) = [с0 cos (А,0 -1)0 - с1 cos(A,0 +1) 0] при первом приближении напряжения запишутся:

ar = ^ + 1)Х0 с[с1 (2 -X0)cos(X0 -1)0 + (2 + X0)cos(X0 +1)0], сте = 0; xr0 = 0, r

с, с1 е R.

Выбирая необходимое число членов ряда разложения функции напряжений (5), возможно получить напряжения, деформации в области несингулярного решения задачи с точностью, соответствующей точности измерения данных методом фотоупругости. Окрестность нерегулярной точки границы плоской области, где справедливы оценки несингулярного решения однородной задачи (5), (6), (7), выбирается по данным эксперимента.

В соответствии с точностью метода фотоупругости достаточно взять первые два (три) первых члена ряда (5) разложения функции напряжений при n = 0,1 (2).

Вывод. В области решений несингулярной однородной плоской упругой задачи возможны оценки решения, используя которые, можно экстраполировать решение на сечения, близко расположенные к нерегулярной точке границе, с учетом данных эксперимента и практической точности измерения методом фотоупругости.

Библиографический список

1. Фриштер Л.Ю. Экстраполяция экспериментальных данных метода размораживания деформаций в области концентрации напряжений // Вестник МГСУ. 2008. № 1. С. 272—276.

2. Фриштер Л.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций при действии вынужденных деформаций в зонах концентрации напряжений // Academia. Архитектура и строительство. Российская академия архитектуры и строительных наук. 2008. № 4. С. 94—97.

3. Фриштер Л.Ю. О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений // Вестник МГСУ. 2008. № 1. С. 169—174.

Поступила в редакцию в феврале 2012 г.

Об авторе: Фриштер Людмила Юрьевна — доктор технических наук, доцент, старший научный сотрудник, профессор кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО МГСУ), 129337, Ярославское шоссе, 26, МГСУ, 8 (499)183-30-38, vmat@mgsu.ru, lfrishter@mail.ru.

Для цитирования: Фриштер Л.Ю. Оценки решения однородной плоской задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки границы // Вестник МГСУ. 2012. № 2. С. 20—24.

BECTMK 2/2o12_

L.Ju. Frishter

EVALUATIONS OF THE SOLUTION TO THE HOMOGENEOUS TWO-DIMENSIONAL PROBLEM OF THE THEORY OF ELASTICITY IN THE VICINITY OF AN IRREGULAR POINT OF THE BORDER

The article represents the results of the evaluation of the strain-stress distribution in the area of concentrated tensions in the two-dimensional angle-shaped area of the border. Solutions to the nonsingular homogeneous two-dimensional elastic problem may be evaluated through their extrapolation onto sections located in the vicinity of an irregular point of the border by taking the account of the experimental data and the practical accuracy of measurements taken through the application of the photoelasticity method.

Key words: zones of concentrated tension, an irregular point of border, solution evaluation.

References

1. Frishter L.Ju. Jekstrapoljacija jeksperimental'nyh dannyh metoda razmorazhivanija deformacij v oblasti koncentracii naprjazhenij [Extrapolation of Experimental Data Generated through the Application of the Deformation Defrosting Method in Areas of Concentrated Tension], Vestnik MGSU, 2008, Issue # 1, pp. 272—276.

2. Frishter L.Ju. Issledovanie naprjazhenno-deformirovannogo sostojanija konstrukcij pri dejstvii vy-nuzhdennyh deformacij v zonah koncentracii naprjazhenij [Study of the Stress-Strain State of Structures Subjected to Enforced Deformation in Areas of Concentrated Tensions]. Academia [Academy], Arhitektu-ra i stroitel'stvo [Architecture and Construction], Rossijskaja akademija arhitektury i stroitel'nyh nauk [Russian Academy of Architecture and Civil Engineering Sciences], 2008, Issue # 4, p. 94—97.

3. Frishter L.Ju. O vozmozhnostjah poluchenija metodom fotouprugosti naprjazhennogo so-stojanija v oblasti koncentracii naprjazhenij [On the Use of the Photoelasticity Method Designated to Achieve the State of Tension in Areas of Concentrated Tensions]. Vestnik MGSU, 2008, Issue # 1, pp. 169—174.

About the author: Frishter Ljudmila Jur'evna — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Jaroslavs-koe shosse, Moscow, 129337, Russia, vmat@mgsu.ru, lfrishter@mail.ru, (499)183-30-38.

For citation : Frishter L.Ju. Ocenki reshenija odnorodnoj ploskoj zadachi teorii uprugosti v okrestnosti nereguljarnoj tochki granicy [Evaluations of the Solution to the Homogeneous Two-Dimensional Problem of the Theory of Elasticity in the Vicinity of an Irregular Point of the Border], Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, Issue # 2, pp. 20—24.

24

ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 2